自主培优4 嵌套函数的零点问题-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 自主培优4　嵌套函数的零点问题 对应学生用书P47 　　形如y＝f（g（x））的复合函数（暂称此函数为“嵌套函数”）零点相关问题综合性较强，难度稍大，主要涉及判断函数零点的个数或范围.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 类型一　嵌套函数零点个数的判断 [典例1]　（1）已知函数f＝则函数y＝f的零点个数为（　　） A.1 B.2 C.3 D.4 解析　令f＝t，当f＝0时，解得t＝或t＝－1. 在同一直角坐标系中分别作出y＝f，y＝－1，y＝的图象如图所示，观察可知，y＝f与y＝－1有1个交点，y＝f与y＝有2个交点，则y＝f的零点个数为3. 答案　C （2）已知函数f（x）＝则函数g＝f（f（x）－5）的零点个数是（　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析　因为f（x）＝所以f'（x）＝令f'（x）＜0，解得x＜－2，所以f在上单调递减，令f'（x）＞0，解得－2＜x＜0或x＞0，所以f在和上单调递增，函数图象如图所示： 当x≤0时，令f＝0，得x＝0或x＝－4.又x→0＋时，f→－∞；x→＋∞时，f→＋∞，f＝e－1＞0，所以∃x0∈使得f＝0. 要使g＝f（f（x）－5）＝0，即f－5＝0或f－5＝－4或f－5＝x0， 即f＝5或f＝1或f＝x0＋5. 由函数图象易知y＝5，y＝1，y＝x0＋5与y＝f都有两个交点， 故f＝5或f＝1或f＝x0＋5各有两个零点， 故函数g＝f（f（x）－5）有6个零点. 答案　D ⁠ 破解此类问题的主要步骤 （1）换元解套：将嵌套函数的零点问题通过换元转化为函数t＝g（x）与y＝f（t）的零点问题. （2）依次求解：令f（t）＝0求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数. ⁠ 类型二　已知函数零点的个数求参数的范围 [典例2]　(1)(2023·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高三一模)已知函数f(x)＝若F(x)＝f2(x)－2af(x)＋的零点个数为4，则实数a取值范围为(　　) A.∪ B.∪(2，＋∞) C. D. 解析　f(x)的图象如图所示： 因为F＝f2(x)－2af(x)＋有4个不同的零点，令f(x)＝t，故t2－2at＋＝0有解， 设此关于t的方程的解为t1，t2，其中t1，t2均不为零且t1t2＝. 由题设可得关于x的方程f＝t1和f＝t2共有4个不同的解， 故或或 所以解得a>. 答案　D (2)已知函数f(x)＝且关于x的方程[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为________． 解析　由题意，f(x)的图象如图所示， 因为[f(x)]2－(2m＋1)f(x)＋m2＋m＝0有7个实数解， 设f(x)＝t，则方程t2－(2m＋1)t＋m2＋m＝0有2个不相等的实根t1＝m，t2＝m＋1，且0<t1<1≤t2<2或1≤t1<2，t2＝2. 当1≤t1<2，t2＝2时，m＝1，满足题意；当0<t1<1≤t2<2时，0<m<1≤m＋1<2，解得m∈(0，1). 综上，m∈(0，1]. 答案　(0，1] (1)求解此类问题要抓住函数的图象性质，通过两层函数的零点个数及取值范围确定嵌套函数的零点. (2)含参数的嵌套函数方程还应注意让参数的取值“动起来”，结合性质、图象抓临界位置，确定参数取值范围. $$