第2章 第2节 函数的单调性与最值(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章　函数 第二节　函数的单调性与最值 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 单调递增 单调递减 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 × × √ × 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 课时 作业（八） 点击进入word 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用． 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果∀x1，x2∈I 增函数 减函数 定义 当x1<x2时，都有______________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有______________________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 增函数 减函数 描图象述 自左向右看 图象是上升的 自左向右看 图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上 或 ，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1) ∀x∈D，都有 ；(2) ∃x0∈D，使得 ． (1) ∀x∈D，都有 ； (2) ∃x0∈D，使得 ． 结论 M是函数y＝f(x)的最大值 M是函数y＝f(x)的最小值 【常用结论】 1．∀x1，x2∈I且x1≠x2，有 eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) ⇔ f(x)在区间I上单调递增(减). 2．在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数． 3．函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝ eq \f(1,f(x))的单调性相反． 4．复合函数的单调性：同增异减． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若函数f(x)满足f(－3)<f(2)，则f(x)在[－3，2]上单调递增．(　　) (2)若函数f(x)在(－2，3)上单调递增，则函数f(x)的单调递增区间为(－2，3).(　　) (3)若函数f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在区间[a，b]上一定有最值．(　　) (4)函数y＝ eq \f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　 　) 2．下列函数中，在其定义域上是减函数的是(　　) A．y＝－2x＋1　 　　　B．y＝x2＋1 C．y＝ eq \r(x) D．y＝2x 答案　A 解析　y＝－2x＋1在R上是减函数，故A正确； y＝x2＋1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误； y＝ eq \r(x)在[0，＋∞)上是增函数，故C错误； y＝2x在R上是增函数，故D错误． 3．函数y＝－ eq \f(1,x＋1)在区间[1，2]上的最大值为(　　) A．－ eq \f(1,3) B．－ eq \f(1,2) C．－1 D．不存在 答案　A 解析　y＝－ eq \f(1,x＋1)在(－1，＋∞)上单调递增，则y＝－ eq \f(1,x＋1)在区间[1，2]上单调递增， 所以ymax＝－ eq \f(1,2＋1)＝－ eq \f(1,3). 4．若函数f(x)＝2x2＋mx－1 在区间(－1，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．　 答案　[4，＋∞) 解析　二次函数f(x)＝2x2＋mx－1 的图象开口向上，单调增区间为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,4)，＋∞))， 又函数f(x)＝2x2＋mx－1 在区间(－1，＋∞)上是增函数， 则－ eq \f(m,4)≤－1，解得m≥4，则实数m 的取值范围是[4，＋∞). 题型一　确定函数的单调性 命题点1　函数单调性的判断 [例1]　(多选)下列函数在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．y＝x－ eq \f(1,x)　　　　　B．y＝|x2－2x| C．y＝2x＋2cos x D．y＝lg (x＋1) 答案　ACD 解析　∵y＝x与y＝－ eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，∴y＝x－ eq \f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，故A正确； 由y＝|x2－2x|的图象(图略)知，B不正确； ∵y′＝2－2sin x≥0， ∴y＝2x＋2cos x是R上的增函数，故C正确； 函数y＝lg (x＋1)是定义域(－1，＋∞)上的增函数，故D正确． 命题点2　利用定义证明函数的单调性 [例2]　求证：函数f(x)＝ eq \f(x＋a,x＋1)(a>1)在区间(－1，＋∞)上是减函数． 证明　设∀x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝ eq \f(x1＋a,x1＋1)－ eq \f(x2＋a,x2＋1) ＝ eq \f((1－a)(x1－x2),(x1＋1)(x2＋1))， ∵x1，x2∈(－1，＋∞)，且x1<x2， ∴x1＋1>0，x2＋1>0, x1－x2<0. 又a>1， ∴1－a<0， ∴ eq \f((1－a)(x1－x2),(x1＋1)(x2＋1))>0，即f(x1)－f(x2)>0， ∴f(x1)>f(x2)， 故函数f(x)在区间(－1，＋∞)是减函数． eq \a\vs4\al([思维升华]) 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法.　 　[即时训练] (1)(2025·乐山检测)函数f(x)＝(x－4)·|x|的单调递增区间是(　　) A．(－∞，0) B．(－∞，0)∪(2，＋∞) C．(－∞，0)和(2，＋∞) D．(2，＋∞) 答案　C 解析　 函数f(x)＝(x－4)·|x|＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－4x，x≥0，,－x2＋4x，x<0))的图象如图所示， 由图可知函数的单调递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞). (2)(2025·唐山模拟)函数f(x)＝log eq \s\do9(\f(1,2))(2x2－3x－2)的单调递增区间为________． 答案　 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) 解析　令t＝2x2－3x－2>0， 解得x>2或x<－ eq \f(1,2)， 则f(x)的定义域为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪(2，＋∞)， 由f(t)＝log eq \s\do9(\f(1,2))t 在(0，＋∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t＝2x2－3x－2的单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定义域可知，f(x)的单调递增区间为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))). 题型二　函数单调性的应用 命题点1　比较函数值的大小 [例3]　(2025·湘潭月考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有 eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0，则(　　) A．f(－2)<f(3)<f(4) B．f(－2)>f(3)>f(4) C．f(3)<f(4)<f(－2) D．f(4)<f(－2)<f(3) 答案　A 解析　因为对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有 eq \f(f(x1)－f(x2),x1－x2)<0， 所以f(x)在(－∞，0]上单调递减， 又f(x)为偶函数， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 则f(2)<f(3)<f(4)， 又f(－2)＝f(2)， 所以f(－2)<f(3)<f(4). 命题点2　求函数的最值 [例4]　当x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,5)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，＋∞)) 时，则函数y＝ eq \f(2,8－5x) 的值域为(　　) A．(－∞，0) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) C．(－∞，0)∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))) 答案　C 解析　令8－5x＝t，因为x∈ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(8,5)))∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，＋∞))，所以t∈(0，8]∪(－∞，0)， 当t∈(0，8]时，函数f(t)＝ eq \f(2,t) 单调递减，故f(t)≥f(8)＝ eq \f(1,4)， 当t∈(－∞，0)时，即t<0，所以f(t)＝ eq \f(2,t)<0， 所以函数的值域为(－∞，0)∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)).故选C. eq \a\vs4\al([微拓展]) 求函数的值域(最值)的常用方法 (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题． (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域． (3)数形结合法． (4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”． (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式． 典例　(多选)下列函数中，值域正确的是(　　) A．当x∈[0，3)时，函数y＝x2－2x＋3的值域为[2，6) B．函数y＝ eq \f(2x＋1,x－3)的值域为R C．函数y＝2x－ eq \r(x－1)的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)) D．函数y＝ eq \r(x＋1)＋ eq \r(x－1)的值域为[ eq \r(2)，＋∞)　 答案　ACD 解析　对于A，(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2， 由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2，6). 对于B，(分离常数法)y＝ eq \f(2x＋1,x－3)＝ eq \f(2(x－3)＋7,x－3)＝2＋ eq \f(7,x－3)，显然 eq \f(7,x－3)≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞). 对于C，(换元法)设t＝ eq \r(x－1)，则x＝t2＋1，且t≥0，∴y＝2(t2＋1)－t＝2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(15,8)， 由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8)，＋∞)). 对于D，函数的定义域为[1，＋∞)， ∵y＝ eq \r(x＋1)与y＝ eq \r(x－1)在[1，＋∞)上均单调递增，∴y＝ eq \r(x＋1)＋ eq \r(x－1)在[1，＋∞)上为增函数， ∴当x＝1时，ymin＝ eq \r(2)， 即函数的值域为[ eq \r(2)，＋∞). 命题点3　解函数不等式 [例5]　(2025·深圳高级中学开学考试)已知函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是减函数，且f(2a－1)<f(2－a)，则实数a 的取值范围是(　　) A．(1，2) B．(－∞，1) C．(0，2) D．(1，＋∞) 答案　A 解析　因为函数y＝f(x)在定义域(－1，3)上是减函数，且f(2a－1)<f(2－a)， 则有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－1<2a－1<3，,－1<2－a<3，,2a－1>2－a，)) 解得1<a<2，所以实数a 的取值范围是(1，2).故选A. 命题点4　求参数的取值范围 [例6]　(2025·重庆模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax，x<0，,(a－2)x＋3a，x≥0))在R上是减函数，则a的取值范围是(　　) A．(0，1) B． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)) C． eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) D． eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2)) 答案　C 解析　∵f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ax，x<0，,(a－2)x＋3a，x≥0))在R上是减函数， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a－2<0，,(a－2)×0＋3a≤a0，)) 解得0<a≤ eq \f(1,3)，∴a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))). 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围).根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． (1)(2025·聊城模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2ax＋5，x<1，,－\f(a,x)，x≥1)) 在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则整数a 的取值可以为(　　) A．－2 B．2 C．0 D．1 答案　A 解析　由题意可得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－a≥1，,a<0，,1＋2a＋5≥－a，))解得－2≤a≤－1， ∴整数a的取值可以为－2.故选A. (2)“a＝3 ”是“函数f(x)＝－|x－a| 在区间[3，＋∞)上为减函数”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　f(x)＝－|x－a|的图象如图所示， 要想函数f(x)＝－|x－a|在区间[3，＋∞)上为减函数，必须满足a≤3， 因为{3}是{a|a≤3}的子集， 所以“a＝3 ”是“函数f(x)＝－|x－a|在区间[3，＋∞)上为减函数”的充分不必要条件．故选A. $$