第01章 有理数 章节（8知识点回顾+21题型练习） 【暑假预习】2025-2026学年七年级上册数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版2024）

第01章 有理数 章节（8知识点回顾+21题型练习） 题型梳理 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 数轴上整点覆盖问题 题型十三 相反数的定义 题型十四 化简多重符号 题型十五 相反数的应用 题型十六 绝对值的几何意义 题型十七 求一个数的绝对值 题型十八 绝对值非负性 题型十九 绝对值的其他应用 题型二十 有理数大小比较 题型二十一 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 知识点2．有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如﹣，﹣，﹣，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2＝；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3＝﹣；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1＝，﹣0.5＝﹣，0.＝，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 知识点3．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 知识点4．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点5：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点6：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点7．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点8．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．大于 的数是正数，小于 的数是负数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对正数、负数的认识，正确理解正负数的定义是解题的关键． 根据正数、负数的意义，大于的正数是正数，小于的数是负数即可求解． 【详解】解：大于的正数是正数，小于的数是负数， 故答案为：，． 2．指出下列句子中带符号的数量的含义： (1)上个月市场上鲜菜价格增长了； (2)大熊猫繁育研究基地中某只大熊猫本月体重变化为； (3)据监测，我国沙化土地面积平均每年变化 【答案】(1)“”表示市场上鲜菜价格下降了 (2)“”表示大熊猫体重比上月增长了 (3)“”表示沙化土地面积平均每年缩减 【分析】本题考查了正负数的意义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）“增长了”表示“下降了”，据此即可作答． （2）“体重变化为” 表示“体重比上月增长了”，据此即可作答． （3）“沙化土地面积平均每年变化” 表示“沙化土地面积平均每年缩减”，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，“”表示市场上鲜菜价格下降了； （2）解：依题意，“”表示大熊猫体重比上月增长了； （3）解：“”表示沙化土地面积平均每年缩减． 题型二 相反意义的量 3．下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 【答案】C 【分析】此题考查了相反意义的量．根据相反意义的量的定义进行判断即可． 【详解】解：A、盈利和亏损元，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； B、浪费水和节约水，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； C、进三个球和输三场比赛，不是互为相反意义的量，故选项符合题意； D、上升和下降，是互为相反意义的量，故选项不符合题意； 故选：C． 4．如果高于海平面记作，那么低于海平面应记作 ． 【答案】 【分析】此题考查了正负数表示相反意义的量，根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案，解题的关键是熟练掌握正负数的意义． 【详解】解：∵高于海平面记作， ∴低于海平面应记作， 故答案为：． 题型三 正负数的实际应用 5．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利90元记作元，那么亏本70元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． 在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示即可． 【详解】解：∵盈利90元记作元， ∴亏本70元记作元． 故选：C． 6．某条河某周水位变化量比上周增加，接下来的第二周比上周减少，第三周与上周水位一样．用正数和负数表示这三周水位变化量比上周的增长量． 【答案】第一周：，第二周：，第三周： 【分析】本题考查了正负数的应用，根据题意用正数和负数表示这三周水位变化量比上周的增长量． 【详解】解：依题意，第一周：，第二周：，第三周： 题型四 有理数的定义 7．在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可． 【详解】解：根据题意，有理数是0，，，，，共5个． 故选：B． 8．在，5，，，，中，有理数有 个 【答案】4/四 【分析】本题考查有理数，包括有限小数与无限循环小数，熟知有理数的分类是解答的关键． 根据有理数是整数和分数的统称求解即可． 【详解】解：在中，有理数是，，共4个， 故答案为：4． 题型五 0的意义 9．下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 【答案】D 【分析】本题考查了0的归类及性质．根据0在有理数中的归类性质，逐项做出判断即可． 【详解】A、0是整数，∴A正确； B、0既不是正数，也不是负数，∴B正确； C、0乘任何有理数仍得0，∴C正确； D、0除以0，没有意义，∴D不正确． 故选：D． 10．以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有 ；负数有 ，既不是正数也不是负数的是 ． 【答案】 0.6，，368 ，-100， 0 【分析】根据正数、负数的概念，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：根据题意，则 正数有：0.6，，368； 负数有：，，； 既不是正数也不是负数的是0； 故答案为：0.6，，368；，，；0； 【点睛】本题考查了有理数的概念，解题的关键是掌握所学的定义进行判断． 题型六 有理数的分类 11．在，，，，，，，中，正整数和负分数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，掌握有理数的分类是解题的关键． 根据正整数和负分数的定义找出即可． 【详解】解：在，，，，，，，中，， 是正整数，，是负分数，共有个， 故选：． 12．现有下列各数：，，，，3，0，，，9，其中正整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查有理数的分类，理解整数的概念是解答本题的关键． 根据有理数的分类和正数的概念，进行判断即可． 【详解】解：3，9是正整数，共2个， 故答案为：2． 题型七 带“非”字的有理数 13．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查有理数，理解有理数、非负整数的定义是正确解答的关键． 根据有理数，非负整数的定义进行判断即可． 【详解】解：在，，0，1.2，2，中，非负整数有0，2，共2个， 故选：B． 14．将下列各数填入相应的集合内： ，0，，，4，π (1)整数集合：{               …}； (2)分数集合：{            …}； (3)非负数集合：{             …}． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数，解题的关键是掌握整数、分数、非负数的概念． （1）根据整数的概念求解可得答案； （2）根据分数的概念求解可得答案； （3）根据非负数的概念求解可得答案． 【详解】（1）解：整数集合：； （2）分数集合：； （3）非负数集合：． 题型八 数轴的三要素及其画法 15．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查数轴，了解数轴三要素是关键.根据数轴三要素：原点，正方向，单位长度，逐一排除即可． 【详解】A.没有方向，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； B.单位长度不相等，数轴画法不正确，故该选项不符合题意； C.数轴画法正确，故该选项符合题意； D.没有原点，数轴画法不正确，故该选项不符合题意． 故选：C 16．回答下列问题： (1)过，两点画一条数轴，使点表示，点表示． (2)在所画的数轴上将，表示在数轴上，并将，，，这四个数用“”连接起来． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析，． 【分析】此题考查了有理数在数轴上的表示，有理数的大小比较-数轴比较法等知识，准确在数轴上表示有理数是解题的关键． （）根据网格图和条件画图即可； （）先在数轴上表示，，然后根据数轴上右边的数总比左边的数大比较大小即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：， 在数轴上表示各数如下， ∴四个数用“”连接起来为：． 题型九 用数轴上的点表示有理数 17．琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的知识，解题的关键是根据数轴确定被墨迹盖住部分数的取值范围，再据此判断选项中的数是否在该范围内． 先确定数轴上被墨迹盖住部分数的取值范围，然后逐一分析选项中的数是否在这个范围内． 从数轴上可以看出，被墨迹完全盖住部分的数的取值范围是大于且小于0． 【详解】A、，不在到0这个范围内，所以A选项错误； B、，在到0这个范围内，所以B选项正确； C、，不在到0这个范围内，所以C选项错误； D、，不在到0这个范围内，所以D选项错误． 故选：B． 18．数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键． 分两种情况讨论：①当点在表示2的点的左边时；②当点在表示2的点的右边时，根据数轴上两点间的距离，即可得到答案． 【详解】解：分为两种情况： ①当点在表示2的点的左边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为； ②当点在表示2的点的右边时，与点2相距3个单位长度的点表示的数为； 故答案为：或． 题型十 利用数轴比较有理数的大小 19．如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的大小比较，从数轴得出，据此判断即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴． 故选：A． 20． 在数轴上表示下列各数，并用“>”号连接． 4，，．， 【答案】数轴见解析，， 【分析】本题考查在数轴上表示数，有理数的大小比较，先将各数表示在数轴上，再按从大到小的顺序排列即可．理解数轴上表示数的意义是解题关键． 【详解】解：， 如图所示 ． 题型十一 数轴上两点之间的距离 21．数轴上点与表示的点的距离是，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间的距离公式，熟练掌握数轴上两点间的距离公式是解答本题的关键． 根据数轴上两点间的距离公式解答即可． 【详解】解：数轴上点与表示的点的距离是的点有两个， 或， 点表示的数是或， 故选：D． 22．在数轴上到原点距离等于的点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，解题的关键在于理解数轴上距离某个点是一个定值的点有两个，左右各一个．根据数轴上到原点距离等于，考虑两种情况：该点在原点的左侧，该点在原点的右侧求解，即可解题． 【详解】解：由数轴特点可知，数轴上到原点距离等于的点表示的数是， 故答案为：． 题型十二 数轴上整点覆盖问题 23．小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数．写出被遮盖的部分中整数即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得，被遮盖的部分中整数有，共5个，即被遮盖的部分中表示整数的点有5个， 故选：C 24．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴的特点，理解并掌握数轴上点与数的一一对应关系是解题的关键． 根据数轴的特点，数形结合分析即可求解． 【详解】解：根据数轴的特点，墨迹盖住的整数有，，共2个， 故答案为：2 ． 题型十三 相反数的定义 25．的相反数是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据“只有符号不同的两个数，称互为相反数”解答． 【详解】解：的相反数是3， 故选：B． 26．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 【答案】(1)画数轴见解析 (2) 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、利用数轴比较有理数大小，涉及相反数的性质等知识，熟练掌握数轴性质是解决问题的关键． （1）由相反数性质，互为相反数的两个数关于原点对称，直接根据有理数在数轴上的位置即可得到的位置； （2）利用数轴性质：数轴上的有理数，右边的数大于左边的数比较大小即可得到答案． 【详解】（1）解：是有理数的相反数， 根据互为相反数的两个数关于原点对称，在数轴上表示如图所示： （2）解：如图所示： 由数轴性质比较有理数大小得到 题型十四 化简多重符号 27．计算的结果为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 28．化简下列各数． (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了相反数． （1）根据相反数的定义化简即可； （2）根据相反数的定义化简即可； （3）根据相反数的定义化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 题型十五 相反数的应用 29．若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了相反数，倒数，根据互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的积为1，列式计算即可． 【详解】∵a，b互为相反数，的倒数是， ∴，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：5． 30．已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 【答案】(1)为负数，为正数 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，相反数，数轴上两点间的距离： （1）根据数在原点的哪一侧，进行判断即可； （2）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，标出点的位置即可； （3）根据相反数在数轴上在原点的两侧且到原点的距离相等，求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，数在原点左侧，数在原点右侧， 故为负数，为正数； （2）的对应点的位置，如图所示． （3）因为与的对应点相隔2024个单位长度， 所以与的对应点都距离原点1012个单位长度． 又因为为负数， 所以． 题型十六 绝对值的几何意义 31．如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和绝对值的意义，根据数轴确定对应位置点的绝对值是解题的关键． 数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值，先根据点在数轴上的位置确定其绝对值，然后求出最小的即可． 【详解】解：∵数轴上的点到原点的距离就是该点表示的数的绝对值， ∴由数轴可得四个数中，点离原点最近， ∴这四个数中，绝对值最小的数是， 故选：． 32．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 【答案】(1)5，4； (2)，1或； (3) 【分析】此题考查了绝对值函数的最值，数轴，两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键． （1）根据题意所述，运用类比的方法即可得出答案． （2）根据两点之间的距离为2，得到，继而可求出答案． （3）表示点到点与1的距离和为3，即数轴上点到1之间的整数解都满足，可得答案． 【详解】（1）解：， 故答案为：5，4； （2）， ∵这两点之间的距离为2， ， ， 故答案为：，1或； （3）所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是， 故答案为：． 题型十七 求一个数的绝对值 33．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较．从数轴得出，，据此判断即可． 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意． 故选：B． 34．3的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 5 【分析】题目主要考查相反数的定义及求法、负有理数的绝对值的求法，熟练掌握求解法则是解题关键． 首先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）和求法，可得3的相反数是；然后根据负有理数的绝对值是它的相反数，可得的绝对值是5． 【详解】解：3的相反数是，的绝对值是， 故答案为：，5． 题型十八 绝对值非负性 35．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 【答案】② 【分析】此题主要考查了有理数的运算，非负数的性质和绝对值的意义，理解绝对值的意义，非负数的性质，熟练掌握有理数的运算是解决问题的关键． 根据为有理数得，由此可对该结论进行判断； 根据非负数的性质得，，则，由此可对该结论进行判断； 根据得，当时，，当时，没有意义，由此可对该结论进行判断； 根据得：（Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负，则，(Ⅱ)当、、都是负数时，则，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵为有理数， ∴， 故结论①不正确； ②∵，，， ∴，， ∴， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∴当时，，当时，没有意义， 故结论③不正确； ④∵， ∴有以下两种情况， （Ⅰ）当、、中有两正一负时，不妨假设、为正，为负， ∴，，， ∴； (Ⅱ)当、、都是负数时，则，，， ∴， 故结论④不正确； 故答案为：②； 36．如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且． (1)直接写出：_____，_____，线段中点对应的数为______； (2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为个单位长度每秒，的速度为个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 【分析】本题主要考查了数轴的相关知识，涉及绝对值的定义、数轴上两点间的距离公式，根据数轴上的点表示出点与点之间的距离是解题的关键． （1）根据绝对值和平方的值非负可求出，，再根据中点的性质即可求解； （2）先求出，，根据题意有：，，即有，分当点在点的左侧时，和当点在点的左侧时，两种情况讨论，即可作答． 【详解】（1）解：， ，， ，， ，， 线段中点对应的数， 故答案为：，，； （2）点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且，， ，， 根据题意有：，， ， 分情况讨论： 当点在点的左侧时，， ， ， 解得：； 当点在点的左侧时，， ， ， 解得：， 综上：的值为或． 题型十九 绝对值的其他应用 37．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 【答案】(1)4 (2)3袋 【分析】本题主要考查了正数，负数，绝对值，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据绝对值越小越接近标准，可得答案； （2）将表格中的数据与误差标准进行比较即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，， ， ∴最接近标准重量的是； （2）解：∵，，，，，， ，， ∴有袋不合格产品． 题型二十 有理数大小比较 38．下面各数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的大小比较，先把每个选项的数整理为小数，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：依题意，，，， ∵， 故选：D． 39．比较下列各数的大小．（用“<”号连接，写出过程） 【答案】 【分析】本题考查有理数比较大小，根据负数比较大小，绝对值大的反而小解题即可． 【详解】解：因为，，，，，，， 所以． 题型二十一 有理数大小比较的实际应用 40．有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 的相反数 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的大小比较；先化简计算，再根据有理数的大小比较排列即可求解． 【详解】解：∵，的相反数是 ∴． 得到单词是：， 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01章 有理数 章节（8知识点回顾+21题型练习） 题型梳理 题型一 正负数的定义 题型二 相反意义的量 题型三 正负数的实际应用 题型四 有理数的定义 题型五 0的意义 题型六 有理数的分类 题型七 带“非”字的有理数 题型八 数轴的三要素及其画法 题型九 用数轴上的点表示有理数 题型十 利用数轴比较有理数的大小 题型十一 数轴上两点之间的距离 题型十二 数轴上整点覆盖问题 题型十三 相反数的定义 题型十四 化简多重符号 题型十五 相反数的应用 题型十六 绝对值的几何意义 题型十七 求一个数的绝对值 题型十八 绝对值非负性 题型十九 绝对值的其他应用 题型二十 有理数大小比较 题型二十一 有理数大小比较的实际应用 知识清单 知识点1：1．正数和负数 1、在以前学过的0以外的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”“﹣”号叫做它的符号． 2、0既不是正数也不是负数．0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 3、用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量． 知识点2．有理数 我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数． 我们还学习过正分数，如，，，0.1，5.32，0.，……；负分数，如﹣，﹣，﹣，﹣0.5，﹣150.5，…它们都是分数． 进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2＝；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3＝﹣；0也可以写成分数的形式．这样，整数可以写成分数的形式． 可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数． 0.1＝，﹣0.5＝﹣，0.＝，…，事实上，有限小数和无限循环小数都可以化分为分数，因此它们也可以看成分数． 知识点3．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 知识点4．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点5：相反数 1.定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0. 要点归纳： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同. （2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉. （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数. （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可. 2.相反数的性质 （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）. （2）互为相反数的两数和为0. 知识点6：绝对值 1.定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|. 要点归纳： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2.绝对值的性质 1.性质：绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 2.求法 （1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等. （3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 知识点7．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 知识点8．有理数大小比较 （1）有理数的大小比较 比较有理数的大小可以利用数轴，他们从右到左的顺序，即从大到小的顺序（在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大）；也可以利用数的性质比较异号两数及0的大小，利用绝对值比较两个负数的大小． （2）有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数； ④两个负数，绝对值大的其值反而小． 【规律方法】有理数大小比较的三种方法 1．法则比较：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 2．数轴比较：在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数． 3．作差比较： 若a﹣b＞0，则a＞b； 若a﹣b＜0，则a＜b； 若a﹣b＝0，则a＝b． 题型练习 题型一 正负数的定义 1．大于 的数是正数，小于 的数是负数． 2．指出下列句子中带符号的数量的含义： (1)上个月市场上鲜菜价格增长了； (2)大熊猫繁育研究基地中某只大熊猫本月体重变化为； (3)据监测，我国沙化土地面积平均每年变化 题型二 相反意义的量 3．下面两个量中，不具有相反意义的是（   ） A．盈利和亏损元 B．浪费水和节约水 C．进三个球和输三场比赛 D．上升和下降 4．如果高于海平面记作，那么低于海平面应记作 ． 题型三 正负数的实际应用 5．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利90元记作元，那么亏本70元记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．某条河某周水位变化量比上周增加，接下来的第二周比上周减少，第三周与上周水位一样．用正数和负数表示这三周水位变化量比上周的增长量． 题型四 有理数的定义 7．在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 8．在，5，，，，中，有理数有 个 题型五 0的意义 9．下列有关0的说法中，不正确的是（   ） A．0是整数 B．0既不是正数，也不是负数 C．0乘任何有理数仍得0 D．0除以任何有理数仍得0 10．以下各数：，0.6，-100，，0，，368中，正数有 ；负数有 ，既不是正数也不是负数的是 ． 题型六 有理数的分类 11．在，，，，，，，中，正整数和负分数共有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 12．现有下列各数：，，，，3，0，，，9，其中正整数有 个． 题型七 带“非”字的有理数 13．在，，0，1.2，2，中，非负整数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．将下列各数填入相应的集合内： ，0，，，4，π (1)整数集合：{               …}； (2)分数集合：{            …}； (3)非负数集合：{             …}． 题型八 数轴的三要素及其画法 15．以下数轴画法正确的是（　　） A． B． C． D． 16．回答下列问题： (1)过，两点画一条数轴，使点表示，点表示． (2)在所画的数轴上将，表示在数轴上，并将，，，这四个数用“”连接起来． 题型九 用数轴上的点表示有理数 17．琪琪写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判定被墨迹完全盖住部分的数可能是（    ） A． B． C．3 D． 18．数轴上与点2相距3个单位长度的点表示的数为 ． 题型十 利用数轴比较有理数的大小 19．如图，若点，，所对应的数为，，，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 20． 在数轴上表示下列各数，并用“>”号连接． 4，，．， 题型十一 数轴上两点之间的距离 21．数轴上点与表示的点的距离是，则点表示的数是（   ） A． B． C．或 D．或 22．在数轴上到原点距离等于的点表示的数是 ． 题型十二 数轴上整点覆盖问题 23．小宇不小心将墨水滴在了数轴上，使部分数轴被墨迹遮盖，则被遮盖的部分中表示整数的点有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 24．如图，小冰在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，此时墨迹盖住的整数有 个． 题型十三 相反数的定义 25．的相反数是（    ） A． B．3 C． D． 26．有理数在数轴上的位置如图所示： (1)请在数轴上标出； (2)比较的大小（用“”将它们连接起来）． 题型十四 化简多重符号 27．计算的结果为 ． 28．化简下列各数． (1) (2) (3) 题型十五 相反数的应用 29．若a，b互为相反数，的倒数是，则b的值为 ． 30．已知数在没有标明单位长度的数轴上的对应点的位置如图所示． (1)指出数的正负性； (2)在数轴上标出的相反数的对应点的位置； (3)若与的对应点相隔2024个单位长度，则数是多少？ 题型十六 绝对值的几何意义 31．如图，数轴上的点，，，分别表示有理数，，，，这四个数中，绝对值最小的数是（    ） A． B． C． D． 32．同学们，我们在本期教材中曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记作；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记作，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，则A、B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和7的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记作 ，如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3)找出所有符合条件的整数x，使得|，这样的整数是 ． 题型十七 求一个数的绝对值 33．如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 34．3的相反数是 ，的绝对值是 ． 题型十八 绝对值非负性 35．下列结论：①若为有理数，则；②若，则；③若，则；④若，则，则其中正确的结论的是 （填序号）． 36．如图，，是数轴上的两点，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是，且． (1)直接写出：_____，_____，线段中点对应的数为______； (2)点、分别从、出发同时向左匀速运动，的速度为个单位长度每秒，的速度为个单位长度每秒，设运动时间为秒，当时，求的值． 题型十九 绝对值的其他应用 37．牡丹鲜花饼是用牡丹花为原料制成的一种鲜花饼，它是河南省洛阳市的特产，又称百花糕、牡丹糕．下面是质检员抽查的6袋牡丹鲜花饼，其中超过标准质量克数记作正数，不足标准质量克数记作负数，检查结果记录如下： 序号 1 2 3 4 5 6 质量（克） (1)这6袋牡丹鲜花饼，最接近标准重量的是______（填序号）； (2)如果规定合格产品与标准质量可以有的误差，则上面的6件产品中有几袋是不合格产品？ 题型二十 有理数大小比较 38．下面各数中，最大的是（    ） A． B． C． D． 39．比较下列各数的大小．（用“<”号连接，写出过程） 题型二十一 有理数大小比较的实际应用 40．有5张卡片，卡片正面分别写有五个数，背面分别写有五个字母，如下表： 正面 的相反数 背面 将卡片正面的数由小到大排列，然后将卡片翻转使背面朝上，卡片上的字母组成的单词是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$