专题03 导数及其应用-【好题汇编】2025年高考数学三模试题分类汇编（新高考通用）

专题03 导数及其应用 题型概览 题型01 导数的几何意义 题型02 利用导数研究函数的单调性 题型03 利用导数研究函数的极值、最值 题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根 题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立 题型06 三次函数的图象与性质 ( 题型0 1 )导数的几何意义 1．（2025·湖南省郴州市·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由导数的几何意义求解即可. 【详解】根据题意可得，所以所求切线的斜率，所以所求切线的方程为，即.故选：B. 2．（2025·安徽省安庆市·三模）曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】，所以在点处的切线方程为，它与的交点为，与的交点为，所以三角形面积为故选：A 3．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值. 【详解】因为，所以，所以，又，所以在处的切线方程为：，又切线方程过原点，把代入得， 解得：．故答案为：. 4．（2025·四川省凉山州·三模）函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 【答案】0 【分析】求导，根据导数的几何意义即可得切线斜率. 【详解】因为，则，所以在点处的切线的斜率. 5．（2025·河北省张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 . 【答案】/0.5 【分析】对函数求导，代入，可得对应的导数值为0，由此可建立关于的方程，从而得解. 【详解】对函数求导得，，因为曲线在处的切线与轴垂直，所以，解得. 6．（2025·四川省绵阳市·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 . 【答案】 【分析】转化问题为方程有2个解，进而分，，，3种情况讨论求解即可. 【详解】由，，则，设切点为，则，则，因为过点恰能作曲线的2条切线，所以方程有2个解，则函数，与函数有2个交点，由，当时，，，因为，所以函数为偶函数，当时，单调递增，且时，，时，， 画出函数的大致图象，    此时满足函数，与函数有2个交点；若，令，得或；令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减， 且，画出函数的大致图象，    要使函数，与函数有2个交点，则；若，令，得；令，得或，则函数在和上单调递减，在上单调递增，且，画出函数的大致图象，    要使函数，与函数有2个交点，则.综上所述，所有点构成的集合为. 7．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）函数在处的切线垂直于y轴． (1)求实数a； (2)若方程有两根，求b的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，结合题意分析可知，代入运算求解即可； （2）根据导数分析的单调性和最值，进而可得的图象，分析可知与有2个交点，结合图象即可得结果. 【详解】（1）由题意可得：， 因为在处的切线垂直于y轴， 则，解得. （2）由（1）可知，定义域是，且， 令，解得， 当x变化时，，的变化情况如下： x 0 单调递减 单调递增 令，解得，当时，；当时，． 所以的图象经过特殊点，，，且当趋近于时，趋近于0；当趋近于时，趋近于，所以的大致图象如图； 若方程有两根，即与有2个交点，由图象可知：，所以b的取值范围为. 8．（2025年山东威海市三模）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； (3)设为非负实数，为正实数，若，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，通过和讨论函数单调性，即可求解； （2）设切点为，求的切线方程，代入，问题转换成方程有三个根，构造函数，则有3个零点，进而求解即可； （3）不妨设，通过或时，或，三种情况分类讨论即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，所以在上单调递增，所以无极值； 当时，令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以的极大值为， 综上可知，当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）设切点为，因为， 所以切线方程为， 因为切线过点，所以， 整理得， 因为曲线有三条过点的切线， 所以关于的方程有3个解， 令，则有3个零点， 因为， 令，解得，所以在上单调递增， 令，解得，所以在上单调递减， 所以，可得，所以 （3）不妨设， 当时，左边，右边，所以左边右边， 当时，左边，右边，所以左边=右边， 当时，因为s，t为正实数，，所以，要证，即证，即证，即证，令，则，因为，所以，所以在上单调递减，所以当时，，所以，所以在上单调递增， 因为，所以，所以，所以，即，综上可知， ( 题型0 2 )利用导数研究函数的单调性 1．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用导数值恒大于或等于0，再利用分离参变量思想即可求解. 【详解】求导得，要满足函数在区间上单调递增，则，即，因为，所以，即，故选：B. 2．（2025·湖南省永州市·三模）若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导，根据函数单调性与导数的关系得到的不等式，再通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值． 【详解】已知，可得． 因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立．移项可得在区间上恒成立，令，，则． 对求导，可得：．令，即，因为恒成立，所以，解得或．当时，，单调递增；当时，，单调递减．所以在处取得极大值，也是最大值，． 因为，所以实数的最小值为． 故选：C． 3．（2025年山东威海市三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，由题意将问题转换成有解，构造函数，由其单调性得到，求解即可. 【详解】求导可得，由题意有解， 即有解，即有解，令，因为，易知在单调递增，此时，所以，又，， 所以，解得：，所以的取值范围是.故选：B. 4．（2025·湖南省郴州市·三模）已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在处取得极大值 【答案】B 【分析】确定、的分布图，分析函数的单调性，可判断A选项；求得，比较、的大小，可得出函数的单调性，可判断BCD选项. 【详解】由图可知、的分布如图所示. 易得当时，，所以在上单调递减，则，A错误； 由，得.当时，，所以， 所以在上单调递减，所以，即，所以，B正确； 当时，，则，所以，在上单调递增，C错误； 当时，，所以，因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，在处取得极小值，D错误.故选：B. 5．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数的单调递减区间是，单调递增区间是. (2) 【分析】（1）通过求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （2）可通过分离参数，构造新函数，利用导数研究新函数的最值来求解. 【详解】（1）已知，当时，，对求导，可得.令，即，解得.当时，，所以，则在上单调递减. 当时，，所以，则在上单调递增. 综上所得，函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）当时，，即，移项可得.当时，，此时可以取任意实数.当时，可化为，令，对求导，可得.令，即，因为，，所以，解得.当时，，所以，在上单调递减.当时，，所以，在上单调递增.则在处取得极小值，也是最小值，.所以，解得. 实数的取值范围是. 6．（2025·湖南省郴州市·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). (3)答案见解析 【分析】 （1）对求导，即可判断函数的增减性；（2）先对求导，令，再对求导，即可得到在上单调递增，从而求解； （3）令，得. 再换元令，则，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则，当时，，当时，，故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，， 令，则，所以在上单调递增， 所以当时，， 所以在上单调递减，所以当时，. （3）令，得，即， 所以.令，则，即①， 当时，由，得在上恒成立， 所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数. 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，且当时，.因为，所以. 当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为 ，即时，方程①无解，的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2；当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 7．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，． (1)已知在处的切线斜率为，求实数的值； (2)若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围； (3)若函数在上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义得出，即可解得实数的值； （2）当时，由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，利用导数求出函数在上的值域，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为，则， 由题意可得，解得. （2）当时，，， 则，由可得，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 又因为，， 因为关于的方程有个不相等的实数解， 则直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （3）由题意，当时，，则恒成立，令，则，因为，， 所以对任意的恒成立，故函数在上单调递减，所以，因为对任意的恒成立，所以，解得. 因此，实数的取值范围是. ( 题型0 3 )利用导数研究函数的极值、最值 1．（2025·河南省安阳市·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】由已知得，令，得，判断单调性，根据极小值求出参数的值. 【详解】由已知得，令，得，当时，单调递减，当或时，单调递增，所以的极小值为，解得.故选：A. 2．（2025·重庆市·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围. 【详解】已知，根据绝对值的性质，当时，，此时；当时，，此时.所以. 对分段函数求导，当时，，对其求导，可得；当时，，对其求导可得. 因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.当时，，令，即，解得；当时，，令，即，解得. 要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，又由，得到在上单调递增，得到，令，求得，令，求得，得到在上单调递减，且，进而得到的单调性和极值（最值），即可求解. 【详解】由，可得，所以，又由，所以在上单调递增，因为，所以，所以，令，则，令，则，可得，所以在上单调递减，且， 当时，，，则在上单调递增；当时，，，则在上单调递减，所以当时，有极大值，即最大值，所以.故选：A． 4．（2025·安徽省安庆市·三模）等比数列中的，是函数的极值点，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据函数极值的情况确定的值，再根据等比数列的性质进行计算即可. 【详解】由求导得. 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减.所以函数的极大值点为，极小值点为.由题意可知，所以.故选：A 5．（多选）（2025年江西九江市三模）已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为2 C．在上单调递增 D．若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 【答案】ACD 【分析】分别求导后由函数的单调性得到最值相等，可得A正确；结合A由最小值不能同时取得可得B错误；求导后分和讨论导数值可得C正确；当直线与和交点的上方时，不妨设，数形结合由指数函数对数函数的运算性质可得，同理在下方也可得，进而得到D正确. 【详解】对于A，，所以易得在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为； ，当时，，在上单调递减，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即，解得，故A正确； 对于B，因为当且仅当时取等号；当且仅当时取等号，两者不能同时取等号，所以，故B错误； 对于C，， 当时，，； 当时，，， 总之，当时，，所以在上单调递增，故C正确； 对于D，如图所示， 当直线与和交点的上方时，不妨设， 则，，， ，即，，同理，，， 所以，即.同理，当直线与和交点的下方时，，故D正确.故选：ACD. 6．（2025·陕西省安康市·三模）函数的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的最值. 【详解】，，令，得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值. 7．（2025年江苏如皋市三模）函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】分类讨论，去掉绝对值，利用导函数研究函数单调性和极值，进而求出最小值. 【详解】当时，，此时，，令得：，令得：，故此时在处取得最小值，；当时，，此时，此时在单调递减，且；综上：函数的最小值为1. 8．（2025年四川三模）函数的极小值是 . 【答案】 【分析】求出函数的导数，讨论其符号可得函数的极小值点，故可得极小值. 【详解】由题意可得， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减，故. 9．（2025年江西省萍乡市三模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）应用导数研究函数的区间单调性，进而求其值域. 【详解】（1）依题意，，故，， 故所求切线方程为，即. （2）由（1）知， 而，令，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 而，，，则， 故在区间上的值域为. 10．（2025·四川省凉山州·三模）设a为实数，函数． (1)若曲线过点，求a的值； (2)当时，求的最小值； (3)若恰有两个极值点，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）将点代入曲线方程求解出的值即可； （2）当时，，对进行求导，令导函数为新的函数对进行求导，得到导数的零点和最小值点，进而求得导函数的正负情况进而得到原函数的单调情况，得到的最小值. （3）结合第二小问，得到在上单调递减，在上单调递增，且，，则恰有两个极值点，则导数有两个零点且在零点处符号发生变化，则得到不等式，进而求解出最终的结果. 【详解】（1）因为曲线过点， 所以， 即，且 所以或 （2）当时，，所以，令，则，则在上单调递减，在上单调递增，且，，所以，，，，所以 （3），由（2）小题解答可知在上单调递减，在上单调递增，且，，若恰有两个极值点，则，即，所以a的取值范围为 ( 题型0 4 )导数研究函数的零点、方程的根 1．（2025·山东省枣庄市·三模）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）令，则，设，利用导数研究其单调性和最值，从而得到其零点个数； （2）首先分析得时成立，再分离参数得，对恒成立，利用导数研究右边的最值即可. 【详解】（1）时，， 令，则， 所以，时，在上单调递减， 时，在 上单调递增， 又时，时，，时，， 时，， 所以，①当时，无零点， ②或时，有1个零点， ③当时，有2个零点. （2）当时，由得， 所以，等价于对恒成立． 即对恒成立， 令，则， 当，当， 在内单调递减，在内单调递增， ，又，对恒成立所以，时成立， 当时，，显然成立． 当时，等价于或， 即或，对于，取，得，与矛盾，故不成立，对于，即，对恒成立， 令，则，在内单调递减， ，所以，，综上，实数的取值范围是. 2．（2025年河北石家庄三模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）求导得，再对分和讨论即可； （2）（i）当时，显然不会有3个零点，当时，求出的两根，判断出的符号，利用零点存在性定理证明零点存在即可； （ii）根据得，则，最后根据对勾函数单调性即可证明. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，所以恒成立，所以在单调递增； 当时，，所以的两根为， 且，所以，所以，时，或时，．所以在上单调递减，在和单调递增． 综上：当时，在单调递减， 在和单调递增；当时，在单调递增. （2）（i）由（1）可知当时，在单调，不可能有三个零点； 当时，的两根为， 且，所以，且， 因为在上单调递减，所以， 因为，所以， 设， 在上单调递减，， 即，所以使. 因为， 又因为，所以，所以使， 所以，当时，有三个零点， （ii）由（i）可知，的三个零点：，因为，且，所以，又因为，所以，因为，所以函数单调递减，，所以，得证． 3．（2025年广东省广州市天河区三模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)已知关于x的方程有两个解 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 【答案】(1)单调区间见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）在时，通过求导，判断导函数的符号可得的单调情况； （2）（ⅰ）构造，分类讨论与时的图象性质，由极大值得到，再分类讨论区间与上零点的情况可确定的取值范围；（ⅱ）对进行转化得，设，则，则，构造函数，证得，分类讨论与两种情况，从而确定. 【详解】（1）函数的定义域为， 则， 因，由得，由得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 故当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）（ⅰ）由可得，依题意方程有两个解， 设，则，且在上有两个零点. 当时，，故在上单调递增，则在上最多只有一个零点，不合题意； 当时，由得，由得， 即在上单调递增，在上单调递减，故在时取得极大值. 要使在上有两个零点，需使，即，解得. 当时，因，又，则， 又在上单调递增，所以在有唯一零点； 当时，令，则， 再令，则， 故在上单调递增，则，即， 故在上单调递增，则， 因，所以，即，即，即， 故，又在上单调递减，故在上有唯一零点.综上，当时，在上有两个零点， 即方程有两个解，故a的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，且，故， 因，则，即，也即， 故有，设，则，于是可得， 即.设，则， 因时，， ①当时，在上恒成立，故函数在上为增函数， 即，即在上恒成立； ②当时，，而，当时，， 故存在，使得，使得，故在上为减函数，故，矛盾. 综上，可得，即. 4．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知函数， (1)当时，求的极值； (2)若在区间上存在零点 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：当时，. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）利用导数的正负来判断函数的单调性即可； （2）（ⅰ）利用分类讨论思想，借助，把两类单调的可能性排除，进而来求出参数的范围； （ⅱ）利用上一问的结论，把要证的不等式转化证明新的不等式，然后再借助条件消去参数，从而变成仅关于的函数不等式，再借助导数思想来进行证明即可. 【详解】（1）当时，，，， 当时，，当时， 在上递减，在上递增，有极小值，无极大值； （2）（ⅰ）， 当时，由于恒成立，所以在上单调递增， 又，在上无零点； 当时，由于，故， 所以在上单调递减，又， 在上无零点； 当时，，有，故在上单调递减， ，有，故在上单调递增， 所以有， 又因为当时，， ；综上； （ⅱ）由（ⅰ）可知，当时，，， 且，要证，只要证， 即证，只需证， 令，在上单调递增. 又，即， 由上式不等式成立可知原不等式恒成立. ( 题型0 5 )导数研究不等式证明及恒成立 1．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得，即，构造函数，其中，则，故函数在上单调递增，所以，可得，则，即，其中，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，解得. 综上，故选：A. 2．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求的值； (3)求证：. 【答案】(1)在处取得极小值，无极大值 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得最值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【详解】（1）当时，，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以在处取得极小值，无极大值； （2）由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，因为恒成立，所以， 记，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，所以，所以， 又，所以，所以； （3）证明：先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即， 所以，再证， 由（2）可知，当时等号成立，令，则， 即，所以，，， 累加可得，所以. 3．（2025·河南省安阳市·三模）已知函数. (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）若，求出解析式，求导，求出切线方程；（2）根据定义域为，求导，分类讨论，，，满足是的极大值点，求出的取值范围；（3）由（2）可知，且时，，由恒成立，构造，进行求解. 【详解】（1）若，则，所以， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意，得的定义域为，，所以.当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增，所以是的极大值点，满足条件. 当时，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减， 在区间和上，单调递增，是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，单调递减，在区间上，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件.综上，的取值范围是. （3）由（2）知，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立.设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减，又， 所以，所以在区间上单调递减.又，所以的取值范围是. 4．（2025·河南省焦作市·三模）已知函数． (1)当时，，求实数的取值范围． (2)若，设的正零点从小到大依次为． ①证明：； ②判断数列的单调性，并证明． 附：当时，． 【答案】(1) (2)①证明见解析 ；②数列是递减数列，证明见解析 【分析】（1）参变分离后转化为对任意恒成立，构造函数，利用导数求最大值，即可求解； （2）①首先利用导数说明函数每一个零点所在区间，再结合诱导公式，以及函数的单调性，比较大小后，即可证明； ②首先设，利用分析法转化证明，根据条件，以及正确公式得到，并通过作差构造函数，理由导数分析单调性后即可证明. 【详解】（1）由题意，即对任意恒成立．设， 则，当时，，则，所以在上单调递增，，所以，即的取值范围是． （2）（ⅰ）若，则在定义域内恒成立，所以对任意在区间上单调递增，又，当时，，所以在区间内有唯一零点，所以．所以和都在区间内，又，所以，即． （ⅱ）数列是递减数列． 证明如下：记，要证明数列是递减数列， 即证明：当时，，即， 又因为，所以只需证明当时，． 由（ⅰ）知，所以，且． 所以，所以． ， 设函数，则， 因为在区间上单调递增，所以当时，， 所以在时单调递增，所以，即，所以．因为在上单调递增，且，所以，综上，数列是递减数列． 5．（2025年江西九江市三模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出的导数，再按分类讨论求出单调区间. （2）把代入，等价变形不等式，再构造函数并利用导数求出最小值情况即可. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， ①若，即，函数在上单调递减； ②若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减； ③若，即，由，得；由，得或， 函数在上单调递增，在，上单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，函数的定义域为， 不等式，设，求导得，函数在上单调递增，当时，， 当时，，则存在唯一的实数，使，即，当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，因此， 而函数在上单调递减，当时，，即， 所以. 6．（2025·湖南省永州市·三模）已知函数（），且有唯一零点. (1)证明：； (2)证明：； (3)判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不存在,理由见解析 【分析】（1）要证，转化为证.设函数，求导分析单调性，得出在取最小值，从而证明不等式. （2）先证： 利用（1）结论得到，结合已知条件推出，再对放缩，通过裂项相消求和证明.再证： 同样用（1）结论得，结合已知推出，再利用放缩，通过对数运算性质证明. （3）先看函数单调性，对函数求导发现导数大于，函数递增.再根据特殊点函数值一正一负，确定零点范围，得到零点满足的等式.构造新函数，求导判断其单调性.利用零点满足的等式和新函数单调性，证明数列递增.假设存在连续三项成等比数列，根据等比中项性质列出等式，化简得到关于公比的方程并求解.通过对数运算得到公比的范围，与前面求出的值矛盾，得出不存在连续三项成等比数列的结论. 【详解】（1）要证，即证. 设，对求导得. 当，，递减；当，，递增. 所以在取最小值，即，原不等式得证. （2）先证： 由（1）知，则，即. 因为，所以，可得. 当，. ，时也满足，所以. 再证： 由（1）得，又，所以，即. 因为，所以，则. . 综上，. （3）对函数求导，导数在时大于，函数递增. ，，所以函数有唯一零点在，且，可化为. 设，其导数，当时，递增. 因为，即，所以.所以. 假设成等比，公比且. 所以，可得，那么. 又因为，，，所以. 进行通分整理：，通分得到，由于，所以. 设数列的公比为，则，，代入可得：， 因为，两边同时除以得到. 对于一元二次方程，解得. 由，相减，根据对数运算法则可得：，因为，对数函数在上单调递增，所以，又因为，所以. 所以，与矛盾.故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 7．（2025年天津市滨海新区三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，由直线点斜式可得切线方程； （2）即对都成立，由恒成立必要条件可得，通过导数证明满足题意即可完成证明； （3）由，令，可得，据此可得；由，令，可得，据此可得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数的在处的切线方程为，即； （2）若对，有，转化为， 即对都成立． 设， 因为，所以要使 必须满足，即，所以 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可．设， 所以，且，．先研究当时，设，，因为函数、在上均为单调递减，则在内单调递减，又因为，， 所以，使得，且当时，；当时，． 此时在内单调递增，在内单调递减，又，，故对任意的，，则在内单调递增，所以． 综上，当时，，即得，所以得证： （3）根据题意需要分析，，在上的大小关系． 设，则，则在区间上单调递减， 所以，即．令，，所以，， 所以，所以．再证明，其中，设，，设，因为函数、在上均为单调递减，则在区间内单调递减，因为，，所以，，使得，当时，；当时，．所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，又因为，，，，使得，当时，；当时，．所以在区间内单调递增，在区间内单调递减．因为，，所以在区间内恒成立．令，所以，所以，，，⋯，，所以． 对，，所以， 所以 ，所以得证．综上， ( 题型0 6 )三次函数的图象及性质 1．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 【答案】B 【分析】设切点为，利用导数，结合直线的点斜式方程求出切线的方程，联立切线方程和曲线方程，化简得方程，根据切线与曲线有且只有一个公共点，求出参数的值即可. 【详解】函数，对其求导得.设切点为，则切线斜率为又，所以切线方程为，化简得.将切线方程和曲线方程联立得：，整理得，因式分解得，解得或，因为切线与曲线有且只有一个公共点，所以，解得，此时切线方程为，对应唯一一条满足条件的直线，故选：B. 2．（多选）（2025年江苏如皋市三模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 【答案】AB 【分析】求得，利用导数求得函数的单调区间，结合极值点的概念，可得判定A正确；根据为奇函数，结合函数的图象变换，可得判定B正确；作出的大致图象，结合函数的性质，可判定C错误；根据函数的单调性，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【详解】对于A中，由函数，可得，令，可得，当时，单调递增；当时，单调递减；当时，单调递增，所以在处取极大值，在处取极小值，所以 A正确；对于B中，因为函数为奇函数，关于对称， 所以函数关于中心对称，所以B正确；对于C中，作出的大致图象，如图所示，当时，为上凸函数，在拐点处的切线为，它与恰交于；当时，为上凹函数，，过只能作的两条切线，所以C错误； 对于D中，由A知函数在上单调递增；上单调递减； 要使有零点，则只需，解得，当时，大致图象如下可得有一个零点之间，但另一零点，所以D错误.故选：AB． 3．（2025·四川省自贡市·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数求导，分，，三种情况讨论求解即可. 【详解】由， 则，令，得或， 当，即时，，函数在上单调递增，此时在上没有最大值，不符合题意；当，即时，令，得或，令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，又，则在没有最大值，不符合题意；当，即时，令，得或，令，得，则函数在和上单调递增，在上单调递减，又，，要使在有最大值，则，解得.综上所述，实数的取值范围是.故选：B. 4．（多选）（2025·安徽省安庆市·三模）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．图象对称中心的横坐标不变 【答案】BD 【分析】利用导数求出函数的极大值判断A；由恒成立判断B；由的解集能否为判断C；求出图象的对称中心判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或，由，得或，由， 得，于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，因此最多有一个零点，A错误； 对于B，，当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，C错误； 对于D，由， 得图象对称中心坐标为，D正确.故选：BD 5．（多选）（2025·重庆市·三模）已知，则（    ） A．，使得是增函数 B．，函数均存在极值点 C．，函数只有一个零点 D．，且，有 【答案】ACD 【分析】对于AB，对函数求导后，根据导数与函数的单调性及极值举例分析判断，对于C，对函数求导后，求出函数的单调区间，结合函数的图象可得结论，对于D，分和两种情况讨论函数的单调性的最值即可得结论. 【详解】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误； 对于C，当时，由，得或，由，得， 所以在上递增，上递减，上递增， 又，当时，， 所以观察图象可知，函数只有一个零点，所以C正确； 对于D，当时，由选项C可知在上递增，上递减，上递增， 所以的极大值为，极小值为，因为，所以，当时，由，得或，由，得，所以在上递增，上递减，上递增，因为，，所以，综上，所以D正确. 故选：ACD 6．（多选）（2025·浙江省金华市义乌市·三模）设函数，则（    ） A．当时，有极大值4 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】求导，根据导函数的正负确定函数的单调性，即可求解极值判断A，举反例即可求解B，根据函数的单调性即可求解C，利用作差法，结合不等式的性质即可求解D. 【详解】由可得，当时，，当或时，在，单调递增，当在单调递减，故当时，取极大值4，故A正确，对于B,当时，取，则，此时，故B错误，对于C, 当时，，且当时，，此时在单调递增， 但由于，故与的大小关系不确定，因此无法判断,C错误，对于D, ， 当时，故，因此，所以，故D正确，故选：AD 7．（多选）（2025·河北省张家口·三模）已知函数，，则（    ） A．当时，函数有三个零点 B．当时，， C．若，则 D．若函数在处取得极值，且，使，则 【答案】AC 【分析】利用导数分析函数单调性得到极值可得A正确，由正余弦函数的值域结合函数的单调性可得B错误；由函数的对称中心代入可得C正确；由极值点的性质可得，，令，化简又，可证明判断D. 【详解】对于A，当时，，， 易得当时，，函数在上单调递减； 当或时，，函数在和上单调递增， 所以极大值，极小值，又，，所以函数在，，各有一个零点， 所以函数有三个零点，故A正确；对于B，当时， ，，易得当时，，函数在上单调递减； 又，，所以，故B错误； 对于C，若，则的图象关于成中心对称，又的定义域为，所以，即，即，整理可得，故C正确；对于D，因为，所以，由题有，即，由，得， 令，则，又，所以， 得到， 整理得到，又，代入化简得到，又，，所以，得到， 即，即，故D错误.故选：AC. 8．（多选）（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，若在上单调递增，则 B．当时，函数有两个极值点 C．曲线的对称中心的横坐标与c有关 D．当时，过点可作曲线的切线有3条 【答案】BD 【分析】当时，在上单调递增，所以在上恒成立，转换不等式构造函数求最值即可得的取值范围，即可判断A；根据导函数的根的根个数确定极值点个数，即可判断B；由函数对称的坐标关系即可判断C；根据导数的几何意义设切点坐标为，求切线方程解得切点恒坐标的根的个数即可得判断D. 【详解】对于A，当时，在上单调递增，所以在上恒成立，则在上恒成立，而，所以，即，故A错误；对于B，当时，，，方程有两个不等实根，易得有两个极值，故B正确；对于C，若曲线称中心为，则，因为，所以，则，整理得：，所以若有对称中心则：，解得，故对称中心横坐标为，与无关，故C错误； 对于D，当时，，设切点，，，所以切线，因为切线过点， 所以，化简得，方程有三个根，切点有三个，故切线有三条，故D正确.故选：BD． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 导数及其应用 题型概览 题型01 导数的几何意义 题型02 利用导数研究函数的单调性 题型03 利用导数研究函数的极值、最值 题型04 利用导数研究函数的零点、方程的根 题型05 利用导数研究不等式证明及恒成立 题型06 三次函数的图象与性质 ( 题型0 1 )导数的几何意义 1．（2025·湖南省郴州市·三模）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽省安庆市·三模）曲线在点 处的切线与直线和 围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D．1 3．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数 ． 4．（2025·四川省凉山州·三模）函数的图象在点处的切线的斜率为 ． 5．（2025·河北省张家口·三模）已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 . 6．（2025·四川省绵阳市·三模）在坐标平面中，已知过点恰能作曲线的2条切线，则由所有点构成的集合为 . 7．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）函数在处的切线垂直于y轴． (1)求实数a； (2)若方程有两根，求b的取值范围． 8．（2025年山东威海市三模）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，若曲线有三条过点的切线，求的取值范围； (3)设为非负实数，为正实数，若，证明：． ( 题型0 2 )利用导数研究函数的单调性 1．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025·湖南省永州市·三模）若函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025年山东威海市三模）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·湖南省郴州市·三模）已知函数与其导函数的部分图象如图所示.设函数，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在处取得极大值 5．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知函数， (1)若，求函数的单调区间； (2)当时，，求实数的取值范围． 6．（2025·湖南省郴州市·三模）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 7．（2025·辽宁沈阳·三模）已知函数，． (1)已知在处的切线斜率为，求实数的值； (2)若，且关于的方程有个不相等的实数解，求的取值范围； (3)若函数在上单调递增，求的取值范围． ( 题型0 3 )利用导数研究函数的极值、最值 1．（2025·河南省安阳市·三模）已知函数的极小值为，则实数的值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．（2025·重庆市·三模）已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）设函数，，若存在，使得，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽省安庆市·三模）等比数列中的，是函数的极值点，，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（多选）（2025年江西九江市三模）已知函数和的最小值相等，则下列说法正确的是（   ） A． B．的最小值为2 C．在上单调递增 D．若直线与和的图象从左到右的交点分别为，则 6．（2025·陕西省安康市·三模）函数的最小值为 ． 7．（2025年江苏如皋市三模）函数的最小值为 ． 8．（2025年四川三模）函数的极小值是 . 9．（2025年江西省萍乡市三模）已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的值域. 10．（2025·四川省凉山州·三模）设a为实数，函数． (1)若曲线过点，求a的值； (2)当时，求的最小值； (3)若恰有两个极值点，求a的取值范围． ( 题型0 4 )导数研究函数的零点、方程的根 1．（2025·山东省枣庄市·三模）已知函数，. (1)讨论零点的个数； (2)若，求实数的取值范围. 2．（2025年河北石家庄三模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)若在定义域内有三个零点a，b，c（）． （ⅰ）求实数m的取值范围； （ⅱ）求证：． 3．（2025年广东省广州市天河区三模）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)已知关于x的方程有两个解 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）为正实数，若当时，都有，求的取值范围． 4．（2025·浙江省金华市义乌市·三模）已知函数， (1)当时，求的极值； (2)若在区间上存在零点 （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明：当时，. ( 题型0 5 )导数研究不等式证明及恒成立 1．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽省安庆市·三模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求的值； (3)求证：. 3．（2025·河南省安阳市·三模）已知函数. (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极大值点，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，若对恒成立，求a的取值范围. 4．（2025·河南省焦作市·三模）已知函数． (1)当时，，求实数的取值范围． (2)若，设的正零点从小到大依次为． ①证明：； ②判断数列的单调性，并证明． 附：当时，． 5．（2025年江西九江市三模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 6．（2025·湖南省永州市·三模）已知函数（），且有唯一零点. (1)证明：； (2)证明：； (3)判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由. 7．（2025年天津市滨海新区三模）已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． ( 题型0 6 )三次函数的图象及性质 1．（2025年湖北武汉市武昌区三模）已知函数，直线是曲线的切线，如果切线与曲线有且只有一个公共点，那么这样的直线有（   ） A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 2．（多选）（2025年江苏如皋市三模）已知函数，则（   ） A．有两个极值点 B．的对称中心为 C．过点作曲线的切线有三条 D．若函数的一个零点在之间，则它所有零点都在之间 3．（2025·四川省自贡市·三模）函数，若在有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）（2025·安徽省安庆市·三模）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．图象对称中心的横坐标不变 5．（多选）（2025·重庆市·三模）已知，则（    ） A．，使得是增函数 B．，函数均存在极值点 C．，函数只有一个零点 D．，且，有 6．（多选）（2025·浙江省金华市义乌市·三模）设函数，则（    ） A．当时，有极大值4 B．当时， C．当时， D．当时， 7．（多选）（2025·河北省张家口·三模）已知函数，，则（    ） A．当时，函数有三个零点 B．当时，， C．若，则 D．若函数在处取得极值，且，使，则 8．（多选）（2025·云南省玉溪市、保山市·三模）设函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，若在上单调递增，则 B．当时，函数有两个极值点 C．曲线的对称中心的横坐标与c有关 D．当时，过点可作曲线的切线有3条 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$