第1章 第6节 一元二次方程、不等式(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 　第六节　一元二次方程、不等式 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 × √ × × 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 课时 作业（六） 点击进入word 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式.2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数以及解一元二次不等式.3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法． 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ eq \f(b,2a) 没有实数根 不等式的解集 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))) R {x|x<x1或x>x2} 2.分式不等式与整式不等式 (1) eq \f(f(x),g(x))>0(<0) ⇔ ； (2) eq \f(f(x),g(x))≥0(≤0) ⇔ ． 3．简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为 ，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). f(x)g(x)>0(<0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0 (－∞，－a)∪(a，＋∞) 【常用结论】 1．一元二次不等式恒成立问题 (1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a>0且Δ<0； (2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立⇔a<0且Δ<0； (3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形． 2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，求解时不要忘记a＝0时的情形． 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.(　 　) (2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.(　 　) (3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.(　 　) (4)不等式 eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.(　 　) 2．已知A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B＝__________． 答案　R 解析　已知A＝{x|x2－16<0}＝{x|－4<x<4}，B＝{x|x2－4x＋3>0}＝{x|x<1或x>3}，则A∪B＝R. 3．若不等式2kx2＋kx－ eq \f(3,8)<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为__________． 答案　(－3，0] 解析　当k＝0时，满足题意； 当k≠0时， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k<0，,Δ＝k2－4×2k×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,8)))<0，)) 解得－3<k<0， 所以－3<k≤0. 4．已知不等式ax2＋bx＋1>0 的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，则不等式bx2－5x－a≤0的解集为__________． 答案　 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－6))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)) 解析　由不等式ax2＋bx＋1>0的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))， 可知－ eq \f(1,2)， eq \f(1,3)是ax2＋bx＋1＝0 的两根，且a<0， 故－ eq \f(1,2)＋ eq \f(1,3)＝－ eq \f(b,a)，－ eq \f(1,2)× eq \f(1,3)＝ eq \f(1,a)，则a＝－6，b＝－1， 故bx2－5x－a≤0 即－x2－5x＋6≤0， 即x2＋5x－6≥0，解得x≤－6 或x≥1， 故不等式bx2－5x－a≤0 的解集为 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－6))∪ eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)). 题型一　求解一元二次不等式 命题点1　不含参的不等式 [例1]　(多选)下列选项中，正确的是(　　) 答案　ABD 解析　因为方程x2＋x－2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式x2＋x－2>0的解集为{x|x<－2或x>1}，故A正确； 因为 eq \f(2x＋1,x－2)－1≤0，即 eq \f(x＋3,x－2)≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1，解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由 eq \f(x＋4,x－5)<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“ eq \f(x＋4,x－5)<0”的充分不必要条件，故D正确． 命题点2　含参数的不等式 [例2]　(2025·呼和浩特质检)已知二次函数f(x)＝x2－ax－2a2，a∈R. (1)若f(1)<0，求实数a的取值范围； (2)求关于x的不等式f(x)>0的解集． 解　(1)由已知得f(1)＝1－a－2a2<0， 即(a＋1)(2a－1)>0， 解得a<－1或a> eq \f(1,2). 所以实数a的取值范围为(－∞，－1)∪ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)). (2)f(x)＝x2－ax－2a2＝(x－2a)(x＋a)>0， 令f(x)＝0，得x1＝2a，x2＝－a， 当2a<－a，即a<0时，解得x<2a或x>－a； 当2a＝－a，即a＝0时，解得x≠0， 当2a>－a，即a>0时，解得x<－a或x>2a. 综上所述，当a<0时， 解集为(－∞，2a)∪(－a，＋∞)； 当a＝0时，解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a>0时，解集为(－∞，－a)∪(2a，＋∞). [即时训练] (2025·江西新余质检)设f(x)＝ax2＋(1－a)x＋a－2. (1)若不等式f(x)≥－2 对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式f(x)<a－1(a∈R). 解　(1) ∀ x∈R，f(x)≥－2 恒成立等价于∀ x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0， 当a＝0 时，x≥0，对一切实数x 不恒成立，则a≠0， 此时必有 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝(1－a)2－4a2≤0，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a>0，,3a2＋2a－1≥0，))解得a≥ eq \f(1,3)， 所以实数a 的取值范围是 eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)). (2)依题意， f(x)<a－1，可化为ax2＋(1－a)x－1<0. 当a＝0 时，可得x<1. 当a>0 时，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)<0，又－ eq \f(1,a)<1， 解得－ eq \f(1,a)<x<1. 当a<0 时，不等式ax2＋(1－a)x－1<0 可化为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,a)))(x－1)>0， 当a＝－1 时，－ eq \f(1,a)＝1，解得x≠1. 当－1<a<0 时，－ eq \f(1,a)>1，解得x<1 或x>－ eq \f(1,a). 当a<－1 时，0<－ eq \f(1,a)<1，解得x<－ eq \f(1,a) 或x>1. 所以，当a>0 时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,a)<x<1))； 当a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<1}； 当－1<a<0 时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<1 或x>－\f(1,a)))；　 当a＝－1 时，原不等式的解集为{x∈R|x≠1}； 当a<－1 时，原不等式的解集为 eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(1,a) 或x>1)).　 题型二　三个二次之间的关系 [例3]　(1)(多选)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|x≤－3 或x≥4}，则下列说法中正确的是(　　) A．a>0　 B．不等式bx＋c>0 的解集为{x|x<－12} C.a＋b＋c>0　 D．不等式cx2－bx＋a<0 的解集为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4))))) 或 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,3))) 答案　ABD 解析　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0 的解集为{x|x≤－3 或x≥4}， 所以a>0 且方程ax2＋bx＋c＝0 的根为－3，4，故A正确； 则－ eq \f(b,a)＝1， eq \f(c,a)＝－12，所以b＝－a，c＝－12a， 所以a＋b＋c＝－12a<0，故C错误； 则不等式bx＋c>0 即为不等式－ax－12a>0，解得x<－12， 所以不等式bx＋c>0 的解集为{x|x<－12}，故B正确； 不等式cx2－bx＋a<0 即为不等式－12ax2＋ax＋a<0， 即为12x2－x－1>0，解得x> eq \f(1,3) 或x<－ eq \f(1,4)， 所以不等式cx2－bx＋a<0 的解集为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\co1(x<－\f(1,4))))) 或 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,3)))，故D正确．故选ACD. (2)(2025·西安质检)已知关于x 的方程x2＋kx＋k2＋k－2＝0 有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为________． 答案　－2<x<－1 解析　关于x的方程x2＋kx＋k2＋k－2＝0 有两个实数根， 且一根大于2，一根小于2， 构造函数f(x)＝x2＋kx＋k2＋k－2， ∵一根大于2，一根小于2，∴f(2)<0， ∴4＋2k＋k2＋k－2<0，解得－2<x<－1. 故k的取值范围是－2<x<－1. eq \a\vs4\al([微拓展]) 一元二次方程根的分布 解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解． (1)判别式Δ的符号． (2)对称轴x＝－ eq \f(b,2a)与所给区间的位置关系． (3)区间端点处函数值的符号．　 典例　已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0. (1)若方程有两个不相等的实数根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求实数m的取值范围； (2)若方程的两个不相等的实数根均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围． 解　(1)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(0)＝2m＋1<0，,f(－1)＝2>0，,f(1)＝4m＋2<0，,f(2)＝6m＋5>0，)) 即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<－\f(1,2)，,m∈R，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6)，)) 解得－ eq \f(5,6)<m<－ eq \f(1,2). 故实数m的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,6)，－\f(1,2))). (2)依题意知，函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图， 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(0)>0，,f(1)>0，,Δ>0，,0<－m<1，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，,m>1＋\r(2)或m<1－\r(2)，,－1<m<0，)) 得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(f(0)>0，,f(1)>0，,Δ>0，,0<－m<1，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m>－\f(1,2)，,m>－\f(1,2)，,m>1＋\r(2)或m<1－\r(2)，,－1<m<0，)) 解得－ eq \f(1,2)<m<1－ eq \r(2). 故实数m的取值范围为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1－\r(2))). eq \a\vs4\al([思维升华]) 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数．注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负．　 　[即时训练] (1)(2025·西安质检)若一元二次方程kx2＋3kx＋k－3＝0 的两不等实根都是负数，则实数k 的取值范围为__________． 答案　k＜－ eq \f(12,5) 或k>3 解析　首先k≠0，设方程kx2＋3kx＋k－3＝0 的两根为x1，x2，则x1<0，x2<0⇔ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＋x2<0，,x1x2>0，))所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(Δ＝9k2－4k(k－3)>0，,－\f(3k,k)<0，,\f(k－3,k)>0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k(5k＋12)>0，,－3<0，,k>3或k<0，)) 又k≠0，解得k<－ eq \f(12,5) 或k>3. (2)已知方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0 的两根分别在区间(0，1)，(1，3)之内，则实数a 的取值范围为______． 答案　(0，1) 解析　∵方程x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)＝0⇒(x－a)[x－(a＋1)]＝0， ∴方程两根为x1＝a，x2＝a＋1， 若要满足题意，则 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<a<1，,1<a＋1<3，))解得0<a<1. 题型三　一元二次不等式恒成立问题 [例4]　设函数f(x)＝mx2－mx－1. (1)若对一切实数x，f(x)<0恒成立，求实数m的取值范围； (2)若对一切x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围． 解　(1)由已知得，mx2－mx－1<0对一切实数x恒成立， 当m＝0时，－1<0恒成立，符合题意； 当m≠0时，只需 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋4m<0，)) 解得－4<m<0， 综上所述，－4<m≤0，即m的取值范围是(－4，0]. (2)由已知得，mx2－mx－1<－m＋5对一切x∈[1，3]恒成立， 即m(x2－x＋1)<6对一切x∈[1，3]恒成立， ∵x2－x＋1＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(3,4)>0， ∴m< eq \f(6,x2－x＋1)对一切x∈[1，3]恒成立， 令g(x)＝x2－x＋1，则只需m< eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,g(x)))) eq \s\do7(min)即可， 而g(x)在x∈[1，3]上单调递增， ∴g(x)∈[1，7]， ∴ eq \f(6,g(x))∈ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,7)，6))， ∴m< eq \f(6,7)， ∴实数m的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(6,7))). eq \a\vs4\al([思维升华]) 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数． (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．　 　[即时训练] 已知函数f(x)＝x2－3x＋a. (1)若f(x)>0在x∈R上恒成立，求实数a的取值范围； (2)若f(x)<0在x∈(－1，2)上恒成立，求实数a的取值范围． 解　(1)f(x)＝x2－3x＋a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋a－ eq \f(9,4)， 则f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝a－ eq \f(9,4)， f(x)>0在x∈R上恒成立， 即f(x)min＝a－ eq \f(9,4)>0，故a> eq \f(9,4). 故实数a的取值范围是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，＋∞)). (2)f(x)＝x2－3x＋a＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋a－ eq \f(9,4)， f(x)在[－1，2]上的最大值为f(x)max＝f(－1)＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(3,2))) eq \s\up12(2)＋a－ eq \f(9,4)＝4＋a， 故f(x)在x∈(－1，2)上满足f(x)<4＋a， 故4＋a≤0，解得a≤－4. 故实数a的取值范围是(－∞，－4]. $$