假期作业2 排列与组合-【快乐假期】2025年高二数学暑假大作业

　　　　假期作业２　排列与组合　　　　　　　　　　 １．排列 (１)排列的定义:从n个　　　　元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的　　　　排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个 元素的一个排列． (２)排列数的定义:从n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的　　　　　　的个数叫 做从n个不同元素中取出m 个元素的排 列数,用　　　　表示． (３)排列数公式:Amn＝　　　　． (４)全排列:n个不同元素全部取出的一个排列, 叫做n个元素的一个全排列,Ann＝n􀅰(n－１) 􀅰(n－２)􀅰􀆺􀅰２􀅰１＝　　　　．排列数公 式写成阶乘的形式为Amn＝ n! (n－m)! ,这里 规定０! ＝　　　　． ２．组合 (１)组合的定义:从n个　　　　元素中取出 m(m≤n)个元素　　　　,叫做从n个不 同元素中取出m 个元素的一个组合． (２)组合数的定义:从n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的　　　　　　的个数, 叫做从n个不同元素中取出m 个元素的 组合数,用　　　　表示． (３)组合数的计算公式:Cmn ＝ Amn Amm ＝ n ! m! (n－m)! ＝n (n－１)(n－２)􀆺(n－m＋１) m! , 由于０! ＝　　　　,所以C０n＝１． (４)组合数的性质:①Cmn ＝　　　　;②Cmn＋１＝ 　　　　＋　　　　． １．６个朋友聚会,每两人握手１次,则一共握 手的次数是 (　　) A．A２６ B．C２６ C．６２ D．２６ ２．为弘扬我国古代的“六艺文化”,某夏令营主 办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射” “御”“书”“数”六门体验课程,每周一门,连 续开设六周．若课程“乐”不排在第一周,课 程“御”不排在最后一周,则所有可能的排法 种数为 (　　) A．２１６ B．４８０ C．５０４ D．６２４ ３．２０２３年杭州亚运会是疫情之后我国举办的 一项重大赛事,它不仅向世界展示了我国强 大的综合实力,更体现了我国青年的奉献精 神和志愿力量．运动会期间甲、乙、丙、丁、戊 ５名志愿者站成一排拍照留念,其中甲和乙 相邻,甲和丙不相邻,则不同的排列方式共 有(　　)种． A．２４ B．３２ C．３６ D．４０ ４．为贯彻落实«中共中央国务院关于全面深化 新时代教师队伍建设改革的意见»精神,加 强义务教育教师队伍管理,推动义务教育优 质均衡发展,安徽省全面实施中小学教师 “县管校聘”管理改革,支持建设城乡学校共 同体．２０２４年暑期某市教体局计划安排市 区学校的６名骨干教师去４所乡镇学校工 作一年,每所学校至少安排１人,则不同安 排方案的总数为 (　　) A．２６４０　B．１４４０　C．２１６０　D．１５６０ ５．(２０２２􀅰新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊５ 名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在 两端,丙和丁相邻,则不同的排列方式共有 (　　) A．１２种　B．２４种　C．３６种　D．４８种 ６．(多选)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝 土搅拌车４辆工程车,将它们全部派往３个 工地进行作业,每个工地至少派１辆工程 车,则不同的派往方法有 (　　) A．１８种 B．C１３C１２C１１C１３ 种 C．C１３C２４A２２ 种 D．C２４A３３ 种 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３ ７．４名同学到３个小区参加垃圾分类宣传 活动,每名同学只去１个小区,每个小区 至少安排１名同学,则不同的安排方法共 有　　　　种． ８．中国的“五岳”是指在中国境内的五座名山: 东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、 中岳嵩山,坐落于东、西、南、北、中五个方 位．在甲决定从嵩山、泰山、华山、庐山、黄山 这５座名山中,选择２座名山在２０２４年五一 期间去旅游,则甲至少选中一座属于“五岳” 的名山的概率为　　　(用数字作答)． ９．在一次数学竞赛中,某学校有１２人通过了 初试,学校要从中选出５人参加市级培训． 在下列条件下,各有多少种不同的选法? (１)任意选５人; (２)甲、乙、丙三人必须参加; (３)甲、乙、丙三人不能参加; (４)甲、乙、丙三人只能有１人参加． １０．某小组６个人排队照相留念． (１)若分成两排照相,前排２人．后排４人, 有多少种不同的排法? (２)若分成两排照相,前排２人,后排４人． 但其中甲必须在前排,乙必须在后排．有多 少种排法? (３)若排成一排照相,甲、乙两人必须在一 起,有多少种不同的排法? (４)若排成一排照相,其中甲必在乙的右 边,有多少种不同的排法? (５)若排成一排照相,其中有３名男生３名 女生,且男生不能相邻有多少种排法? (６)若排成一排照相,且甲不站排头乙不站 排尾,有多少种不同的排法? １．(２０２３􀅰全国甲卷(理))有五名志愿者参加 社区服务,共服务星期六、星期天两天,每天 从中任选两人参加服务,则两天中恰有１人 连续参加两天服务的选择种数为 (　　) A．１２０　　B．６０　　C．４０　　D．３０ ２．(２０２３􀅰新高考Ⅰ卷)某学校开设了４门体 育类选修课和４门艺术类选修课,学生需从 这８门课中选修２门或３门课,并且每类选 修课至少选修１门,则不同的选课方案共有 　　　　种(用数字作答)． 不爱回信的怀特海德　有一次罗素写了 两次信向怀特海德请教一个数学问题,他都没 有回信．于是他又打了一封付好回资的电报给 他,仍然没有回音．最后只好亲自向他当面请 教．假如有人收到了怀特海德的信,大家便会 一起祝贺他,有人问怀特海德为什么不回信, 他说:“假如我经常要给人写回信,那我就没有 时间从事独创性的工作了．” 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４ 假期作业２ 思维整合室 １．(１)不同　顺序　(２)所有不同排列　Amn (３)n(n－１)(n－２)􀆺(n－m＋１)　(４)n! 　１ ２．(１)不同　合成一组　(２)所有不同组合　Cmn 　(３)１ (４)Cn－mn 　Cmn 　Cm－１n 技能提升台 １．B　[每两人握手１次,无顺序之分,是组合问题,从６人中选 取２ 人 的 一 个 组 合 就 是 一 次 握 手,故 一 共 握 手 的 次 数 是 C２６．] ２．C　[“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程的全排列有 A６６ 种排法,其中课程“乐”排在第一周有 A５５ 种不同的排法, 课程“御”排在最后一周有 A５５ 种不同的排法,而课程“乐”排 在第一周且课程“御”排在最后一周有 A４４ 种不同的排法,因 此课程“乐”不排在第一周,课程“御”不排在最后一周的排法 有 A６６－２A５５＋A４４＝７２０－２４０＋２４＝５０４(种)．故选 C．] ３．C　[甲和乙相邻,则甲乙有 A２２ 种排法,则甲、乙、丁、戊共有 A２２A３３ 种排法,此时甲、乙、丁、戊间共有五个位置可排,但甲 和丙不相邻,故只能在三个位置中选一个,故共有 A２２A３３C１３ ＝２×６×３＝３６种排法．] ４．D　[６人分组有２种情况:２２１１,３１１１, 所以不同安排方案的总数为 C２６C２４ A２２ ＋C３６( )A４４ ＝１５６０．故选 D．] ５．B　[先利用捆绑法排乙、丙、丁、戊四人,再用插空法选甲的 位置,则有 A２２A３３C１２＝２４种不同的排列方式,故选B．] ６．CD　[本题考查排列组合的应用．将４辆工程车分组为１,１, ２后再分配到３个工地,共有 C２４A３３＝３６种派法,故 D正确; 先选择１个工地派２辆工程车,再将剩余的２辆车派给其他 ２个工地,共有 C１３C２４A２２＝３６种派法,故 C正确;C１３C１２C１１C１３＝ １８≠３６．故选 CD．] ７．解析:将４名同学分成人数为２,１,１的３组有 C２４＝６种分 法,再将３组同学分到３个小区共有 A３３＝６种分法,由分步 乘法计数原理可得不同的安排方法共有６×６＝３６种． 答案:３６ ８．解析:从５座名山中任选２座名山,共有 C２５＝１０种方案,其 中２座名山都不在五岳之内的共有１种,故甲至少选中一座 属于“五岳”的名山的概率为１０－１ １０ ＝０．９． 答案:０􀆰９ ９．解:(１)从中任选５人 是 组 合 问 题,不 同 的 选 法 种 数 为 C５１２ ＝７９２． (２)甲、乙、丙三人必须参加,则只需要从另外９人中选２人,是 组合问题,不同的选法种数为C２９＝３６． (３)甲、乙、丙三人不能参加,则只需要从另外的９人中选５ 人,不同的选法种数为 C５９＝１２６． (４)甲、乙、丙三人只能有１人参加,可分两步: 第１步,从甲、乙、丙中选１人,有 C１３ 种选法; 第２步,从另外９人中选４人,有 C４９ 种选法． 根据分步乘法计数原理,可得不同的选法种数为C１３C４９＝３７８． １０．解:(１)前排２人,后排４人,相当于６个人全排列,共有 A６６ ＝７２０种排法． (２)先将甲排在前排 A１２,乙排在后排 A１４． 其余４人全排列 A４４．根据分步乘法原理得,共有 A１２A１４A４４＝ １９２种排法． (３)甲、乙视为一个人,即看成５人全排列问题 A５５,再将甲、 乙两人排列 A２２, 根据分步乘法原理可得,共有 A５５A２２＝２４０种排法． (４)甲必在乙的右边属于定序问题．用除法,共有 A６６ A２２ ＝３６０ 种排法． (５)将３名男生插入３名女生之间的４个空位,这样保证男 生不相邻． 根据分步乘法原理得,共有 A３３A３４＝１４４种排法． (６)乙在排头其余５人全排列,共有 A５５ 种排法; 乙不在排头,排头和排尾均为 A１４,其余４个位置全排列有 共有 A４４,根据分步乘法得 A１４A１４A４４．再根据分类加法原理 得,共有 A５５＋A１４A １ ４A４４＝５０４种排法． 新题快递 １．B　[先从５人中选１人连续两天参加服务,共有C１５＝５种选 法,然后从剩下４人中选１人参加星期六服务,剩下３人中 选取１人参加星期日服务,共有 C１４􀅰C１３＝１２种选法, 根据分步乘法计数原理可得共有５×１２＝６０种选法．] ２．解析:当从这８门课中选修２门课时,共有 C１４􀅰C１４＝１６;当 从这８门课中选修３门课时,共有 C１４􀅰C２４＋C２４􀅰C１４＝４８;综 上可知,共有６４种不同的选课方案． 答案:６４ 假期作业３ 思维整合室 １．二项展开式　二项式　通项　２．(１)n＋１　(２)n (３)降幂　升幂　(４)C０n　Cnn　３．(１)相等　Crn＝Cn－rn (２)增大　(３)２n　２n－１ 技能提升台 １．C　[原式＝(２＋１)n＝３n．] ２．D　 [由 于 ５１＝５２－１,(５２－１)２０２２ ＝C０２０２２ 􀅰５２２０２２ － C１２０２２５２２０２１＋􀆺－C２０２１２０２２５２１＋１,又１３能整除５２,所以只需１３ 能整除１＋a,又０≤a＜１３,a∈Z,所以a＝１２．] ３．C　[Tr＋１＝Cr５(x)５－r(－２)r＝Cr５x ５－r ２ 􀅰(－２)r, 令５－r ２ ＝２ ,∴r＝１．x２ 的系数为 C１５(－２)１＝－１０．故选 C．] ４．C　[令x＝１得各项系数的和为４n,各二项式系数的和为 ２n,则４ n ２n ＝６４,解得n＝６．] ５．B　[当x＝１时,１＝a４＋a３＋a２＋a１＋a０①;当x＝－１时, ８１＝a４－a３＋a２－a１＋a０②;①＋②得a４＋a２＋a０＝ １＋８１ ２ ＝４１．] ６．CD　[本题考查二项式定理．展开式共有７项,故 A 错误; ２x－１x２( ) ６ 展开式的通项为 Tr＋１＝Cr６(２x)６－r􀅰 － １ x２( ) r ＝(－１)r２６－r􀅰Cr６x６－３r,当r＝２时,展开式 中 的 常 数 项 为 (－１)２􀅰２４C２６＝２４０,故 B错误;令x＝１,则展开式的各项系 数之和为１,故 C正确;展开式的二项式系数之和为２６＝６４, 故 D正确,故选 CD．] ７．解析:原式＝(x＋y)８－yx (x＋y)８,由二项式定理可知其展开 式中x２y６ 的系数为C６８－C５８＝－２８． 答案:－２８ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９３