第2章 第1节 函数的概念及其表示(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第二章　函数 第一节　函数的概念及其表示 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 非空的实数集 任意 唯一确定 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 定义域 对应关系 定义域 对应关系 解析法 列表法 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 × × √ √ 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 课时 作业（七） 点击进入word 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第二章　函数 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 1．函数的概念 一般地，设A，B是 ，如果对于集合A中的 一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有 的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A. 2．函数的三要素 (1)函数的三要素： 、 、值域． (2)如果两个函数的 相同，并且 完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有 、图象法和 ． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【常用结论】 1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空实数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　 　) (2)任何一个函数都可以用图象法表示．(　 　) (3)直线y＝a与函数y＝f(x)的图象可以有多个交点．(　 　) (4)函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－1，x≥0，,x2，x<0))的定义域为R.(　 　) 2．若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是(　　) INCLUDEPICTURE "A15.TIF" 　 　A　　　　　　　　　B 　 　C　　　　　　　　　D 答案　B 解析　选项A中，当x＝8 时，y＝0，不符合题意，排除A；选项C中，存在一个x对应多个y值，不是函数的图象，排除C；选项D中，x取不到0，不符合题意，排除D.故选B. 3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是(　　) A．y＝ eq \f(\r(x＋3),\r(3－x))与y＝ eq \r(\f(x＋3,3－x)) B．y＝x2与y＝(x－1)2 C．y＝ eq \r(x2)与y＝x D．y＝1与y＝x0 答案　BCD 解析　对于A选项，y＝ eq \f(\r(x＋3),\r(3－x))的定义域是[－3，3)，y＝ eq \r(\f(x＋3,3－x))的定义域是[－3，3)， 并且 eq \f(\r(x＋3),\r(3－x))＝ eq \r(\f(x＋3,3－x))，所以两个函数的定义域相同，对应关系相同，所以是同一个函数； 对于B选项，两个函数的对应关系不相同，所以不是同一个函数； 对于C选项，y＝ eq \r(x2)＝|x|，所以两函数的对应关系不同，所以不是同一个函数； 对于D选项，y＝1的定义域是R，y＝x0的定义域是{x|x≠0}，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数． 4．已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(x＋1)，x≤0，,x2－3x－4，x>0))则f(f(－4))＝ ________． 答案　－6 解析　因为f(－4)＝f(－3)＝f(－2)＝f(－1)＝f(0)＝f(1)＝1－3－4＝－6， 所以f(f(－4))＝f(－6)＝f(1)＝1－3－4＝－6. 题型一　函数的概念 [例1]　(1)(2025·重庆测试)下列四组函数中，表示同一函数的是(　　) A．f(x)＝x 与g(x)＝|x| B．f(x)＝ eq \r((x＋2)2) 与g(x)＝( eq \r(x＋2))2 C．f(x)＝ eq \r(x) 与g(x)＝ eq \f(x,\r(x)) D．f(x)＝x 与g(x)＝ eq \r(3,x3) 答案　D 解析　对选项A，因为f(x)＝x定义域为R，g(x)＝|x| 定义域为R，定义域相同，但f(x)≠g(x)，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故A错误； 对选项B，因为f(x)＝ eq \r((x＋2)2)定义域为R，g(x)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x＋2))) eq \s\up12(2) 定义域为{x|x≥－2}，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故B错误； 对选项C，因为f(x)＝ eq \r(x) 定义域为{x|x≥0}，g(x)＝ eq \f(x,\r(x))定义域为{x|x>0}，定义域不同，所以f(x)，g(x)不是同一函数，故C错误； 对选项D，因为f(x)＝x 定义域为R，g(x)＝ eq \r(3,x3) 定义域为R，又g(x)＝ eq \r(3,x3)＝x＝f(x)，所以f(x)，g(x)是同一函数，故D正确．故选D. (2)(2025·济南检测)已知函数f(x)的定义域为[－2，3]，则函数f(x－1)的定义域为________． 答案　[－1，4] 解析　由－2≤x－1≤3，解得－1≤x≤4， 所以函数f(x－1)的定义域为[－1，4]. eq \a\vs4\al([思维升华]) 函数的含义及判断两个函数是 同一个函数的方法 (1)函数概念中有两个要求：①A，B是非空的实数集；②第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应． (2)两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数．　 　[即时训练] (1)下列各组函数表示同一个函数的是(　　) A．f(x)＝ eq \r(x2)，g(x)＝( eq \r(x))2 B．f(x)＝ eq \f(1,x)－1，g(x)＝ eq \f(1,x－1) C．f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x，x≥0，,－x，x<0，))g(t)＝|t| 答案　C 解析　对于A，f(x)＝ eq \r(x2)的定义域为R，g(x)＝( eq \r(x))2的定义域为[0，＋∞)，不是同一个函数；对于B，f(x)的定义域为{x|x≠0}，g(x)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数；对于C，两个函数的定义域、对应关系均相同，是同一个函数；对于D，f(x)＝x＋1的定义域为R，g(x)＝ eq \f(x2－1,x－1)的定义域为{x|x≠1}，不是同一个函数． (2)(2025·承德模拟)若函数f(x)的定义域为[－2，4]，则函数y＝ eq \f(f(2x),x－1)的定义域为(　　) A．(1，8]　　　　　B．[－4，1)∪(1，8] C．(1，2] D．[－1，1)∪(1，2] 答案　D 解析　由题意得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－2≤2x≤4，,x－1≠0，)) 解得－1≤x≤2且x≠1. 题型二　函数的解析式 [例2]　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式； (2)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋ eq \f(1,x4)，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式． 解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0，2]， 则sin x＝1－t， ∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x， ∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0，2]. 即f(x)＝2x－x2(0≤x≤2). (2)(配凑法)f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝x4＋ eq \f(1,x4)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2))) eq \s\up12(2)－2， 又x2＋ eq \f(1,x2)≥2 eq \r(x2·\f(1,x2))＝2， 当且仅当x2＝ eq \f(1,x2)，即x＝±1时等号成立． 设t＝x2＋ eq \f(1,x2)， 则t≥2，∴f(t)＝t2－2(t≥2)， ∴f(x)＝x2－2(x≥2). (3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数， ∴可设f(x)＝ax＋b(a≠0)， ∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17， 即ax＋(5a＋b)＝2x＋17， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，, 5a＋b＝17，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝7.)) ∴f(x)＝2x＋7(x∈R). 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) 函数解析式的求法：(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法． 　[即时训练] (1)若f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝ eq \f(x,1－x)，则f(x)＝________． 答案　 eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1) 解析　f(x)＝ eq \f(\f(1,x),1－\f(1,x))＝ eq \f(1,x－1)(x≠0且x≠1). (2)(2025·深圳外国语学校质检)写出一个满足：f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy 的函数解析式为________． 答案　f(x)＝x2 解析　f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy 中，令x＝y＝0，解得f(0)＝0， 令y＝－x 得f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－2x2，故f(x)＋f(－x)＝2x2， 不妨设f(x)＝x2，满足要求． 题型三　分段函数 [例3]　(1)(多选)(2025·佛山模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1，))则下列关于函数f(x)的结论正确的是(　　) A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(－∞，4] C．若f(x)＝2，则x的值是－ eq \r(2) D．f(x)<1的解集为(－1，1) 答案　BC 解析　函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2，－2≤x<1，,－x＋2，x≥1))的定义域是[－2，＋∞)，故A错误； 当－2≤x<1时，f(x)＝x2，值域为[0，4]，当x≥1时，f(x)＝－x＋2，值域为(－∞，1]，故f(x)的值域为(－∞，4]，故B正确； 当x≥1时，令f(x)＝－x＋2＝2，无解，当－2≤x<1时，令f(x)＝x2＝2，解得x＝－ eq \r(2)，故C正确； 当－2≤x<1时，令f(x)＝x2<1，解得x∈(－1，1)，当x≥1时，令f(x)＝－x＋2<1，解得x∈(1，＋∞)，故f(x)<1的解集为(－1，1)∪(1，＋∞)，故D错误． (2)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2－3x＋2，x<－1，,2x-3，x≥－1，))若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________________． 答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞) 解析　若f(a)＝4， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<－1，,－a2－3a＋2＝4))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a-3＝4，)) 解得a＝－2或a＝5. 若f(a)≥2， 则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a<－1，,－a2－3a＋2≥2))或 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a≥－1，,2a-3≥2，)) 解得－3≤a<－1或a≥4， ∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞). eq \a\vs4\al([思维升华]) 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．　 　[即时训练] (1)(2025·北京模拟)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x2－x＋\f(3,2)，x≤a，,－2x，x>a)) 无最大值，则实数a 的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(－1，0) C．(0，＋∞) D．(－∞，－1) 答案　D 解析　由题可知，当x≤a 时，f(x)＝－ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2)，其对称轴为x＝－1， 当a≥－1 时，函数f(x)＝－ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2) 有最大值为f(－1)＝2， 当a<－1 时，函数f(x)＝－ eq \f(1,2)x2－x＋ eq \f(3,2) 有最大值为f(a)＝－ eq \f(1,2)a2－a＋ eq \f(3,2)， 当x>a 时，f(x)＝－2x，在(a，＋∞)单调递减，故f(x)<f(a)＝－2a， 因为函数f(x)无最大值，故当a≥－1 时，需满足2<－2a，解得a<－1，不符合题意， 当a<－1 时，需满足－ eq \f(1,2)a2－a＋ eq \f(3,2)<－2a，解得a<－1，或a>3 (舍去). 综上，实数a的取值范围是(－∞，－1).故选D. (2)(多选)已知函数f(x)＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋2，x<1，,－x2＋3，x≥1，))则(　　) A．f(f( eq \r(3)))＝3 B．若f(x)＝－1，则x＝2或x＝－3 C．f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞) D．若∀x∈R，a>f(x)，则a≥3 答案　BCD 解析　对于A，因为f( eq \r(3))＝－( eq \r(3))2＋3＝0，所以f(f( eq \r(3)))＝f(0)＝2，所以A错误；对于B，当x<1时，由f(x)＝－1，得x＋2＝－1，解得x＝－3，当x≥1时，由f(x)＝－1，得－x2＋3＝－1，x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)，综上，x＝2或x＝－3，所以B正确；对于C，当x<1时，由f(x)<2，得x＋2<2，解得x<0，当x≥1时，由f(x)<2，得－x2＋3<2，解得x>1，综上，f(x)<2的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)，所以C正确；对于D，当x<1时，x＋2<3，当x≥1时，－x2＋3≤2，所以f(x)的值域为(－∞，3)，因为 ∀x∈R，a>f(x)，所以a≥3，所以D正确． $$