第2章 第4节 函数的对称性(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章　函数 　第四节　函数的对称性 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 原点 y轴 x＝a (a，0) 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 (a，0) y轴 x轴 原点 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 √ √ × 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 √ 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 课时 作业（十） 点击进入word 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于 对称，偶函数关于 对称． (2)若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为 ；若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为 ． 2．若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝f(a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称； 若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点 对称． 3．两个函数图象的对称 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于 对称； (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于 对称； (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于 对称． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数y＝f(x)是奇函数，则函数y＝f(x－1)的图象关于点(1，0)对称．(　 　) (2)若函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　 　) (3)函数y＝5x与y＝5－x的图象关于x轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　 　) 2．函数f(x)＝ eq \f(x＋1,x)的图象的对称中心为(　　) A．(0，0)　　　　　　B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 答案　B 解析　因为f(x)＝ eq \f(x＋1,x)＝1＋ eq \f(1,x)，由y＝ eq \f(1,x)的图象向上平移一个单位长度得到y＝1＋ eq \f(1,x)的图象，又y＝ eq \f(1,x)的图象关于点(0，0)对称， 所以f(x)＝1＋ eq \f(1,x)的图象关于点(0，1)对称． 3．已知定义在R上的函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，且f(x＋2)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，则(　　) A．f(－1)<f(3) B．f(0)>f(3) C．f(－1)＝f(3) D．f(0)＝f(3) 答案　A 解析　因为f(x＋2)＝f(2－x)， 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称， 所以f(3)＝f(1)， 由于f(x)在(－∞，2)上单调递增， 所以f(－1)<f(1)＝f(3)，f(0)<f(1)＝f(3). 4．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点______． 答案　(－1，2) 解析　y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1，2). 题型一　轴对称问题 [例1]　(1)(2025·株洲模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x＋1)为偶函数，当－1≤x≤0时，f(x)＝x3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))等于(　　) A． eq \f(1,8)　　　　　　　B．－ eq \f(1,8) C． eq \f(27,8) D．－ eq \f(27,8) 答案　A 解析　由函数f(x＋1)为偶函数， 可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 所以f(2＋x)＝f(－x)， 因为f(x)是定义在R上的奇函数， 所以f(4＋x)＝f(－2－x)＝－f(2＋x)＝－f(－x)＝f(x)， 可得函数f(x)的周期为4， 所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(1,8). (2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(－x2)>f(－1)的解集为________． 答案　(－1，1) 解析　∵f(x＋2)是偶函数， ∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称， ∴f(x)的图象关于直线x＝2对称， 又f(x)在[2，＋∞)上单调递减， ∴f(x)在(－∞，2]上单调递增． 又－x2，－1∈(－∞，2]，f(－x2)>f(－1)， ∴－x2>－1，即x2<1， ∴－1<x<1， ∴原不等式的解集为(－1，1). eq \a\vs4\al([思维升华]) 函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x) ⇔ f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ eq \f(a＋b,2)对称．　 　[即时训练] (1)(2025·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　) A．f(－1)<f(1)<f(2) B．f(1)<f(2)<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f(1) D．f(－1)<f(2)<f(1) 答案　D 解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为直线x＝0， 所以f(x)的对称轴为直线x＝1， 又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下， 根据自变量与对称轴的距离可得 f(－1)<f(2)<f(1). (2)(2025·承德统考)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，(x4，y4)，则x1＋x2＋x3＋x4等于(　　) A．－4 B．0 C．4 D．8 答案　D 解析　由f(x)＝f(4－x)可知y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称， 所以x1＋x2＋x3＋x4＝4×2＝8. 题型二　中心对称问题 [例2]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　) A．函数f(x)＝ eq \f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2，2)中心对称 B．函数f(x)满足f(2x－1)为奇函数，则函数f(x)关于点(－1，0)中心对称 C．若函数y＝f(x)过定点(0，1)，则函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2) D．函数y＝ eq \f(x－1,x－b)的图象关于点(3，c)中心对称，则b＋c＝2 答案　ABC 解析　对于A，f(x)＝ eq \f(2x－1,x＋2)＝ eq \f(2(x＋2)－5,x＋2)＝2－ eq \f(5,x＋2)，其图象可以由y＝－ eq \f(5,x)的图象向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，且y＝－ eq \f(5,x)的图象关于原点对称，故f(x)＝ eq \f(2x－1,x＋2)的图象关于点(－2，2)中心对称，A正确；对于B，因为f(2x－1)为奇函数，所以f(2x－1)＝－f(－2x－1)，所以f(x－1)＝－f(－x－1)， 所以f(x)＝－f(－x－2)，所以函数f(x)关于点(－1，0)中心对称，B正确； 对于C，函数y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)＋1的图象，由于y＝f(x)过定点(0，1)，故函数y＝f(x－1)＋1过定点(1，2)，C正确； 对于D，函数y＝ eq \f(x－1,x－b)＝ eq \f((x－b)＋b－1,x－b)＝1＋ eq \f(b－1,x－b)的图象关于点(3，c) 中心对称，所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(3－b＝0，,c＝1，))解得b＝3，c＝1， 所以b＋c＝4，D不正确． (2)(2025·南京模拟)已知函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2＋x)，其图象关于点(2，0)对称，f(2)＝0，则f(18)＝________． 答案　0 解析　因为函数y＝f(x)的图象关于点(2，0)对称， 所以f(－x)＝－f(4＋x)， 又f(－x)＝f(2＋x)， 所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝0， 所以f(x)－f(x＋4)＝0，即f(x)＝f(x＋4)， 所以函数f(x)的一个周期为4， 所以f(18)＝f(2)＝0. 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) 函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b ⇔2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)，\f(c,2)))成中心对称． 　[即时训练] (1)(2025·扬州模拟)已知定义域为R的函数f(x)在[1，＋∞)上单调递减，且f(x＋1)为奇函数，则使得不等式f(x2－x)<f(2－2x)成立的实数x的取值范围是(　　) A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞) C．(－2，1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案　D 解析　因为f(x＋1)为奇函数， 所以f(x)的图象关于点(1，0)对称， 因为f(x)在[1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)在R上单调递减， 所以x2－x>2－2x，即x2＋x－2>0，解得x<－2或x>1， 所以x的取值范围为(－∞，－2)∪(1，＋∞). (2)已知定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n，若f(－1)＝－7，则3m＋n等于(　　) A．7 B．2 C．－2 D．－ eq \f(1,2) 答案　C 解析　因为定义域为R的函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，且当x≥1时，f(x)＝x2＋mx＋n， 若f(－1)＝－7，则f(3)＝－f(－1)＝7. 故f(3)＝32＋3m＋n＝7，即3m＋n＝－2. 题型三　两个函数图象的对称 [例3]　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 答案　A 解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点， 则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))， 所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上， 而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称， 所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称． eq \a\vs4\al([思维升华]) 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝ eq \f(b－a,2)对称．　 　[即时训练] 下列函数与y＝ex的图象关于直线x＝1对称的是(　　) A．y＝ex-1 B．y＝e1-x C．y＝e2-x D．y＝ln x 答案　C 解析　与f(x)＝ex的图象关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2-x，即y＝e2-x. $$