专题1.2 空间向量的基本定理【3个基础知识点+2个能力提升】讲义-2025年暑假新高二数学常考题型归纳

2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.2空间向量的基本定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：三个向量构成基底的判断】 知识讲解 一、定理内容与核心要素 1. 定理表述： 如果三个向量 、、 不共面，那么对空间中任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得： 2. 关键条件： 基底向量 、、 必须不共面（即能构成基底）。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选题（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【相似题2】多选题（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【相似题3】（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【基础知识点2：用基底向量表示空间某个向量】 知识讲解 具体方法与步骤 1. 几何法（图形分解法） 适用场景：已知几何体结构，通过向量的三角形法则、平行四边形法则分解。 步骤： 步骤1：确定基底：选取几何体中从同一顶点出发的三条不共面向量作为基底（如 在平行六面体中）。 步骤2：路径拆解：将目标向量沿几何体的棱分解为基底向量的和或差，遵循“首尾相连”原则。 步骤3：整理表达式：合并同类项，写成 的形式。 例题精选 【例题1】（河南省周口市2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【例题2】（2025届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学试卷）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏常州·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 【相似题2】多选题（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【相似题3】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【基础知识点3：利用空间向量的基底表示解决平行垂直问题】 知识讲解 一、平行问题（基底法） 1. 向量平行：若（为实数），则。 用基底表示：若，，则。 2. 线面平行：直线方向向量可表示为平面内两基底向量的线性组合，即。 二、垂直问题（数量积法） 1. 向量垂直：若，则。 基底展开：，代入基底数量积计算。 2. 线面垂直：直线方向向量与平面内两不共线基底向量都垂直，即且。 三、步骤总结 1. 选基底：取几何体中不共面的三个向量（如从同一顶点出发的棱向量）。 2. 表向量：将目标向量用基底线性表示。 3. 判关系： 平行：验证系数成比例； 垂直：计算数量积是否为0。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． (1)用向量表示向量； (2)若，求实数的值． 【例题3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【相似题2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【相似题3】（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【能力提升1：用向量法求异面直线的夹角】 知识讲解 一、核心原理 异面直线的夹角（范围）等于两直线方向向量夹角的锐角或直角，通过向量的数量积公式计算。 二、具体步骤 1. 找方向向量：在两条异面直线上分别取非零向量、（方向向量）。 2. 算数量积：计算。 3. 求余弦值：利用公式 （取绝对值是因为夹角为锐角）。 例题精选 【例题1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【例题2】（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【相似题2】（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【能力提升2：空间向量基底的综合应用】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【例题2】多选题（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【例题3】多选题（24-25高二上·浙江·期中）在正方体中，（），则（   ） A． B．当点Q在平面内时， C．与平面所成角的正切值为 D．当时，四棱锥的体积为定值 相似练习 【相似题1】多选题（2024·江西·模拟预测）已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 【相似题2】多选题（23-24高二下·江苏泰州·期中）在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 【相似题3】多选题（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·四川·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）在三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 二、多选题 7．（24-25高二下·江苏盐城·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 8．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（    ） A．若，则平面ACD B．当最小时， C．若，则 D．当最大时， 三、填空题 10．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 11．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则 ． 12．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 13．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·天津河东·期中）在平行六面体中，，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②若，则； ③当时，三棱锥的体积为； ④当时，长度的最小值为． 所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）． 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏盐城·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 16．（22-23高二上·上海·期中）如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 17．（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 18．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年暑假新高二数学常考题型归纳 【专题1.2空间向量的基本定理】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【基础知识点1：三个向量构成基底的判断】 知识讲解 一、定理内容与核心要素 1. 定理表述： 如果三个向量 、、 不共面，那么对空间中任意一个向量 ，存在唯一的有序实数组 ，使得： 2. 关键条件： 基底向量 、、 必须不共面（即能构成基底）。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】由空间向量的基底的定义建立方程，可得答案. 【详解】对于A，设，无解， 所以，，不共面，能构成空间的一组基底，故A正确； 对于B，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故B错误； 对于C，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故C错误； 对于D，设，解得， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底，故D错误. 故选：A. 【例题2】（24-25高二上·广东深圳·期末）若为空间的一个基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明ACD选项中的三个向量共面，判断它们错误，利用反证法证明B选项中的三个向量不共面，判断B正确. 【详解】对于A，因为，所以共面， 所以不能构成基底， 对于C，因为， 所以共面，所以不能构成基底，C错误； 对于D，， 所以共面，所以不能构成基底，D错误， 对于B，若共面， 则可设，故， 故共面，与条件矛盾， 所以不共面，即能构成基底，B正确； 故选：B. 相似练习 【相似题1】多选题（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用空间向量的基底的概念结合空间向量的共面定理一一判定即可. 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 【相似题2】多选题（24-25高二下·江苏宿迁·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 【相似题3】（24-25高二上·陕西西安·期末）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【分析】根据题意，可知存在，使得，结合空间向量基本定理运算求解. 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 【基础知识点2：用基底向量表示空间某个向量】 知识讲解 具体方法与步骤 1. 几何法（图形分解法） 适用场景：已知几何体结构，通过向量的三角形法则、平行四边形法则分解。 步骤： 步骤1：确定基底：选取几何体中从同一顶点出发的三条不共面向量作为基底（如 在平行六面体中）。 步骤2：路径拆解：将目标向量沿几何体的棱分解为基底向量的和或差，遵循“首尾相连”原则。 步骤3：整理表达式：合并同类项，写成 的形式。 例题精选 【例题1】（河南省周口市2024-2025学年高二下学期5月联考数学试题）如图，在四面体中，.点在上，且，点是的中点，则 （    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法法则，将转化为以、、表示的形式，再根据已知条件逐步计算. 【详解】因为，所以， 因为点是的中点，所以. 所以， 故选：A. 【例题2】（2025届普通高等学校招生全国统一考试青桐鸣大联考（高二）数学试卷）在直三棱柱中，，分别为，的中点，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的基底，结合几何图形表示出. 【详解】在直三棱柱中，. 故选：A 【例题3】（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图所示，在平行六面体 中，M是 的中点，点N是CA₁上的点，且 用表示向量 的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用空间向量的加减数乘运算，将用空间的基底表示即可. 【详解】由图可得： . 故选：C. 相似练习 【相似题1】（24-25高二下·江苏常州·期中）在平行六面体中，，，，则棱的长度是（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【分析】设，分别求出的模长和两两之间的数量积，将用表示，并利用向量数量积的运算律求其模长即可. 【详解】    如图，不妨取，则，，， ，，. 因为， 则 ，故. 故选：A. 【相似题2】多选题（24-25高二下·甘肃酒泉·期中）在平行六面体中，，，与交于点．设，，，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D．与的夹角为 【答案】ACD 【分析】利用空间向量的基本定理可判断AB选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断CD选项. 【详解】由题知，． 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，，故C正确； 对于D， ， 所以与的夹角为，故D正确． 故选：ACD． 【相似题3】（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，平行六面体中，． (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两边平方后可得. （2）由（1）得，根据数量积的运算律可得，然后由向量夹角公式求解即可. 【详解】（1），又 则 ， 所以． （2）由空间向量的运算法则，可得，- 因为且， 所以 ， - ，- 则． 【基础知识点3：利用空间向量的基底表示解决平行垂直问题】 知识讲解 一、平行问题（基底法） 1. 向量平行：若（为实数），则。 用基底表示：若，，则。 2. 线面平行：直线方向向量可表示为平面内两基底向量的线性组合，即。 二、垂直问题（数量积法） 1. 向量垂直：若，则。 基底展开：，代入基底数量积计算。 2. 线面垂直：直线方向向量与平面内两不共线基底向量都垂直，即且。 三、步骤总结 1. 选基底：取几何体中不共面的三个向量（如从同一顶点出发的棱向量）。 2. 表向量：将目标向量用基底线性表示。 3. 判关系： 平行：验证系数成比例； 垂直：计算数量积是否为0。 例题精选 【例题1】（24-25高二下·江苏宿迁·期中）如图，平行六面体的底面为正方形，棱长都为，且，设，，，，分别是棱，的中点，点为棱上的动点.    (1)用，，表示； (2)若为棱的中点，求； (3)是否存在点，使，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在，为的中点 【分析】（1）根据向量线性运算计算即可； （2）根据向量线性运算计算得，结合向量模长计算公式以及向量数量积计算公式计算即可； （3）设，根据向量线性运算计算得，再根据题意建立等式，计算即可. 【详解】（1）； （2）若P为棱的中点，则，， 所以 ； （3）设， 则，由（1）知 所以, 即， 化简得，解得， 所以这样的点存在，且为的中点. 【例题2】（2025高三·全国·专题练习）如图，在棱长为1的正四面体中，分别为棱的中点，． (1)用向量表示向量； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求解即可； （2）用向量表示，根据向量垂直结合数量积的运算律运算求解. 【详解】（1）因为，则， 所以． （2）由题意可知：， 因为，则， 可得， ， 因为，则， 整理可得， 即，整理可得， 因为，所以． 【例题3】（24-25高二上·山西晋城·期中）如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 【相似题2】（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 【相似题3】（22-23高二上·湖北武汉·阶段练习）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由平面利用共面定理可得再将转化为用来表示，再利用空间向量的基本定理即可求解. （3）由点平面，可知四点共面，再利用共面定理的推论即可求解. 【详解】（1）且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面所以存在实数使得， 即， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 【能力提升1：用向量法求异面直线的夹角】 知识讲解 一、核心原理 异面直线的夹角（范围）等于两直线方向向量夹角的锐角或直角，通过向量的数量积公式计算。 二、具体步骤 1. 找方向向量：在两条异面直线上分别取非零向量、（方向向量）。 2. 算数量积：计算。 3. 求余弦值：利用公式 （取绝对值是因为夹角为锐角）。 例题精选 【例题1】（22-23高二上·山东聊城·阶段练习）如图，在棱长为1的正四面体中，，分别是边，的中点，点在上，且，设，，． (1)试用向量，，表示向量； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平面向量基底运算即可得到结果. （2）分别求出的值，再结合向量的夹角公式即可求得结果. 【详解】（1） （2）由题意知，，，， 则， ， 所以 【例题2】（24-25高二上·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 【相似题2】（24-25高二上·福建厦门·期中）如图，在矩形和中，，记. (1)将用表示出来； (2)当等于多少时，线段的长度取得最小值？求此时与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2)，. 【分析】（1）利用空间向量的加减运算法则化简即得； （2）分别求得，利用向量数量积的运算律求得，再利用空间向量的夹角公式计算即得结果. 【详解】（1）由图知， . （2）由题意， 由（1） ， 所以当时有最小值即有最小值； 此时，， 故， 且， 设与的夹角为，则. 【能力提升2：空间向量基底的综合应用】 例题精选 【例题1】多选题（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【分析】由空间向量的基本定理结合面面平行可得A正确；由向量的数量积运算可得B错误；由空间向量的基本定理结合已知得到点的轨迹是线段，再由勾股定理可得C正确；由空间向量的基本定理得到点P的轨迹是线段，当为的中点时可得D正确. 【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以，从而，故D正确. 故选：ACD. 【例题2】多选题（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知四棱柱的底面是边长为2的菱形，底面，，，点满足，其中，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点到点，，，的距离相等，则 B．若，则长度的最小值为 C．若，则长度的最大值为2 D．若，则点的轨迹的长度为 【答案】ABD 【分析】选项A：若点P到点B，，D，的距离相等，则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上，计算即可.选项B:长度的最小值为点到平面的距离,计算即可，选项C：若，则点P在上及其内部，长度的最大值为，选项D:若，则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 【详解】对于A，若点P到点B，，D，的距离相等， 则点P在经过对角面的中心，且垂直于平面的直线上， 分别取，的中点，， 连接，如图（1），则点P在线段上，则，， 所以，故A正确； 图（1） 对于B，若，则点在上及其内部， 如图（2）， 图（2） 则长度的最小值为点到平面的距离， 设为与的交点，则所求距离转化为点到直线的距离， 易知为等腰直角三角形，所以，故B正确； 对于C，若，则点P在上及其内部， 如图（3）， 图（3） 则长度的最大值为，，中的一个，计算可得，， 所以长度的最大值为，故C错误； 对于D，若，则， 所以， 所以，所以， 则点在平面内，且在以为圆心，半径为1的圆弧上，这段圆弧的长度为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用向量的几何意义，得到具体的几何关系进行求解是关键，方法点睛：几何与代数的结合求解是关键. 【例题3】多选题（24-25高二上·浙江·期中）在正方体中，（），则（   ） A． B．当点Q在平面内时， C．与平面所成角的正切值为 D．当时，四棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】依题意点Q在四边形内及边界运动（不含）.对于A，通过证明线面垂直证得线线垂直得出结果；对于B，当点Q在平面内时，即点在线段上，即可直接判断结果；对于C，分析可得的大小等于与平面所成角的大小，再结合直角三角形求解即可；对于D，通过分析点到平面的距离是定值，四边形的面积为定值，得出结果. 【详解】因为在正方体中，（）， 所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）. 对于A，因为底面，底面，所以. 又，，平面， 所以平面，平面， 所以，故A正确； 对于B，当点在平面内时，即点在线段上， 所以，无法确定，故B错误； 对于C，因为，平面，平面， 所以平面，由A知，平面， 所以的大小等于与平面所成角的大小， 即的大小等于与平面所成角的大小， 设正方体棱长为，则，， 则在中，，故C正确； 对于D，设，，连结， 当时，点在线段上运动， 因为，平面，平面， 所以平面，则点到平面的距离为定值， 而四边形的面积为定值， 所以四棱锥的体积是定值，故D正确. 故选：ACD. 相似练习 【相似题1】多选题（2024·江西·模拟预测）已知正方体边长为2，动点满足，则下列说法正确的是（    ） A．当时，则直线平面 B．当时，的最小值为 C．当时，的取值范围为 D．当，且时，则点的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】由时，得到为的中点，可判定A错误；在上取点，得到求得点在上，将平面与平面沿着展开到同一平面内，可判定B正确；证得平面，求得的最大值与最小值，可判定C正确；求得点的轨迹在内，根据题意得到点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分，且，可判定D错误． 【详解】对于A中，由于时，则，此时为的中点， 在正方体中，由平面，所以直线不会垂直平面，所以A错误； 对于B中，在上取点，使，在上取点，使， 因为，即，可得点在上， 将平面与平面沿着展开到同一平面内，如图（1）（2）所示， 连接交于，此时三点共线，取到最小值即的长， 由于，所以，则， 所以，所以， 即此时的最小值为，所以B正确； 对于C中，当时，可得点的轨迹在平面内（包括边界）， 在正方形中，可得， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面，所以平面， 所以，又由， 所以的取值范围为，所以C正确； 对于D中，当时，可得点的轨迹在内（包括边界）， 由于平面，平面，可得， 又因为平面，故平面， 因为平面，可得，同理可证， 又因为平面，所以平面， 设与平面交于点，由于， 为边长为的正三角形，则点到平面的距离为， 若，则，即点落在以为圆心，为半径的圆上， 此时点到三边的距离均为， 即点轨迹是以为圆心，为半径的圆的一部分， 又由，其轨迹长度为3倍的弧长，所以D错误． 故选：BC. 【点睛】方法点睛： 1、立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动角的范围等问题； 2、解答方法：一般时根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程； 3、对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后再该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设； 4、对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若由解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在. 【相似题2】多选题（23-24高二下·江苏泰州·期中）在棱长均为1的三棱柱中，，点满足，其中，则下列说法一定正确的有（    ） A．当点为三角形的重心时， B．当时，的最小值为 C．当点在平面内时，的最大值为2 D．当时，点到的距离的最小值为 【答案】BCD 【分析】将用表示，再结合求出，即可判断A；将平方，将代入，再结合基本不等式即可判断B；当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，再根据即可判断C；求出在方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不等式即可判断D. 【详解】对于A，当点为三角形的重心时，， 所以，又因为， 所以，所以，故A错误； 对于B， ， 因为，所以， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以的最小值为，故B正确； 对于C，当点在平面内时， 则存在唯一实数对使得， 则，又因为， 所以，所以， 因为，所以，所以的最大值为2，故C正确； 对于D，当时，由A选项知， ， 在方向上的投影为， 所以点到的距离， 因为，所以，当且仅当时，取等号， 所以点到的距离的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：当点在平面内时，则存在唯一实数对使得，再根据，求出，是解决C选项的关键. 【相似题3】多选题（23-24高二上·安徽滁州·期中）在平行六面体中，，，若，其中，，，则下列结论正确的为（    ） A．若点在平面内，则 B．若，则 C．当时，三棱锥的体积为 D．当时，长度的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则可得，进而求解判断A；根据空间向量的数量积定义和线性运算可得，，进而结合即可求解判断B；由题易知四面体为正四面体，设在平面内的射影为点，进而可得当时，到平面的距离为，进而结合三棱锥的体积公式求解判断C；根据空间向量的数量积定义及运算律可得，进而结合二次函数的性质及基本不等式即可求解判断D. 【详解】对于选项A，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故A正确； 对于选项B，由题意易得， ，且， 又，即， 故，解得，故B正确； 对于选项C，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故C错误；    对于选项D，由B知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用空间向量的数量积定义和线性运算进行转化问题，使之转化为较易的问题进行解决. 课后针对训练 一、单选题 1．（24-25高一上·四川·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25高二下·广西南宁·开学考试）在三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏泰州·期中）已知四棱锥中，底面为平行四边形，点为的中点，点满足，点满足，若、、、四点共面，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 5．（24-25高二上·山东烟台·期中）在平行六面体中，底面是正方形，，，，M是棱的中点，与平面交于点H，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·浙江台州·期中）如图，在三棱锥中，点为的重心，点在上，若，，，则下列说法正确的是（    ） A．若点为的重心，则 B．若，则四点不共面 C．若三棱锥各条棱长均等于，则相对棱之间的距离均等于 D．若与平面交于点，且，则为定值 二、多选题 7．（24-25高二下·江苏盐城·期中）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则是锐角 C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 D．已知不共线，对空间任意一点，若，则四点共面 8．（23-24高二上·辽宁·期中）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是2，且它们彼此的夹角都是为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的长为 9．（23-24高二上·广东深圳·期中）在四面体中（如图），平面平面，是等边三角形，，，M为AB的中点，N在侧面上（包含边界），若，（，，），则（    ） A．若，则平面ACD B．当最小时， C．若，则 D．当最大时， 三、填空题 10．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 11．（23-24高二上·云南昭通·阶段练习）在平行六面体中，已知底面四边形为矩形，，，，则 ． 12．（24-25高二上·安徽·期中）如图，在长方体中，，，点满足，当时，的值为 . 13．（24-25高二下·福建龙岩·期中）如图，在三棱锥中，G为的重心，，，，，，若PG交平面DEF于点M，且，则的最小值为 ． 14．（24-25高二上·天津河东·期中）在平行六面体中，，，若，其中，给出下列四个结论： ①若点在平面内，则； ②若，则； ③当时，三棱锥的体积为； ④当时，长度的最小值为． 所有正确结论的序号是 （把所有正确命题的序号都填在横线上）． 四、解答题 15．（24-25高二下·江苏盐城·期中）在如图所示的平行六面体中，，，，，，设，，． (1)用，，表示，，； (2)求异面直线AC与所成角的正切值． 16．（22-23高二上·上海·期中）如图所示，在三棱柱中，M，N分别是，上的点，且，.设，，. (1)试用，，表示向量； (2)若，，，求的长. 17．（23-24高二上·安徽·阶段练习）如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. (1)利用空间向量证明； (2)求的长. 18．（2022高二上·全国·专题练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D C B A D ACD AC BCD 1．B 【分析】利用向量共面的基本定理，结合基底的性质判断各项的向量是否共面即可. 【详解】对于A，有，所以，，共面； 对于B，假设，，共面，则有， 即，由题意不共面，所以，无解， 故假设不成立，所以，，共面，不共面； 对于C，有，所以，，共面； 对于D，，所以，，共面. 故选：B 2．D 【分析】结合图形应用向量的加减法运算化简求解. 【详解】如图所示，连接， 因为，，则，， 所以 . 故选：D. 3．C 【分析】由共面向量的基本定理得出，利用空间向量的减法可得出，设，利用空间向量的线性运算得出，进而可得出关于、、的方程组，解出的值，即可得出的值. 【详解】如下图所示： 因为、、、四点共面，且、不共线， 则存在、，使得， 即， 所以， 因为四边形为平行四边形，所以，即， 所以， 设，则， 因为、、不共面，所以，解得，所以， 又因为，故， 故选：C. 4．B 【分析】取空间的一个基底，用基向量表示出，再根据空间向量数量积的运算计算即可. 【详解】由题意，在平行六面体 中，，， 由点P是与的交点，得， 而，因此 . 故选：B 5．A 【分析】根据向量的线性运算，结合模长公式可得，利用共面定理，即可求解得解. 【详解】在平行六面体中，取，，， ，，， ，， 而， 则 ，即， 设，则， 由于与共面， 故存在实数，使得 ， 故，解得，故， 故选：A. 6．D 【分析】对于A，利用空间向量的线性运算即可判断；对于B，利用空间向量共面的充要条件证明四点共面即可判断，对于C，将三棱锥放到正方体中，由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为，即可判断，对于D，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】 对于A，连接并延长，交于点， 由题意，可令作为空间向量的一组基底， 由，故A错误； 对于B，由， 则， 故，因此可得四点共面，故B错误； 对于C，若三棱锥各条棱长均等于，如图，将三棱锥放到正方体中， 由三棱锥的棱长为，可得正方体的棱长为， 所以相对棱之间的距离即为正方体的棱长，等于，故C错误； 对于D，由， 连接．因为点共面，所以存在唯一的实数对， 使，即， 所以． 由空间向量基本定理，知，，， 所以，则为定值，故D正确． 故选：D. 【点睛】关键点睛：针对选项C，在解正四面体有关的知识时，可以放正方体中更加直观方便求解，针对D选项，关键是用两种方法表示出，再结合空间向量的基本定理即可求解. 7．ACD 【分析】根据空间向量共面定理即可判断A；根据可得判断B；运用反证法思想说明不共面即可判断C；根据空间向量共面定理的推论即可判断D. 【详解】对于A，根据空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，由，可得，因，则，故B错误； 对于C，假设共面，则存在，， 因向量组是空间的一个基底，故不存在使得成立， 故假设不成立，不共面，即也是空间的一个基底，故C正确； 对于D，因，且，故四点共面，即D正确. 故选：ACD. 8．AC 【分析】A、B选项考查的是空间向量基本定理的应用，以，，为基底表示，就可以得到结论；C选项考查利用空间向量数量积求向量夹角的余弦，先用基底表示和，再求它们的数量积和模，利用可判断C是否正确；对D选项，先用基底表示，再结合可求的长. 【详解】 ∵，故A正确. ∵.故B错误. 又∵，. ，； ， . . ∴.故C正确. ∵，∴.故D错误. 故选：AC. 9．BCD 【分析】根据可证平面，设，且，进而可得，对于：若，则点即为点，进而可得结果；对于、：过作，垂足为，可证平面，则，结合图形分析判断；对于：若，可得点在线段上（包括端点），结合垂直关系分析判断. 【详解】由，平面平面，平面平面，平面，得平面， 又N在侧面上（包含边界），设，且， 于是 ， 而，则，且， 对于，若，则，点即为点，显然平面，错误； 过作，垂足为，得，， 由平面，平面，得，而，平面， 则平面，因此， 对于，显然当点与点重合时，最小，此时，则，正确； 对于，若，则，即点在线段上（包括端点）， 由平面，平面，得，正确； 对于，显然当点与点重合时，最大，即最大，此时， 于是，正确. 故选：BCD. 10． 【分析】利用向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则即可求得结果. 【详解】 , 故答案为： 11． 【分析】取定空间的一个基底，表示出，再利用数量积的运算律求得答案. 【详解】在平行六面体中，，， 则，而，则， 而，则 ， 所以. 故答案为： 12．/0.25 【分析】利用平面向量基本定理得到，利用向量数量积运算法则和得到方程，求出答案. 【详解】长方体中，， ， ， ， 故 ， 解得或， 因为，所以满足要求，不合要求，舍去. 故答案为： 13． 【分析】利用空间向量的四点共面的定理，得出系数的关系，再借助基本不等式求出最小值. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为四点共面， 所以，所以， 因为， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 14．①②④ 【分析】根据平面向量的基本定理及空间向量的加法法则即可解判断①；根据空间向量的数量积定义和线性运算即可判断②；由题易知四面体为正四面体，结合三棱锥的体积公式求解判断③；根据空间向量的数量积定义及运算律代入计算，再由二次函数的性质及基本不等式即可求解判断④. 【详解】对于①，若点在平面内，易知有， 所以， 又，则，故①正确； 对于②，由题意易得， ， 且，又，即， 故，解得，故②正确； 对于③，由题易知四面体为正四面体， 设在平面内的射影为点， 则为的中心，易得，． 当时，到平面的距离为， 所以，故③错误； 对于④，由②可知， ， 又， 由基本不等式可知， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以长度的最小值为，故④正确． 故答案为：①②④ 15．(1)，， (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算求解即可； （2）利用空间向量的数量积定义计算，再根据空间向量数量积的运算分别求，，，根据向量夹角余弦公式求解，即可异面直线AC与所成角的余弦值，根据同角三角函数关系求正切值即可. 【详解】（1）， ， ； （2）因为， ， 又，， 所以， ， ， 设异面直线AC与所成角为， 则， 所以，故， 所以异面直线AC与所成角的正切值为. 16．(1) (2) 【分析】（1）由空间线性运算即可求解； （2）由（1）平方即可求解. 【详解】（1） . （2） ， ，， 即. 17．(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）以为基底，表达出，计算出，证明出结论； （2）在（1）基础上，表达出，平方后得到，开方后得到答案. 【详解】（1）证明：设，则构成空间的一个基底， ， ， 所以 ， 所以. （2）由（1）知， 所以 . 所以. 18．(1) (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则计算可得； （2）根据空间向量线性运算法则得到，即可证明共面； （3）设，因为底面为菱形，则当时，，由，即可得出答案. 【详解】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$