清单01 一次函数（6个考点清单+21种题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（北京版）

清单01 一次函数（6个考点梳理+21种题型解读） 清单01 函数的相关概念 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 清单02 一次函数的概念 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 清单03 一次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 清单04 一次函数的解析式 待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 清单05 一次函数与方程关系 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 清单06 一次函数与不等式关系 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一 常量与变量】（） 1．水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 2．已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 3．林老师开汽车到加油站加油，发现每个加油机上都有三个量，其中一个表示“单价”，其数值固定不变，另外两个量分别表示“体积”“金额”，数值一直在变化．在这三个量当中， 是常量， 是变量． 4．在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 【考点题型二 函数的基本概念】（） 5．下列能表示是的函数的是（   ） A． B．：一个正数，：这个正数的平方根 C． D． 6．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 8．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是一地某天的海拔与对应高度处气温的关系． 海拔 … 0 1 2 3 4 … 气温 … 20 14 8 2 … (1)当海拔高度为时，气温是 ；当气温为时，海拔是 ； (2)写出气温T与海拔h的关系式： ； (3)求海拔处的气温． 【考点题型三 函数的表示法】（） 9．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 10．小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 11．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数之间的关系式为 ． 12．用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y，y＝ ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【考点题型四 平面直角坐标系】（） 13．如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 14．如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，则面积为 ． 15．已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 16．如图，在边长为1的正方形网格中有三个点，规定向右为轴的正方向、向上为轴的正方向，1为1个单位长度． (1)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)若使点在第一象限，则选择点___________（填“”或“”）为坐标原点建立平面直角坐标系，并在图中画出该平面直角坐标系． 【考点题型五 已知点所在的象限求参数】（） 17．已知点在第二象限内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 19．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点Q的坐标为，直线轴． 20．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【考点题型六 坐标与图形】（） 21．如图，在平面直角坐标系中． (1)请写出各顶点的坐标：A（____，____）：B（____，____）：C（____，____） (2)求的面积． 22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，．    (1)写出点的坐标； (2)当三角形的面积是三角形的面积的倍时，求点的坐标． 23．如图，，，点B在x轴上，且． (1)直接写出点B的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为4.5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 24．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为且a，b满足，已知点C坐标为， (1)的面积 (2)若点M在y轴上，且，求点M的坐标 【考点题型七 函数图象的画法】（） 25．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 26．不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为．记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5                               … 3                               … 1                               … (1)在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，已描出上表中所对应的点，请画出函数的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为_____，丙香料的香气强度约为_____；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为_____；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为_____（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为_____． 27．画出函数的图象并研究其性质： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)用列表法画出该函数的图象： (3)小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当时，y随x的增大而增大；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号） 28．记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【考点题型八 正比例函数的定义、图象与性质】（） 29．若是关于的正比例函数，则实数 ． 30．若点在正比例函数的图象上，则此函数的解析式为 ． 31．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 32．已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 【考点题型九 根据一次函数的定义求参数】（） 33．一次函数的图象经过原点，则m的值为（   ） A． B． C． D．且 34．若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 35．已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 36．已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【考点题型十 求一次函数自变量或函数值】（） 37．若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 38．已知点是直线上一点，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 39．已知点在一次函数的图像上，那么的值是 . 40．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 【考点题型十一 已知函数经过的象限求参数范围】（） 41．若一次函数（为常数）的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 43．已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围为 ． 44．已知一次函数 (1)若图象平行于直线，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【考点题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（） 45．在同一平面直角坐标系中，已知直线：和直线：（a，b为常数，且）交于x轴上同一点．若直线过点，则a的值是（   ） A．9或 B．6或 C．3或 D．2或 46．已知一次函数的图象与轴交于点，将该一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数的图象与轴交于点，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 47．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 48．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 【考点题型十三 一次函数的平移问题】（） 49．将直线向上平移个单位长度得到的直线经过点，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 50．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 51．将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 52．在直角坐标系中，将直线向下平移2个单位后经过点，求a的值． 【考点题型十四 根据一次函数的增减性求参数】（） 53．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．3 B．1 C．0 D． 54．已知正比例函数，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 55．已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 56．已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【考点题型十五 一次函数解析式】（） 57．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求点的坐标以及的面积． 58．（1）若与成正比例，且当时，．求与的函数解析式． （2）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点．求该一次函数的解析式． 59．已知一次函数的图象经过点和点，求这个函数的解析式． 60．已知一次函数，在时的函数值为，在时的函数值为，求这个一次函数的表达式． 【考点题型十六 一次函数与方程】（） 61．如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 62．如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 63．已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 64．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是____________； (2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________； (3)关于x的不等式组的解集是____________． 【考点题型十七 一次函数与不等式】（） 65．已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 66．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 67．小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究： (1)完成表格，画出函数图象： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 3 …… (2)根据函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而_____________； ②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________； ③观察图象可知，不等式的解集是_____________． 68．一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． (1)填空：不等式的解集是________． (2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 【考点题型十八 求直线围成的图形面积】（） 69．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 70．已知一次函数图象经过点： (1)求的值． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)若点是轴上一点，且的面积是6，直接写出点的坐标． 71．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 72．已知：直线与直线交于点C，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，点在直线上，且，求点坐标． 【考点题型十九 一次函数应用之分配方案问题】（） 73．为响应“要在学生中弘扬劳动精神”的号召，某校劳动基地准备投入一笔资金用于购进甲、乙两种劳动工具．已知购进甲种劳动工具20件和乙种劳动工具10件共需1400元，甲种劳动工具的单价是乙种劳动工具单价的3倍． (1)求甲、乙两种劳动工具的单价各是多少元． (2)该劳动基地计划购进甲、乙两种劳动工具共60件，投入资金不超过2400元．设购进乙种劳动工具件，若，则有几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少？ 74．某食品加工厂需要一批包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒购买的费用为5元，不需要缴纳其他费用； 方案二：租赁机器自己加工，生产包装盒的费用为每个元，租赁机器的费用为20000元． (1)请分别求出方案一所需的费用、方案二所需的费用与包装盒数的函数关系式； (2)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 75．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 76．课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【考点题型二十 一次函数应用之最大利润问题】（） 77．开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共100本，已知A种笔记本的进价为6元/本，B种笔记本的进价为8元/本，共计720元． (1)请问购进了A种笔记本多少本? (2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为10元/本、15元/本．受环境影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于140元，请求出m的最小值． 78．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 79．网络直播是新兴的高互动性视频娱乐，如今的直播平台已经进入了“随走、随看、随播”的3.0移动视频直播时代，越来越多的人们愿意参与其中，直播并分享自己的生活，全民直播渐成趋势．某公司准备购进一批直播设备进行销售，有两种设备可供选择，每套种直播设备的进价比种直播设备的进价多100元，用60000元购进种直播设备与用80000元购进种直播设备的数量相同． (1)求两种直播设备每套的进价． (2)该公司计划购进两种直播设备共50套进行销售，其中种直播设备的数量不少于种直播设备数量的3倍，种直播设备每套售价为350元，种直播设备每套售价为480元，怎样安排进货才能使售完这批直播设备所获利润最大？最大利润是多少元？ 80．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 【考点题型二十一 一次函数应用之几何问题】（） 81．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)求出点和点的坐标； (2)点在直线上（不与重合），当的面积等于的面积时，求出点的坐标； 82．如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 83．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该直线的表达式，并画出该函数图象； (2)若x轴上有一点，且，直接写出点的坐标__________． 84．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 一次函数（6个考点梳理+21种题型解读） 清单01 函数的相关概念 函数的概念 一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 求函数的值 (1) 当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个． (2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 函数的图象 把一个函数的自变量x的值与对应的函数y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的函数关系，更为直观和形象． 清单02 一次函数的概念 一次函数的概念 一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数. 当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数. 一次函数有三种表示方法，如下： 1、解析式法 用含自变量x的式子表示函数的方法叫做解析式法。 2、列表法 把一系列x的值对应的函数值y列成一个表来表示的函数关系的方法叫做列表法。 3、图像法 用图象来表示函数关系的方法叫做图象法。 清单03 一次函数的图象与性质 一次函数的图象与性质 1.函数（、为常数，且≠0）的图象是一条直线 ； 当＞0时，直线是由直线向上平移个单位长度得到的； 当＜0时，直线是由直线向下平移||个单位长度得到的. 2.一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 4. 两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： （1）与相交； （2），且与平行； 直线y=kx+b的图象和性质与k、b的关系如下表所示： k>0，b>0：经过第一、二、三象限 k>0，b<0：经过第一、三、四象限 k>0，b=0：经过第一、三象限（经过原点） 结论：k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大。 k<0，b>0：经过第一、二、四象限 k<0，b<0：经过第二、三、四象限 k<0，b=0：经过第二、四象限（经过原点） 结论：k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小。 总结： 1、y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 即：y=kx+b（k≠0）（k不等于0，且k，b为常数）。 2、当x=0时，b为函数在y轴上的交点，坐标为（0，b）。 当y=0时，该函数图象在x轴上的交点坐标为（-b/k，0）。 3、当b=0时（即y=kx），一次函数图象变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 4、函数图象性质：当k相同，且b不相等，图像平行； 当k不同，且b相等，图象相交于Y轴； 当k互为负倒数时，两直线垂直。 5、平移时：上加下减在末尾，左加右减在中间。 清单04 一次函数的解析式 待定系数法求一次函数解析式 一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值. 先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式. 对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题. 对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围. 清单05 一次函数与方程关系 一次函数与方程 用函数的观点看方程、方程组、不等式　 方程（组）、不等式问题 函 数 问 题 从“数”的角度看 从“形”的角度看 求关于、的一元一次方程＝0（≠0）的解 为何值时，函数的值为0？ 确定直线与轴（即直线＝0）交点的横坐标 求关于、的二元一次方程组的解． 为何值时，函数与函数的值相等？ 确定直线与直线的交点的坐标 求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集 为何值时，函数的值大于0？ 确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围 一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（≠0，为常数）.当函数＝0时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程＝0的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（≠0，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 一次函数与二元一次方程组 每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 要点诠释： 　　1.两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解.反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点一定是相应的两个一次函数的图象的交点.如一次函数与图象的交点为(3，－2)，则就是二元一次方程组的解. 　　2.当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线就平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解.如二元一次方程组无解，则一次函数与的图象就平行，反之也成立. 　　3.当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在直角坐标系中的直线重合，反之也成立. 方程组解的几何意义 1．方程组的解的几何意义：方程组的解对应两个函数的图象的交点坐标． 2．根据坐标系中两个函数图象的位置关系，可以看出对应的方程组的解情况： 根据交点的个数，看出方程组的解的个数； 根据交点的坐标，求出（或近似估计出）方程组的解． 3．对于一个复杂方程组，特别是变化不定的方程组，用图象法可以很容易观察出它的解的个数． 清单06 一次函数与不等式关系 一次函数与一元一次不等式 由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围. 要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围. （≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围． 【考点题型一 常量与变量】（） 1．水中涟漪（圈）不断扩大，记它的半径为r，圆周长为C．在等式中变量是（ ） A．C B． C．r和C D． 【答案】C 【分析】本题考查了变量的定义，理解定义是解题的关键．根据周长C随着半径的变化而变化求解即可． 【详解】解：∵周长C随着半径的变化而变化， ∴半径和周长C为变量． 故选：C． 2．已知一个长方形的面积为6，它的长为x，宽为y，下列说法正确的是（    ） A．常量为x，y，变量为6 B．常量为6，x，变量为y C．常量为6，y，变量为x D．常量为6，变量为x，y 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量的概念，解题的关键是明确在一个变化过程中，数值不发生变化的量是常量，数值发生变化的量是变量． 根据长方形面积公式得出x与y的关系，再依据常量与变量的定义判断各量的属性． 【详解】解：∵长方形的面积始终不变为常量，长和宽的数值发生变化为变量， ∴常量为6，变量为x，y． 故选：D． 3．林老师开汽车到加油站加油，发现每个加油机上都有三个量，其中一个表示“单价”，其数值固定不变，另外两个量分别表示“体积”“金额”，数值一直在变化．在这三个量当中， 是常量， 是变量． 【答案】 单价 体积、金额 【分析】本题考查了常量和变量的概念，掌握数值固定不变的是常量，数值会变化的是变量即可判断． 【详解】解：根据数值固定不变的是常量，数值会变化的是变量： 故“单价”是常量；“体积”“金额”是变量， 故答案为：单价；体积、金额． 4．在某地，人们发现在一定条件下某种蟋蟀叫的次数与气温之间有如下的近似关系：用蟋蟀1分钟叫的次数x加上30，再把结果除以7，就近似的得到该地当时的气温y（单位：）．在这个问题中，变量是 ． 【答案】蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温 【分析】此题考查了函数的变量，根据变量的定义结合具体问题情境进行判断即可． 【详解】解：根据题意得，在这个问题中，变量是蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 故答案为：蟋蟀1分钟叫的次数和该地当时的气温． 【考点题型二 函数的基本概念】（） 5．下列能表示是的函数的是（   ） A． B．：一个正数，：这个正数的平方根 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数的概念，在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； B．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如，时，，故不是的函数； C．对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值，故是的函数； D．对于x的每一个取值，y不都有唯一确定的值，如图，故不是的函数； 故选C． 6．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 7．已知等腰三角形周长为16，则底边长y关于腰长x的函数解析式为 （x为自变量）；自变量的取值范围 ； 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的取值范围，三角形三边关系； 根据周长等于三边之和可得出y和x的关系式，再由三角形的三边关系可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， 解得：， 故答案为：；． 8．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，如表是一地某天的海拔与对应高度处气温的关系． 海拔 … 0 1 2 3 4 … 气温 … 20 14 8 2 … (1)当海拔高度为时，气温是 ；当气温为时，海拔是 ； (2)写出气温T与海拔h的关系式： ； (3)求海拔处的气温． 【答案】(1)2，4 (2) (3)摄氏度 【分析】本题考查了求函数关系式，正数和负数，解题的关键是根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加，气温就下降． （1）根据表格中数据即可解答； （2）根据表格中气温与海拔高度的变化规律：h每增加，气温就下降，即可解答； （3）把代入中，进行计算即可得出答案． 【详解】（1）解：观察表格可得：当海拔高度为时，气温是；当气温为时，海拔高度是； 故答案为：2，4； （2）观察表格可得：由h每增加，气温就下降， ∴， ∴气温T与海拔h的关系式为：， 故答案为：； （3）当时，． 答：海拔处的气温是． 【考点题型三 函数的表示法】（） 9．执行如图所示的程序框图，所得与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序图，求函数关系式．根据题意列出函数关系式即可. 【详解】解：输入后第一步取的相反数得到，在此基础上“”得到，在此基础上“”得到，因此输出的应为． 即所得与之间的函数关系式为 故选：B． 10．小明用一张长为、宽为的长方形纸片制作一个无盖的长方体盒子（如图），若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了列函数关系式．根据题意得到长方体盒子的长宽高，即可得到答案． 【详解】解：若剪去四个边长为的正方形，则盒子的容积V（单位：）与x的函数关系式为， 故选：D 11．某书店对外租赁图书，收费办法是：每本书在租赁后的头两天每天按元收费，以后每天按元收费（不足一天按一天计算）．则租金（元）和租赁天数之间的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列函数解析式，根据题意可得：租金＝前两天的租金＋超过两天后的租金，根据等量关系代入相应数值进行计算即可．正确理解题意，弄清收费方式是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 12．用长的绳子围成一个矩形，试改变矩形一边的长度，观察它的另一边怎样变化． (1)填写如表： 一边长 3 4 x 另一边长 (2)这个过程中，变化的量是 ，不变化的量是 ． (3)试用含x的式子表示y，y＝ ，x的取值范围是 ，这个问题反映了矩形的 不变， 随 的变化过程． 【答案】(1)见解析 (2)x与y，5 (3)，周长，一边，另一边 【分析】本题考查了函数关系式，关键是根据实际问题的数量关系用解析式法表示实际问题中两变化的量之间的关系，及常量和变量的定义，常量就是在变化过程中不变的量，变量就是可以取到不同数值的量． （1）根据：（长宽）周长，填表可得； （2）常量是长方形的长宽和．变量是长方形的边长； （3）由（1）可得长方形另一边长y关于一边长x的关系式，根据长宽均大于0可得x的范围． 【详解】（1）解：填写表格如下： 一边长 3 4 x 另一边长 2 1 （2）解：在以上这个过程中，变量是x与y，常量是5； （3）解：用含x的式子表示y，，x的取值范围是，这个问题反映了矩形的周长不变，一边随另一边的变化过程； 【考点题型四 平面直角坐标系】（） 13．如图下列用方位角和距离描述灯塔相对于游轮的位置表示正确的是（    ） A．南偏东的方向上，且相距处 B．北偏西的方向上，且相距处 C．南偏东的方向上，且相距处 D．北偏西的方向上，且相距处 【答案】A 【分析】本题考查用方位角和距离表示实际位置，根据图形结合方向角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由图可知： 灯塔相对于游轮的位置为南偏东的方向上，且相距处； 故选A． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，则面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形，以及三角形的面积，数形结合是解题的关键，根据点的坐标，求得，边上的高为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵点、、坐标分别为、、， ∴，边上的高为， ∴面积为 故答案为：． 15．已知：，，． (1)在坐标系中描出各点，画出； (2)求四边形的面积（写出求解过程）； (3)设点P在y轴上，且与四边形面积相等，直接写出点P的坐标______． 【答案】(1)见详解 (2) (3)， 【分析】本题考查了平面直角坐标系中作图，割补法求不规则图形面积等； （1）根据坐标描出各点，连线，即可求解； （2）由即可求解； （3）由三角形面积得，可得，即可求解； 能熟练作图，并利用割补法求面积是解题的关键． 【详解】（1）解：如图， 为所求作； （2）解：如图， ， 故四边形的面积为； （3）解：由题意得 ， ， 解得：， ， ， 解得：或， 点P的坐标，； 故答案为：，． 16．如图，在边长为1的正方形网格中有三个点，规定向右为轴的正方向、向上为轴的正方向，1为1个单位长度． (1)若以点为坐标原点建立平面直角坐标系，则点的坐标为___________，点的坐标为___________． (2)若使点在第一象限，则选择点___________（填“”或“”）为坐标原点建立平面直角坐标系，并在图中画出该平面直角坐标系． 【答案】(1)， (2)，见解析 【分析】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）以A点为原点建立坐标系，再根据B、C位置写出对应的坐标即可； （2）根据点A在第一象限可知要以C为原点，据此画出坐标系即可． 【详解】（1）解：如图所示，当以A点为原点时，点B的坐标为，点C的坐标为； （2）解：如图所示，当点A在第一象限时，应该以C为原点建立坐标系． 【考点题型五 已知点所在的象限求参数】（） 17．已知点在第二象限内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查第二象限内点的坐标特点、解一元一次不等式组等知识点，属于基础题，熟练掌握各个象限内点的坐标特点是解题关键．根据点P在第二象限知它的横坐标小于0，纵坐标大于0，列一元一次不等式组，求解集即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， 解得：， 故选：B． 18．已知在第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与平面，点到坐标轴的距离，象限内点的坐标特征：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据题意可得点的横纵坐标互为相反数，据此即可建立方程求解． 【详解】解：∵第二象限内的点P的坐标为，且点P到两坐标轴的距离相等， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 19．已知点，分别根据下列条件求出点P的坐标． (1)点P在x轴上； (2)点Q的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中坐标轴上的点的坐标特点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据点在数轴上的特点，令，即可求得，进而求得的坐标； （2）根据平行与轴的直线的特点，令，即可求得，进而求得的坐标． 【详解】（1）解：点P在x轴上， ， 点P的坐标； （2）点Q的坐标为，直线轴， 解得 点P的坐标． 20．已知点，解答下列各题： (1)若点在轴上，求出点的坐标； (2)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (3)若点在第二象限，且它到轴，轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得：点在轴上，得到，解出的值，由此得到答案． （2）根据直线轴，得到，解出的值，由此得到答案． （3）根据点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等，得到，，故，解出的值，由此得到答案． 本题考查了坐标与图形，熟知坐标轴上的点及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征，是解答本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得： ∵点在轴上， ， 解得：， 则， 点的坐标为：； （2）解：直线轴， 直线上所有点的纵坐标都相等， ， 解得：， 则， 即点的坐标为； （3）解：点在第二象限，且它到轴、轴的距离相等， ，， ， 即， 解得： 【考点题型六 坐标与图形】（） 21．如图，在平面直角坐标系中． (1)请写出各顶点的坐标：A（____，____）：B（____，____）：C（____，____） (2)求的面积． 【答案】(1)  0；1  3；3  2 (2) 【分析】本题主要考查坐标与图形性质，熟练掌握坐标系中三角形面积的求法是解题关键． （1）直接写出直角坐标系中的点的坐标即可． （2）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：根据直角坐标系可知：，，， 故答案为：  0； 3；3 2 （2）解： 22．如图，在平面直角坐标系中，已知，，将线段平移至，点在轴正半轴上（不与点重合），连接，，，．    (1)写出点的坐标； (2)当三角形的面积是三角形的面积的倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平面直角坐标系，一元一次方程的知识，解题的关键是掌握平移的性质，根据题意，列出方程，进行解答，即可． （1）根据平移的性质，得到线段平移的位置，即可； （2）过点作于点；过点作于点，根据平行公理，则，可得，分类讨论：当在线段上，若点在线段延长线上，进行计算，即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵，， ∴线段向上平移个单位，向右平移个单位，且， ∴点． （2）解：过点作于点；过点作于点， ∵点在轴正半轴上， ∴设， 当三角形的面积是三角形的面积的倍时， ∴， 由题意可得，， ∴， ∴， 当在线段上， ∴， 解得； ∴； 若点在线段延长线上， ∴， 解得， ∴， 综上，点的坐标为或．    23．如图，，，点B在x轴上，且． (1)直接写出点B的坐标； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为4.5？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2)6 (3)存在，或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了三角形的面积，难点在于要分情况讨论． （1）分点在点的左边和右边两种情况解答； （2）利用三角形的面积公式列式计算即可得解； （3）利用三角形的面积公式列式求出点到轴的距离，然后分两种情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：点在点的右边时，， 点在点的左边时，， 所以，的坐标为或； （2）解：的面积； （3）解：存在，设点到轴的距离为， 则， 解得， 点在轴正半轴时，， 点在轴负半轴时，， 综上所述，点的坐标为或． 24．在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为且a，b满足，已知点C坐标为， (1)的面积 (2)若点M在y轴上，且，求点M的坐标 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形、绝对值与算术平方根的非负性，能根据坐标求出线段长是解题的关键． （1）根据算术平方根的非负性求得，从而得到点A，B得坐标．即可求得，再根据三角形的面积公式即可求解； （2）设点M的坐标为，则，由，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵点A、B的坐标分别为， ∴点A、B的坐标分别为， ∵点C坐标为， ∴， ∴； （2）解：设点M的坐标为，则， ∵， ∴， 即， 解得：或5， ∴点M的坐标为或． 【考点题型七 函数图象的画法】（） 25．脂肪氧化率（单位：）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位）密切相关，下表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据： 运动强度（） 45 50 55 60 65 70 75 80 85 脂肪氧化率 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 0.50 0.39 0.22 (1)通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为，脂肪氧化率为是的函数．在如图建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象： (2)结合函数图象，解决问题： ①的值约为___________（精确到小数点后两位）； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为___________（精确到整数位）； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪氧化率达到 以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在___________千米/小时左右（精确到整数位）． 【答案】(1)见详解 (2)①②③8 【分析】本题考查了函数图象，新定义，近似数，描点法画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先逐个描点，再依次连接，即可作答． （2）①根据（1）的图象，以及结合“精确到小数点后两位”这个要求，即可作答． ②根据（1）的图象，以及结合“精确到整数位”这个要求，即可作答． ③先找出要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为，则运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：结合函数图象， ①的值约为， 故答案为：； ②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度的范围约为（精确到整数位）； 故答案为：； ③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系： 则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为，此时对应的运动强度为， 则观察上表，运动强度为所对的运动速度为千米/小时左右， 即跑步的速度应控制在千米/小时左右． 故答案为：8 26．不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为．记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5                               … 3                               … 1                               … (1)在平面直角坐标系中，函数，的图象如图所示，已描出上表中所对应的点，请画出函数的图象； (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为_____，丙香料的香气强度约为_____；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为_____；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为_____（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为_____． 【答案】(1)见详解 (2)，； (3)①丙；②乙，60 【分析】该题考查了函数图象，解题的关键是数形结合． （1）根据题意画出函数的图象即可； （2）根据根据（1）中函数图象即可解答； （3）①根据（1）中函数图象可得，当放置时，此时，，即可解答； ②根据（1）中函数图象，得出香料甲、乙、丙起主要作用的时长，即可解答． 【详解】（1）解：函数的图象如图． （2）解：根据（1）中函数图象可得， 当放置时，即时，甲香料的香气强度约为， 丙香料的香气强度约为； 故答案为：，； （3）解：①根据（1）中函数图象可得，当放置时，此时，， 故该时刻起主要作用的香料为丙， 故答案为：丙； ②根据（1）中函数图象可得，若总共放置时间为， 香料甲起主要作用时间大约为， 香料乙起主要作用时间大约为， 香料丙起主要作用时间大约为， 则起主要作用时间最长的香料为乙， 该香料起主要作用的时长为， 故答案为：乙，60． 27．画出函数的图象并研究其性质： (1)函数的自变量的取值范围是______； (2)用列表法画出该函数的图象： (3)小蓬根据画出的函数图象，得出了如下几条结论：①函数有最小值为0；②当时，y随x的增大而增大；③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称．以上结论中正确的是_______．（只填序号） 【答案】(1)x为任意实数 (2)见解析 (3)①②③ 【分析】本题考查的是函数的自变量的取值范围，画函数的图像，根据函数的图像归纳函数的性质，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题目中的函数解析式，可知含有自变量的代数式是整式，从而可得x的取值范围； （2）列表，然后根据表格中的数据描点，再连线，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象可以判断该函数的性质． 【详解】（1）在函数中，自变量x的取值范围是x为任意实数， 故答案为：x为任意实数； （2）列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … 画出函数的图象如下： （3）由函数图象可知， ①函数有最小值为0，正确； ②当时，y随x的增大而增大，正确； ③图象关于过点且垂直于x轴的直线对称，正确； 故答案为：①②③． 28．记是两个实数与的一种运算．已知，函数为正比例函数，则（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算，正比例函数的定义，根据题意设，得出，根据为正比例函数，得出为正比例函数，从而得出，求出，代入数据进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， ∵为正比例函数， ∴为正比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【考点题型八 正比例函数的定义、图象与性质】（） 29．若是关于的正比例函数，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．依据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：∵是关于的正比例函数， ∴，， 解得：． 故答案为：． 30．若点在正比例函数的图象上，则此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数的解析式，将点代入函数解析式，利用待定系数法求正比例函数的解析式即可． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 31．已知正比例函数的图象经过第一、三象限，则m的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查正比例函数的定义和性质，由正比例函数的性质求得的值是解题的关键，注意利用图象的位置进行取舍．由正比例函数的定义可求得的值，再由图象的位置进行取舍，可求得的值． 【详解】解：函数是正比例函数， ， 解得， 图象经过第一、三象限， ， ， ． 故答案为：2． 32．已知关于的正比例函数． (1)若点在该正比例函数的图象上，求的值； (2)在（1）的条件下，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的性质，准确理解正比例函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键； （1）直接把点代入正比例函数，求出m的值； （2）根据正比例函数的增减性与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：（1）因为点在正比例函数的图象上， 所以， 解得． （2）解：由（1）知，所以， 所以该正比例函数的表达式为． 因为，所以的值随着值的增大而减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 【考点题型九 根据一次函数的定义求参数】（） 33．一次函数的图象经过原点，则m的值为（   ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点以及一次函数的定义，将代入解析式，且，即可求解． 【详解】解：∵一次函数   的图象经过原点， ∴且 解得：， 故选：C． 34．若函数是一次函数，则应满足的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义列出计算解答即可． 【详解】解：由题意得，， ∴且， 故选：C． 35．已知函数是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件可得且，即可求解． 【详解】解：根据题意，得且，解得． 故答案为：． 36．已知关于的函数． (1)取何值时，该函数是关于的一次函数？ (2)和取何值时，该函数是关于的正比例函数？ 【答案】(1)当时，该函数是关于的一次函数； (2)当，时，该函数是关于的正比例函数． 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义及解析式，关键是掌握两种函数的定义，另外要清楚一次函数与正比例函数是一般与特殊的关系． （1）根据一次函数的定义及表示形式完成即可； （2）根据正比例函数的解析式完成即可． 【详解】（1）解：由题意知：，， ∴， 即当时，该函数是关于的一次函数； （2）解：由（1）知，， 由题意知：，所以， 即当，时，该函数是关于的正比例函数． 【考点题型十 求一次函数自变量或函数值】（） 37．若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量每变化一个单位， 将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 38．已知点是直线上一点，则的值为（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． 【详解】解：把点代入直线， 可得， 解得， 故选：A． 39．已知点在一次函数的图像上，那么的值是 . 【答案】3 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．直接把点代入一次函数，求出的值即可． 【详解】解：点在一次函数的图像上， ． 解得：， 故答案为：3． 40．小莉根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小莉的探究过程，请补充完整： (1)下表是x与y的几组对应值．请直接写出： ______， ______； x … 0 1 2 3 … y … m 0 2 n … (2)如图，在平面直角坐标系中，描出上表中的点，然后用平滑的曲线连接起来，画出函数的图象； (3)当时，对应的自变量是______ 【答案】(1)；4 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了求一次函数的函数值或自变量值，画一次函数图象，熟知相关知识点是解题的关键． （1）代入函数解析式即可解答； （2）描点画图即可； （3）把代入函数解析式即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：；4； （2）解：函数的图象如图所示， ， （3）解：当时，可得， 解得， 故答案为：． 【考点题型十一 已知函数经过的象限求参数范围】（） 41．若一次函数（为常数）的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与的关系，根据一次函数图象所经过的象限列出不等式组，然后解不等式组即可，解题的关键是理解直线所在的位置与的符号有直接的关系，时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 【详解】解：∵一次函数（为常数）的图象经过第一、二、四象限， ∴， 解得：， 故选：． 42．已知直线经过第一、三象限，则的值可能是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数图象与性质，由直线经过第一、三象限，得到，解不等式即可确定答案，熟记正比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：直线经过第一、三象限， ，解得， 由四个选项中的数值可知，满足， 故选：D． 43．已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图像和性质：若， ，则图像经过二、三、四象限；若， ，则图像经过一、三、四象限．根据一次函数的图像经过第二、三、四象限，得到，解不等式求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过第二、三、四象限， ， ， 故答案为：． 44．已知一次函数 (1)若图象平行于直线，求m的值； (2)若图象交y轴于正半轴，求m的取值范围； (3)若图象不过第三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 (3) 【分析】本题考查一次函数的系数与图象，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． （1）根据图象平行于直线，所以相同即可解决问题． （2）根据若图象交轴于正半轴，，即可解决问题． （3）根据图象不过第三象限，，，解不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：一次函数图象平行于直线， ， ； （2）解：一次函数图象交轴于正半轴， 且 且； （3）解：一次函数图象不过第三象限， ， 解得． 【考点题型十二 一次函数图象与坐标轴的交点问题】（） 45．在同一平面直角坐标系中，已知直线：和直线：（a，b为常数，且）交于x轴上同一点．若直线过点，则a的值是（   ） A．9或 B．6或 C．3或 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了两直线的交点及与轴交点问题，当时，可求两直线与轴交点为、，将代入直线求出，即可求解；能熟练求直线与坐标轴的交点是解题的关键． 【详解】解：当时， ， 解得：， ， 解得：， 两直线交于x轴上同一点， ， ， 直线过点， ， ， 或， 故选：C． 46．已知一次函数的图象与轴交于点，将该一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数的图象与轴交于点，则的长为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移，求一次函数与y轴交点坐标．首先求出，然后得到平移后的一次函数表达式为，然后求出，进而求解即可． 【详解】∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时， ∴； 将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后所得新一次函数为 ∴当时， ∴； ∴． 故选：C． 47．在平面直角坐标系中，将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，则得到的新的一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据“左加右减，上加下减”求出平移后的一次函数解析式，进而把代入求出的值即可求解，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度，得到的新的一次函数的解析式为， 当时，， ∴新的一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 48．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解、的长度是解题的关键．根据解析式确定点、的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案． 【详解】解：令中得，令得， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点题型十三 一次函数的平移问题】（） 49．将直线向上平移个单位长度得到的直线经过点，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查图象的平移，根据平移的规律“左加右减，上加下减”得到平移后的直线，然后把代入求出m值即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度得到直线， 把代入得， 解得， 故选：C． 50．在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，先由“左加右减”的平移规律求出正比例函数的图象向右平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，得到， ，， 平移后的图象经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故选：B． 51．将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象不经过第二象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，求出将一次函数的图象向右平移个单位，所得一次函数解析式为，即，再根据平移后的图象不经过第二象限，得，解不等式即可． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位长度后得到的解析式为，即， 因为平移后的图象不经过第二象限， 所以， 解得， 故答案为：． 52．在直角坐标系中，将直线向下平移2个单位后经过点，求a的值． 【答案】 【分析】根据一次函数的平移可得将直线向下平移2个单位后得，然后把代入即可求出的值． 【详解】解：将直线向下平移2个单位后得， 经过点， ， 解得：． 【点睛】此题主要考查了一次函数图象与几何变换，平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”． 【考点题型十四 根据一次函数的增减性求参数】（） 53．若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以是（   ） A．3 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查根据一次函数的增减性求参数的值，根据题意，得到，求出的范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， ∴的值可以是3； 故选A． 54．已知正比例函数，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：正比例函数，y随x的增大而增大， 故， 解得， 故选：B． 55．已知一次函数，y随x的增大而减小，那么k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，属于基本题型，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 一次函数，当时，y随x的增大而减小．据此列式解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y随x的增大而减小， ∴， ∴． 故答案为： 56．已知一次函数． (1)为何值时，函数图象经过点？ (2)若一次函数的函数值随的增大而减小，求的取值范围； (3)直接写出一次函数的图象经过定点坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式、根据一次函数的增减性求参数、解一元一次方程和解一元一次不等式等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案； （2）根据该函数的增减性，可得，求解即可获得答案; （3）将解析式整理得，求得当时，，据此即可得解． 【详解】（1）解：将点代入一次函数， 可得， 解得， ∴当时，函数图象经过点； （2）解：若一次函数的函数值随的增大而减小， 则有， 解得， ∴的取值范围为； （3）解：， 当时，， ∴一次函数的图象经过定点． 【考点题型十五 一次函数解析式】（） 57．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，且经过，两点． (1)求一次函数的解析式； (2)求点的坐标以及的面积． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）令，则，求出，然后利用即可求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：令，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 58．（1）若与成正比例，且当时，．求与的函数解析式． （2）已知一次函数的图象与直线平行，且经过点．求该一次函数的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是成正比例的含义，一次函数的平移问题，利用待定系数法求解函数解析式． （1）设，把，代入求解即可； （2）利用一次函数的平移以及待定系数法求解即可． 【详解】解：（1）设， 把，代入得， 解得， 所以， 所以与之间的函数关系式为； （2）由条件可得， 解得， ∴该一次函数的表达式为． 59．已知一次函数的图象经过点和点，求这个函数的解析式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用待定系数法求一次函数的解析式． 【详解】解：设所求函数的解析式为， 依题意得：， 解得， ∴函数的解析式为． 60．已知一次函数，在时的函数值为，在时的函数值为，求这个一次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．熟练掌握待定系数法是解题的关键．利用待定系数法即可求解． 【详解】解：根据题意得，解得， 所以一次函数解析式为． 【考点题型十六 一次函数与方程】（） 61．如图，这是一次函数的图象，则关于的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系；理解一次函数与一元一次方程的关系是解题的关键；根据图象即可求解． 【详解】解：关于的方程的解，就是一次函数的图象与x轴交点的横坐标， 观察图象知，； 故答案为：． 62．如图，一次函数的图象经过点A．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为，为常数，的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线确定它与轴的交点的横坐标的值．观察图象找到当时的值即为本题的答案． 【详解】解：观察函数的图象知：的图象经过点， 即当时， 所以关于的方程的解为， 故答案为：． 63．已知一次函数与正比例函数的图像都经过点． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求一次函数图像与轴和轴围成的三角形面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求两直线的交点坐标，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）利用待定系数法即可解决问题； （2）求出一次函数与轴和轴的交点坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：把点代入函数得， ， 则函数解析式为：； 把点代入函数得， 则函数解析式为：； （2）解：令中的，则， ∴与轴的交点为， 令中的，则， ∴与轴的交点为， ∴三角形面积为：． 64．一次函数和一次函数在同一坐标系中的图像如图所示，已知A，B两点的坐标分别为，，观察图像回答下列问题： (1)关于x的一元一次方程的解是____________； (2)若C点的坐标为，则关于x的不等式的解集是____________； (3)关于x的不等式组的解集是____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式、一次函数与一元一次方程等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）利用直线与x轴的交点即为时，对应的x的值为方程的解，据此即可解答； （2）利用两直线与x轴的交点坐标，结合图象即可即可解答； （3）利用图象求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数与x轴的交点为， ∴关于x的方程的解是， 故答案为： （2）解：∵一次函数和一次函数的交点， ∴根据图象可得关于x的不等式解集为． 故答案为： （3）解：∵一次函数和一次函数在同一坐标系中的图象如图所示，已知A、两点的坐标分别为，， ∴关于的不等式组的解集是． 故答案为： 【考点题型十七 一次函数与不等式】（） 65．已知关于x的一次函数的图象经过点和点． (1)求这个一次函数的表达式； (2)直接写出当x取何值时，． 【答案】(1)； (2)当时，． 【分析】本题考查了待定系数法法求一次函数的解析式．一次函数图象上的点都满足一次函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）作出点和，过两点作直线，根据图象，求出直线位于轴下面的部分的的取值范围． 【详解】（1）解：把点和代入一次函数得：， 解得， 则一次函数的解析式是：； （2）解：函数图象如图所示： 根据图象可得：当时，． 66．一次函数和的图象如图所示，且，． (1)关于的不等式的解集为______； (2)若不等式的解集是，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据观察函数图象，即可求解； （2）先求出，再由不等式的解集是，可得点的横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解；∵在中，， ∴随x增大而增大， ∵的函数图象经过， ∴∴不等式的解集为； （2）解：把点代入，得： ，解得， ∴， ∵不等式的解集是， ∴点的横坐标为， ∴在中，当时，， ∴点的坐标为． 67．小婧为了研究函数的性质，对其进行了如下探究： (1)完成表格，画出函数图象： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 3 …… (2)根据函数图象，回答下列问题： ①当时，随的增大而_____________； ②当_____________时，函数取到最_____________值为_____________； ③观察图象可知，不等式的解集是_____________． 【答案】(1)表格见解析，图见详解 (2)①减小；②2；小；；③ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据“五点描法”可进行作图； （2）①②③根据（1）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则有； 当时，则有； 完成表格如下： …… 0 1 2 3 4 …… …… 1 0 0 3 …… 函数图象如下： （2）解：由（1）中函数图象可知： ①当时，随的增大而减小； ②当时，函数取到最小值为； ③观察图象可知，不等式的解集是； 故答案为减小，2，小，，． 68．一次函数的图象经过点、，与轴相交于点，且和一次函数的图象交于点，如图所示． (1)填空：不等式的解集是________． (2)若点的横坐标是1，请完成下面的问题： ①填空：不等式的解集是________． ②求的值． 【答案】(1) (2)①② 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合函数图象找到一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围即可得到答案； （2）①由函数图象可知，找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案； ②利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当一次函数的图象在x轴上方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； （2）解：①由函数图象可知，当一次函数的图象在一次函数的图象下方时，自变量的取值范围为， ∴不等式的解集是， 故答案为：； ②∵一次函数的图象经过点、， ∴， ∴， ∴一次函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十八 求直线围成的图形面积】（） 69．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与y轴交于点，与正比例函数的图象相交于点C． (1)求此一次函数的解析式； (2)求出的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、求两条直线的交点等知识，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先联立两个函数的解析式求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点，与y轴交于点， ∴，解得， ∴此一次函数的解析式为； （2）解：解方程组， 得， ∴点C的坐标是， ∴的面积． 70．已知一次函数图象经过点： (1)求的值． (2)在给定的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (3)若点是轴上一点，且的面积是6，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)作图见解析 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法确定一次函数表达式、一次函数图象与性质、求一次函数图象与坐标轴交点、描点法作一次函数图象、平面直角坐标系中求三角形的面积、含绝对值的方程等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法，将代入求解即可得到答案； （2）由（1）中求出的一次函数表达式，求出直线与坐标轴的交点坐标，采用描点法作出一次函数图象即可得到答案； （3）根据题意，作出图形，数形结合表示出的面积，建立方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数图象经过点， 将代入得到， 解得； （2）解：由（1）知一次函数， 当时，，即一次函数图象与轴交于； 当时，，即一次函数图象与轴交于； 由描点法作一次函数的图象，如图所示： （3）解：如图所示： ，点是轴上一点，且的面积是6， 设， 则， 即，解得或， 点的坐标为或． 71．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)求点A和点B的坐标； (2)求的面积； (3)若点P在y轴上，且满足的面积为面积的2倍，求点P坐标． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质、面积的计算等． （1）对于，令，即，解得，令，则，即可求解； （2）由点A、B的坐标得，，再根据求解即可； （3）设点P的坐标为，则，根据的面积为面积的2倍，列方程得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：令，即， 解得， 令，则， 故点A、B的坐标分别为、； （2）解：∵点A、B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 即的面积为6； （3）解：设点P的坐标为，则， ∵的面积为面积的2倍， ∴，即， 解得， 点P的坐标为或． 72．已知：直线与直线交于点C，直线与轴交于点A，直线与轴交于点，点在直线上，且，求点坐标． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据一次函数的性质求出和，得出，设点坐标为，得到点到轴的距离为，再利用三角形的面积公式列出方程，解出的值即可求出点坐标． 【详解】解：令，则， 令，则， ，， ， 点在直线上， 设点坐标为， 点到轴的距离为， ， ， 解得：或， 当时，； 当时，； 点坐标为或． 【考点题型十九 一次函数应用之分配方案问题】（） 73．为响应“要在学生中弘扬劳动精神”的号召，某校劳动基地准备投入一笔资金用于购进甲、乙两种劳动工具．已知购进甲种劳动工具20件和乙种劳动工具10件共需1400元，甲种劳动工具的单价是乙种劳动工具单价的3倍． (1)求甲、乙两种劳动工具的单价各是多少元． (2)该劳动基地计划购进甲、乙两种劳动工具共60件，投入资金不超过2400元．设购进乙种劳动工具件，若，则有几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少？ 【答案】(1)甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元 (2)共有3种购买方案． 方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件； 方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件； 方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件． 方案3需要的资金最少 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用，找到等量关系是解答本题的关键． （1）设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元，根据题意列出方程即可； （2）由题意，得，得到，有3种方案，设投入资金为元，由题意得，即可求得． 【详解】（1）解：设甲种劳动工具的单价为元，乙种劳动工具的单价为元， 由题意，得， 解得， 答：甲种劳动工具的单价为60元，乙种劳动工具的单价为20元； （2）解：由题意，得， 解得， ， ， 又为整数， 可以取30，31，32， 共有3种购买方案， 方案1：购进甲种劳动工具30件、乙种劳动工具30件； 方案2：购进甲种劳动工具29件、乙种劳动工具31件； 方案3：购进甲种劳动工具28件、乙种劳动工具32件， 设投入资金为元，由题意得， 即， ， 随的增大而减小， 当时，， 方案3需要的资金最少． 74．某食品加工厂需要一批包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择： 方案一：从包装盒加工厂直接购买，每个包装盒购买的费用为5元，不需要缴纳其他费用； 方案二：租赁机器自己加工，生产包装盒的费用为每个元，租赁机器的费用为20000元． (1)请分别求出方案一所需的费用、方案二所需的费用与包装盒数的函数关系式； (2)如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由． 【答案】(1)， (2)当包装盒的数量为8000个时，方案一与方案二所需费用一样；当包装盒的数量大于8000个时，选择方案二更省钱；当包装盒的数量小于8000个时，选择方案一更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，不等式的应用，根据题意求出函数解析式是解题的关键． （1）根据方案一和方案二求出函数解析式即可； （2）分别求出时，时，时，x的值或x的取值范围，然后得出答案即可． 【详解】（1）解：方案一所需的费用， 方案二所需的费用； （2）解：令，解得：； 令，解得：； 令，解得：； 答：当包装盒的数量为8000个时，方案一与方案二所需费用一样；当包装盒的数量大于8000个时，选择方案二更省钱；当包装盒的数量小于8000个时，选择方案一更省钱． 75．2025年4月23日是第30个世界读书日．为了感受阅读的幸福，体味生命的真谛，分享读书的乐趣，某学校举办了“让读书成为习惯，让书香飘满校园” “阅读·梦飞翔”主题活动，为此特为每个班级订购了一批新的图书．七年级订购《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元． (1)求《骆驼祥子》和《昆虫记》每套各是多少元？ (2)学校准备再购买《骆驼祥子》和《昆虫记》共26套，总费用不超过1230元，购买《骆驼祥子》的数量不超过《昆虫记》的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出该方案所需的费用． 【答案】(1)《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元 (2)《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，费用为1095元 【分析】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式组和一次函数的应用，根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式，是解题的关键． （1）设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元，根据《骆驼祥子》12套和《昆虫记》6套，总费用为810元；八年级订购《骆驼祥子》9套和《昆虫记》7套，总费用为795元，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套，由题列出一元一次不等式组，解出未知数范围，设所需费用为W元，则，根据一次函数性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设《骆驼祥子》每套x元，《昆虫记》每套y元， 根据题意，得： 解得， 答：《骆驼祥子》单价为30元，《昆虫记》单价为75元． （2）解：设学校购买《骆驼祥子》m套，则购买《昆虫记》套， 根据题意得， 解得． 设所需费用为W元，则， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W有最小值为（元） 此时，（套）． 答：学校购买《骆驼祥子》19套，《昆虫记》7套，所需费用最小为1095元． 76．课题学习 已知竹木工厂生产一种产品，该产品售价为1000元/套，原材料成本价为550元/套（含设备损耗等），但在生产过程中平均每生产一套产品产生1吨废水．并且为了达到国家环保要求，工厂需要对废水进行脱硫、脱氮等处理工作．现有两种处理废水的方案可供选择： 方案一：由工厂直接处理，费用为50元/吨，并且每月需额外支出设备维护及损耗费为20000元； 方案二：由废水处理厂统一处理，费用为150元/吨． 请你为该厂设计根据月生产量选择废水处理的方案，使得既达到环保要求，又获得最高利润（可设每月生产了套产品，获得了元的月利润）． 【答案】，二种方案均可；，选择方案二利润更高；，选择方案一利润更高 【分析】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意；由题意易得方案一的利润为，方案二的利润为，然后可分，，，进而分类求解即可． 【详解】解：根据题意可得： 方案一的利润为： ，得； 方案二的利润为： ，得． ∵当时， ，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． ∴当时，二种方案均可；当时，选择方案二利润更高；当时，选择方案一利润更高． 【考点题型二十 一次函数应用之最大利润问题】（） 77．开学前夕，某书店计划购进A、B两种笔记本共100本，已知A种笔记本的进价为6元/本，B种笔记本的进价为8元/本，共计720元． (1)请问购进了A种笔记本多少本? (2)在销售过程中，A、B两种笔记本的标价分别为10元/本、15元/本．受环境影响，两种笔记本按标价各卖出m本以后，该店进行促销活动，剩余的A种笔记本按标价的七折全部售出，剩余的B种笔记本按成本价清货，若两种笔记本的总利润不少于140元，请求出m的最小值． 【答案】(1)40本 (2)10 【分析】本题主要考查了二一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设购进了A种笔记本x本，则购进了B种笔记本y本，根据题意列出二一元一次方程并求解，即可获得答案； （2）根据题意，列出关于m的一元一次不等式并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：设购进了A种笔记本x本，购进了B种笔记本y本， 由题意得：， 解得： ， 答：购进了A种笔记本40本，购进了B种笔记本60本； （2）解：由题意得： ， 解得：， 答：m的最小值为10． 78．《哪吒2魔童闹海》票房大卖，相关的玩偶也跟着热销，小郑准备在网上开设一家玩偶专卖店，已知用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等，且款哪吒玩偶单价比款哪吒玩偶单价多3元． (1)，款哪吒玩偶每个各多少元？ (2)试营业时计划购买款哪吒玩偶共200个，其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的，求购买款哪吒玩偶多少个时，购买这批玩偶总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】(1)、款哪吒玩偶每个各6元和9元 (2)购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的一用以及一次函数的实际应用． （1）设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元．根据用600元购买款哪吒玩偶的个数与用900元购买款哪吒玩偶个数相等为等量关系列出分式方程的解即可得出答案． （2）设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个，根据其中款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设款哪吒玩偶每个元，则款哪吒玩偶每个元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则（元）， 、款哪吒玩偶每个各6元和9元． （2）解：设购买款哪吒玩偶个，则购买款哪吒玩偶个， 款哪吒玩偶的数量不超过款哪吒玩偶数量的， ， 解得， ，且为正整数． 根据题意，购买这批哪吒玩偶总费用， ， 随的增大而减小， ，且为正整数， 当时，取最小值，此时， 即购买款哪吒玩偶50个时，购买这批哪吒玩偶总费用最低，最低费用是1650元． 79．网络直播是新兴的高互动性视频娱乐，如今的直播平台已经进入了“随走、随看、随播”的3.0移动视频直播时代，越来越多的人们愿意参与其中，直播并分享自己的生活，全民直播渐成趋势．某公司准备购进一批直播设备进行销售，有两种设备可供选择，每套种直播设备的进价比种直播设备的进价多100元，用60000元购进种直播设备与用80000元购进种直播设备的数量相同． (1)求两种直播设备每套的进价． (2)该公司计划购进两种直播设备共50套进行销售，其中种直播设备的数量不少于种直播设备数量的3倍，种直播设备每套售价为350元，种直播设备每套售价为480元，怎样安排进货才能使售完这批直播设备所获利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)300元，400元 (2)购进38套种直播设备，12套种直播设备所获利润最大．最大利润是2860元 【分析】本题主要考查了利用分式方程解决实际问题，利用一次函数解决最值问题，解题的关键是找准等量关系和掌握一次函数的性质． （1）设种直播设备每套的进价为元，则种直播设备每套的进价为元，找出等量关系列出分式方程求解即可； （2）设所获利润是元，购进套种直播设备，则购进（50-m）套种直播设备,列出 ，确定自变量的取值范围，利用一次函数的增减性进行求解即可． 【详解】（1）解：设种直播设备每套的进价为元，则种直播设备每套的进价为元． 根据题意，得 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． ∴． 答：种直播设备每套的进价为300元，种直播设备每套的进价为400元． （2）解：设所获利润是元，购进套种直播设备，则购进套种直播设备． 根据题意得． ∵种直播设备的数量不少于种直播设备数量的3倍， ∴， 解得 ∵为正整数， ∴的最小值为38． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，为． 答：购进38套种直播设备，12套种直播设备所获利润最大．最大利润是2860元． 80．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元，玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1)求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售，且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元，那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元 (2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元； （2）解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个， 根据题意得：， 解得， 设总获利为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，最大为元， 此时， 答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元． 【考点题型二十一 一次函数应用之几何问题】（） 81．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)求出点和点的坐标； (2)点在直线上（不与重合），当的面积等于的面积时，求出点的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查一次函数的图象及性质． （1）令，求B点坐标，令，求A点坐标； （2），由题意可得，求出t的值即可求D点坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B两点， 令，则；令，则， ∴，， 故答案为：，； （2）解：设， ∴， ∵的面积等于的面积， ∴， 解得（舍）或， ∴． 82．如图在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，． (1)求直线的函数解析式； (2)若为直线上一动点，的面积为3，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据，求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为：， ∵点，的坐标分别为，． 把，分别代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：； 当时，，解得：； ∴点P的坐标为或． 83．一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求该直线的表达式，并画出该函数图象； (2)若x轴上有一点，且，直接写出点的坐标__________． 【答案】(1)，函数图象见详解 (2)或 【分析】本题主要考查一次函数图象于几何图形面积的计算，掌握待定系数法，几何图形面积的计算是关键． （1）根据题意，运用待定系数法即可得到解析式，根据两点确定一条直线作图即可； （2）根据题意，设，则，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与轴交于点， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，，即， 根据两点确定一条直线，函数图象如下， （2）解：根据题意，， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得，或， ∴或， 故答案为：或． 84．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线． (1)求直线的函数表达式． (2)M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点M的坐标为或； (3)． 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，设直线的函数表达式为，将点，代入，即可解答． （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论当，时，即可解答． （3）连接，设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证得，得到点Q的坐标为，求出直线的函数表达式为把点代入即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 设直线的函数表达式为． 将点，代入， 得 解得 ∴直线的函数表达式为． （2）存在．当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得． （3）点Q的坐标为． 如图，连接， 设点P的坐标为． ∵， ∴当C，Q，D三点共线时，的值最小． 过点Q作轴于点H， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴点Q的坐标为． ∵点，， ∴易求得直线的函数表达式为． 把点代入，得， 解得， ∴点Q的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，三角形面积，坐标与图形性质等知识；解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$