假期作业13 三角函数-【快乐假期】2025年高二数学暑假大作业

　　　假期作业１３　三角函数　　　　　　　　　　　 １．任意角的三角函数 (１)弧度制下的弧长与面积公式 扇形的弧长公式:l＝　　　　,扇形的面 积公式:S＝１２lr＝　　　　． (２)任意角的三角函数 ①定义:ⅰ．利用角α的终边与单位圆交于 点P(x,y)时,sinα＝y,cosα＝x,tanα ＝yx． ⅱ．利用角α 的终边上任意一点的坐标 (x,y)和 该 点 到 原 点 的 距 离r,sinα＝ 　　,cosα＝　　,tanα＝　　． ②符号口诀:一全正、二正弦、三正切、四 余弦． (３)同角三角函数的基本关系 ①平方关系:sin２α＋cos２α＝　　． ②商数关系:sinαcosα＝　　　． (４)六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 ２kπ＋α (k∈Z) π＋α －α π－α π２ －α π ２ ＋α 正弦 　　　 －sinα －sinα 　　　 cosα 　　　 余弦 cosα 　　　 　　　 　　　 　　　 －sinα 正切 tanα tanα 　　　 －tanα 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 ２．三角函数的图象和性质 (１)“五点法”作y＝sinx的图象时起关键作用的 五个点是　　　　,　　　　　,　　　　, 　　　　,　　　　． (２)三角函数y＝sinx,y＝cosx,y＝tanx的 图象和性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象 定义域 　　 　　　 　　　　 值域 　　　　 　　　　 　　 对称性 对称轴:　　 (k∈Z) 对称中心: 　　(k∈Z) 对称轴: 　　　　 对称中心: 　　　　 (k∈Z) 无对称轴 对称中心: 　　　(k∈Z) 周期 ２π ２π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 单调增区间 　　　　 　　　　 (k∈Z) 单调减区间 　　　　 (k∈Z) 单调增区间 　　　　 (k∈Z) 单调减区间 　　　　 (k∈Z) 单调增区间 　　　　 (k∈Z) 渐近线 无 无 　　　　 (k∈Z) (３)函数y＝sinx的图象经变换得到y＝ Asin(ωx＋φ)的图象的步骤 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２３ ３．三角恒等变换 (１)两角和与差的余弦、正弦、正切公式 cos(α±β)＝　　　　　　　　　 sin(α±β)＝　　　　　　　　　 tan(α±β)＝　　　　　　　　　 (２)二倍角公式 sin２α＝　　　　; cos２α＝　　　　＝　　　　＝　　　　; tan２α＝　　　　． (３)函数f(α)＝acosα＋bsinα(a,b为常数), 可以化为f(α)＝ a２＋b２sin(α＋φ)或f(α) ＝ a２＋b２cos(α－φ),其中φ可由a,b的值 唯一确定． １．(２０２２􀅰全国甲卷理,８)沈括的«梦溪笔谈» 是中国古代科技史上的杰作,其中收录了计 算圆弧长度的“会圆术”．如图,AB ︵ 是以O 为 圆心,OA 为半径的圆弧,C 是AB 的中点, D 在AB ︵ 上,CD⊥AB．“会圆术”给出AB ︵ 的 弧长的近似值s的计算公式:s＝AB＋CD ２ OA． 当OA＝２,∠AOB＝６０°时,s＝ (　　) A．１１－３ ３２ 　　　B． １１－４ ３ ２ C．９－３ ３２ D． ９－４ ３ ２ ２．(２０２３􀅰新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)＝ １ ３ , cosαsinβ＝ １ ６ ,则cos(２α＋２β)＝ (　　) A．７９ B． １ ９ C．－１９ D．－ ７ ９ ３．(２０２３􀅰 全 国 乙 卷)已 知 函 数 f(x)＝ sin(ωx＋φ)在区间 π ６ ,２π ３ æ è ç ö ø ÷ 上单调递增,直 线x＝π６ 和x＝２π３ 为函数y＝f(x)的图象 的两条对称轴,则f －５π１２ æ è ç ö ø ÷＝ (　　) A．－ ３２ B．－ １ ２ C．１２ D． ３ ２ ４．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷,６)若sin(α＋β)＋cos(α ＋β)＝２ ２cos α＋ π ４ æ è ç ö ø ÷sinβ,则 (　　) A．tan(α－β)＝１ 　B．tan(α＋β)＝１ C．tan(α－β)＝－１　D．tan(α＋β)＝－１ ５．(２０２３􀅰天津卷)已知函数f(x)图象的一条 对称轴为直线x＝２,一个周期为４,则f(x) 的解析式可能为 (　　) A．f(x)＝sin π２x æ è ç ö ø ÷ B．f(x)＝cos π２x æ è ç ö ø ÷ C．f(x)＝sin π４x æ è ç ö ø ÷ D．f(x)＝cos π４x æ è ç ö ø ÷ ６．(多选)已知f(x)是定义在 R上的函数,且 满足f(３x－２)为偶函数,f(２x－１)为奇函 数,则下列说法正确的是 (　　) A．函数f(x)的图象关于直线x＝１对称 B．函数f(x)的图象关于点(－１,０)中心 对称 C．函数f(x)的周期为４ D．f(２０２３)＝０ ７．(２０２２􀅰全国乙卷理,１５)记函数f(x)＝ cos(ωx＋φ)(ω＞０,０＜φ＜π)的最小正周期 为T．若f(T)＝ ３２ ,x＝π９ 为f(x)的零点, 则ω的最小值为　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３３ ８．将 函 数 f (x) ＝ sin (ωx ＋ φ) ω＞０,－π２≤φ≤ π ２ æ è ç ö ø ÷图象上每一点的横坐 标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右 平移π ６ 个单位长度得到y＝sinx的图象, 则f(x)的解析式为　　　　　　　　　, f π６ æ è ç ö ø ÷＝　　　　． ９．已知A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),其中 α,β为锐角,且|AB|＝ １０ ５ ． (１)求cos(α－β)的值; (２)若cosα＝３５ ,求cosβ的值． １０．设函数f(x)＝sinx＋cosx(x∈R)． (１)求 函 数 y＝ fx＋π２ æ è ç ö ø ÷ é ë êê ù û úú ２ 的 最 小 正 周期; (２)求函数y＝f(x)f x－π４ æ è ç ö ø ÷在 ０,π２ é ë êê ù û úú上 的最大值． １．(２０２３􀅰全国甲卷)已知f(x)为函数y＝ cos２x＋π６ æ è ç ö ø ÷ 向左平移π ６ 个单位所得函数, 则y＝f(x)与y＝１２x－ １ ２ 的交点个数为 (　　) A．１ B．２ C．３ D．４ ２．(２０２３􀅰新高考Ⅱ卷)已知函数 f(x)＝ sin(ωx＋φ),如图,A,B 是直线y＝ １ ２ 与曲 线y＝f(x)的两个交点,若|AB|＝π６ ,则 f(π)＝　　　　． 诺贝尔奖不设数学奖,但国际数学界有一 个代表数学界最高成就的大奖———菲尔兹奖． 菲尔兹奖于１９３２年在第九届国际数学家 大会上设立,１９３６年首次颁奖．该奖以加拿大 数学家约翰􀅰菲尔兹的名字命名,授予世界上 在数学领域做出重大贡献且年龄在４０岁以下 的数学家．该奖由国际数学联盟(简称IMU) 主持评定,每４年颁发一次,每次获奖者不超 过４人,每人可获得一枚纯金制作的奖章和一 笔奖金．奖章上刻有希腊数学家阿基米德的头 像,还有用拉丁文镌刻的“超越人类极限,做宇 宙主人”的格言． １９８２年,美籍华人数学家丘成桐荣获菲 尔兹奖,成为获此殊荣的第一位华人． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４３ 新题快递 5.B [由函数的解析式考查函数的最小周期性: A选项中 T-2--4.B选项中-2-4 1.D [由题意易得,=1,所以a的取值范围是[2,十2).] ~ :& 2.解析;当x0时,g(x)=2-log(x+1)-2,解得x=3;当x C选项中T-2--8.D选项中T-2--8,排除选项 CD. <0时,g(x)=f(-r)-2 +1-2,解得x=0(含):所以 g(x)-2的解为:x-3. 答案:-3 对于A选项,当x-2时,画数值sin(x2)-0.故(2,0)是函数 假期作业13 的一个对称中心,排除选项A. 思维整合室 #1a^#(2)① 对于B选项,当x-2时,画数值cox2)--1,故x-2是函 1.(1)lal·r 数的一条对称轴,] (3)①1 ②tan a (4)sina sina cos a -cos a cos a -cos a 6.BCD [设/(t)=cosx,则/(3x-2)=cos (一-) sin a -tana 2.(1)(0.0)(.1) (n.0) -3(-3-x-)-co(----)-co3} () )(2n)(2)R R{ xe2} (2x-1)-co(rr-)-sin r./(-2x-1)= [-1,1] [-1.1] R =k+(kn,0)=k cos(-n-)--sin r,所以f(3.x-2)为偶画数, (+。)(,。)[2kx,2kx+号] f$2x-1)为奇函数,但是f(0)=cos0-1,f(2)=cosn= [2-+,21 [2kπ-,2kπ]2kπ,2kx+π] 一1,因为/(0)子f(2),所以函数f(x)的图象不关于直线1 一1对称,A错误;因为f(2x一1)为奇函数,所以f(2x-1 (1+)#(-+ 3) 分A =-f(-2x-1),所以f(x-1)=-f(-x-1),所以函数 ##A# f(x-1)为奇函数,所以函数f(x一1)的图象关于点(0,0)对 称,所以函数f(x)关于点(一1,0)中心对称,故B正确,因为 f(3x-2)为偶品数,所以f(3x-2)=f(-3x-2),所以 3.(1) cos acos ③干 sin asin ? sin acos ③士 cos asin$ f(x-2)-f(-x-2),由B项可知,f(x)=-f(-x-2), tana士tan{ (2)2sin acos a cosa-sina 2cos{a-1 1干tan atan{ 故有f(x-2)=一f(x),所以f(x)=一f(x十2),f(x+2) 2tan --f(x十4),所以f(x十4)一f(x),所以&数f(x)的周期 1-2sina 1-tan 为4,故C正确;f(2023)=f(506×4-1)-/(-1),由 技能提升台 fx-1)--f(-x-1)取x-0可得f(-1)-0,所以 1.B [由条件得,△OAB为等边三角形,所以AB-2,OC f(2023)-0,故D正确.故选BCD.] 3.CD-2-v3.所以$-AB+CD OA 7-411-41 故一 ##(#co({+)-0→+吾一+x(^eéz)→ -3十9(乙). 又0,故的最小值为3. 答案:3 8.解析:将y-sin工的图象向左平移-个单位长度可得y 即cos(2a+20)-1-2in;(cg)-1-2×()-1 sin(x十吾)的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2 3.D[因为f(x)-sin(ox+e)在区间(-2-)上单调递增, 倍可得y-sin(+吾)的图象,故/(x)-sin(+) 所以/()-sin() 当x-吾时,/(x)取得最小值,则2·吾+-2k-,# -xn### Z,则-2k-5z, 答案:#2)o0(+)# 不妨取k-0,则/(c)-sn(2-) 9.解:(1)由/AB-10. 则(-)n()一## 得 (cos a-cos g)+(sina-sing)-10. 4. C [由已知得 sin acos ③十cos asin③十cos acos ③-sin asin -2(cosa-sina)sin③. 所以2-2(cos acos③+sinasin3)- 即 sin acos 3-cos asin ③十cos acos +sin asin g-0,即 sin(a-③十 cos(a--0,所以tan(a---1,故选C] 50 (2)因为cosa-cos(a-)-,a为锐角, 考虑2-3--即一 所以sina-4.sin(a-)-3# ##处(x)与--的大小关系,# 当sin(a-)=时:cosg-cos[a-(a-)] 当---时:/(--sn(--1. =cos acos(a-③)+sin asin(a-$)= -)-<1 当sin(a-})--3时,cos 3-cos[a-(a-)] 当3-时·/()-n3-1>)--- -cos acos(a-③)+sin asin(a-)=0. 3π-4<1; 当-时 ()--1.-- 10.解:(1)/(s)-sin x+cosx-②sn(+) 7*-41; 所以y- [/(+)]-[2sin(+)] -2sin (+3)-1-co(2x+3) 所以由图可知,f(2)与y-x-的交点个数为3.] -1-sin2x. 2.解析:设A(,),B()#则++{ 以一- #--吾,所以-4,由曲线y-(x)过_(2). (2)y-/(x)(x-) 所以4×2+=2r,即-2-,所以(x)-sn(2)· -\sin(+)v2sin (w)-si(-2) -2sin()sin( -2sin (6n+o) 答案:一 ## _0 -v②sinx十v②sin xcos [第二部分] #0#1n 0 高三入学衔接检测卷 -sin(2)+#} 5 2024,所以该组数据的方差为S^{}=- 令2--xe[0],所re[-,]. 寸[(2022-2024)*+ 所以 sinre[1],故ye[0.1+]1, (2026-2024)+(2025-2024)+(2024-2024)+(2023 -2024)*]-2.] 2. D[当a-1,b=-2时,ab,a*<^*},当a=-2,-1 所以画数y-/(x)/(x-)在[o,吾]上的最大值为 时,*→b*,a<b,所以“a>b”是“a^{*}→6{”的既不充分 1## 也不必要条件.] 新题快递 -y-1,可知a-2,b-1. 1.C [因为y-cos(2x十-)向左平移吾个单位所得函数为 所以顶点坐标为(士2,0),渐近线方程为y-士王, y-cos[2(+)+]一 即x士2y-0. cos (2x+哥)--sin 2c,所以/(c)-sin 2x V1+25 #然过(o.一)与(1.0)两点, 4.C(u) 的展开式的通项为T,一C(ax) .(-) -(-1)C. -21x-1 令5-2r--1,可得,-3. 结合题意可知(-1)aC--40,即10a^{-40,$ .-士2.]