专题三 特殊四边形中的折叠问题-【魔力暑假A计划】2024-2025学年八年级下册数学暑假作业（人教版）

专题 特殊四边形中的折叠问题 类型1 平行四边形中的折叠问题 (1)求证:四边形AECE为矩形 (2)求四边形AECG的面积 1.如图,四边形ABCD为平行四边形,对角线 AC与BD相交于点E, AEB-45*},BD 2.将△ABC沿AC所在直线翻折,点B的对 应点为B,连接DB,则DB的长是 第1题图 2.如下图,在ABCD中,P为边AB上一点, 将△CBP沿CP翻折,点B的对应点B'恰 好落在DA的延长线上,且PBAD.若 CD-3.BC-4. (1)求证:DCB-90*; D (2)求BP的长度 B 类型2 菱形中的折叠问题 4.(六安一模)如图,在菱形ABCD中,点N在 边CD上,将△ADN沿直线AN翻折,AD 的对应边为AM,点C恰好落在AM上,若 此时CM-CN,则 D的度数为 C ) C.45” A.30* B.54* D.36{ .r 3.(大庆中考)如右图,在 ABCD中,AB-3,E为 第4题图 线段AB的三等分点(靠 第5题图 B 近点A),F为线段CD的 5.如图,在菱形ABCD中,M为边AB上一点; 三等分点(靠近点C),目CE AB.将入BCE 将菱形沿DM折叠后,点A恰好落在BC的 沿CE对折,BC边的对应边BC与AD边 中点E处,若ME与对角线BD垂直,则 A 交于点G,且DC-DG 的度数为 43 6.如下图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰 类型3 矩形中的折叠问题 好落在萎形对角线的交点O处,折痕为EF 8.如图,将矩形ABCD折叠,折 若菱形的边长为2,A-120{,求EF的长. 与CD交于点M.若 BMD 一50*,则 BEF的度数为 第8题图 9.如下图,翻折矩形纸片ABCD,使BC,AD恰 好落在AC上.设F,H分别是B,D落在AC 上的两点,E,G分别是折痕CE,AG与AB. CD的交点. (1)求证:四边形AECG是平行四边形; (2)若AB-4,BC=3,求线段EF的长 ## 7.(杭州西湖区期末)如图①,四边形ABCD是 一张菱形纸片,其中 A三45^{},把点A与点 ·二出斑 C分别折向点D,折痕分别为EG和FH,两 条折痕的延长线交于点O(如图②). 1 图① 图② (1)求EOF的度数; (2)四边形DGOH是菱形吗?请说明理由 44 10.(大理二模)如下图,在矩形OABC中,OA 12.如下图,在正方形ABCD中,AB=12,点E -8.AB=4.将/OAB沿OB所在直线翻 在边BC上,BE=EC.将△DCE沿DE折 折,点A落在点A处,OA与BC边交于点 叠得到△DFE,延长EF交边AB于点G. D,过点B作BE/OA交OA于点E 连接DG,BF. (1)求证:四边形OEBD (1)求证:△DAG△DFG; 是菱形; (2)求证:BG-2AG (2)求线段OD的长. (3)求△BEF的面积. RJ·11 也 类型4 正方形中的折叠问题 11.(承德一模)如图:丫丫用一张正方形纸片 折出了“过已知直线外一点和已知直线平 行”的直线,即/a,步骤如下,其中的依据 是 ( ) 第11题图 A.过直线外一点有且只有一条直线和已知 直线平行 B.平行于同一直线的两条直线互相平行 C.两直线平行,同旁内角互补 D.同位角相等,两直线平行 45又，AE⊥CD,,∠AEC=90°， 如图，过点B作BH⊥AG于点H,则 ∴.∠B=∠AEC=90 ∠ABH=30 ∠B=∠AEC, :AB=BB-AB=1,AH=Z.由 在△ABC和△AEC中， ∠BCA=∠DCA. AC=AC. ∴，△ABC≌△AEC(AAS),,AB=AE 勾股定理，得H=。 (2)由(1)，得AE=AB=6,CE=CB=4. Sm边书Ai=SAcm-SAr X23X2 设DC=x,则DA=x,DE=x-4. 由勾股定理，得DE+AE=DA2, =13 4· 即一4+6=产，解得=受，即CD-受 4.D5.72 14.解：△ABC的面积为24. 6.解：如图，连接BD,AC,AC交EF于 点G, 专题目特殊四边形中的折叠问题 :四边形ABCD是菱形， .AC⊥BD,AC平分∠BAD. 1.② 2.解：(1)证明：由折叠的性质，得PB=PB,∠PB'C=∠B. ∠BAD=120°.∠BAC=60, 四边形ABCD是平行四边形，PB⊥AD, ∴∠AB0=90°-60°=30. ∴.∠B=∠D,∠PBA=90, ∴A0=号AB=号×2=1. .∠PBA=∠PB'C+∠CBD=∠D+∠CB'D=90', :菱形纸片ABCD沿EF折叠后点A与点O重合， .∠DCB=90. ∴EF⊥AC,EF平分AO,∴AE=EO (2),CD=3,BC=4..AD=B'C=BC=4. :∠BA0=60,AE=E0=A0=1.0G= ∴.DB=√CD+CBF=5,∴.AB=DB-AD=1. 设BP=x,则PB=r,PA=3-x. 根据勾股定理，得5G= 21 在R△AB'P中，PA=AB+PB, (3-0=+,解得x=亭 同理可得PG=号。 BP的长度为学 -号+- 3.解：(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， 7.解：(1D四边形ABCD是菱形，∠A=45, AB∥CD,AB=CD ∴AD=CD,∠A=∠C=45°，∠ADC=135 :E为线段AB的三等分点（靠近点A),F为线段CD的三 由折叠的性质，得AE=DE=号AD,GELAD,∠A 等分点（靠近点C), AE=号AB.CP=cD, ∠GDA=46,DF=FC=CD,HF1CD.∠C=∠CDH =45°. .AE=CF,.四边形AECF为平行四边形. :∠EOF+∠OED+∠OFD+∠ADC=360°. ,"CE⊥AB, ∴.∠E0F=360°-90°-90-135=45. ,,四边形AECF为矩形 (2)四边形DGOH是菱形.理由如下： (2)AB=3, :∠ADC=135°，∠ADG=∠CDH=45,∴.∠GDH=45, ∴.AE=1,BE=2. 由折叠的性质，得∠B=∠B,BE=B'E=2, ∴.∠GDC=∠ADH=90,∴.DHLAD,GD⊥CD. ∴.GE∥DH.GD∥HF, ,∴.BB=2BE=4 .四边形DGOH是平行四边形. .DC=DG..∠DGC=∠DCG. ,AB∥CD, AE-DE-AD.DF-FC-CD.AD-CD. '.∠B=∠DG,∠BAG=∠D=∠B=∠B' .DE=DF.又∠EDG=∠FDH=A5,∠DEG=∠DFH 又：∠B'GA=∠DGC. ■90°， ∴∠BAG=∠B=∠BGA, ∴，△DEG≌△DFH(ASA),.DG=DH, ,.△BAG是等边三角形. .四边形DGOH是菱形. 又：AD∥BC, 8.70【解析】：∠C=∠C=90,∠CMF=∠BMD=50°， ,.∠DGC=∠GCB, ∴∠CFM=40.设∠BEF=a.则∠EFC=18O°-a,∠DFE ∴.∠B=∠B=∠GCB, =∠BEF=a,∠CFE=40+a.由折叠可知，∠EFC= ,△BBC是等边三角形， ∠CFE,∴.180°-a=40°+a,解得a=70°，∴∠BEF的度数 .BC=B'B=4. 为70°. .CE=√BC-BE=√4-2=25. 9.解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， RJ版·参考答案 89 AD∥BC,AB∥CD,·∠DAC=∠BCA ,点P的坐标为(2，一2) 由题意：得∠GAH=合∠DAC,∠BCF=号∠BCA, 又点A坐标为(1,0)， .∠GAH=∠ECF,∴AG∥CE. 5am=号×1X2=1 又，AE∥CG. (3)在直线y=2x一6中，令x=0,则y=一6，.点D的坐标 ,,四边形AECG是平行四边形 为(0，一6). (2)在R△ABC中，，AB=4,BC=3,,AC=5. 设点E的坐标为(m,2m一6)， CF-CB-3,.AF-2. :△BPE的面积是△APO的面积的4倍， 由折叠的性质，得∠CFE=∠B=9O,EF=EB. ∴.Samg=4. 设EF=T,则BE=x.∴.AE=4-x 根据勾股定理，得AE=AF+EF,即(4一x)=2+x2, 又：5am=专×8X2=8. 解得x=号，即线段EF的长为号 点E应存在于点D上方，即m>0, ∴.SamD-S么mE=4或S么mE-Sam=4, 10.解：(1)证明：，四边形OABC是矩形 ∴.OA∥BC,∴.∠OBD=∠BOE “8-合×8m=4或号×8m-8=4,解得m-1或3， ,BE∥OA',.四边形OEBD是平行四边形 点E的坐标为(3,0)或(1，一4) 由折叠的性质，得∠BOD=∠BOE, 【解析】(1)设直线AB的解析式为y=kx十h ∴∠BOD=∠OBD,∴.OD=BD, 把(1,0)，(0.2)代入y=kr+b, ∴.四边形OEBD是菱形， (2),四边形OABC是矩形， 1b=2, ∴，BC=OA=8,OC=AB=4,∠C=90° ·直线AB的解析式为y=一2x十2. 设(OD=x,则BD=r,CD=8-x, 2.解：(1)直线41：y=x+m1经过A(0,a),B(,0)两点。 在Rt△(OCD中，(O+CD=OD, /m=a, .49十(8-x)2=x2, 解得 kb+m1■0， m=a. 解得r=5,.线段OD的长为5. 11.D h的函数解析式为y=一云x十a 12.解：(1)证明：由折叠的性质，得DF=DC=DA,∠DFE ∠C=90°， 同理可得，的函数解析式为y=一行十 ∠DFG=∠4=90 (2)证明：，·△OABQ△ODC, DG=DG. .0A=OD,OB=OC,a=d,b=c 在Rt△DAG和R1△DFG中， AD-FD. =-号（台)=g·合=. ∴.Rt△DAG≌Rt△DFG(HL). (2)证明：由题意知，正方形ABCD的边长是12，.BE (3)证明：将点P(1.1)代人，的函数解析式中， EC=EF=6. 得1=-云+@1=-行十c 由(I)知，△DAG≌△DFG, 两个等式两边分别乘一b,一d,得ab=a+b,cl=e+d ..AG=FG. ∴(ab)2=(a+b)2=a2+6+2ah. 设AG=FG=x,则EG=x十6，BG=12一x. 1 由勾股定理，得EG=BE+BG, 又Sms=zab.AB=G+, 即(x+6)2=6+(12-x),解得x=4, :.(2Sm)=AB+4Saom. ,.AG=GF=4,BG=8, 同理可得(2SaD)2=CD十4Sn .BG-2AG. 'Sa=S△m.AB=CD, (3)如图，过点B作BH⊥GE,垂足为H, 3.A 由(2)知，BG=8,BE=6,GE=10. 4.解：(1)设平移后的直线的函数解析式为y= x+b(b Sam=合G·BE=BH.GE -2 BH-旺-%- GE 直线y豆x+b过点A5,3), 六Sm-EFBH=号×6x- 5 3= 5+6b=， 2 专题四 一次函数与几何图形的综合 “平移后的直线的函数解析式为y=之十号 1.解：(1)y=-2x+2 y=一2x+2, r=2 m-号-(-2》- (2)由题意，得 解得 y=2x-6, y=-2, (2)在正方形ABCD中，AD∥y轴，点A的坐标为(5,3)， 90 数学·八年级