专题1 四则运算及运算律-2025年四升五数学暑假专项提升（人教版）

专题1 四则运算及运算律-2025年四升五数学暑假专项提升 【要点一】加、减法的意义和各部分间的关系 (1)加法的意义：把两个数合并成一个数的运算，叫作 (2)减法的意义：已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫作 (3)加法各部分间的关系：和=加数+加数，加数=和一另一个加数。 (4)减法各部分间的关系：差=被减数一减数，减数=被减数一差，被减数=减数+差。 (5)减法是加法的逆运算，加、减法可以相互验算。 【要点二】乘、除法的意义和各部分间的关系 (1) 乘法的意义：求几个相同加数的和的简便运算，叫作 (2)除法的意义：已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫作 (3)乘法各部分间的关系：积=因数×因数，因数三积÷另一个因数 (4)除法各部分间的关系： ①没有余数的除法：商三被除数÷除数，除数=被除数÷商，被除数=商×除数。 ②有余数的除法：商=(被除数一余数)÷除数，除数=(被除数一余数)÷商，被除数= (5)除法是乘法的逆运算。乘、除法可以相互验算。 【要点三】有关0的运算 (1)一个数加上(或减去)0,还得 。用字母表示为a±0=a。 (2)被减数等于减数 ，差是,用字母表示为a—a=0。 (3)一个数和0相乘 ，仍得。用字母表示为ax0=0. (4)0除以一个非0的数，还得 ,用字母表示为0÷a=0(a不为0), 注意：0不能作除数。 【要点四】四则混合运算的运算顺序 (1)没有括号，只有加、减法或只有乘、除法的，按 的顺序依次计算；既有乘、除法，又有加、减法，先算 ，后算 (2)有括号的，先算 的，再算 的，算式里既有小括号，又有中括号的，要先算 的，再算 的。 【要点五】加法交换律 两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为 【要点六】加法结合律 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为 【要点七】减法的运算性质 (1)一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。用字母表示为 (2)在连减运算中，任意交换两个减数的位置，差不变，用字母表示为 【要点八】乘法交换律 两个数相乘，交换两个因数的位置，积不变。用字母表示为 【要点九】乘法结合律 三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。用字母表示为 【要点十】乘法分配律 两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。用字母表示为 拓展：两个数的差与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相减。用字母表示为 【要点十一】除法的运算性质 (1) 一个数连续除以两个数，等于用这个数除以两个数的积。用字母表示为 (2)在连除运算中，任意交换除数的位置，商不变。用字母表示为 【易错点一】有关中括号的错误 (1)误将中括号与小括号并列使用。例如，120÷(3+7)×[2+5]中，中括号的用法是错的。中括号只能用在小括号的外面，即中括号里面一定要有小括号。 (2)计算含有中括号的混合运算时，过早去掉中括号。实际上只要中括号里面的算式没算完，就不能去掉中括号。 【易错点二】简便计算中的错误 (1)盲目凑整，而忽视了正确的运算顺序。有些算式中的数看似能够凑整，但实际上并 不符合运算定律或运算性质的形式。例如，210－47+53中，虽然47和53能凑成100,但算式不能改写成210—(47+53)。 (2)使用乘法分配律进行简便计算时，没有将两个数分别与另一个数相乘，即分配不彻底。例如，125×(80+8)=125×80+125×8,而不是直接去掉括号后的125×80+8。 (3)运用减法或除法的运算性质去括号时，未改变运算符号。例如，126—(26+94)=126—26—94,而不是直接去掉括号后的126—26+94。 拓展：1类实际问题 租船问题 (1)解题策路：先计算哪种船平均每个座位的租金便宜，就考虑先租这种船。如果这种船没满，再进行调整，考虑租另一种船。调整时多租便宜的，少租贵的，且尽量把船坐满，没有空座。计算出每种租船方案需要的租金后，再通过比较选出最省钱的租船方案。 (2)解决租船问题的策略同样适用于选择更合理的购物方案问题。 一、填空题 1．计算500－（38＋315÷15）时，应先算( )法，再算( )法，最后算( )法。 2．按照顺序计算并填写下面的方框里，然后列出综合算式。 综合算式：________________________ 3．根据加法运算定律在____里填上合适的数。 127＋a＝a＋                378＋229＋122＝378＋ ＋229 285＋（15＋b）＝（285＋ ）＋b      （138＋ ）＋75＝ ＋（225＋ ） 888＋597＝ ＋888             155＋64＋245＋36＝（155＋ ）＋（ ＋36） 4．在括号里填上“＞”“＜”或“＝”。 ( )       ( ) ( )           ( ) 5．滑雪场第一天卖出216张门票，第二天上午卖出105张门票，下午卖出95张门票。这两天一共卖出( )张门票。 6．明明把10×（□＋5）错算成10×□＋5，得到的结果与正确的结果相差 。 二、选择题 7．（    ）÷8＝4……（    ），余数最大是（    ），此时被除数是（    ）。 A．4；36 B．8；40 C．7；39 D．无法确定 8．运用了（    ），运用了（    ）。 A．乘法交换律；乘法分配律 B．乘法结合律；乘法分配律 C．乘法分配律；乘法交换律 D．以上都不对 9．下面四个情境中，能解释“（8＋10）×25＝8×25＋10×25”的共有（    ）个。 A．4 B．3 C．2 D．1 10．某超市进了60箱水果，每箱15千克，第一天卖出210千克，剩下的又卖了5天才卖完，下面哪个问题能用算式（60×15－210）÷5解答？（    ） A．剩下的水果平均每天卖了多少千克？ B．剩下多少千克水果？ C．一共有多少千克水果？ D．平均每天卖了多少千克水果？ 11．与相等的算式是（    ）。 A． B． C． 12．明明计算器上的数字“9”坏了，他要用这个计算器计算256×49，下面计算方法错误的是（    ）。 A．256×7×7 B．256×（50－1） C．256×50－256 D．256×50－1 13．下面算式中，与得数相等的式子是（    ）。 ①      ②      ③      ④ A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 三、判断题 14．在加法算式中，和总比两个加数都大。( ) 15．。( ) 16．25×9＋4＝25×4＋9。( ) 17．30×4÷30×4＝120÷120＝1。( ) 四、计算题 18．计算下面各题，怎样简便就怎样算。                                                               五、解答题 19．同学们去春游，四年级共有360名师生参加这次活动，怎样租车最省钱？请你帮助设计租车方案，并计算出费用。 20．神州旅行社推出“××风景区一日游”的两种出游价格方案。 （1）成人4人，儿童7人怎样买票省钱？ （2）成人5人，儿童5人，选哪种方案划算？ 21．一个游泳池长25米，小明每次游4个来回，他每次游几米？ 22．一头大象平均每天要吃165千克食物。 23．书店有《科普知识》和《童话故事》各50套。这两种书一共有多少本？（用最简便的方法解答） 24．分别代表3个数。 ＝( )，＝( )，＝( )。 25．20222022－20232021＝( )。 26．用简便方法计算。 9999×2222＋3333×3334 27．用简便方法计算。 35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 28．用简便方法计算。 100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－2 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【要点梳理】 【要点一】加法 减法 【要点二】 乘法 除法 商×数+余数。 【要点三】原数 0 0 0 【要点四】从左往右 乘、除法 加、减法 括号里面 括号外面 小括号里面 中括号里面 【要点五】a+b=b+a 【要点六】(a+b)+c=a+(b+c) 【要点七】a—b—c=a—(b+c) a一b—c=a—c-b 【要点八】a×b=b×a 【要点九】(a×b)×c=a×(b×c) 【要点十】(a+b)×c=a×c+b×c (a-b)×c=a×c-b×c 【要点十一】a÷b÷c=a÷(bxc)(b.c均不为0) a+b÷c=a÷c+b(b、c均不为0) 【温故知新】 1． 除 加 减 【分析】混合运算的计算顺序是先算乘除法，再算加减法；有小括号时，应先算小括号里面的，再算小括号外面的，依此填空即可。 【详解】500－（38＋315÷15） ＝500－（38＋21） ＝500－59 ＝441 计算500－（38＋315÷15）时，应先算除法，再算加法，最后算减法。 【点睛】熟练掌握混合运算的计算顺序，是解答此题的关键。 2．136；72；2304； 32×［208－（61＋75）］＝2304 【分析】根据题意可知，先计算61＋75＝136，求出和，再计算208减去61＋75的和，即208－136＝72，求出差，最后计算32乘208－136的差，即32×72＝2304，求出积；根据混合运算的运算顺序，先算加法，给61＋75，加上小括号，再算减法，给208－（61＋75），加上中括号，最后计算乘法，据此列式为：32×［208－（61＋75）］＝2304。 【详解】 综合算式：32×［208－（61＋75）］＝2304 3． 127 122 15 225 138 75 597 245 64 【分析】加法交换律是指两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法结合律是指三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。据此解答即可。 【详解】127＋a＝a＋127               378＋229＋122＝378＋122＋229 285＋（15＋b）＝（285＋15）＋b      （138＋225）＋75＝138＋（225＋75） 888＋597＝597＋888             155＋64＋245＋36＝（155＋245）＋（64＋36） 【点睛】加法交换律是两个数交换位置，加法结合律是三个数做加法运算，计算和的先后顺序，并没有位置变化。 4． ＞ ＝ ＜ ＞ 【分析】第一小题，左边，右边，所以填“＞”。 第二小题运用了乘法交换律，所以填“＝”。 第三小题根据乘法分配律可得，，可看成67个53加上67个37，而可看成67个53加上1个37，所以填“＜”。 第四小题根据乘法交换律与乘法结合律可得，，而，所以填“＞”。 【详解】＞       ＝ ＜           ＞ 【点睛】乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律是乘法运算中非常重要的定律，需熟练掌握，灵活运用这些定律解决问题。 5．416 【分析】根据题意可知，用滑雪场第一天卖出门票的张数＋第二天上午卖出门票的张数＋第二天下午卖出门票的张数＝这两天一共卖出门票的张数，依此列式并根据整数加法结合律的特点计算即可。 【详解】216＋105＋95 ＝216＋（105＋95） ＝216＋200 ＝416（张） 【点睛】此题考查的是运用整数加法结合律的特点解决实际问题，应熟练掌握。 6．45 【分析】先把10×（□＋5）根据乘法分配律化简，再减去10×□＋5，求出差即可求解。 【详解】10×（□＋5） ＝10×□＋10×5 ＝10×□＋50 10×□＋50－（10×□＋5） ＝10×□＋50－10×□－5 ＝50－5 ＝45 明明把10×（□＋5）错算成10×□＋5，得到的结果与正确的结果相差45。 【点睛】本题先观察这两个算式的区别在什么地方，再对其中的一个变形，变成相接近的形式，进而求解。 7．C 【分析】根据在有余数的除法中，余数总比除数小，即余数最大为：除数－1，求出余数，再根据“被除数＝商×除数＋余数”解答即可。 【详解】8－1＝7 4×8＝32 32＋7＝39 即余数最大是7，此时被除数是39。 故答案为：C 8．B 【分析】根据对乘法运算定律的理解，乘法结合律：a×b×c＝a×（b×c），乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，据此解答。 【详解】，三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变，这是乘法结合律。 44个250等于4个250加上40个250，所以是，这是乘法分配律。 故答案为：B 【点睛】本题考查的是乘法运算定律的灵活运用，需要细心观察等号两边式子的变化。 9．B 【分析】乘法分配律是指两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加。据此解答即可。 【详解】计算25×18，先算18个位上的8乘25，8×25＝200；再算18十位上的1乘25得25个十，10×25＝250，最后算200＋250＝450。18×25＝（10＋8）×25＝8×25＋10×25。 每本笔记本的单价乘购买的本数，可以计算出购买笔记本用去（8×25）元；每个订书机的单价乘购买的个数，可以计算出购买订书机用去（10×25）元，一共用去（8×25＋10×25）元。也可以把一本笔记本和一个订书机看作一组，每组价钱是（8＋10）元，买了25组，一共用了（8＋10）×25元。（8＋10）×25＝8×25＋10×25。 把两个小长方形看作一个大长方形，长是25，宽是（8＋10），长方形面积＝长×宽，大长方形面积是25×（8＋10）。也可以先算出2个小长方形面积，再将2个小长方形的面积相加，长方形面积是25×8＋25×10。（8＋10）×25＝8×25＋10×25。 求一共是多少，列式：8＋10＋25。 四个情境中，能解释“（8＋10）×25＝8×25＋10×25”的共有3个。 故答案为：B 10．A 【分析】根据题意可知，60×15表示的是60箱水果的总重量，60箱水果的总重量－210表示的是剩下还没有卖出水果的重量，剩下还没有卖出水果的重量÷5表示的是剩下的水果平均每天卖的重量，依此选择即可。 【详解】根据分析可知，能用算式（60×15－210）÷5解答的问题是：剩下的水果平均每天卖了多少千克？ 故答案为：A 11．B 【分析】计算可以去掉括号，因为括号前面是减号，所以去掉括号后括号内的符号要变成相反的符号，据此解答。 【详解】与相等的算式是。 故答案为：B 【点睛】本题考查整数减法的性质，熟练掌握并灵活运用。 12．D 【分析】根据乘法结合律，三个数相乘，先把前两个数相乘，再和另外一个数相乘，或先把后两个数相乘，再和另外一个数相乘，积不变。乘法分配律，两个数的和与一个数相乘，可以分别与这个数相乘后再相加。明明计算器上的数字“9”坏了，计算256×49，可以把49化成7×7，256×49算式变成256×7×7；也可以把49化成（50－1）算式变成256×（50－1）＝256×50－256×1，据此解答即可。 【详解】A．256×49 ＝256×7×7 ＝1792×7 ＝12544 所以本选项计算方法正确， B．256×49 ＝256×（50－1） ＝256×50－256×1 ＝12800－256×1 ＝12800－256 ＝12544 所以本选项计算方法正确， C．256×49 ＝256×（50－1） ＝256×50－256×1 ＝256×50－256 ＝12800－256 ＝12544 所以本选项计算方法正确， D．256×50－1 ＝12800－1 ＝12799 所以本选项计算方法错误。 明明计算器上的数字“9”坏了，他要用这个计算器计算256×49，计算方法错误的是256×50－1。 故答案为：D 13．B 【分析】利用去括号法则：如果括号外是加号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外是减号，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；进而求出即可。 【详解】①； ②； ③； ④； 满足题意的是①和④。 故答案为：B 【点睛】要注意如果括号前面是减号，去掉括号后，括号里面的算式要改变运算符号。 14．× 【分析】根据整数加法的计算方法可知，100＋200＝300，和比两个加数都大。100＋0＝100，和等于其中一个加数；0＋0＝0，和等于两个加数。据此解答即可。 【详解】根据分析可知，当加数中有0时，和不会比两个加数都大。 故答案为：× 【点睛】熟练掌握整数加法的计算方法，解决本题时注意加数为0这种特殊情况。 15．× 【分析】分别计算出等号两边的答案，然后对比是否相等，也可以根据减法的性质进行判断，据此解答。 【详解】 故答案为：× 【点睛】本题考查两、三位数的加减法计算，熟练掌握并正确计算。 16．× 【分析】观察算式可知，计算时交换了9和4的位置，应该是应用乘法交换律进行计算。但是乘法交换律只适用与乘法运算中，而不适用乘加混合运算中。据此判断即可。 【详解】25×9＋4 ＝225＋4 ＝229 25×4＋9 ＝100＋9 ＝109 则25×9＋4≠25×4＋9。 故答案为：×。 【点睛】乘法交换律是指两个数相乘，交换因数的位置，它们的积不变。注意运用乘法交换律时，只能交换两个因数的位置，不能交换因数和加数的位置。 17．× 【分析】乘法结合律的特点是三个数相乘，先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘，积不变。混合运算的计算顺序是：先算乘、除法，再算加、减法，有括号时应先算括号里面的，再算括号外面的。依此判断。 【详解】30×4÷30×4不是连乘计算，因此不能运用乘法结合律的特点计算； 30×4÷（30×4）＝30×4÷120＝120÷120＝1。 故答案为：× 【点睛】此题考查的是整数乘法结合律的特点，以及混合运算的计算顺序，应熟练掌握。 18．5400；178；5； 3366；1100；15000； 13600；1191 【分析】第一道，利用乘法分配律计算； 第二道，利用减法的性质计算； 第三道，利用除法的性质计算； 第四道，利用乘法分配律计算； 第五道，将44分成（4×11），再用乘法结合律计算； 第六道，利用乘法交换律计算； 第七道，利用乘法分配律计算； 第八道，利用加法结合律计算，据此解答。 【详解】 19．租6辆大车和2辆小车最省钱；4080元 【分析】根据两种车所坐人数和租金，分别计算每人所需钱数，比较即可找到比较省钱的是大车，尽量多租大车，而且没有空位最省钱，计算所需钱数即可。 【详解】大车：350÷50＝7（元/人） 小车：390÷30＝13（元/人） 7＜13 大车平均每个座位价格较低，尽可能多坐大车。 360÷50＝7（辆）……10（人） 租7辆大车和1辆小车，所需钱数： 550×7＋390 ＝3850＋390 ＝4240（元） 租6辆大车和2辆小车，所需钱数： 550×6＋390×2 ＝3300＋780 ＝4080（元） 4080＜4240 答：租6辆大车和2辆小车最省钱；需要4080元。 【点睛】本题主要考查优化问题。关键是计算两种车每人所需钱数，然后再进一步解答。 20．（1）方案一 （2）方案二 【分析】本题根据每小题中参于出游人数及两种不同的方案分别计算比较即可得出哪种方案合算。 （1）成人4人，儿童7人，共有（4＋7＝11）人参加，如按方案一购买，根据乘法的意义，成人票共需要（150×4＝600）元，儿童票共需要（60×7＝420）元，则共需要（600＋420＝1020）元。如购团体票，则共需要（11×100＝1100）元。1020元＜1100元，所以按方案一买票省钱。 （2）同理分别计算确定即可。 【详解】（1）方案一：150×4＋60×7 ＝600＋420 ＝1020（元） 方案二：100×（4＋7） ＝100×11 ＝1100（元） 1020元＜1100元 答：按方案一买票省钱。 （2）方案一：150×5＋60×5 ＝750＋300 ＝1050（元） 方案二：100×（5＋5） ＝100×10 ＝1000（元） 1050元＞1000元 答：选方案二划算。 【点睛】根据参加旅游人数及两种不同的方案分别计算比较是解答此类题目的常用方法。 21．200米 【分析】游1个来回是游2个游泳池的长度，则每次游4个来回，共游2×4个游泳池的长度，即2×4×25米。 【详解】2×4×25 ＝2×（4×25） ＝2×100 ＝200（米） 答：他每次游200米。 【点睛】本题先明确小明游2×4个游泳池的长度，再根据乘法结合律进行简算。 22．不够 【分析】已知一头大象每天要吃的千克数，用每天吃的千克数乘大象的头数再乘吃的天数，就是要吃的食物的总千克数，如果不多于2500千克就是够的。 【详解】165×5×4 ＝165×（5×4） ＝165×20 ＝3300（千克） 3300＞2500 答：2500千克食物不够5头大象吃4天。 【点睛】解答的关键已知的是单位数量，求总数要用乘法，所得的结果与计划的结果相比较，如果不多于计划结果就是够的。 23．1500本 【分析】用《科普知识》的套数乘购买每套本数，求出《科普知识》的本数。用《童话故事》的套数乘购买每套本数，求出《童话故事》的本数。再将两个本数相加，即可求出两种书的总本数。注意根据乘法分配律进行简算。 【详解】18×50＋12×50 ＝（18＋12）×50 ＝30×50 ＝1500（本） 答：这两种书一共有1500本。 【点睛】本题关键是列出算式后，根据乘法分配律进行简算。 【暑期培优】 24． 150 100 75 【分析】 观察第一行图形，可以得知2个等于3个；由第二行图形可以得知3个等于4个；把第二行的3个用2个替换，可以得知2个等于4个，即1个等于2个；把第三行中的用替换，可以得知：＋＋＋＋＝400，即＋＝400，再把4个用3个替换，即可算出等于多少，再把的数值代入到第二个算式中，即可算出等于多少。据此解答。 【详解】由分析可知： ＝＋ ＋＋＋＝400 ＋＋＋＋＝400 ＋＝400 ＋＋＋＝400 ＝400÷4＝100 ＋100＝400 ＝400－100＝300 ＝300÷4＝75 ＝75＋75＝150 【点睛】本题主要考查等量代换，解决此题的关键是根据题目信息正确找到三种图形之间的关系。 25．1 【分析】把第一个2022化为（2023－1），再利用乘法分配律去掉小括号，并利用乘法分配律化简两个乘法式子，最后求出式子的结果。 【详解】20222022－20232021 ＝（2023－1）×2022－20232021 ＝2023×2022－2022－20232021 ＝2023×2022－20232021－2022 ＝2023×（2022－2021）－2022 ＝2023×1－2022 ＝2023－2022 ＝1 26．33330000 【分析】把9999看作是3333与3的积，利用乘法结合律，把9999×2222变为：（3333×3）×2222＝3333×（3×2222）； 把3334看作是3333与1的和，利用乘法分配律，把3333×3334变为：3333×（3333＋1）＝3333×3333＋3333×1； 最后再利用乘法分配律，即可简算。 【详解】9999×2222＋3333×3334 ＝（3333×3）×2222＋3333×（3333＋1） ＝3333×（3×2222）＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×6666＋3333×3333＋3333×1 ＝3333×（6666＋3333＋1） ＝3333×10000 ＝33330000 【点睛】根据数据的特点找出相同的因数再运用乘法分配律简便计算。 27．1560 【分析】观察这个算式，每个加数比前一个加数大2，第一个加数是35，最后一个加数是85，则一共有（85－35）÷2＋1＝26个加数。根据加法交换律和加法结合律可知，第一个加数与最后一个加数的和是35＋85＝120，第二个加数与倒数第二个加数的和是37＋83＝120。这26个加数可分成26÷2＝13组，每组的和是120，得数是120×13＝1560。 【详解】35＋37＋39＋41＋…＋81＋83＋85 ＝（35＋85）＋（37＋83）＋……＋（59＋61） ＝120×13 ＝1560 【点睛】熟记加法运算律是解题关键。 28．50 【分析】100－98＝2、96－94＝2、92－90＝2……8－6＝2、4－2＝2，差都是2，每两个数一组，共有100÷2÷2＝50÷2＝25组，先算出每组结果，最后再求和。 【详解】100－98＋96－94＋92－90＋…＋8－6＋4－2 ＝（100－98）＋（96－94）＋（92－90）＋……＋（8－6）＋（4－2） ＝2×25 ＝50 8 学科网（北京）股份有限公司 $$