假期作业1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【快乐假期】2025年高二数学暑假大作业

　　　　　　　　假期作业１　分类加法计数原理与分步乘法计数原理　　　　　　　　　　 １．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案,在第１类方案 中有m 种不同的方法,在第２类方案中有n 种不同的方法．那么完成这件事共有 N＝ 　　　　种不同的方法． ２．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤,做第１步有 m 种不同的方法,做第２步有n 种不同的方 法,那么完成这件事共有N＝　　　　种不 同的方法． ３．分类加法和分步乘法计数原理的区别:分类 加法计数原理针对“分类”问题,其中各种方 法相互独立,用其中任何一种方法都可以做 完这件事;分步乘法计数原理针对“分步”问 题,各个步骤中的方法相互依存,只有各个 步骤都完成了才算完成这件事． ４．分类加法计数原理与分步乘法计数原理是 解决排列组合问题的基础,并贯穿其始终． (１)分类加法计数原理中,完成一件事的方法 属于其中一类,并且只属于其中一类． (２)分步乘法计数原理中,各个步骤中的方法 相互依存,步与步之间“相互独立,分步 完成”． １．将３张不同的２０２４年巴黎奥运会门票分给 １０名同学中的３人,每人１张,则不同分法 的种数是 (　　) A．２１６０　B．７２０　C．２４０　D．１２０ ２．山东夏季新高考实施“３＋３”模式,其中第一个 “３”指语文、数学、英语３科,第二个“３”指学生 从物理、化学、生物、政治、历史、地理６科中任 选３科作为选考科目．某同学计划从物理、化 学、生物３科中任选２科,从政治、历史、地理３ 科中任选１科作为选考科目,则该同学３科选 考科目的不同选法的种数为 (　　) A．６ B．７ C．８ D．９ ３．已知集合 M＝{１,－２,３},N＝{－４,５,６, －７},从集合 M 中选一个元素作为点的横 坐标,从集合 N 中选一个元素作为点的纵 坐标,则落在第三、第四象限内点的个数是 (　　) A．６ B．８ C．１０ D．１２ ４．(２０２１􀅰全国甲卷,１０)将４个１和２个０随机 排成一行,则２个０不相邻的概率为 (　　) A．１３ B． ２ ５ C． ２ ３ D． ４ ５ ５．某外语组有９人,每人至少会英语和日语中 的一门,其中７人会英语,３人会日语,从中 选出会英语和日语的各一人,有多少种不同 的选法 (　　) A．１０ B．２０ C．２１ D．４０ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １ ６．(多选)现有４个数学课外兴趣小组,第一、 二、三、四组分别有７人、８人、９人、１０人, 则下列说法正确的是 (　　) A．选１人为负责人的选法种数为３４ B．每组选１名组长的选法种数为５４００ C．若推选２人发言,这２人需来自不同的小 组,则不同的选法种数为４２０ D．若另有３名学生加入这４个小组,加入的 小组可自由选择,且第一组必须有人选, 则不同的选法有３７种 ７．已知A＝{－３,－２,－１,０,１,２,３},a、b∈A,则 |a|＜|b|的情况有　　　　种． ８．已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的 数字大的正整数(如２３６),那么三位渐升数 有　　　　个,其中比５１６大的三位渐升数 有　　　　个． ９．在７名学生中,有３名会下象棋但不会下围 棋,有２名会下围棋但不会下象棋,另２名 既会下象棋又会下围棋,现在从这７人中选 １人参加象棋比赛,另选１人参加围棋比 赛,共有多少种不同的选法? １０．用１,２,３,４四个数字(可重复)排成三位 数,并把这些三位数由小到大排成一个数 列{an}． (１)写出这个数列的前１１项; (２)这个数列共有多少项; (３)若an＝３４１,求n． １．数学与文学有许多奇妙的联系,如诗中有回 文诗:“客醉花间花醉客”,既可以顺读也可 以逆读．数学中有回文数,如３４３,１２５２１等, 两位数的回文数有１１,２２,３３,􀆺,９９共９ 个,则三位数的回文数中是奇数的个数是　 　　　． ２．２０２３年８月至１０月贵州榕江举办了“超级 星期六”全国美食足球友谊赛．已知第一赛 季的第一个周六(８月２６日)共报名了贵州 贵阳烤肉队等３支省内和辽宁东港草莓队 等３支省外美食足球代表队．根据赛程安 排,在８月２６日举行三场比赛,每支球队都 要参赛,且省内代表队不能安排在同一场, 则比赛的安排方式有　　　　种．(用数字 作答) 文学大师华罗庚　华罗庚不仅是数学大 师,也是饱学之士．有一次钱三强、赵九章、华 罗庚等科学家出国考察．途中闲暇,华罗庚以 钱三强为题,随口拈出一联:三强韩赵魏,征询 下联.众人苦思冥想,不得善对．最后由华罗 庚指着身边的赵九章,对曰:九章勾股弦．展现 出了华罗庚在文学方面的造诣也很深厚． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２ 参考答案 [第一部分] 假期作业１ 思维整合室 １．m＋n　２．m×n　 技能提升台 １．B　[分步来完成此事．第１张有１０种分法;第２张有９种分 法;第３张有８种分法．共有１０×９×８＝７２０种分法．] ２．D　[从物理、化学、生物３科中任选２科,有３种选法,从政 治、历史、地理３科中任选１科有３种选法,根据分步乘法计 数原理可得不同的选法种数为３×３＝９．] ３．A　[依题意,可得点的坐标有:(１,－４),(１,５),(１,６),(１, －７),(－２,－４),(－２,５),(－２,６),(－２,－７),(３,－４), (３,５),(３,６),(３,－７)．其中落在第三、第四象限内点有(１, －４),(１,－７),(－２,－４),(－２,－７),(３,－４),(３,－７),共 ６个．] ４．C　[将４个１和２个０随机排成一行共有 C２６ 种排法,先将 ４个１全排列,再将２个０用插空法共有 C２５ 种排法,则所求 的概率为P＝C ２ ５ C２６ ＝２３． 故选 C．] ５．B　[“完成一件事”指“从９人中选出会英语与日语的各１ 人”,故需分三类:①既会英语又会日语的不当选;②既会英 语又会日语的按会英语当选;③既会英语又会日语的按会日 语当选．既会英语又会日语的有７＋３－９＝１(人),仅会英语 的有６人,仅会日语的有２人．先分类后分步,从仅会英、日 语的人中各选１人有６×２种选法;从仅会英语与英、日语都 会的人中各选１人有６×１种选法;从仅会日语与英、日语都 会的人中各选１人有２×１种选法．根据分类加法计数原理, 共有６×２＋６×１＋２×１＝２０(种)不同选法．] ６．AD　[对于 A,４个数学课外兴趣小组共有７＋８＋９＋１０＝ ３４(人),故选１人为负责人的选法共有３４种,A 对;对于 B, 分四步:第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选 １名组长,所以不同的选法共有７×８×９×１０＝５０４０(种),B 错;对于 C,分六类:从第一、二组中各选１人,有７×８种不 同的选法;从第一、三组中各选１人,有７×９种不同的选法; 从第一、四组中各选１人,有７×１０种不同的选法;从第二、 三组中各选１人,有８×９种不同的选法;从第二、四组中各 选１人,有８×１０种不同的选法;从第三、四组中各选１人, 有９×１０种不同的选法．所以不同的选法共有７×８＋７×９ ＋７×１０＋８×９＋８×１０＋９×１０＝４３１(种),C错;对于 D,若 不考虑限制条件,每个人都有４种选法,共有４３＝６４种选 法,其中第一组没有人选,每个人都有３种选法,共有３３＝ ２７种选法,所 以 不 同 的 选 法 有 ６４－２７＝３７(种),D 对．故 选 AD．] ７．解析:当a＝－３时,０种, 当a＝－２时,２种,当a＝－１时,４种; 当a＝０时,６种,当a＝１时,４种; 当a＝２时,２种,当a＝３时,０种, 故共有:２＋４＋６＋４＋２＝１８(种)． 答案:１８ ８．解析:完成这件事需选出３个数,要满足“渐升数”需分类来 解．当百位上的数字为１,十位上的数字为２时,个位上的数 字有７种选法;当百位上的数字为１,十位上的数字为３时, 个位上的数字有６种选法;􀆺;当百位上的数字为１,十位上 的数字为８时,个位上的数字有１种选法．由加法原理得百 位上的数字为１的三位“渐升数”有７＋６＋５＋􀆺＋１＝２８ (个)． 同理,百位上的数字为２的三位“渐升数”有６＋５＋４＋􀆺＋ １＝２１(个), 百位上的数字为３的三位“渐升数”有 ５＋４＋３＋２＋１＝ １５(个),百位上 的 数 字 为 ４的“渐 升 数”有 ４＋３＋２＋１＝ １０(个),百位上的数字为５的三位“渐升数”有３＋２＋１＝ ６(个),百位上的数字为６的三位“渐升数”有２＋１＝３(个), 百位上的数字为７的三位“渐升数”有１个．根据加法原理得 共有２８＋２１＋１５＋１０＋６＋３＋１＝８４(个)“渐升数”．百位上 的数字为５,６,７的三位“渐升数”均比５１６大,故比５１６大的 三位“渐升数”有６＋３＋１＝１０(个)． 答案:８４　１０ ９．解:画出示意图,如图所示,既会下象棋 又会下围棋的“多面手”有２名学生(对 应图中的阴影部分), 从参加象棋比赛的１名学生入手进行分 类,可分两类: 第１类,参加象棋比赛的１名学生来自只会下象棋的３名学 生,有３种选法, 会下围棋的人数为２＋２＝４,再从这４人中选１人参加围棋 比赛,有４种选法,根据分步乘法计数原理,参加比赛的选法 种数为３×４＝１２． 第２类,参加象棋比赛的１名学生来自２名“多面手”学生, 有２种选法,剩余会下围棋的人数为２＋１＝３,再从这３人 中选１人参加围棋比赛,有３种选法,根据分步乘法计数原 理,参加比赛的选法种数为２×３＝６． 根据分类加法计数原理,不同的选法种数为１２＋６＝１８． １０．解:(１)１１１,１１２,１１３,１１４,１２１,１２２,１２３,１２４,１３１,１３２,１３３． (２)这个数列的项数就是用１,２,３,４排成的三位数的个数, 每个数位上都有４种排法,则共有４×４×４＝６４项． (３)比an＝３４１小的数有两类: ① １ × × ２ × × 　② ３ １ × ３ ２ × ３ ３ × 共有２×４×４＋１×３×４＝４４项． 所以n＝４４＋１＝４５(项)． 新题快递 １．解析:设三位数的回文数为ABA,A 有１到９,共９种可能, 即１B１、２B２、３B３、􀆺９B９．其 中 奇 数 共 ５ 种 可 能,即 １B１, ３B３,５B５,７B７,９B９,B 有０到９共１０种可能,即A０A、A１A、 A２A、A３A、􀆺A９A,所以符合题意的有５×１０＝５０个． 答案:５０ ２．解析:根据题意,可分为２步进行分析:①先将３支省内代表 队安排在三场比 赛,每 场 一 支 代 表 队,有 A３３＝６种 安 排 方 法;②再将３支外省的代表队安排在三场比赛,每场一支代 表队,有 A３３＝６种安排方法,则有６×６＝３６种不同的安排 方式． 答案:３６ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ８３