精析易错点 巧破错误关-《中学生数理化》高考数学2025年6月刊

■淮安市新马高级中学 陈 刚 在统计知识的学习与应用过程中,存在 诸多容易混淆出错的地方,这些易错点若不 加以重视,会影响对统计结果的理解与分析。 下面将针对常见的统计易错点进行详细剖 析,并结合具体例题加深理解。 易错点一、求中位数、百分位数时忽略数 据顺序 例 1 (多选题)某校举行了交通安全知 识主题演讲比赛,甲、乙两位同学演讲后,6位评 图1 委对甲、乙的演 讲分别进行打分 (满分10分),得 到如图1所示的 折线统计图,则 ( )。 A.若 去 掉 最高分和最低分,则甲同学得分的中位数大 于乙同学得分的中位数 B.甲同学得分的极差大于乙同学得分的 极差 C.甲同学得分的上四分位数小于乙同学 得分的上四分位数 D.甲同学得分的方差大于乙同学得分 的方差 易错提醒:在求数据的中位数、百分位数 时,一定要先把数据从小到大排列,然后根据 中位数、百分位数的定义进行求解。 解析:甲、乙的得分从小到大排列如下: 甲:7.0,8.3,8.9,8.9,9.2,9.3; 乙:8.1,8.5,8.6,8.6,8.7,9.1。 所以去掉最高分和最低分可得甲同学得 分的中位数为8.9,乙同学得分的中位数为 8.6,故A正确。 甲同学得分的极差为9.3-7.0=2.3,乙 同学得分的极差为9.1-8.1=2,故B正确。 因为6×75%=4.5,所以甲同学得分的 第75百分位数为9.2,乙同学得分的第75百 分位数为8.7,故C错误。 由图可以看出,甲同学得分的波动比乙 同学得分的波动大,故甲同学得分的方差大 于乙同学得分的方差,故D正确。 故选ABD。 易错点二、统计公式的关联应用出错 例 2 已知一组数据的平均数、方差分 别是x、s2,将这组数据中的每一个数都乘以 2,得到一组新数据,则这组新数据的平均数、 方差分别是( )。 A.x、 1 2s 2 B.2x、2s2 C.2x、4s2 D.x、s2 易错提醒:一组数据加上一个常数,新数 组的平均数与方差不变;一组数据乘以一个 常数,新数组的平均数是原数组平均数的常 数绝对值倍,新数组的方差是原数组方差的 平方倍。 解析:若新样本中的每一个数据是原样 本中每个数据的2倍,则新样本的平均数是 原样本平均数的2倍,方差为原来的4倍。 故选C。 易错点三、对频率分布直方图中的数据 特征理解不透 例 3 (多选题)某超市随机抽取了当 天100名顾客的消费金额作为样本,并分组 如下:[0,50),[50,100),[100,150),…, 图2 [250,300](单 位: 元),得到如图2所 示的频率分布直方 图,则下列说法正确 的是( )。 A.若该超市当 天总共有600名顾客,则消费金额在[100, 150)(单位:元)内的顾客约有180人 B.若每组数据以区间中点值为代表,则 样本中消费金额的平均数是145元 23 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年6月 C.若用样本估计总体,则该超市当天消 费金额的中位数是100.8元 D.现从样本的第1,2组中用比例分配的 分层随机抽样方法抽取6人,再从这6人中 随机抽取2人做进一步调查,则抽到的2人 的消费金额都不少于50元的概率是 2 5 易错提醒:在对频率分布直方图中的数据 信息分析与应用时,要特别注意从频率分布直 方图中确定对应的众数、中位数与平均数等。 一般可以借助以下几点来确定频率分布直方 图中的数据特征:众数就是频率分布直方图中 最高小长方形的底边中点的横坐标;中位数就 是左右两侧的小长方形面积相等的分界点;平 均数就是频率分布直方图中每个小长方形面 积乘以对应底边中点的横坐标之和。 解析:因为0.1+0.2+50a+0.2+0.15 +0.1=1,所以a=0.005。 对于选项A,消费金额在[100,150)内的 顾客约有50a×600=150(人),故A错误。 对于选项B,样本中消费金额的平均数 是0.1×25+0.2×75+0.25×125+0.2× 175+0.15×225+0.1×275=145(元),故B 正确。 对于选项C,设消费金额的中位数是t, 前二组的频率和为0.1+0.2<0.5,前三组 的频率和为0.1+0.2+0.25>0.5,所以t在 第三组内,所以0.1+0.2+(t-100)×0.005 =0.5,解得t=140,故C错误。 对于选项D,第1组和第2组的频率分 别为0.1,0.2,所以从样本的第1,2组中用比 例分配的分层随机抽样方法抽取6人,第1 组抽2人,第2组抽4人,当从这6人中随机 抽取2人做进一步调查时,则抽到的2人的 消费金额都不少于50元的概率P= C24 C26 = 6 15 = 2 5 ,故D正确。 故选BD。 易错点四、混淆线性回归方程与非线性 回归方程(即曲线) 例 4 某公司2025年1月至5月的销 售情况的数据汇总如表1: 表1 月份x 1 2 3 4 5 销售量y(万件)4.95.86.88.3 10.2 该公司根据以往的历史经验,建立了销 售量y(万件)关于月份x 的回归模型:̂y= ûx2+̂v来预测接下来几个月的销售情况。 (1)根据题中给出的数据信息及对应的 回归模型,试求销售量y(万件)关于月份x 的回归方程;(̂u 的值精确到0.1) (2)基于(1)中的结果,若该公司的月利 润z(单位:万元)与月份x,销售量y(万件) 的关系为z=24 x- 5y+2 x ,试确定该公司 月利润预报值最大的月份。 参考公式:对于一组数据(x1,y1),(x2, y2),…,(xn,yn),其回归直线ŷ =̂bx+â 的 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b̂= ∑ n i=1 (xi -􀭺x)(yi -􀭵y) ∑ n i=1 (xi -􀭺x)2 ,̂a=􀭵y-̂b􀭺x。 易错提醒:在求非线性回归方程时,一 定要先判断回归曲线类型,若不是直线,则 要转化为回归直线求解,在计算过程中要 注意求回归系数的两个公式之间的相互转 化。特别是一些常见的非线性回归模型, 如 指 数 函 数 型 y=cax、对 数 函 数 型 y= bln x+a、幂函数型y=axn、二次函数型 y=bx2+a、反比例函数型y=a+ b x 等,合 理变换与转化方程,借助线性回归模型的 求解与应用,再逆向来确定对应的非线性 回归模型及其应用。 解析:(1)令 w=x2,则 w= 1 5× (12+ 22+32+42+52)=11,y= 1 5× (4.9+5.8+ 6.8+8.3+10.2)=7.2。 由参考公式得̂u= ∑ 5 i=1 (wi-􀭺w)(yi-􀭵y) ∑ 5 i=1 (wi-􀭺w)2 = 33 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年6月 [-10×(-2.3)+(-7)×(-1.4)+(-2) ×(-0.4)+5×1.1+14×3]÷[(1-11)2 +(4-11)2+(9-11)2+(16-11)2+(25- 11)2]=81.1÷374≈0.2,̂v=y-̂uw=7.2 -0.2×11=5。 故y关于x的回归方程为ŷ=0.2x2+5。 (2)由(1)知ŷ=0.2x2+5。 所以 z=24 x - 5y+2 x =24 x - 5(0.2x2+5)+2 x =24 x-x 3 2- 27 x 。 令h(x)=24 x-x 3 2- 27 x (x>0),求 导得 h'(x)= 12 x - 3 2 x + 27 2x -32 = -3x2+24x+27 2x x = -3(x-9)(x+1) 2x x (x> 0)。 由h'(x)>0,得0<x<9,h(x)单调递 增; 由h'(x)<0,得x>9,h(x)单调递减。 所以h(x)=24 x-x 3 2- 27 x (x>0)在 x=9处取得极大值,此时也是所求的最大 值,则h(x)max=h(9)=72-27-9=36,故该 公司月利润预报值最大的月份是9月。 易错点五、求解独立性检验问题对χ2 的 值理解不准确 例 5 (多选题)某研究小组对高三 500名学生的性别与身高的数据进行汇总, 对于学生的性别和身高是否低于170 cm的 关联性进行简单随机抽样,得到如表2所示 的列联表: 表2 身高 性别 低于170 cm 不低于170 cm合计 女 140 60 200 男 120 180 300 合计 260 240 500 附:χ2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) , 其中n=a+b+c+d。 表3 α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 小组成员甲用列联表中的数据进行独立 性检验,小组成员乙将列联表中的所有数据 都缩小为原来的 1 10 后再进行独立性检验,则 下列说法正确的是( )。 A.依据α=0.01的独立性检验,小组成 员甲可以认为该中学高三年级学生的性别与 身高有关联 B.依据α=0.01的独立性检验,小组成 员甲不能认为该中学高三年级学生的性别与 身高有关联 C.小组成员甲、乙计算出的χ2 值相同, 依据α=0.01的独立性检验,他们得出的结 论也相同 D.小组成员甲、乙计算出的χ2 值不同, 依据α=0.01的独立性检验,他们得出的结 论也不同 易错提醒:在独立性检验问题中,往往是 基于相应列联表的数据信息、卡方χ2 的值的 大小及对应α的取值要求等,合理将计算出来 的值与对应的临界值对比,进而对二者的关系 进行概率层面上的分析与判断。 解析:由题意,零假设为 H0:该中学高三 年级学生的性别与身高没有关联。 对 于 成 员 甲 有 χ2甲 = 500×(140×180-120×60)2 260×240×200×300 ≈ 43.269> 6.635,基于α=0.01的独立性检验可知,小 组成员甲可认为该中学高三年级学生的性别 与身高有关联。 对 于 成 员 乙 有 χ2乙 = 50×(14×18-12×6)2 26×24×20×30 ≈4.327<6.635 ,基 于α=0.01的独立性检验可知,小组成员乙 不能认为该中学高三年级学生的性别与身高 有关联。 小组成员甲、乙计算出的χ2 值不同,他 们得出的结论也不同。 故选AD。 (责任编辑 王福华) 43 解题篇 易错题归类剖析 高考数学 2025年6月