精品解析：四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学2025届高三下学期高考适应性考试一数学试题

嘉祥锦江高2022级高考适应性一数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存. 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 第 Ⅰ 卷 （选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 5. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（ ） A. 8.5尺 B. 7.5尺 C. 6.5尺 D. 5.5尺 6. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18 C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱 D. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为 10. 已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与平面所成角的正切值最大为 C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D. 若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 11. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ） A. ，函数都为“旋转函数” B. 若函数为“旋转函数”，则 C. 若函数为“旋转函数”，则 D. 当或时，函数不是“旋转函数” 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，且，则_________. 13. 若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为________. 14. 已知数列满足，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． （1）求证：平面平面； （2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. （1）若，求的周长; （2）求的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）如图所示，动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，的半径为．设D为的中点，与分别相切于点E，F，求的最小值． 19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：. （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围： （3）（i）证明：当时，； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥锦江高2022级高考适应性一数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1.在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方.考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存. 2．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效. 4.保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等. 第 Ⅰ 卷 （选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法结合复数的概念求解即可. 【详解】因为复数满足，则， 因此，复数的虚部为. 故选:B. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的定义域求解出集合，再利用交集的定义求解即可. 【详解】由， 则. 故选：D. 3. “”是“直线与直线互相平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与互相平行， 则，解得或， 当时，符合题意；当时，两直线重合，不符合题意； 故选：C. 4. 要得到函数的图象，可以将函数的图象（ ） A. 向右平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得，进而变换得出，即可得出答案. 【详解】因为， 且， 所以，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象. 故选：A. 5. 在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则谷雨日影长为（ ） A. 8.5尺 B. 7.5尺 C. 6.5尺 D. 5.5尺 【答案】D 【解析】 【分析】先根据题意构造等差数列，再由条件得到公差，最后求解其中的项即可. 【详解】设从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列， 设等差数列的公差为尺， 由题可知，，即，解得； ，即，解得； 所以， 所以，即谷雨日影长为5.5尺， 故选：D 6. 双曲线的左､右焦点分别为，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与曲线在第一象限交于点，且，则曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点为，，连接，过点作⊥轴于点E，由三角形面积公式及双曲线定义得到，，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】 设切点为，，连接， 则，， 过点作⊥轴于点E， 则，故， 因为，解得， 由双曲线定义得，所以， 在中，由余弦定理得， 化简得， 所以，解得， 所以离心率. 故选：B 7. 设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得是R上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】因为，， 所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数， 所以是R上的增函数， 不等式，对任意的恒成立， 即， ，又， ，令， ， ， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到，利用基本不等式求出最值. 8. 甲、乙两人玩一种扑克游戏，每局开始前每人手中各有6张扑克牌，点数分别为1~6，两人各随机出牌1张，当两张牌的点数之差为偶数时，视为平局，当两张牌的点数之差为奇数时，谁的牌点数大谁胜，重复上面的步骤，游戏进行到一方比对方多胜2次或平局4次时停止，记游戏停止时甲、乙各出牌次，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分甲乙出牌的张数和甲乙胜负情况结合古典概率和二项分布讨论. 【详解】甲乙每次出牌1张，若两人出牌的点数都是偶数或都是奇数，则平局， 所以平局的概率， 若甲胜，则结果有、、、、、、、、，共9种， 所以甲胜的概率为，同理乙胜的概率也为， 各出牌4次后停止游戏，若4次全平局，概率为； 若平局2次，则最后1次不能是平局， 另外2次甲全胜或乙全胜，概率为， 若平局0次，则一方3胜1负，且负的1次只能在前2次中，概率为， 所以. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分类的标准. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若随机变量X服从正态分布，且，则 B. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的下四分位数为18 C. 若两个变量的线性相关系数越大，则这两个变量的线性相关性越强，反之，则越弱 D. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中项的系数为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A：利用正态分布的对称性求解即可，选项B：结合下四分位数的概念求解即可，选项C：利用线性相关的系数与线性相关性强弱的联系进行求解即可，（4）对二项式中的赋值为1，再利用展开式的通项求解系数即可. 【详解】选项A：因为，所以，故A正确； 选项B：由题意，所以该10个数据的下四分位数为第3个数11，故错误； 选项C：若两个变量的线性相关系数越接近于1，则这两个变量的线性相关性越强，所以C错误； 选项D：∵展开式的二项式系数之和为，∴，故，通项为， 则含项的系数为.故D正确. 故选：AD. 10. 已知正方体的棱长为，点在底面上（含边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹的长度为 B. 直线与平面所成角的正切值最大为 C. 平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 D. 若动点在线段上，为的中点，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正方体性质可得点的轨迹是四分之一圆，可判断A正确；易知直线相对于平面的倾斜程度越大，所成角的正切值越大，计算可知B错误；求出内切球球心到平面的距离可判断C正确，利用线面垂直关系可知当三点共线时，满足题意，可得D正确. 【详解】对于A，根据正方体性质可得，可知， 故点的轨迹是以为圆心，1为半径的四分之一圆，如下图所示： 则其轨迹的长度为，故A正确； 对于B，易知当点位于棱上时，直线与平面所成的角最大， 此时，即直线与平面所成角的正切值最大为，故B错误； 对于C，易知内切球的半径为，球心位于正方体的中心，其到平面的距离为， 易知，，点平面的距离为； 可得球心到平面的距离为， 故截面圆的半径满足，则所得截面的面积为，故C正确； 对于D，如下图： 先固定点，当点在上时，最小， 再让点移动，当三点共线时，最小， 此时，故D正确. 故选：ACD 11. 在平面直角坐标系中，如果将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转（为弧度）后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”，则（ ） A. ，函数都为“旋转函数” B. 若函数为“旋转函数”，则 C. 若函数为“旋转函数”，则 D. 当或时，函数不是“旋转函数” 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，举例说明即可；对BCD，设将旋转后得出方程，则只需与原函数仅有一个交点即可，然后逐项求解判断即可. 【详解】对A：当旋转时与轴重合，此时个对应多个值，故A错误； 对B：将旋转后所得直线为，则只需与原函数仅有一个交点； 令，，当时，只有一个零点，所以，即，故B正确； 对C：令，当在定义域内仅有唯一解时，即， 当时，仅有一个解，故满足题意； 当时，的判别式， 对任意的，都存在使得判别式大于0，不满足题意；故，故C正确； 对D：若是“旋转函数”，当仅有唯一解时，即，令， ，令，则 当时，方程为，得，仅有唯一解，符合题意； 当时，当，，当，，所以在上单调递减，在上单调递增， 又因为时，，，所以可得先减后增，不符合题意； 当时，当，，当，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，有极大值也是最大值，即，则； 综上得存在时，是“旋转函数”，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：（1）导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理；（2）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用；（3）证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 第Ⅱ卷（非选择题 共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，若，且，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量的坐标表示向量共线和垂直，解出，再计算模长可得. 【详解】设，则， 由，可得，解得， 则，所以. 故答案为：. 13. 若函数存在唯一极值点，则实数a的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】求导后构造，再求导分析单调性数形结合可得. 【详解】，因为存在唯一极值点，所以存在唯一变号根. 即存在唯一变号根，设，， 函数在上单减；在上单增，在上单减； 当时，；当时，；则实数a的取值范围为. 故答案为：. 14. 已知数列满足，则__________． 【答案】2022 【解析】 【分析】将已知化为代入可以左右相消化简，将已知化为，代入可以上下相消化简，再全部代入求解即可. 【详解】由知， ， ，故， 所以， . 故答案为：2022. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在2025年春节档电影中，由饺子导演的《哪吒之魔童闹海》电影在国内外受到一致好评，票房也一路飙升到国内第一，也是国内首部百亿票房，暂居全球票房第六．其中有不少观众对角色喜欢都有自己的见解．刘同学为了了解学生喜欢哪吒角色是否与性别有关，他对全班50人进行了问卷调查，得到如下列联表： 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 男生 5 总计 50 已知从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6． （1）请将上面的列联表补充完整，根据小概率值=0.01的独立性检验，试判断学生喜欢哪吒角色与性别是否有关； （2）从喜欢哪吒角色的同学中，按分层随机抽样的分式，随机抽取6人做进一步的问卷调查，再从这6人中随机选出3人采访发言．设这3人中男生人数为，求的分布列及期望值． 附：，. 0.10 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 与性别有关联 （2） 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可完善列联表，再根据卡方的计算公式即可求解； （2）根据分层抽样计算出男女生人数，由已知可得服从超几何分布，计算概率写出分布列，最后计算数学期望. 【小问1详解】 因为从全班50人中随机抽取1人，抽到喜欢哪吒角色的学生的概率为0.6， 所以喜欢哪吒角色的学生人数为，其中女生10人，则男生20人， 不喜欢哪吒角色的人数为，其中男生5人，则女生15人， 列联表补充如下， 喜欢哪吒角色 不喜欢哪吒角色 总计 女生 10 15 25 男生 20 5 25 总计 30 20 50 零假设为：学生喜欢哪吒角色与性别无关联，根据列联表中的数据，计算可得 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢哪吒角色与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于； 【小问2详解】 由题意，按分层随机抽样抽取的6人中，男生人数为，女生人数为， 表示从这6人中随机选出3人中男生的人数， 所以的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列为 1 2 3 数学期望. 16. 如图，在四面体中，，，点为棱的中点，点为棱上的动点． （1）求证：平面平面； （2）已知二面角的大小为，当直线与平面所成角的正弦值的最大值为时，求此时四面体的体积． 【答案】（1） 由，得， 又平面，则平面， 而平面，于是，由为中点，，得， 又平面，因此面，又平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质，面面垂直的判定推理得证. （2）由（1）可得，再结合已知确定点位置，进而求出四面体的相关元素并求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，二面角的平面角为，则， 由平面，得为与平面所成的角， 在中，，则，， 而，则，此时， 由平面，平面，得，而平面， 则平面，又平面，于是， 在中，，则， 所以四面体的体积. 17. 设的三个内角的对边分别为，已知角为钝角，. （1）若，求的周长; （2）求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式可得，再利用正弦定理求出，然后利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的信息，利用三角恒等变换，结合正弦函数、二次函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得，而， 则，即有，而为钝角，则为锐角，因此， 由，得，由，为锐角，得， 由正弦定理，得， ， 由余弦定理得， 于是，解得， 所以的周长为. 【小问2详解】 由（1）知， 则 ，又，即， 因此，所以的取值范围. 18. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点． （1）求椭圆C的方程； （2）如图所示，动直线交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M．点N是M关于O的对称点，的半径为．设D为的中点，与分别相切于点E，F，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由离心率，可得，再根据椭圆过点，代入椭圆方程，进而可求出； （2）设，，联立，可得到关于的一元二次方程，结合韦达定理，可求得点的坐标，进而得出的表达式，整理得，令，可得，进而可求得，设，可知，即可得到的最小值，及的最小值. 【小问1详解】 ∵椭圆的离心率为， ∴，则，又椭圆C过点， ∴， ∴， 则椭圆C的方程为． 【小问2详解】 设，， 联立，得． 由，得， 且， 因此， 所以． 又， 所以， 整理得． 因为， 所以． 令，，故． 所以． 因为， 所以， 当时， 所以在上单调递增，所以，当时等号成立，此时， 所以，即， 由，可得，即且. 设，则， 所以的最小值为， 从而的最小值为，此时直线的斜率是0． 综上所述：当，时，取到最小值． 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数关系之间的关系、弦长、斜率、面积等问题. 19. 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：. （1）求曲线在处的切线斜率； （2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围： （3）（i）证明：当时，； （ii）证明：. 【答案】（1） （2） （3）（i），令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，成立； （ii）下面证明：当时，成立， 令，则 由前问解答过程，对任意成立，所以 所以在上单调递增，所以 所以当时，成立 令且，可得， 即， 由题意，令且，可得，因为 所以， 由①当时，，所以令且，可得 所以， 由前面解答过程得，对任意成立， 令且，可得， 所以， 又且，所以， 所以所以可得 ， 即可得. 【解析】 【分析】（1）分析题意，利用导数的几何意义进行计算即可. （2）分类讨论不同种情况，结合导数判断并取舍即可. （3）利用给定定义将目标式子左面合理放缩，结合裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 ，则 所以，可得在处的切线斜率为 【小问2详解】 令， 则， 下面证明：对任意恒成立, 先证明：对任意.证明如下：设，则， 当时，，函数单调递减，当时，， 函数单调递增，故，故， 继续证明：对任意. 证明如下：令，则， 因此在上单调递增；所以，故 当时，对，都有，函数在上单调递增， 则，解得； 当时，对， 都有，对，都有， 函数在上单调递减，在上单调递增， 则对，都有成立，不符合题意，舍去. 综上所述，实数的取值范围是. 【小问3详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：本题考查数列与导数新定义结合，解题关键是对目标式子左侧合理放缩，然后使用裂项相消法求和，得到所证明的不等关系即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $