第1章 第3节 等式性质与不等式性质(课件PPT)-【金榜题名】2026年高考数学一轮总复习

第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 　第三节　等式性质与不等式性质 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 目录 contents Part 01 夯实·必备知识 研磨·高考题型 Part 02 课时作业 Part 03 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 夯实·必备知识 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 ＞ ＝ ＜ 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 ＝ ＝ 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 b<a a>c ac>bc ac<bc a＋c>b＋d ac>bd 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 √ × × × 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 研磨·高考题型 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 课时 作业（三） 点击进入word 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 谢谢观看 第一章　集合与常用逻辑用语、复数、不等式 高考总复习 数学 返回目录 [课标要求]　1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用． 1．两个实数比较大小的依据 (1)作差法 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b＞0⇔a__b；,a－b＝0⇔a__b；（a，b∈R）,a－b＜0⇔a__b.)) 2．等式的性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a c； 性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么 eq \f(a,c)＝ eq \f(b,c). 3．不等式的性质 性质1　对称性：a>b⇔ ； 性质2　传递性：a>b，b>c⇒ ； 性质3　可加性：a>b⇔a＋c>b＋c； 性质4　可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ； 性质5　同向可加性：a>b，c>d⇒ ； 性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ； 性质7　同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2). 【常用结论】 　不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒ eq \f(1,a)< eq \f(1,b)； ②a<b<0⇒ eq \f(1,a)> eq \f(1,b)； ③a>b>0，0<c<d⇒ eq \f(a,c)> eq \f(b,d)； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒ eq \f(1,b)< eq \f(1,x)< eq \f(1,a). (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 eq \f(b,a)< eq \f(b＋m,a＋m)， eq \f(b,a)> eq \f(b－m,a－m)(b－m>0)； ②假分数的性质 eq \f(a,b)> eq \f(a＋m,b＋m)， eq \f(a,b)< eq \f(a－m,b－m)(b－m>0). 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种．(　 　) (2)若 eq \f(b,a)>1，则b>a.(　 　) (3)同向不等式具有可加性和可乘性．(　 　) (4)若 eq \f(1,a)> eq \f(1,b)，则b<a.(　 　) 2．已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A．ln a<ln b　　　 　B． eq \f(1,a)> eq \f(1,b) C．a2<b2 D．a3<b3 答案：D 解析　对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时， eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确． 3．已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示成一个不等式为________． 答案　 eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m) 解析　 eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m). 证明： eq \f(a,b)－ eq \f(a＋m,b＋m)＝ eq \f(a(b＋m)－b(a＋m),b(b＋m))＝ eq \f(m(a－b),b(b＋m))， ∵b>a>0，m>0，∴a－b<0， ∴ eq \f(m(a－b),b(b＋m))<0，∴ eq \f(a,b)< eq \f(a＋m,b＋m). 4．已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________． 答案　(－2，1) 解析　因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1. 题型一　数(式)的大小比较 [例1]　(1)(多选)(2025·长春模拟)若m>n>0>p，m＋p≠0，则(　　) A． eq \f(p,m)> eq \f(p,n)　 　 　　B．m2－p2>0 C． eq \f(1,m＋n)> eq \f(1,m＋p) D．m2－n>n2－m 答案　AD 解析　对于A：由题意可得 eq \f(1,m)< eq \f(1,n)，因为p<0，所以 eq \f(p,m)> eq \f(p,n)，故A正确； 对于B：当m＝2，p＝－3时，满足已知条件，但m2－p2<0，故B错误； 对于C：当m＝3，n＝2，p＝－1时，满足已知条件，但 eq \f(1,m＋n)< eq \f(1,m＋p)，故C错误； 对于D：m2－n－(n2－m)＝m2－n2＋m－n＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋n＋1))，因为m>n>0，可得 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－n)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋n＋1))>0，所以m2－n>n2－m，故D正确．故选AD. (2)已知c>1，且x＝ eq \r(c＋1)－ eq \r(c)，y＝ eq \r(c)－ eq \r(c－1)，则x，y之间的大小关系是(　　) A．x>y B．x＝y C．x<y D．x，y的关系随c而定 答案　C 解析　由题设，易知x，y>0， 又 eq \f(x,y)＝ eq \f(\r(c＋1)－\r(c),\r(c)－\r(c－1))＝ eq \f(\r(c)＋\r(c－1),\r(c＋1)＋\r(c))<1，∴x<y. eq \a\vs4\al([思维升华]) 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.　 　[即时训练] (1)设t＝a－4b，s＝a＋b2＋4，则t与s的大小关系是(　　) A．s≥t B．s>t C．s≤t D．s<t 答案　A 解析　因为s－t＝a＋b2＋4－(a－4b)＝b2＋4b＋4＝(b＋2)2≥0， 所以s≥t. (2)已知M＝ eq \f(e2023＋1,e2024＋1)，N＝ eq \f(e2024＋1,e2025＋1)，则M，N的大小关系为________． 答案　M >N 解析　法一：∵M－N＝ eq \f(e2023＋1,e2024＋1)－ eq \f(e2024＋1,e2025＋1) ＝ eq \f((e2023＋1)(e2025＋1)－(e2024＋1)2,(e2024＋1)(e2025＋1)) ＝ eq \f(e2023＋e2025－2e2024,(e2024＋1)(e2025＋1)) ＝ eq \f(e2023(e－1)2,(e2024＋1)(e2025＋1))>0. ∴M >N. 法二：令f(x)＝ eq \f(ex＋1,ex+1＋1) ＝ eq \f(\f(1,e)(ex+1＋1)＋1－\f(1,e),ex+1＋1)＝ eq \f(1,e)＋ eq \f(1－\f(1,e),ex+1＋1)， 显然f(x)是R上的减函数， ∴f(2 023)>f(2 024)，即M >N. 题型二　不等式的基本性质 [例2]　(1)(2025·滨州质检)若实数a，b满足a<b<0，则(　　) A．a＋b>0 B．a－b<0 C．|a|<|b| D． eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))> eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b))) 答案　B 解析　由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误； 由a<b<0，可得a－b<0，故B正确； 由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误； 由a<b<0，可得|a|>|b|>0， 所以 eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))< eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<，故D错误． (2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是(　　) A．若a>b，则ac2>bc2 B．若a>b，则a＋c>b＋c C．若a>b>c>0，则 eq \f(a,b)> eq \f(a＋c,b＋c) D．若a>b>c>0，则 eq \f(b,a－b)> eq \f(c,a－c) 答案　BCD 解析　当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误； 由不等式的可加性可知，B正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0， ∴ eq \f(a,b)－ eq \f(a＋c,b＋c)＝ eq \f(a(b＋c)－b(a＋c),b(b＋c))＝ eq \f(c(a－b),b(b＋c))>0， ∴ eq \f(a,b)> eq \f(a＋c,b＋c)，故C正确； 若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b， ∴ eq \f(1,a－b)> eq \f(1,a－c)>0， 又b>c>0， 由可乘性知， eq \f(b,a－b）)> eq \f(c,a－c)，故D正确． 　 eq \a\vs4\al([思维升华]) 判断不等式的常用方法 (1)利用不等式的性质逐个验证． (2)利用特殊值法排除错误选项． (3)作差法． (4)构造函数，利用函数的单调性． 　[即时训练] (1)(2025·沈阳东北育才学校质检)若a，b∈R且ab≠0.则 eq \f(1,a2)> eq \f(1,b2)成立的一个充分不必要条件是(　　) A．a>b>0 B．b>a C．b<a<0 D．ab eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))<0 答案　C 解析　A．当a>b>0时，a2>b2，则 eq \f(1,a2)< eq \f(1,b2)，故A错误； B．当b＝1，a＝－2时，不满足 eq \f(1,a2)> eq \f(1,b2)，故B错误； C．当b<a<0时，0<a2<b2，则 eq \f(1,a2)> eq \f(1,b2)，反过来， eq \f(1,a2)> eq \f(1,b2)时，a2<b2⇒ ，推不出b<a<0，所以b<a<0是 eq \f(1,a2)> eq \f(1,b2)成立的一个充分不必要条件，故C正确； D．当a＝2，b＝－1时，不满足 eq \f(1,a2)> eq \f(1,b2)，故D错误．故选C. (2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是(　　) A． eq \f(1,a)< eq \f(1,b) B．－a2<－ab C．ln |a－1|>ln |b－1| D．2a－b>1 答案　ABD 解析　因为a>b>0， eq \f(1,ab)>0，所以 eq \f(a,ab)> eq \f(b,ab)， 即 eq \f(1,a)< eq \f(1,b)，故A正确； 因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确； 若a＝ eq \f(3,2)，b＝ eq \f(1,2)，ln |a－1|＝ln |b－1|＝ln eq \f(1,2)，故C不正确； 因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确． 题型三　不等式性质的综合应用 [例3]　(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是(　　) A．2<x－2y<3 B．－2<x－2y<3 C．2<x－2y<7 D．－2<x－2y<7 答案　D 解析　因为－1<y<1，所以－2<－2y<2， 又0<x<5，所以－2<x－2y<7. 延伸探究　若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围． 解　设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)， ∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y， ∴ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＋n＝1，,m－n＝－2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－\f(1,2)，,n＝\f(3,2)，)) ∴x－2y＝－ eq \f(1,2)(x＋y)＋ eq \f(3,2)(x－y)， ∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1， ∴－1≤－ eq \f(1,2)(x＋y)≤ eq \f(1,2)，－3≤ eq \f(3,2)(x－y)≤ eq \f(3,2)， ∴－4≤－ eq \f(1,2)(x＋y)＋ eq \f(3,2)(x－y)≤2， 即－4≤x－2y≤2. (2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群．已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数．则该微信群人数的最小值为(　　) A．20 B．22 C．26 D．28 答案　B 解析　设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N*， 则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6， 又教师人数的两倍多于男学生人数， ∴2x>x＋3，解得x>3， 当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22. eq \a\vs4\al([思维升华]) 利用不等式的性质求代数式的 取值范围的注意点 (1)必须严格运用不等式的性质． (2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．　 　[即时训练] (1)(多选)已知1≤a≤2，3≤b≤5，则(　　) A．a＋b的取值范围为[4，7] B．b－a的取值范围为[2，3] C．ab的取值范围为[3，10] D． eq \f(a,b)的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,5))) 答案　AC 解析　因为1≤a≤2，3≤b≤5， 所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1，1≤b－a≤4， 所以a＋b的取值范围为[4，7]， b－a的取值范围为[1，4]， 故A正确，B错误； 因为1≤a≤2，3≤b≤5， 所以3≤ab≤10， eq \f(1,5)≤ eq \f(1,b)≤ eq \f(1,3)， eq \f(1,5)≤ eq \f(a,b)≤ eq \f(2,3)， 所以ab的取值范围为[3，10]， eq \f(a,b)的取值范围为 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，\f(2,3)))，故C正确，D错误． (2)(2025·哈尔滨质检)已知1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，则3a＋2b的取值范围是________． 答案　 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，11)) 解析　设3a＋2b＝x eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＋y eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋y))a＋ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－y))b， 所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝2，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝\f(1,2)，)) 所以3a＋2b＝ eq \f(5,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋b))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b)). 因为1≤a＋b≤4，－1≤a－b≤2，所以 eq \f(5,2)≤ eq \f(5,2)(a＋b)≤10，－ eq \f(1,2)≤ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－b))≤1， 因此，2≤3a＋2b≤11. $$