第4讲 幂函数与二次函数-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习配套课件（人教A版2019）

数　学 第二章　函数的概念与基本初等函数 第4讲　幂函数与二次函数 ⁠ 1.了解幂函数的概念，结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况. 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. ⁠ [对应学生用书P31] 1.幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数⁠⁠　y＝xα　⁠叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. y＝xα　 （2）常见的五种幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①幂函数在（0，＋∞）上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减. 2.二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 一般式：f（x）＝⁠⁠ax2＋bx＋c（a≠0）　⁠. 顶点式：f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0），顶点坐标为⁠⁠（m，n）　⁠. 零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的零点. （2）二次函数的图象和性质 函数 y＝ax2＋bx＋c（a＞0） y＝ax2＋bx＋c（a＜0） 图象（抛物线） ⁠ ⁠ 定义域 ⁠⁠　R　⁠ 值域 ax2＋bx＋c（a≠0）　 （m，n）　 R　 对称轴 x＝⁠⁠　－　⁠ 顶点坐标 ⁠⁠　　⁠ 奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上是⁠⁠　减　⁠函数； 在上是⁠⁠　增　⁠函数 在上是⁠⁠　增　⁠函数； 在上是⁠⁠　减　⁠函数 －　 　 减　 增　 增　 减　 ⁠⁠ 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时，恒有f（x）＞0；当时，恒有f（x）＜0. 3.（1）幂函数y＝xα中，α的取值影响幂函数的定义域、图象及性质； （2）幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限. ｜思考辨析｜ 答案　(1) × 答案　(2) √ 答案　(3) × 答案　(4) × 3.（人A必修第一册P58T6改编）若函数f＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，－2] B.（－∞，－2]∪[2，＋∞） C.（－∞，－2）∪（2，＋∞） D.（2，＋∞） 解析　f＝x2－ax＋1＝＋1－，要使函数有负值，则其最小值f＝1－＜0，解得a＜－2或a＞2. 答案　C ｜易错自纠｜ 4.（二次函数性质不明致错）已知函数f（x）＝ax2－x＋1在区间（1，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围为 （　　） A. B. C. D. 解析　当a＝0时，函数f（x）＝－x＋1是实数集上的减函数，不符合题意； 当a≠0时，二次函数f（x）＝ax2－x＋1的对称轴为直线x＝， 由题意有解得a≥. 答案　D 5.（二次函数图象特征不明致错）已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是 （　　） 解析　由题意，函数y＝ax2＋bx＋c， 因为a＋b＋c＝0，令x＝1，可得y＝a＋b＋c＝0，即函数图象过点（1，0）. 又由a＞b＞c，可得a＞0，c＜0，所以抛物线的开口向上，可排除D项， 令x＝0，可得y＝c＜0，可排除B、C项.故选A. 答案　A ⁠ [对应学生用书P32] 考点1　幂函数的图象与性质（题组通关） 1.（多选）幂函数f＝在上是增函数，则以下说法正确的是 （　　） A.m＝3 B.函数f在上单调递增 C.函数f是偶函数 D.函数f的图象关于原点对称 解析　因为幂函数f＝在上是增函数， 所以解得m＝3，所以f＝x3， 所以f＝＝－x3＝－f，故f＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称， 所以f在上单调递增.故选ABD. 答案　ABD 2.已知幂函数y＝（p∈Z）的图象关于y轴对称，如图所示，则 （　　） A.p为奇数，且p＞0 B.p为奇数，且p＜0 C.p为偶数，且p＞0 D.p为偶数，且p＜0 解析　因为函数y＝的图象关于y轴对称，所以函数y＝为偶函数，即p为偶数. 又函数y＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），且在（0，＋∞）上单调递减， 则有＜0，所以p＜0. 答案　D 3.已知a＝，b＝，c＝2，则 （　　） A.b＜a＜c B.a＜b＜c C.b＜c＜a D.c＜a＜b 解析　a＝＝1，b＝＝1，c＝2，幂函数y＝在R上单调递增，a＜c， 指数函数y＝16x在R上单调递增，b＜a，∴b＜a＜c. 答案　A ⁠ ⁠ （1）幂函数的形式是y＝xα（α∈R），其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. （2）在区间（0，1）上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴（简记为“指大图低”），在区间（1，＋∞）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. （3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 考点2　二次函数的解析式（师生共研） [例1]　已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，则f（x）＝ 　　　　⁠.  解析　法一　（利用“一般式”）设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）， 由题意得解得 ∴所求二次函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 法二　（利用“顶点式”）设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）， ∵f（2）＝f（－1），∴抛物线的对称轴为x＝＝，∴m＝. 又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，∴y＝f（x）＝a＋8. ∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 法三　（利用“零点式”）由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1， 故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），即f（x）＝ax2－ax－2a－1. 又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4或a＝0（舍）. 故所求函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 答案　－4x2＋4x＋7 ⁠ 求二次函数解析式的方法 变式训练 已知二次函数f＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝1，且不等式f≤2x的解集为，则f的解析式是f＝ 　　　　⁠.  解析　由f（x）≤2x，得ax2＋（b－2）x＋c≤0，其解集为[1，3]，则a＞0， 又函数f（x）的对称轴是直线x＝1，则－＝1， 两者结合解得a＝1，b＝－2，c＝3，所以f（x）＝x2－2x＋3. 答案　x2－2x＋3 考点3　二次函数的图象与性质（多维探究） 角度1　二次函数的图象 ⁠ 识别二次函数图象应学会“三看” 角度2　二次函数的单调性与最值 [例3]　已知函数f（x）＝kx2＋（3＋k）x＋3，其中k为常数. （1）若f（2）＝3，求函数f（x）的表达式； 解　（1）∵f（2）＝4k＋2（3＋k）＋3＝3，解得k＝－1，∴f（x）＝－x2＋2x＋3. （2）在（1）的条件下，设函数g（x）＝f（x）－mx，若g（x）在区间[－2，2]上是单调函数，求实数m的取值范围； 解　（2）由（1）可得g（x）＝－x2＋2x＋3－mx＝－x2＋（2－m）x＋3， 其对称轴方程为x0＝， 若g（x）在[－2，2]上为增函数，则x0≥2，解得m≤－2； 若g（x）在[－2，2]上为减函数，则x0≤－2，解得m≥6. 综上可知，m的取值范围为{m≤－2或m≥6}. （3）是否存在k使得函数f（x）在[－1，4]上的最大值是4？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由. 解　（3）当k＝0时，函数f（x）＝3x＋3在[－1，4]上的最大值是15，不满足条件； 当k≠0时，假设存在满足条件的k，则f（x）的最大值只可能在－1，4，x0处取得， 其中对称轴x0＝－， ①若f（x）max＝f（－1）＝4，则有k－3－k＋3＝4，k的值不存在； ②若f（x）max＝f（4）＝4，则16k＋12＋4k＋3＝4，解得k＝－，此时， 对称轴x0＝∈[－1，4]，则最大值应在x0处取得，与条件矛盾，舍去； ③若f（x）max＝f＝4，则k＜0，且＝4， 化简得k2＋10k＋9＝0，解得k＝－1或k＝－9，满足k＜0且x0＝－∈[－1，4]， 综上可知，当k＝－1或k＝－9时，函数f（x）在[－1，4]上的最大值是4. ⁠ （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. （2）二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. 课 时 检 测 训 练 点击进入word版 1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y＝x是幂函数．(　　) (2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.(　　) (3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞).(　　) (4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) ｜教材衍化｜ 2．(人A必修第一册P91练习T1改编)已知幂函数f(x)＝kxα的图象过点，则k＋α的值为(　　) A．2 B．1 C．－1 D．0 解析　由f(x)＝kxα为幂函数，知k＝1.又函数图象过点，则9＝⇒α＝ －2，故k＋α＝－1. 答案　C 4.已知函数f(x)＝x，则f(3x－1)<f(1＋x2)的解集是________. 解析　由于函数f(x)＝x是定义域在[0，＋∞)上的增函数，所以 所以x>2或≤x<1. 答案　∪(2，＋∞) [例2]　(多选)如图，这是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的一部分，则下面四个结论正确的有(　　) A．b2>4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a<b 解析　因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，故A正确； 对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，则2a－b＝0，故B错误； 结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，故C错误； 根据抛物线开口向下，知a<0，所以5a<2a，即5a<b，故D正确． 答案　AD 变式训练 1．(多选)函数f(x)＝ax2＋2x＋1与g(x)＝xa在同一坐标系中的图象可能为(　　) 解析　当a＝－(2n＋1)(n∈N)时，g(x)＝xa为奇函数，定义域为{x|x≠0}，且在(0， ＋∞)上单调递减，而f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向下，且对称轴为直线x＝－，－>0，f(0)＝1，故A符合题意；当a＝2n(n∈N*)时，g(x)＝xa为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，且对称轴为直线x＝－，－<0，Δ＝4－4a<0，其图象和x轴没有交点，故D符合题意；当a＝(n∈N*)时，函数g(x)＝xa的定义域为[0，＋∞)，且g(x)在[0，＋∞)上单调递增，f(x)＝ax2＋2x＋1的图象开口向上，对称轴为直线x＝－，－<0，Δ＝4－4a>0，图象和x轴有两个交点，故C符合题意．B显然不符合题意． 答案　ACD 2．(1)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]上的最大值为2，则a的值为________. 解析　函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a. 当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a＝2，所以a＝－1. 当0≤a≤1时，f(x)max＝a2－a＋1＝2，所以a2－a－1＝0， 所以a＝(舍去). 当a>1时，f(x)max＝f(1)＝a＝2，所以a＝2. 综上可知，a＝－1或a＝2. 答案　－1或2 (2)设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在[0，1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________. 解析　依题意得a≠0，二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c图象的对称轴是直线x＝1，因为函数f(x)在区间[0，1]上单调递减，所以a>0，即函数图象开口向上，所以f(0)＝f(2)，则当f(m)≤f(0)时，有0≤m≤2. 答案　[0，2] $$