第1章 第4节 基本不等式(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 　第四节　基本不等式 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 a>0，b>0 a＝b 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 × × √ × 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 课时 作业（四） 点击进入word 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.了解基本不等式的推导过程.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 1．基本不等式： eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件： ． (2)等号成立的条件：当且仅当 时，等号成立． (3)其中 eq \f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数， eq \r(ab) 叫做正数a，b的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2 eq \r(P). (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值 eq \f(1,4)S2. 注意：利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”． 【常用结论】 　几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R). (2) eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2(a，b同号). (3)ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2) (a，b∈R). (4) eq \f(a2＋b2,2)≥ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)(a，b∈R). 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)不等式ab≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)与 eq \r(ab)≤ eq \f(a＋b,2)等号成立的条件是相同的．(　 　) (2)y＝x＋ eq \f(1,x)的最小值是2.(　 　) (3)若x>0，y>0且x＋y＝xy，则xy的最小值为4.(　 　) (4)函数y＝sin x＋ eq \f(4,sin x)，x∈ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))的最小值为4.(　 　) 2．若函数f(x)＝x＋ eq \f(1,x－2)(x>2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋ eq \r(2)　　　　　　B．1＋ eq \r(3) C．3 D．4 答案　C 解析　当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋ eq \f(1,x－2)＋2≥2 eq \r((x－2)·\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝ eq \f(1,x－2)(x>2)，即x＝3时，取等号，即当f(x)取得最小值时x＝3，即a＝3. 3．下列不等式恒成立的是(　　) A．x＋ eq \f(1,x)≥2 B．a＋b≥2 eq \r(ab) C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ eq \f(a2＋b2,2) D．a2＋b2≥2ab 答案　D 解析　对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误； 对于B选项，a＋b≥2 eq \r(ab)成立的条件为a≥0，b≥0，故错误； 对于C选项，当a＝－b≠0时，不等式显然不成立，故错误； 对于D选项，由于a2＋b2－2ab＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))2≥0，故a2＋b2≥2ab，正确．故选D. 4．若x>0，则x＋ eq \f(4,x＋1)的最小值为________． 答案　3 解析　因为x>0，由基本不等式得：x＋ eq \f(4,x＋1)＝x＋1＋ eq \f(4,x＋1)－1≥2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))·\f(4,x＋1))－1＝3， 当且仅当x＋1＝ eq \f(4,x＋1)，且x>0，即x＝1时等号成立． 题型一　直接法求最值 [例1]　(1)(多选)(2025·广州质检)以下结论正确的是(　　) 答案　BD 解析　A．对于函数y＝ eq \f((x＋1)2,x)，当x<0时，y<0，所以A选项错误； B．由于ab>0，所以 eq \f(b,a)>0， eq \f(a,b)>0， 所以 eq \f(b,a)＋ eq \f(a,b)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，当且仅当 eq \f(b,a)＝ eq \f(a,b)，a2＝b2时等号成立，所以B选项正确； C．x2＋3＋ eq \f(1,x2＋2)＝x2＋2＋ eq \f(1,x2＋2)＋1≥2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋2))·\f(1,x2＋2))＋1＝3， 但x2＋2＝ eq \f(1,x2＋2)无解，所以等号不成立，所以C选项错误； D．由于x<0，所以y＝2＋x＋ eq \f(1,x)＝2－ eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))＋\f(1,－x)))≤2－2 eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x))·\f(1,－x))＝0， 当且仅当－x＝ eq \f(1,－x)，x＝－1时等号成立，所以D选项正确．故选BD. (2)已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________． 答案　3 解析　由已知，得12＝4x＋3y≥2 eq \r(4x·3y)， 即12≥2 eq \r(4x·3y)， 解得xy≤3(当且仅当4x＝3y时取等号). eq \a\vs4\al([思维升华]) 对基本不等式的准确掌握要抓住以下三个方面：一正：符合基本不等式 eq \f(a＋b,2)≥ eq \r(ab) 成立的前提条件为a>0，b>0；二定：不等式的一边转换为定值；三相等：必须存在取等号的条件，即等号成立．以上三点缺一不可．　 　[即时训练] (1)下列函数中最小值为4的是(　　) A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝2x＋22-x C．y＝|sin x|＋ eq \f(4,|sin x|) D．y＝ln x＋ eq \f(4,ln x) 答案　B 解析　对于y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3， 当x＝－1时，函数的最小值为3，故A错误； y＝2x＋22-x＝2x＋ eq \f(4,2x)≥2 eq \r(2x·\f(4,2x))＝4，当且仅当x＝1时取等号，故B正确； y＝|sin x|＋ eq \f(4,|sin x|)≥2 eq \r(|sin x|·\f(4,|sin x|))＝4，当且仅当|sin x|＝ eq \f(4,|sin x|)时取等号， 由于|sin x|＝ eq \f(4,|sin x|)时，|sin x|＝2， 根据正弦函数性质可知|sin x|＝2不成立， 故y＝|sin x|＋ eq \f(4,|sin x|)≥4取不到等号，故C错误； 对于y＝ln x＋ eq \f(4,ln x)，由于ln x可能小于0， 即y＝ln x＋ eq \f(4,ln x)的函数值可能为负值，故其最小值为4不成立，故D错误． (2)已知函数y＝ eq \f(－3x2＋2x－4,x)(x>0)，则y的最大值为(　　) A．2＋4 eq \r(3)　　　　　　B．2 C．2－4 eq \r(3) D．4 eq \r(3) 答案　C 解析　函数y＝ eq \f(－3x2＋2x－4,x)＝－3x－ eq \f(4,x)＋2＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))＋2， ∵x>0，∴3x＋ eq \f(4,x)≥2 eq \r(3x·\f(4,x))＝4 eq \r(3)， 当且仅当3x＝ eq \f(4,x)，即x＝ eq \f(2\r(3),3)时，等号成立， 故y＝－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(4,x)))＋2≤－4 eq \r(3)＋2， 则y的最大值为2－4 eq \r(3). 题型二　配凑法求最值 [例2]　(1)已知函数y＝x＋ eq \f(4,x－2)(x>2)，则此函数的最小值等于(　　) A． eq \f(4\r(x),\r(x－2)) B． eq \f(2\r(x),\r(x－2)) C．4 D．6 答案　D 解析　∵x>2，∴x－2>0， ∴y＝x＋ eq \f(4,x－2)＝x－2＋ eq \f(4,x－2)＋2≥2 eq \r((x－2)·\f(4,x－2))＋2＝6(当且仅当x－2＝ eq \f(4,x－2)， 即x＝4时取等号)， ∴y＝x＋ eq \f(4,x－2)(x>2)的最小值为6. (2)当0<x<4时，则y＝x(8－2x)的最大值为________． 答案　8 解析　因为y＝x(8－2x)＝ eq \f(1,2)[2x·(8－2x)]≤ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x＋8－2x,2))) eq \s\up12(2)＝8， 当且仅当2x＝8－2x，即x＝2时，等号成立， 所以y＝x(8－2x)的最大值为8. eq \a\vs4\al([思维升华]) 配凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形配凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．　 　[即时训练] (1)(2025·沈阳质检)已知0<x< eq \f(1,2)，则函数y＝x(1－2x)的最大值是(　　) A． eq \f(1,2) B． eq \f(1,4) C． eq \f(1,8) D． eq \f(1,9) 答案　C 解析　∵0<x< eq \f(1,2)，∴1－2x>0 ， ∴x(1－2x)＝ eq \f(1,2)×2x(1－2x)≤ eq \f(1,2)× eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2x＋(1－2x),2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,8)， 当且仅当2x＝1－2x 时，即x＝ eq \f(1,4)时等号成立， 因此，函数y＝x(1－2x)， eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))的最大值为 eq \f(1,8)，故选C. (2)已知正数x，y满足x＋2y＝2，则xy的最大值为(　　) A．2 B．1 C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,4) 答案　C 解析　因为正数x，y满足x＋2y＝2， 所以xy＝ eq \f(1,2)x·(2y)≤ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,2)， 当且仅当x＝2y，即x＝1，y＝ eq \f(1,2)时取等号， 所以xy的最大值为 eq \f(1,2). 题型三　常数代换法求最值 [例3]　(1)(2025·河南联考)已知正实数a，b满足2a＋b－9ab＝0，则a＋2b的最小值为(　　) A．3 B．1 C．9 D． eq \f(1,3) 答案　B 解析　因为2a＋b－9ab＝0，变形得 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝9. 由题意a＋2b＝ eq \f((a＋2b)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b))),9)＝ eq \f(5＋\f(2b,a)＋\f(2a,b),9)≥ eq \f(5＋2\r(4),9)＝1，当且仅当 eq \f(2b,a)＝ eq \f(2a,b)，即a＝b＝ eq \f(1,3)时，等号成立．故选B. 延伸探究　已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为________ 答案　72 解析　∵8a＋4b＝ab，a>0，b>0，∴ eq \f(8,b)＋ eq \f(4,a)＝1， ∴8a＋b＝(8a＋b) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,b)＋\f(4,a)))＝ eq \f(64a,b)＋ eq \f(4b,a)＋40≥2 eq \r(\f(64a,b)·\f(4b,a))＋40＝72， 当且仅当 eq \f(64a,b)＝ eq \f(4b,a)，即a＝6，b＝24时取等号． (2)(2025·太原模拟)已知非负实数a，b满足a＋b＝1，则 eq \f(1,a＋1)＋ eq \f(1,b＋2)的最小值为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　因为非负实数a，b满足a＋b＝1， 所以(a＋1)＋(b＋2)＝4， 所以 eq \f(1,4)[(a＋1)＋(b＋2)]＝1， 所以 eq \f(1,a＋1)＋ eq \f(1,b＋2) ＝ eq \f(1,4)[(a＋1)＋(b＋2)] eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a＋1)＋\f(1,b＋2))) ＝ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b＋2,a＋1)＋\f(a＋1,b＋2)))≥ eq \f(1,4) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2\r(\f(b＋2,a＋1)＋\f(a＋1,b＋2))))＝1. 当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(b＋2,a＋1)＝\f(a＋1,b＋2)，,a＋b＝1，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝0))时取等号． 综上， eq \f(1,a＋1)＋ eq \f(1,b＋2)的最小值为1. eq \a\vs4\al([思维升华]) 常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．　 　[即时训练] (1)若m>0，n>0且m＋n＝2，则 eq \f(4,m)＋ eq \f(1,n)的最小值是(　　) A．2 B． eq \f(5,2) C．3 D． eq \f(9,2) 答案　D 解析　因为m>0，n>0且m＋n＝2， 所以 eq \f(4,m)＋ eq \f(1,n)＝ eq \f(1,2)(m＋n) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,m)＋\f(1,n))) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(m,n)＋\f(4n,m)＋1))≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋2\r(\f(m,n)·\f(4n,m)))) ＝ eq \f(9,2)， 当且仅当 eq \f(m,n)＝ eq \f(4n,m)，即m＝ eq \f(4,3)，n＝ eq \f(2,3)时，等号成立． (2)已知a> eq \f(1,4)，b> eq \f(1,2)，且2a＋b＝2，则 eq \f(1,4a－1)＋ eq \f(1,2b－1)的最小值是(　　) A．1 B． eq \f(4,3) C．2 D． eq \f(5,2) 答案　C 解析　因为2a＋b＝2， 所以(4a－1)＋(2b－1)＝2， 则 eq \f(1,4a－1)＋ eq \f(1,2b－1)＝ eq \f(1,2)[(4a－1)＋(2b－1)]· eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4a－1)＋\f(1,2b－1)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2b－1,4a－1)＋\f(4a－1,2b－1)＋2))≥2，当且仅当 eq \f(2b－1,4a－1)＝ eq \f(4a－1,2b－1)， 即a＝ eq \f(1,2)，b＝1时，等号成立． 题型四　构造不等式法求最值 [例4]　(1)若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为(　　) A．9 B．6 C．3 D．12 答案　A 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2 eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≥2 eq \r(ab)＋3，整理可得ab－2 eq \r(ab)－3≥0， 解得 eq \r(ab)≥3或 eq \r(ab)≤－1(舍去). 所以 eq \r(ab)≥3，所以ab≥9.所以当a＝b＝3时，ab的最小值为9. 延伸探究　若a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则a＋b的最小值为________． 答案　6 解析　因为a>0，b>0，所以a＋b≥2 eq \r(ab)，当且仅当a＝b时，等号成立． 又ab＝a＋b＋3，所以ab＝a＋b＋3≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2))) eq \s\up12(2)，整理可得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0， 解得a＋b≥6或a＋b≤－2(舍去) 所以当a＝b＝3时，a＋b的最小值为6. (2)若实数a，b满足 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝ eq \r(ab)，则ab的最小值为(　　) A．2 eq \r(2) B．2 C．3 eq \r(2) D．3 答案　A 解析　∵实数a，b满足 eq \f(1,a)＋ eq \f(2,b)＝ eq \r(ab)，∴a>0，b>0，且 eq \r(ab)≥2 eq \r(\f(1,a)·\f(2,b))，解得ab≥2 eq \r(2)， 当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＝\f(2,b)，,ab＝2\r(2)，))即a＝ eq \r(4,2)，b＝2 eq \r(4,2)时取等号．则ab的最小值为2 eq \r(2). eq \a\vs4\al([思维升华]) 若已知“和与积”的等式关系，求“和与积”的最值，可利用“公式”转化为解不等式求最值．　 　[即时训练] (1)若正数x，y满足x＋y－2xy＝0，则x＋y的最小值为(　　) A．4 B．1 C．5 D．2 答案　D 答案　D 解析　法一：由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 又x>0，y>0，xy≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2))) eq \s\up12(2)， 所以x＋y≤ eq \f((x＋y)2,2)，解得x＋y≥2， 当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 法二：由x＋y－2xy＝0，得x＋y＝2xy， 所以 eq \f(1,y)＋ eq \f(1,x)＝2， 则x＋y＝ eq \f(1,2)(x＋y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,y)＋\f(1,x))) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(y,x)＋2))≥ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(x,y)·\f(y,x))＋2))＝2， 当且仅当 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＝\f(y,x)，,x＋y－2xy＝0，))即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))时，等号成立． (2)(多选)已知x>0，y>0，x＋2y＝1，则(　　) A．xy的最大值为 eq \f(1,8) B． eq \f(1,x＋y)的最大值为 eq \f(4,3) C． eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)的最小值为4 eq \r(2) D．x2＋y2的最小值为 eq \f(1,5) 答案　AD 解析　x＋2y＝1≥2 eq \r(2) eq \r(xy)，即xy≤ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(2)))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(1,8) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝2y＝\f(1,2)时取等号))，故A正确； 当x＝ eq \f(1,5)，y＝ eq \f(2,5)时， eq \f(1,x＋y)＝ eq \f(5,3)> eq \f(4,3)，故B错误； eq \f(1,x)＋ eq \f(1,y)＝(x＋2y) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs2\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))＝3＋ eq \f(2y,x)＋ eq \f(x,y)≥3＋2 eq \r(2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当x＝\r(2)－1，y＝\f(2－\r(2),2)时取等号))，故C错误； x2＋y2＝(1－2y)2＋y2＝5y2－4y＋1＝5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(2,5))) eq \s\up12(2)＋ eq \f(1,5)，当x＝ eq \f(1,5)，y＝ eq \f(2,5)时，x2＋y2取最小值 eq \f(1,5)，故D正确． $$