假期作业5 离散型随机变量及其分布列和数字特征-【快乐假期】2025年高二数学暑假大作业

　　　　　　 假期作业５　离散型随机变量及其分布列和数字特征　　　　　　　　　　 １．随机变量的概念 随机变量 的概念 一般地,对于随机试验样本空间 　　 中 的 每 个 样 本 点 ω,都 有 　　　　与之对应,我们称 X 为 随机变量． 离散型随 机变量的 概念 可能取值为　　　　或可以　　 　　的随机变量,称为离散型随 机变量． ２．离散型随机变量的分布列 (１)定义:设离散型随机变量X 的可能取值为 x１,x２,􀆺,xn,我们称X 取每一个值xi 的 概率P(X＝xi)＝pi,i＝１,２,􀆺,n为X 的 概率分布列,简称分布列． (２)表示:表格 X x１ x２ 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pn (３)性质:①pi≥０,i＝１,２,􀆺,n; ②p１＋p２＋􀆺＋pn＝１． ３．离散型随机变量的均值与方差 　一般地,若离散型随机变量X 的分布列为 X x１ x２ 􀆺 xn P p１ p２ 􀆺 pn (１)均值 称E(X)＝　　　　　　　　＝∑ n i＝１ xipi 为 随机变量X 的均值或数学期望． 它反映了随机变量取值的　　　　． (２)方差 称D(X)＝　　　　＝　　　　为随机变 量X 的方差,有时也记作:Var(X),并称 D(X)为 随 机 变 量 X 的 标 准 差．记 作: σ(X)．它们都可以度量随机变量最值与其 均值的偏离程度． ４．均值与方差的性质 (１)E(aX＋b)＝　　　　． (２)D(aX＋b)＝　　　　． １．抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么 X＝４表示的随机试验结果是 (　　) A．两颗都是４点 B．两颗都是２点 C．一颗是１点,一颗是３点 D．一颗是１点,另一颗是３点或者两颗都是 ２点 ２．今有两台独立工作在两地的雷达,每台雷达 发现飞行目标的概率分别为０．９和０．８５, 设发现目标的雷达台数为ξ,则E(ξ)＝ (　　) A．０．７６５ B．１．７５ C．１．７６５ D．０．２２ ３．设随机变量X 的分布列为 X －１ ０ １ P １２ １ ３ １ ６ 若Y＝２X＋２,则D(Y)＝ (　　) A．－１３ B． ５ ９ C． １０ ９ D． ２０ ９ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９ ４．在一组样本数据中,１,２,３,４出现的频率分 别为p１,p２,p３,p４,且∑ ４ i＝１ pi＝１,则下面四种 情形中,对应样本的标准差最大的一组是 (　　) A．p１＝p４＝０．１,p２＝p３＝０．４ B．p１＝p４＝０．４,p２＝p３＝０．１ C．p１＝p４＝０．２,p２＝p３＝０．３ D．p１＝p４＝０．３,p２＝p３＝０．２ ５．(多选)受轿车在保修期内维修费等因素的 影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首 次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产 甲、乙两种品牌轿车,保修期均为２年,现从 该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取 ５０辆,统计数据如表: 品牌 甲 乙 首次出现故 障的时间x(年) ０＜x ≤１ １＜x ≤２ x＞２ ０＜x ≤２ x＞２ 轿车数量(辆) ２ ３ ４５ ５ ４５ 每辆利润(万元) １ ２ ３ １．８ ２．９ 将频率视为概率,则 (　　) A．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一 辆,其首次出现故障发生在保修期内的 概率为１ ５ B．若该厂生产的轿车均能售出,记生产一 辆甲品牌轿车的利润为 X１,则E(X１)＝ ２．８６(万元) C．若该厂生产的轿车均能售出,记生产一 辆乙品牌轿车的利润为 X２,则E(X２)＝ ２．９９(万元) D．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相 当,由于资金限制,只能生产其中一种品 牌的轿车．若从经济效益的角度考虑,应 生产甲品牌的轿车 ６．(多选)编号为１,２,３的三位学生随意入 座编号为１,２,３的三个座位,每位学生 坐一个座 位,设 与 座 位 编 号 相 同 的 学 生 的人数是ξ,则 (　　) A．ξ的所有取值是１,２,３ B．P(ξ＝１)＝ １ ２ C．E(ξ)＝１ D．D(ξ)＝１ ７．(２０２２􀅰浙江高考)现有７张卡片,分别写上 数字１,２,２,３,４,５,６．从这７张卡片中随机抽取 ３张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则 P(ξ＝２)＝　　　　,E(ξ)＝　　　　． ８．盒中有４个球,其中１个红球,１个绿球,２ 个黄球．从盒中随机取球,每次取１个,不放 回,直到取出红球为止．设此过程中取到黄 球的个数为ξ,则P(ξ＝０)＝　　　　,E(ξ) ＝　　　　． ９．某投资公司在２０２４年年初准备将１０００万 元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供 选择: 项目一:新能源汽车．据市场调研,投资到该 项目上,到年底可能获利３０％,也可能亏损 １５％,且这两种情况发生的概率分别为７９ 和２ ９ ; 项目二:通信设备．据市场调研,投资到该项 目上,到 年 底 可 能 获 利 ５０％,可 能 损 失 ３０％,也可能不赔不赚,且这三种情况发生 的概率分别为３ ５ ,１ ３ 和１ １５． 针对以上两个投资项目,请你为投资公司选 择一个合理的项目,并说明理由． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０１ １０．(２０２２􀅰全国甲卷)甲、乙两个学校进行体 育比赛,比赛共设三个项目,每个项目胜方 得１０分,负方得０分,没有平局．三个项目 比赛结束后,总得分高的学校获得冠军．已 知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 ０．５,０．４,０．８,各项目 的 比 赛 结 果 相 互 独立． (１)求甲学校获得冠军的概率; (２)用X 表示乙学校的总得分,求X 的分 布列与期望． 　２０２３年１２月１１日至１２日中央经济工作会 议在北京举行,会议再次强调要提振新能源 汽车消费．发展新能源汽车是我国从“汽车 大国”迈向“汽车强国”的必由之路．我国某 地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要 经过多项检测,检测合格后方可销售,其中 关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测 试,测试的结果只有三种等次:优秀、良好、 合格,优秀可得５分、良好可得３分、合格可 得１分,该型号新能源汽车在碰撞测试中结 果为优秀的概率为１ ２ ,良好的概率为１ ３ ;在 续航测试中结果为优秀的概率为２ ５ ,良好的 概率为２ ５ ,两项测试相互独立,互不影响,该 型号新能源汽车两项测试得分之和记为ξ． (１)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有 一次为合格的概率; (２)求离散型随机变量ξ的分布列与期望． 竹子 用 了 ４ 年 的 时 间,仅 仅 长 了 ３cm,在 第 五年 开 始,以 每 天 ３０cm 的速度疯狂的生长,仅仅 用了六周的时间就长到了１５米． 其实,在前面的四年,竹子将根在土壤里 延伸了数百平米． 做人做事亦是如此,不要担心你此时此刻 的付出得不到回报,因为这些付出都是为了 扎根． 人 生 需 要 储 备! 多 少 人,没 熬 过 那 三 厘米! 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １１ ８．解析:依题意,甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方 案共 C２４A３３＝３６种,其中甲、乙参加同一项目的方案 A３３＝６ 种,则所求的参赛方案一共有３６－６＝３０种;因为甲、乙两人 不能参加同一项目,所以丙、丁两人不能参加同一项目,则 甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目,这里有 C１２C１２A３３＝２４种方案,若甲单独选择跳台滑雪,则丙、丁可分 别选择越野滑雪或者单板滑雪,乙也可在其中二选一,故总 共有 A２２C１２＝４种不同的方案;若甲和一人一起选择跳台滑 雪,则甲只可能和丙或丁共同选择,剩下２个人分别选择２ 个项目,故共有 C１２A２２＝４种不同的方案;同理,乙单独选择 跳台滑雪,有 A２２C１２＝４种不同的方案;乙和一人共同选择跳 台滑雪,有 C１２A２２＝４种不同的方案,总共有１８种方案,所以 P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ １６ ３０ ２４ ３０ ＝２３． 答案:３０　２３ ９．解:设A:在班内任选１名学生,该学生属于第一小组,B:在 班内任选１名学生,该学生是团员． (１)P(A)＝１０４０＝ １ ４． (２)P(B)＝１５４０＝ ３ ８． (３)P(AB)＝４４０＝ １ １０． (４)P(A|B)＝P (AB) P(B)＝ １ １０ ３ ８ ＝４１５． １０．解:(１)平均年龄􀭺x＝(５×０．００１＋１５×０．００２＋２５×０．０１２ ＋３５×０．０１７＋４５×０．０２３＋５５×０．０２０＋６５×０．０１７＋７５× ０．００６＋８５×０．００２)×１０＝４７．９(岁)． (２)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[２０,７０)}, 则P(A)＝１－P(􀭿A)＝１－(０．００１＋０．００２＋０．００６＋０．００２) ×１０＝１－０．１１＝０．８９． (３)设B＝{任选一人年龄位于区间[４０,５０)},C＝{任选一 人患这种疾病},则由条件概率公式,得P(C|B)＝P (BC) P(B) ＝０．１％×０．０２３×１０１６％ ＝ ０．００１×０．２３ ０．１６ ＝０．００１４３７５ ≈０．００１４． 即此人患这种疾病的概率为０．００１４． 新题快递 １．解析:从 １０ 人 中 任 选 ３ 人 的 事 件 个 数 为 C３１０ ＝ １０×９×８ ３×２×１ ＝１２０, 恰有１名男生２名女生的事件个数为 C１４C２６＝４× ６×５ ２×１＝６０ , 则恰有１名男生２名女生的概率为６０１２０＝０．５． 答案:０．５ ２．解析:设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为５n,４n,６n, 所以总数为１５n, 所以甲盒中黑球个数为４０％×５n＝２n,白球个数为３n; 乙盒中黑球个数为２５％×４n＝n,白球个数为３n; 丙盒中黑球个数为５０％×６n＝３n,白球个数为３n; 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件 A,所以P(A)＝０．４×０．２５×０．５＝０．０５; 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B, 黑球总共有２n＋n＋３n＝６n个,白球共有９n个, 所以P(B)＝９n１５n＝ ３ ５． 答案:０．０５或 １２０( ) 　 ３ ５ (或０．６) 假期作业５ 思维整合室 １．Ω　唯一的实数X(ω)　有限个　一一列举 ３．(１)x１p１＋x２p２＋􀆺＋xnpn　平均水平 (２)(x１－E(X))２p１＋(x２－E(X))２p２＋􀆺＋(xn－E(X))２pn ∑ n i＝１ (xi－E(X))２pi ４．aE(X)＋b　a２D(X) 技能提升台 １．D　[X＝４表示抛掷两颗骰子,所得点数之和为４的所有结果, 可能是一颗１点,另一颗３点,也可能是两颗均为２点．] ２．B　[设A、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件,ξ的可 能取值为０、１、２． P(ξ＝０)＝P(􀭿A􀭺B)＝P(A)P(B) ＝(１－０．９)×(１－０．８５)＝０．０１５． P(ξ＝１)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝０．９×０．１５＋０．１×０．８５＝０．２２． P(ξ＝２)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝０．９×０．８５ ＝０．７６５． 所以E(ξ)＝０×０．０１５＋１×０．２２＋２×０．７６５ ＝１．７５．] ３．D　[由题意知,E(X)＝－１×１２＋０× １ ３＋１× １ ６＝ －１３ ,故D(X)＝ －１＋１３( ) ２ ×１２＋ ０＋ １ ３( ) ２ ×１３＋ １＋ １ ３( ) ２ ×１６＝ ５ ９ ,D(Y)＝D(２X＋２)＝４D(X)＝４×５９＝ ２０ ９． ] ４．B　[X 的可能取值为１,２,３,４,四种情形的数学期望E(X) ＝１×p１＋２×p２＋３×p３＋４×p４ 都为２．５,方差 D(X)＝ [１－E(X)]２×p１＋[２－E(X)]２×p２＋[３－E(X)]２×p３＋ [４－E(X)]２×p４,标准差为 D(X)．A 选项的方差 D(X) ＝０．６５;B 选项的方差D(X)＝１．８５;C选项的方差D(X)＝ １．０５;D选项的方差 D(X)＝１．４５．可知选项 B的情形对应 样本的标准差最大．故选B．] ５．BD　[设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事 件A,则P(A)＝２＋３５０ ＝ １ １０． 依题意得,X１ 的分布列为 X１ １ ２ ３ P １２５ ３ ５０ ９ １０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ E(X１)＝１× １ ２５＋２× ３ ５０＋３× ９ １０＝ １４３ ５０＝２．８６ (万元),X２ 的 分布列为 X２ １．８２．９ P １１０ ９ １０ E(X２)＝１．８× １ １０＋２．９× ９ １０＝２．７９ (万元)． 因为E(X１)＞E(X２),所以应生产甲品牌轿车．] ６．BCD　[ξ的所有可能取值为０,１,３,ξ＝０表示三位同学全坐 错了,有２种情况,即编号为１,２,３的座位上分别坐了编号 为２,３,１或３,１,２的学生, 则P(ξ＝０)＝ ２ A３３ ＝１３ ;ξ＝１表示三位同学只有１位同学坐 对了,则P(ξ＝１)＝ C１３ A３３ ＝１２ ; ξ＝３表示三位同学全坐对了,即对号入座, 则P(ξ＝３)＝ １ A３３ ＝１６． 所以ξ的分布列为 ξ ０ １ ３ P １３ １ ２ １ ６ E(ξ)＝０× １ ３＋１× １ ２＋３× １ ６＝１． D(ξ)＝ １ ３× (０－１)２＋１２× (１－１)２＋１６× (３－１)２＝１．] ７．解析:P(ξ＝２)＝ C１２C２４＋C２２C１４ C３７ ＝１６３５． ξ的所有可能取值为１,２,３,４． P(ξ＝１)＝ C２６ C３７ ＝１５３５ ,P(ξ＝２)＝ １６ ３５ ,P(ξ＝３)＝ C２３ C３７ ＝３３５ , P(ξ＝４)＝ C２２ C３７ ＝１３５ , 故E(ξ)＝１× １５ ３５＋２× １６ ３５＋３× ３ ３５＋４× １ ３５＝ １２ ７． 答案:１６ ３５　 １２ ７ ８．解析:ξ＝０表示停止取球时没有取到黄球,所以P(ξ＝０)＝ １ ４＋ １ ４× １ ３＝ １ ３． 随机变量ξ的所有可能取值为０,１,２,则 P(ξ＝１)＝ ２ ４× １ ３＋ ２ ４× １ ３× １ ２＋ １ ４× ２ ３× １ ２＝ １ ３ , P(ξ＝２)＝ ２ ４× １ ３× １ ２＋ １ ４× ２ ３× １ ２＋ ２ ４× １ ３× １ ２＋ ２ ４× １ ３× １ ２＝ １ ３ , 所以E(ξ)＝０× １ ３＋１× １ ３＋２× １ ３＝１． 答案:１ ３　１ ９．解:若按“项目一”投资,设获利为 X１ 万元,X１ 的所有可能 取值为３００,－１５０．则X１ 的分布列为 X１ ３００ －１５０ P ７９ ２ ９ ∴E(X１)＝３００× ７ ９＋ (－１５０)×２９＝２００ (万元)． 若按“项目二”投资,设获利 X２ 万元,X２ 的所有可能取值为 ５００,－３００,０．则X２ 的分布列为: X２ ５００ －３００ ０ P ３５ １ ３ １ １５ ∴E(X２)＝５００× ３ ５＋ (－３００)×１３＋０× １ １５＝２００ (万元)． D(X１)＝(３００－２００)２× ７ ９＋ (－１５０－２００)２×２９＝３５０００ , D(X２)＝ (５００－２００)２ × ３ ５ ＋ (－３００－２００)２ × １３ ＋ (０－２００)２×１１５＝１４００００． 所以E(X１)＝E(X２),D(X１)＜D(X２), 这说明虽然项目一、项目二获利的期望值相等,但项目一更 稳妥． 综上所述,建议该投资公司选择项目一投资． １０．解:(１)记甲学校获得冠军为事件A, 则P(A)＝０．５×０．４×(１－０．８)＋０．５×(１－０．４)×０．８＋ (１－０．５)×０．４×０．８＋０．５×０．４×０．８＝０．６,所以甲学校 获得冠军的概率是０．６． (２)X 的可能取值为０,１０,２０,３０． 则P(X＝０)＝０．５×０．４×０．８＝０．１６, P(X＝１０)＝０．５×０．４×(１－０．８)＋０．５×(１－０．４)×０．８ ＋(１－０．５)×０．４×０．８＝０．４４, P(X＝２０)＝０．５×(１－０．４)×(１－０．８)＋(１－０．５)×(１－ ０．４)×０．８＋(１－０．５)×０．４×(１－０．８)＝０．３４, P(X＝３０)＝(１－０．５)×(１－０．４)×(１－０．８)＝０．０６, ∴X 的分布列为 X ０ １０ ２０ ３０ P ０．１６ ０．４４ ０．３４ ０．０６ X 的期望值为E(X)＝０×０．１６＋１０×０．４４＋２０×０．３４＋ ３０×０．０６＝１３． 新题快递 　解:(１)记事件A１ 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得 分为i分(i＝１,３,５)”, 则P(A５)＝ １ ２ ,P(A３)＝ １ ３ ,P(A１)＝１－ １ ２－ １ ３＝ １ ６． 记事件Bi 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i 分(i＝１,３,５)”, 则P(B５)＝ ２ ５ ,P(B３)＝ ２ ５ ,P(B１)＝１－ ２ ５－ ２ ５＝ １ ５． 记事件C为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为 合格”, 则P(C)＝P(A５B１)＋P(A３B１)＋P(A１B５)＋P(A１B３) ＝１２× １ ５＋ １ ３× １ ５＋ １ ６× ２ ５＋ １ ６× ２ ５＝ ３ １０ , 则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次合格的概率 为３ １０． (２)由题知离散型随机变量ξ的所有可能取值分别为２,４,６, ８,１０, P(ξ＝２)＝ １ ６× １ ５＝ １ ３０ , P(ξ＝４)＝ １ ３× １ ５＋ １ ６× ２ ５＝ ２ １５ , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２４ P(ξ＝６)＝ １ ２× １ ５＋ １ ６× ２ ５＋ １ ３× ２ ５＝ ３ １０ , P(ξ＝８)＝ １ ２× ２ ５＋ １ ３× ２ ５＝ １ ３ , P(ξ＝１０)＝ １ ２× ２ ５＝ １ ５ , 则离散型随机变量ξ的分布列为 ξ ２ ４ ６ ８ １０ P １３０ ２ １５ ３ １０ １ ３ １ ５ 所以数学期望E(ξ)＝２× １ ３０＋４× ２ １５＋６× ３ １０＋８× １ ３＋１０ ×１５＝ １０６ １５． 假期作业６ 思维整合室 １．(１)可能结果　重复　(２)Cknpk(１－p)n－k X~B(n,p)　２．(１) CkMCn－kN－M CnN 　(２)np 技能提升台 １．B　[设此射手射击四次命中次数为ξ,一次射击命中的概率 为p,所以ξ~B(４,p)． 依题意可知,P(ξ≥１)＝ ８０ ８１ ,所以１－P(ξ＝０)＝１－C ０ ４(１－p)４ ＝８０８１ ,所以(１－p)４＝１８１ ,所以p＝２３． ] ２．C　[由题意可知随机变量X 服从参数为N＝１２,M＝５,n＝ ６的超几何分布． 由公式P(X＝k)＝C k MCn－kN－M CnN ,易知C ３ ５C３７ C６１２ 表示的是 X＝３的取 值概率．] ３．B　[P(X＝３)＝C３６× １ ２( ) ３ × １２( ) ３ ＝２０ ２６ ＝５１６． ] ４．D　[“至少有一个是一等品”包含取出的３个中有１个一等 品,取出的３个中有２个一等品和取出的３个中有３个一等 品三种情况,其概率应为C １ １６C２４＋C２１６C１４＋C３１６ C３２０ ] ５．CD　[由X~B(２０,０．３),所以E(X)＝２０×０．３＝６,所以 A 错误;计算P(X≥１)＝１－P(X＝０)＝１－０．７２０,所以 B错 误;又D(X)＝２０×０．３×０．７＝４．２,所以 C正确; 计算P(X＝１０)＝C１０２０×０．３１０×０．７１０＝C１０２０×０．２１１０,所以 D 正确．] ６．D　[为学习女排精神,A,B 两校排球队进行排球友谊赛,采 取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛 中A 校排球队胜B 校排球队的概率为 ３５ ,设各局比赛相互 间没有影响,在此次比赛中,四局结束比赛包含两种情况:① 前３局A 两胜一负,第四局A 胜;②前３局A 一胜两负,第 四局A 负．则在此次 比 赛 中,四 局 结 束 比 赛 的 概 率 为 P＝ C２３ ３ ５( ) ２ ２ ５( ) ３ ５( )＋C １ ３ ３ ５( ) ２ ５( ) ２ ２ ５( )＝ ２３４ ６２５． ] ７．解析:由题可得一次活动中,甲获胜的概率为５６× ４ ５＝ ２ ３ ; 则在３次活动中,甲至少获胜２次的概率为 C２３× ２ ３( ) ２ × １ ３＋ ２ ３( ) ３ ＝２０２７． 答案:２ ３　 ２０ ２７ ８．解析:由题意知,X 服从二项分布, 所以P(X＝k)＝Ck２０ １ ３( ) k １－１３( ) ２０－k ＝Ck２０ １ ３( ) k ２ ３( ) ２０－k ,０≤k≤２０且k∈N． 由不等式P(X＝k＋１) P(X＝k) ≤１ (０≤k≤１９且k∈N),得２０－kk＋１× １ ２≤１ ,解得k≥６． 所以当k≥６时,P(X＝k)≥P(X＝k＋１);当k＜６时,P(X ＝k＋１)＞P(X＝k)． 因为当且仅当k＝６时,P(X＝k＋１)＝P(X＝k), 所以当k＝６或k＝７时,P(X＝k)取得最大值． 答案:６或７ ９．解:(１)甲、乙两个班级抽取的４人都能正确回答的概率P＝ C２３ C２４ × ３４( ) ２ ＝９３２． (２)甲班级能正确回答题目人数为X,则X 的可能取值为１, ２,P(X＝１)＝C １ ３C１１ C２４ ＝１２ , P(X＝２)＝C ２ ３ C２４ ＝１２ , 则E(X)＝１×１２＋２× １ ２＝ ３ ２ , D(X)＝ １－３２( ) ２ ×１２＋ ２－ ３ ２( ) ２ ×１２＝ １ ４． 乙班级能正确回答题目人数为Y,则Y 的可能取值为０,１, ２．所以Y~B ２,３４( ) , ∴E(Y)＝２×３４＝ ３ ２ ,D(Y)＝２×３４× １ ４＝ ３ ８． ∴E(X)＝E(Y),D(X)＜D(Y),这说明虽然甲、乙两班级能 正确回答题目的期望值相等,但甲班更稳妥,所以由甲班级 代表学校参加大赛更好． １０．解:(１)该同学政治原始成绩为９１分,在区间[８２,９４]上,赋 分区间为[８６,１００], 故转换后的等级分为９４－９１ ９１－８２＝ １００－T T－８６ , 解得T≈９７分, (２)设等级分为９５分对应的原始分为X, 由题意得９４－x x－８２＝ １００－９５ ９５－８６ ,解得x≈８９．７分, 设等级分为９７分对应的原始分为y, 由题意得９４－y y－８２＝ １００－９７ ９７－８６ ,解得y≈９１．４分, 即政治的等级分不小于９５分的学生有８人,政治等级分不 小于９７分人数为３人, 则X 的取值可以为０,１,２,３, P(X＝０)＝C ３ ５ C３８ ＝５２８ , P(X＝１)＝C ２ ５􀅰C１３ C３８ ＝１５２８ , P(X＝２)＝C １ ５􀅰C２３ C３８ ＝１５５６ , P(X＝３)＝C ３ ３ C３８ ＝１５６ , 则X 的分布列为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３４