假期作业4 条件概率与全概率公式-【快乐假期】2025年高二数学暑假大作业

８．解析:由题a２＝１×C３４(－１)３＋２×C２４(－１)２＝８． 令x＝１,则a０＋a１＋a２＋a３＋a４＋a５＝０, 又a０＝２,所以a１＋a２＋a３＋a４＋a５＝－a０＝－２． 答案:８　－２ ９．解:(１)g(x)＝(１＋x)６＋２(１＋x)７＋３(１＋x)８＝(３x２＋８x ＋６)(１＋x)６, 因为(１＋x)６ 展开式中的第r＋１项Tr＋１＝Cr６xr, 所以 (１＋x)６ 展 开 式 中 含 x４,x５,x６ 项 分 别 为 C４６x４, C５６x５,C６６x６, 故g(x)中 含 x６ 的 项 为 ３x２ 􀅰C４６x４ ＋８x􀅰C５６x５ ＋６C６６x６ ＝９９x６, 所以g(x)中含x６ 项的系数为９９． (２)f２０２４(x)＝a０＋a１x＋a２x２＋􀆺＋a２０２４x２０２４＝(１＋x)２０２４, 令x＝１得a０＋a１＋a２＋􀆺＋a２０２４＝２２０２４①, 令x＝－１得a０－a１＋a２－􀆺＋a２０２４＝０②, 两式相减①－②:２(a１＋a３＋a５＋􀆺＋a２０２３)＝２２０２４, 所以a１＋a３＋a５＋􀆺＋a２０２３＝２２０２３． １０．解:(１)由题设知m＋n＝１９,所以m＝１９－n, 含x２ 项的系数 C２m＋C２n＝C２１９－n＋C２n ＝ (１９－n)(１８－n) ２ ＋ n(n－１) ２ ＝n２－１９n＋１７１＝ n－１９２( ) ２ ＋３２３４ ． 因为n∈N∗ ,所以当n＝９或n＝１０时,x２ 项的系数的最小 值为 １ ２( ) ２ ＋３２３４ ＝８１． (２)当n＝９,m＝１０或n＝１０,m＝９时,x２ 项的系数取最小 值,此时x７ 项的系数为 C７１０＋C７９＝C３１０＋C２９＝１５６． 新题快递 １．D　[２x－１x( ) ５ 的展开式的通项为 Tr＋１＝Cr５(２x)５－r － １ x( ) r ＝(－１)r２５－rCr５x５－２r 令５－２r＝１,得r＝２, 所以 ２x－１x( ) ５ 的展开式中x的系数为 (－１)２２５－２C２５＝８０．] ２．解析:ak＝Ck１００(２０２３x)k＋(－１)kCk１００２０２３１００－kxk＜０,依题 意k为奇数,∴２０２３k＜２０２３１００－k,k＜１００－k⇒k＜５０⇒kmax ＝４９． 答案:４９ 假期作业４ 思维整合室 １．P(B|A)＝P (AB) P(A)　３． (１)１　(２)P(B|A)＋P(C|A)　P(B|A) ４．∑ n i＝１ P(Ai)P(B|Ai) ５． P(Ai)P(B|Ai) P(B) 　 P(Ai)P(B|Ai) ∑ n k＝１ P(Ak)P(B|Ak) 技能提升台 １．B　[由题意,P(A)＝C ２ ２＋C２３ １０ ＝ ２ ５ ,P(AB)＝C ２ ３ １０＝ ３ １０ , ∴P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ ３ ４ ,故选B．] ２．D　[设事件A 表示数学成绩不及格,事件B 表示物理成绩 不及格,则P(A)＝０．２,P(AB)＝０．１５,∴已知该班某学生 数学成绩 不 及 格,则 该 学 生 物 理 成 绩 也 不 及 格 的 概 率 为 P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ ０．１５ ０．２＝０．７５． ] ３．B　[令A１＝“玩手机时间超过１h的学生”,A２＝“玩手机时 间不超过１h的学生”,B＝“任意调查一人,此人近视”,则 P(A１)＝０．２,P(A２)＝０．８, 又P(B)＝０．４,P(B|A１)＝０．５,依题意,P(B)＝P(A１)􀅰 P(B|A１)＋P(A２)P(B|A２)＝０．２×０．５＋０．８×P(B|A２)＝０．４, 解得P(B|A２)＝ ３ ８ ,所以所求近视的概率为３ ８ ,故选B．] ４．BD　[由题意知,A１,A２,A３ 是两两互斥的事件, P(A１)＝ ５ １０＝ １ ２ ,P(A２)＝ ２ １０＝ １ ５ ,P(A３)＝ ３ １０ , P(B|A１)＝ ５ １１ ,P(B|A２)＝ ４ １１ ,P(B|A３)＝ ４ １１ ,故 B,D 正 确．而P(B)＝P(A１B)＋P(A２B)＋P(A３B)＝P(A１)P(B|A１)＋ P(A２)P(B|A２)＋P(A３)P(B|A３)＝ １ ２× ５ １１＋ １ ５× ４ １１＋ ３ １０ ×４１１＝ ９ ２２≠P (B|A１),所以事件B 与事件A１ 不是相互独 立的,故 A,C不正确．] ５．AB　[由乘法公式得,第二次取出的卡片是２的概率为P１ ＝４５× １ ４＝ １ ５ ,A正确;由全概率公式得第二次取出的卡片 上的数字大于第一次取出的卡片上的数字的概率为P２＝ １ ５ ×１＋１５× ３ ４＋ １ ５× ２ ４＋ １ ５× １ ４＝ １ ２ ,B正确,C错误;易 知第二次取出的卡片上的数字小于第一次取出的卡片上的 数字的概率为１－P２＝ １ ２ ,故 D错误．] ６．A　[以Ai 表示一批产品中有i件次品,i＝０,１,２,３,４,B表 示通过检验,则由题意得,P(A０)＝０．１, P(B|A０)＝１,P(A１)＝０．２, P(B|A１)＝ C１０９９ C１０１００ ＝０．９, P(A２)＝０．４,P(B|A２)＝ C１０９８ C１０１００ ≈０．８０９, P(A３)＝０．２,P(B|A３)＝ C１０９７ C１０１００ ≈０．７２７, P(A４)＝０．１,P(B|A４)＝ C１０９６ C１０１００ ≈０．６５２． 由全概率公式,得P(B)＝∑ ４ i＝０ P(Ai)P(B|Ai) ＝０．１×１＋０．２×０．９＋０．４×０．８０９＋０．２×０．７２７＋０．１× ０．６５２≈０．８１４．] ７．解析:根据题意,设事件A 为“甲被安排在天和核心舱”,事 件B 为“乙被安排在天和核心舱”,将甲、乙、丙、丁安排到３ 个航天舱,需要先将４人分为３组,再安排到３个航天舱,有 C２４A３３＝３６种 安 排 方 法,甲 被 安 排 在 天 和 核 心 舱,有 A３３－ C２３A２２＝１２种安排方法,则P(A)＝ １２ ３６＝ １ ３ ,若甲、乙均被安 排在天和核心舱,有 A２２＝２种安排方法,则P(AB)＝ ２ ３６＝ １ １８ ,故甲被安排在天和核心舱的条件下,乙也被安排在天和 核心舱的概率P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ １ １８ １ ３ ＝１６． 答案:１ ６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０４ ８．解析:依题意,甲、乙、丙、丁四位同学参加三个项目所有的方 案共 C２４A３３＝３６种,其中甲、乙参加同一项目的方案 A３３＝６ 种,则所求的参赛方案一共有３６－６＝３０种;因为甲、乙两人 不能参加同一项目,所以丙、丁两人不能参加同一项目,则 甲、乙必有其中一人和丙、丁其中一人参加同一项目,这里有 C１２C１２A３３＝２４种方案,若甲单独选择跳台滑雪,则丙、丁可分 别选择越野滑雪或者单板滑雪,乙也可在其中二选一,故总 共有 A２２C１２＝４种不同的方案;若甲和一人一起选择跳台滑 雪,则甲只可能和丙或丁共同选择,剩下２个人分别选择２ 个项目,故共有 C１２A２２＝４种不同的方案;同理,乙单独选择 跳台滑雪,有 A２２C１２＝４种不同的方案;乙和一人共同选择跳 台滑雪,有 C１２A２２＝４种不同的方案,总共有１８种方案,所以 P(B|A)＝P (AB) P(A)＝ １６ ３０ ２４ ３０ ＝２３． 答案:３０　２３ ９．解:设A:在班内任选１名学生,该学生属于第一小组,B:在 班内任选１名学生,该学生是团员． (１)P(A)＝１０４０＝ １ ４． (２)P(B)＝１５４０＝ ３ ８． (３)P(AB)＝４４０＝ １ １０． (４)P(A|B)＝P (AB) P(B)＝ １ １０ ３ ８ ＝４１５． １０．解:(１)平均年龄􀭺x＝(５×０．００１＋１５×０．００２＋２５×０．０１２ ＋３５×０．０１７＋４５×０．０２３＋５５×０．０２０＋６５×０．０１７＋７５× ０．００６＋８５×０．００２)×１０＝４７．９(岁)． (２)设A＝{一位这种疾病患者的年龄位于区间[２０,７０)}, 则P(A)＝１－P(􀭿A)＝１－(０．００１＋０．００２＋０．００６＋０．００２) ×１０＝１－０．１１＝０．８９． (３)设B＝{任选一人年龄位于区间[４０,５０)},C＝{任选一 人患这种疾病},则由条件概率公式,得P(C|B)＝P (BC) P(B) ＝０．１％×０．０２３×１０１６％ ＝ ０．００１×０．２３ ０．１６ ＝０．００１４３７５ ≈０．００１４． 即此人患这种疾病的概率为０．００１４． 新题快递 １．解析:从 １０ 人 中 任 选 ３ 人 的 事 件 个 数 为 C３１０ ＝ １０×９×８ ３×２×１ ＝１２０, 恰有１名男生２名女生的事件个数为 C１４C２６＝４× ６×５ ２×１＝６０ , 则恰有１名男生２名女生的概率为６０１２０＝０．５． 答案:０．５ ２．解析:设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为５n,４n,６n, 所以总数为１５n, 所以甲盒中黑球个数为４０％×５n＝２n,白球个数为３n; 乙盒中黑球个数为２５％×４n＝n,白球个数为３n; 丙盒中黑球个数为５０％×６n＝３n,白球个数为３n; 记“从三个盒子中各取一个球,取到的球都是黑球”为事件 A,所以P(A)＝０．４×０．２５×０．５＝０．０５; 记“将三个盒子混合后取出一个球,是白球”为事件B, 黑球总共有２n＋n＋３n＝６n个,白球共有９n个, 所以P(B)＝９n１５n＝ ３ ５． 答案:０．０５或 １２０( ) 　 ３ ５ (或０．６) 假期作业５ 思维整合室 １．Ω　唯一的实数X(ω)　有限个　一一列举 ３．(１)x１p１＋x２p２＋􀆺＋xnpn　平均水平 (２)(x１－E(X))２p１＋(x２－E(X))２p２＋􀆺＋(xn－E(X))２pn ∑ n i＝１ (xi－E(X))２pi ４．aE(X)＋b　a２D(X) 技能提升台 １．D　[X＝４表示抛掷两颗骰子,所得点数之和为４的所有结果, 可能是一颗１点,另一颗３点,也可能是两颗均为２点．] ２．B　[设A、B 分别为每台雷达发现飞行目标的事件,ξ的可 能取值为０、１、２． P(ξ＝０)＝P(􀭿A􀭺B)＝P(A)P(B) ＝(１－０．９)×(１－０．８５)＝０．０１５． P(ξ＝１)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B) ＝０．９×０．１５＋０．１×０．８５＝０．２２． P(ξ＝２)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝０．９×０．８５ ＝０．７６５． 所以E(ξ)＝０×０．０１５＋１×０．２２＋２×０．７６５ ＝１．７５．] ３．D　[由题意知,E(X)＝－１×１２＋０× １ ３＋１× １ ６＝ －１３ ,故D(X)＝ －１＋１３( ) ２ ×１２＋ ０＋ １ ３( ) ２ ×１３＋ １＋ １ ３( ) ２ ×１６＝ ５ ９ ,D(Y)＝D(２X＋２)＝４D(X)＝４×５９＝ ２０ ９． ] ４．B　[X 的可能取值为１,２,３,４,四种情形的数学期望E(X) ＝１×p１＋２×p２＋３×p３＋４×p４ 都为２．５,方差 D(X)＝ [１－E(X)]２×p１＋[２－E(X)]２×p２＋[３－E(X)]２×p３＋ [４－E(X)]２×p４,标准差为 D(X)．A 选项的方差 D(X) ＝０．６５;B 选项的方差D(X)＝１．８５;C选项的方差D(X)＝ １．０５;D选项的方差 D(X)＝１．４５．可知选项 B的情形对应 样本的标准差最大．故选B．] ５．BD　[设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事 件A,则P(A)＝２＋３５０ ＝ １ １０． 依题意得,X１ 的分布列为 X１ １ ２ ３ P １２５ ３ ５０ ９ １０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １４ 　　 假期作业４　条件概率与全概率公式　　　　　　　　　　 １．条件概率 定义:一般地,设A,B 为两个随机事件,且 P(A)＞０,我们称　　　　为在事件A 发 生的条件下,事件B 发生的条件概率,简称 条件概率． ２．概率的乘法公式 对任意两个事件 A 与B,若 P(A)＞０,则 P(AB)＝P(A)􀅰P(B|A)． ３．条件概率的性质 设P(A)＞０,则 (１)P(Ω|A)＝　　; (２)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A) ＝　　　　; (３)设B 和B 互为对立事件,则P(B|A)＝１－ 　　　　． ４．全概率公式 一般地,设A１,A２,􀆺,An 是一组两两互斥 的事件,A１∪A２∪􀆺∪An＝Ω,且P(Ai)＞ ０,i＝１,２,􀆺,n,则对任意的事件B⊆Ω,有 P(B)＝　　　　． ５．贝叶斯公式 设A１,A２,􀆺,An 是一组两两互斥的事件, A１∪A２∪􀆺∪An＝Ω,且P(Ai)＞０,i＝１, ２,􀆺,n,则对任意的事件B⊆Ω,P(B)＞０, 有P(Ai|B)＝　　　　　＝　　　　　, i＝１,２,􀆺,n． １．小明的妈妈为小明煮了５个粽子,其中两个 腊肉馅三个豆沙馅,小明随机取出两个,事 件A＝“取到的两个为同一种馅”,事件B＝ “取到的两个都是豆沙馅”,则P(B|A)＝ (　　) A．１４　　B． ３ ４　　C． １ １０　　D． ３ １０ ２．一次考试中,某班级数学成绩不及格的学生 占２０％,数学成绩和物理成绩都不及格的 学生占１５％．已知该班某学生数学成绩不 及格,则该学生物理成绩也不及格的概率为 (　　) A．０．１５ B．０．２ C．０．３ D．０．７５ ３．长时间玩手机可能影响视力,据调查,某校 学生大约 ４０％ 的人近 视,而 该 校 大 约 有 ２０％的学生每天玩手机超过１h,这些人的 近视率约为５０％．现从每天玩手机不超过 １h的学生中任意调查一名学生,则他近视 的概率为 (　　) A．２５ B． ３ ８ C． ５ ８ D． ３ ４ ４．(多选)甲罐中有５个红球,２个白球和３个 黑球,乙罐中有４个红球,３个白球和３个 黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 分别以A１,A２ 和A３ 表示由甲罐取出的球 是红球、白球和黑球,再从乙罐中随机取出 一球,以B 表示由乙罐取出的球是红球．则 下列结论中正确的是 (　　) A．P(B)＝２５ B．P(B|A１)＝ ５ １１ C．事件B 与事件A１ 相互独立 D．A１,A２,A３ 是两两互斥的事件 ５．(多选)５张卡片上分别标有数字１,２,３,４,５,每 次从中任取一张,连取两次,若第一次取出的 卡片不放回,则下列结论正确的是 (　　) A．第二次取出的卡片是２的概率为１５ B．第二次取出的卡片上的数字大于第一次 取出的卡片上的数字的概率为１ ２ C．第二次取出的卡片上的数字大于第一次 取出的卡片上的数字的概率为２ ５ D．第二次取出的卡片上的数字小于第一次 取出的卡片上的数字的概率为３ ５ ６．某工厂生产的产品以１００件为一批,假定每 一批产品中的次品数最多不超过４件,且具 有如下的概率: 一批产品中 的次品数 ０ １ ２ ３ ４ 概率 ０．１０．２０．４０．２０．１ 现进行抽样检验,从每批中随机取出１０件 来检验,若发现其中有次品,则认为该批产 品不合格,则一批产品通过检验的概率为 (　　) A．０．８１４ B．０．８０９ C．０．７２７ D．０．６５２ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ ７．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问 天实验舱和梦天实验舱．假设空间站要安排 甲、乙、丙、丁４名航天员开展实验,每名航 天员只能去一个舱,每个舱至少安排一个 人,则甲被安排在天和核心舱的条件下,乙 也被安排在天和核心舱的概率为　　　　． ８．甲、乙、丙、丁四位同学参加跳台滑雪、越野 滑雪、单板滑雪三个项目的比赛,每人只能 参加一个项目,每个项目至少一个人参加, 且甲、乙两人不能参加同一项目的比赛,则 四人参加比赛的不同方案一共有　　　种; 如果符合以上条件的各种方案出现的概率 相等,定义事件 A 为丙和丁参加的项目不 同,事件B 为甲和乙恰好有一人参加跳台 滑雪,则P(B|A)　　　　． ９．某 个 班 级 共 有 学 生 ４０ 人,其 中 团 员 有 １５人．全班分成四个小组,第一小组有学生 １０人,其中团员有４人．如果要在班内任选 １人当学生代表． (１)求这个代表恰好在第一小组的概率; (２)求这个代表恰好是团员代表的概率; (３)求这个代表恰好是第一小组团员的概率; (４)现在要在班内任选１个团员代表,求这 个代表恰好在第一小组的概率． １０．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷)在某地区进行流行病 学调查,随机调查了１００位某种疾病患者 的年龄,得到如下的样本数据的频率分布 直方图: (１)估计该地区这种疾病患者的平均年龄 (同一组中的数据用该组区间的中点值为 代表); (２)估计该地区一位这种疾病患者的年龄 位于区间[２０,７０)的概率; (３)已知该地区这种疾病的患病率为０．１％, 该地区年龄位于区间[４０,５０)的人口占该地 区总人口的１６％．从该地区中任选一人,若 此人的年龄位于区间[４０,５０),求此人患这 种疾病的概率(以样本数据中患者的年龄 位于各区间的频率作为患者的年龄位于该 区间的概率,精确到０．０００１)． １．(２０２３􀅰上海卷)为了学习宣传党的二十大 精神,某校学生理论宣讲团赴社区宣讲,已 知有４名男生,６名女生,从１０人中任选３ 人,则恰有１名男生２名女生的概率为　　 　　． ２．(２０２３􀅰天津卷)甲、乙、丙三个盒子中装有 一定数量的黑球和白球,其总数之比为５∶ ４∶６．这三个盒子中黑球占总数的比例分别 为４０％,２５％,５０％．现从三个盒子中各取 一个球,取到的三个球都是黑球的概率为 　　　　;将三个盒子中的球混合后任取一 个球,是白球的概率为　　　　． 高 中 数 学 到 底 有 多 可怕? 课上弯腰捡了一下笔 帽,起 来 后 就 再 也 没 听 懂 过􀆺􀆺 我题目还没抄完呢,学 霸已经给出答案了􀆺􀆺 我眼睁睁地看着数学老师把一堆字母算 成一个数字􀆺􀆺 上数学课的时候,我把这一周的早、中、晚 餐都想好吃什么了􀆺􀆺 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８