第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025－2026学年九年级上册数学（北师大版）

第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 矩形性质理解 典型例题二 矩形的判定定理理解 典型例题三 添一条件使四边形是矩形 典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标 典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半 典型例题六 矩形与折叠问题 典型例题七 证明四边形是矩形 典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度 典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长 典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【典型例题一 矩形性质理解】 【例1】（2025·河南驻马店·模拟预测）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【例3】（2025·河南·模拟预测）如图所示，从长a宽b的矩形纸片中剪去一个边长为c的正方形，余下纸片的面积为 ． 【例4】 （24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线． 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木料的面积； (2)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【典型例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）下列命题是真命题的是（   ） A．三条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形 【例2】（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（  ） A．矩形的对角线相等 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【例3】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2025·福建南平·模拟预测）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出一个以为边的矩形，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 4．（2025·辽宁本溪·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【典型例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件后，可以得到四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【例4】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 4．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，，相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． (1)证明：当E在上运动，F在上运动，且E与F不重合时，四边形是平行四边形； (2)点E，F在上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形?如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由． 【典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（2025·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【例4】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，已知为坐标原点，四边形为长方形，，点是的中点，点在线段上运动． （1）写出点的坐标； （2）当是腰长为5的等腰三角形时，求点的坐标． 1．（2025·河南开封·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处． （1）求CE的长； （2）求点D的坐标．    4．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 【典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【例2】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【例3】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 m． 【例4】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)试探索和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 1．（2025·河南开封·模拟预测）如图，在中，，，点D是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为 ． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 4．（2025九年级上·辽宁·专题练习）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【典型例题六 矩形与折叠问题】 【例1】（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______． A．3 B． C．4 D． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ． 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接． ①求的长； ②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 1．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，，则折痕的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）根据国际标准，A系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…，将纸按如图所示的方式折叠． 观察图1的折叠过程，可知纸矩形的长与宽的比值为 ． 3．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求线段的长． 4．（24-25九年级上·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【典型例题七 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【例2】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【例4】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）根据下图所标注的数据，判断四边形的形状，并说明理由． 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连接、． (1)证明：； (2)若是中点，平分，则边与满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论． 【典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】 （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【例4】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．    1．（2025·河北唐山·模拟预测）将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 4．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（      ）    A．8 B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【例3】（24-25九年级上·新疆喀什·期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞 ．    【例4】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品，当人（或动物）移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便，如图，有一个由传感器A控制的灯安装在门的上方，离地面高米的墙壁上，当人移至距离传感器A控制的灯5米及5米以内时，灯就会自动点亮，如果一个身高米的人走到点D处时，米，传感器A控制的灯刚好亮，求此时人到门的距离的长． 1．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）2025武汉国际传感器展将于10月11日~13日举办，以“新质势能，智链全球”为主题，开启智能制造的未来之路．如图，某自动感应门的正上方处装有一个感应器，离地面的高度为，一名学生竖直站立在处时，感应门自动打开了；此时这名学生离感应门的距离为，头顶离感应器的距离为；求这名学生的身高． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期中）某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，并画出如图所示的示意图，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得，，过点作于点．计算人工湖两端点之间的距离（结果保留根号）． 【典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 ． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C．10 D．6 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四条垂线段拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，一个直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点分别叠放在一矩形的一组对边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在矩形中，，点是对角线的中点，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，连接，则为（　　　） A． B． C．1 D． 4．（2025·河北·模拟预测）在中，，点是的中点．动点从三角形某点出发，沿三角形的边按每秒2个单位长度逆时针运动，设运动时间为，线段长度为，则与的函数图象如图所示．已知点的坐标是，点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京东城·期末）画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半． （1）如图1，已知等腰，D，E分别是的中点，画四边形； （2）如图2，已知四边形，．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形； （3）如图3，已知平行四边形，点E，G分别在上，且．点F，H分别在上，画四边形． 以上三种画法中，所有正确画法的序号是（    ）    A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则 度． 7．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在Rt中，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，则的长度为 ． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ． 10．（2025·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接，．求证：． 12．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图是一座人行天桥引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行且与地面成角的楼梯、和一段水平平台构成．已知水平平台，引桥水平跨度．若与地面垂直的平台立柱的高度为，求、的长度．（结果保留根号）    13．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，D，E分别为AC，BC的中点，延长DE到F，使，连接BD，CF，BF， (1)求证：四边形BDCF为平行四边形； (2)当满足条件__________时，四边形BDCF为矩形； (3)当满足什么条件时，四边形ABFD为菱形？并给予证明． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图1，已知长方形，，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)如图2、3、4，求出当点分别在边、和上时，与之间的关系式； (3)如图5，当在线段上运动时，是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请在图5中用直尺和圆规画出点的位置，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 矩形的性质与判定（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 矩形性质理解 典型例题二 矩形的判定定理理解 典型例题三 添一条件使四边形是矩形 典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标 典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半 典型例题六 矩形与折叠问题 典型例题七 证明四边形是矩形 典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度 典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长 典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积 知识点01 矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 要点：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件. 知识点02 矩形的性质 矩形的性质包括四个方面： 1.矩形具有平行四边形的所有性质； 2.矩形的对角线相等； 3.矩形的四个角都是直角； 4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴. 要点： （1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）. （3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等. 知识点03 矩形的判定 矩形的判定有三种方法： 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 2.对角线相等的平行四边形是矩形. 3.有三个角是直角的四边形是矩形. 要点：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 【典型例题一 矩形性质理解】 【例1】（2025·河南驻马店·模拟预测）矩形具有而菱形不具有的性质是（   ） A．对角线相等 B．对角线平分一组对角 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直且相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形和菱形的性质，根据矩形和菱形的性质判断即可，矩形和菱形具有平行四边形的所有性质，矩形的四个内角都是直角，对角线相等；菱形的四条边都相等，对角线互相垂直． 【详解】解：矩形和菱形的对角线都互相平分，邻角互补，菱形的对角线互相垂直且对角线平分一组对角，矩形的对角线相等，即矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等， 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在矩形中，对角线，交于点，以下说法中错误的是（    ） A． B． C．若，则是等边三角形 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定，矩形的四个角都是直角，对边平行且相等，对角线互相平分且相等，根据矩形的性质和等边三角形的判定，进行逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，故A、B说法正确，不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故C正确，不符合题意； 根据现有条件无法证明，故D说法错误，符合题意． 故选：D． 【例3】（2025·河南·模拟预测）如图所示，从长a宽b的矩形纸片中剪去一个边长为c的正方形，余下纸片的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列式计算，根据题意列出代数式是解题的关键． 根据图形列出余下纸片的面积为即可解答． 【详解】解：由图形可得余下纸片的面积为． 故答案为：． 【例4】 （24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在矩形中，点E、F分别在和上，若．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定．根据一组对边平行且相等判断四边形是平行四边形即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形． 1．（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则的最小内角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质、面积的计算以及等边三角形的判定及性质，过点作于点，可知在中，，取中点，连接，可证得为等边三角形，可知，则．熟练掌握平行四边形和矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平行四边形的面积为矩形的一半且同底， ∴平行四边形的高是矩形宽的一半． 在中，， 取中点，连接，则， ∴，则为等边三角形， ∴，则． 故选：A． 2．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】由矩形的性质得出，，证明是等边三角形，得出，，证明出是等腰三角形，得出，因此，由等腰三角形的性质即可得出的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图是由小正方形组成的网格，矩形的顶点都是格点．先画的高，再过点C画的平行线． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等知识．根据网格的特点和相关判定和性质进行作图即可． 【详解】解：如图，即为所求， 证明：设正方形网格的边长为1个单位长度， 由网格特征可知，，， ∴， ∴， 在中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即为的高； ∵， ∴， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ 4．（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）如图，木工师傅在一块长方形木料上截出两块面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木料的面积； (2)木工师傅想从剩余矩形木料中截出一块正方形木板，这块正方形木板的边长是否可以是，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，读懂题意，正确进行计算是解题的关键． （1）由正方形的面积可得边长分别为和，再对二次根式进行化简即可；然后再计算出原长方形木料的长为，再根据长方形的面积公式进行计算即可； （2）剩余矩形木料的长为，宽为，再和2进行大小比较即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得：小正方形木板的边长为， 大正方形木板的边长为， 原长方形木料的长为，宽为， ， ∴原长方形木料的面积为； （2）解：不能，理由如下： 根据题意，得剩余矩形木料的长为，宽为， ∵， ∴这块正方形木板的边长不能为． 【典型例题二 矩形的判定定理理解】 【例1】（2025·四川成都·模拟预测）下列命题是真命题的是（   ） A．三条边相等的四边形是菱形 B．一组邻边相等的平行四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是菱形 D．对角线相等的平行四边形是菱形 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理解答即可． 本题考查了菱形的判定定理，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】解：A、四条边都相等的四边形是菱形，故A不符合题意； B、命题是真命题，故B符合题意； C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故C不符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故D不符合题意． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·山西太原·期末）如图，用一根绳子检查一个平行四边形书架的侧边是否和底边垂直，只需要用绳子分别测量书架的两条对角线，的长就可以判断，其数学依据是（  ） A．矩形的对角线相等 B．三个角都是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质． 根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：推理依据是对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项符合题意． 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，在四边形中，，，，，点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，则当运动时间为 秒时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】本题考查矩形的判定，由矩形的判定可得出，则可得出答案．确定是解题的关键． 【详解】解：∵点从点出发每秒以个单位长度的速度向点运动，设运动时间为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． 【例4】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据尺规作图作垂线的方法，过点作垂直，过点作，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． 1．（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）某儿童乐园摩天轮的正面示意图如图所示，若每个舱看作一个点，任意选择四个点，则以这四个点为顶点的四边形是矩形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形的对角线相等，且互相平分，即可求解． 【详解】解：依题意，矩形有三个， 故选：C． 2．（2025·福建南平·模拟预测）如图，在中，，，分别为边，上的点（，不与端点重合）．对于任意，下面四个结论： ①存在无数个平行四边形；②至少存在一个菱形；③至少存在一个矩形；④存在无数个面积是面积的一半的四边形．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】根据菱形的判定和性质，矩形的判定，平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】①存在无数个平行四边形，故①正确； ②平行四边形的包含矩形、菱形图形，故②正确； ③平行四边形不一定是矩形，故③正确； ④存在无数个平行四边形ABEF，故④正确； 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，熟记各定理是解题的关键． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别按要求画出图形． (1)在图1中画出一个以为边的矩形，且点C和点D均在格点上； (2)在图2中画出一个以为对角线的菱形，且点E和点F均在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图的应用与设计，掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的判定作图即可； （2）根据菱形的判定作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，矩形即为所求； （2）如图所示，菱形即为所求； 4．（2025·辽宁本溪·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【详解】（1）解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 【典型例题三 添一条件使四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，四边形是平行四边形，添加下列条件后，可以得到四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据矩形判定性质逐一判断即可，熟知矩形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：A、，平行四边形是菱形，故该选项不符合题意； B、四边形是平行四边形，， ，， 平行四边形是矩形，故该选项符合题意； C、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； D、四边形是平行四边形，，故该选项不符合题意； 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·山东济南·期末）如图，四边形为平行四边形，延长到E，使，连接，，，添加一个条件，不能使四边形成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键． 先证明四边形为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， 又∵， ∴，且， ∴四边形为平行四边形， A.∵，， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； B.∵对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项符合题意； C.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意； D.∵， ∴， ∴为矩形，故本选项不符合题意， 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·辽宁营口·期中）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，且，连接，，，．若添加一个条件使四边形是矩形，则该条件可以是 ．（填写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质．根据平行四边形的判定和性质定理以及矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：， 理由：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴． 即． ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 故答案为：（答案不唯一）． 【例4】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，在矩形中，，，点P从点D出发沿向终点A运动；点Q从点B出发沿向终点C运动．P，Q两点同时出发，它们的速度都是2．连接，，．设点P，Q运动的时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形？ (2)当t为何值时，四边形是菱形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题是四边形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、矩形的判定，菱形的判定，勾股定理和动点问题，解题的关键是熟练掌握以上知识点． （1）当四边形是矩形时，，据此求得t的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间t． 【详解】（1）解∶P，Q两点同时出发，它们的速度都是， ， ， 四边形是矩形 ，即， 解得； （2）解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ， 在中，， 即 ， ． 解得． 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，过四边形的四个顶点分别作对角线、的平行线，若所围成的四边形是矩形时，原四边形必须满足的条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的判定，平行公理及推论等知识点，能证出四边形为平行四边形和是解此题的关键， 由平行公理的推论求出，，推出平行四边形，证出即可得解． 【详解】解：添加的条件是， ∵，， ∴， 同理， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 平行四边形是矩形， 故选：． 2．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是 ．（填上所有满足条件的序号） 【答案】①②④ 【分析】根据平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故①正确． ∵,， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故②正确． ∵， ∴四边形是菱形， 故③错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， 故④正确． 故答案为：①②④． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形为平行四边形，点为延长线上一点且．连接、、．求证： (1)四边形为平行四边形； (2)当满足________条件时，四边形是矩形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当满足时，四边形是矩形，证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的性质，矩形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，因为，所以，再结合，即可得证； （2）当满足时，四边形是矩形，由平行四边形的性质得，因为，所以，再结合四边形是平行四边形，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：当满足时，四边形是矩形， 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 4．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形中，对角线，，相交于点O，若E，F是上两动点，分别从A，C两点以相同的速度向C、A运动，其速度为． (1)证明：当E在上运动，F在上运动，且E与F不重合时，四边形是平行四边形； (2)点E，F在上运动过程中，以D、E、B、F为顶点的四边形是否可能为矩形?如能，求出此时的运动时间t的值；如不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形为矩形，此时或 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定、一元一次方程的几何应用，熟练掌握平行四边形的性质是解答的关键． （1）证明，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证得结论； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 由题意，， ∴， ∴，又， ∴四边形是平行四边形； （2）解： 能为矩形， ∵四边形是平行四边形， ∴只需时，四边形是矩形； ∵，，， ∴，解得． 当点E到F位置上，点F到E位置上， ，解得：； 【典型例题四 求矩形在坐标系中的坐标】 【例1】（2025·湖北宜昌·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转，矩形的性质．先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到B点的坐标规律即可． 【详解】解：， ． 将矩形绕点O逆时针旋转，如图 可知：，…， 则：每旋转4次则回到原位置， ， 即：第2025次旋转结束时，完成了506次循环，与的位置相同， 的坐标为． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O是坐标原点，点A、C的坐标分别是，，点B在第一象限，则点B的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得出点B的坐标即可． 【详解】解：∵四边形OABC是矩形， ∴OC=AB，CB=OA， ∵点A，C的坐标分别是（6，0），（0，3）， ∴AB=3，OA=6， ∴点B坐标为（6，3）， 故选：B． 【点睛】此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质得出点B的坐标． 【例3】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，四边形是矩形，三点的坐标分别是，，，对角线交点为，则点的坐标是 ．    【答案】 【分析】根据题意，可得，由中点坐标公式直接求解即可得到答案． 【详解】解：四边形是矩形，三点的坐标分别是，，， ， 矩形对角线交点为， 由平面直角坐标系中中点坐标公式可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质及中点坐标公式，熟记矩形性质及中点坐标公式是解决问题的关键． 【例4】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）如图，已知为坐标原点，四边形为长方形，，点是的中点，点在线段上运动． （1）写出点的坐标； （2）当是腰长为5的等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）A（10，0），B（10，4），C（0，4）；（2）（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【分析】（1）根据矩形的性质可得BC=OA=10，AB=OC=4，从而求出各点坐标； （2）先求出OD，然后根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别利用三线合一、勾股定理等知识即可分别求出结论． 【详解】解：（1）∵四边形为长方形， ∴BC=OA=10，AB=OC=4 ∴A（10，0），B（10，4），C（0，4）； （2）∵点是的中点， ∴OD= ①当时，过点P作PE⊥OA于E，PE垂直平分 此时OE=，PE=OC=4 ，不符合题意，舍去； ②当OP==5时，点就是以点为圆心，以5为半径画弧与的交点， 在中，， 则的坐标是（3，4）； ③当DP==5时，点就是以点为圆心，以5为半径的弧与的交点，此时点P有两种情况，过作于点， 在中，， 当在的左边时，， 则的坐标是（2，4）； 当在的右侧时，， 则的坐标是（8，4）， 故的坐标为（3，4）或（2，4）或（8，4）． 【点睛】此题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握矩形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理是解题关键． 1．（2025·河南开封·模拟预测）如图所示，在平面直角坐标系中，为长方形，其中点A，C的坐标分别为，且轴交y轴于点M，轴交x轴于点N．一动点 P 从点A 出发，以 个单位长度/秒的速度沿向点 B 运动，在某一时刻t，的面积等于长方形面积的，此时点 P的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，矩形的性质，根据矩形的性质可得轴，则，据此可得，，再求出，得到，根据的面积等于长方形面积的，得到，可得，则． 【详解】解：∵四边形为长方形，轴，轴， ∴轴， ∵点A，C的坐标分别为， ∴， ∴，， ∵轴交y轴于点M， ∴， ∴， ∵的面积等于长方形面积的， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建南平·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC平行于x轴，边OA与x轴正半轴的夹角为30°，AC＝6，则点A的坐标是 ． 【答案】（，） 【分析】由矩形的性质得出∠AOC＝90°，由平行线的性质得出，∠OAC＝30°，由含30°角的直角三角形的性质得出OA，再求出OD、AD，即可得出结果． 【详解】解：如图所示： ∵四边形OABC是矩形， ∴∠AOC＝90°， ∵AC∥x轴， ∴∠OAC＝30°，∠ODA＝90°， ∵AC＝6， ∴OC＝AC＝3， ∴OA＝OC＝3， ∴OD＝OA＝， ∴AD＝OD＝， ∴点A的坐标是（，）； 故答案为：（，）． 【点睛】考核知识点：矩形性质．理解矩形性质和直角三角形性质是关键． 3．（24-25九年级上·辽宁本溪·期末）如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，O为原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA＝10，OC＝8，在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处． （1）求CE的长； （2）求点D的坐标．    【答案】（1）4   （2）（0，5） 【分析】（1）根据轴对称的性质以及勾股定理即可求出线段C的长； （2）在Rt△DCE中，由DE＝OD及勾股定理可求出OD的长，进而得出D点坐标． 【详解】解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ∴在Rt△ABE中，AE＝AO＝10，AB＝8， ∴BE＝， ∴CE＝BC﹣BE＝4； （2）在Rt△DCE中，DC2+CE2＝DE2， 又∵DE＝OD， ∴， ∴OD＝5， ∴．    【点睛】本题主要考查勾股定理及轴对称的性质，关键是根据轴对称的性质得到线段的等量关系，然后利用勾股定理求解即可． 4．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上，，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止，Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动到点O停止，设运动时间为t秒． （1）B点的坐标为___________，_________，___________（用含t的代数式表示线段与线段的长度） （2）当t为怎样的值时，的面积不小于的面积？ （3）的面积可以等于36吗？如果可以请你求出对应的t值，如果不可以请说明理由． 【答案】（1）B点的坐标为，；（2）当时，的面积不小于的面积；（3）的面积不可以等于36，理由见解析 【分析】根据矩形的长和宽表示点B的坐标，根据速度和时间表示：，，可得结论； 根据的面积不小于的面积，列不等式，代入面积公式可得t的值，并根据已知确定t的取值范围； 先根据的面积为36，列方程解出t=8， 根据内即可得出结论． 【详解】解：（1）长方形的两边分别在x轴和y轴的正半轴上， ∴AB=OC=6，OA=9， ∴B点的坐标为， ∵P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动， Q在线段上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， ∴OP=1.5t，CQ=t， ∴， 故答案为（9，6）；；； （2）∵， ， 若， 即， 解得， ∵点P在线段上沿方向以每秒1.5个单位长度的速度匀速运动，运动到点A停止， ∴， ∴， ∴当时，的面积不小于的面积； （3）的面积不可以等于36，理由如下：   ∵， 若， 则， ∵， ∴的面积不可以等于36． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了三角形的面积求解，矩形的性质，点的坐标特点，图形动点运动问题，难度适中，准确利用动点表示出线段的长度是解题的关键． 【典型例题五 斜边的中线等于斜边的一半】 【例1】（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，点是的中点，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半．直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：，点是的中点， ， ， ． 故选：D． 【例2】（24-25九年级上·辽宁本溪·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米，则M，C两点间的距离为（    ） A．3千米 B．4千米 C．12千米 D．距离不确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，据此可得答案． 【详解】解：∵公路互相垂直，公路的中点M与点C被湖隔开，若测得的长为6千米， ∴千米， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·湖北恩施·期中）如图，王大爷开辟了一块直角三角形的菜地种蔬菜，用栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分．若，，，则栅栏的长为 m． 【答案】6.5 【分析】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题关键是熟记相关性质，求出斜边长． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵栅栏将三角形菜地分成面积相等的两部分， ∴是斜边上的中线， ∴， 故答案为：6.5． 【例4】（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）如图，点B在线段上，点E在线段上，，，，M，N分别是的中点． (1)求证：； (2)试探索和的数量关系和位置关系，并证明你的结论． 【答案】(1)详见解析 (2)且，详见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，得到，根据等边对等角和全等三角形的性质进行等量代换即可证明． 本题考查了全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 【详解】（1）证明：在和中， ， （2），， 理由如下： 由（1）可知 ，， M，N分别是的中点， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ． 1．（2025·河南开封·模拟预测）如图，在中，，，点D是的中点，将沿折叠，得到，连接，则的长度为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接交于，作于，首先证明垂直平分线段是直角三角形，求出，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接交于，作于， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由翻折得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分线段是直角三角形， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在中，． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积求高，属于中考常考题型． 2．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）如图，菱形中，对角线与相交于点，按如下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点、，再分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交点为，作射线，交于点，连接，若，，则菱形面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查尺规作垂线、菱形的性质、直角三角形的中线性质，根据作图过程得到是解答得关键．先根据菱形的性质，，再由作图过程得，然后利用直角三角形的中线性质得到，进而利用菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， 由作图过程得， ∴， ∴， ∴，又， ∴菱形面积为． 故答案为：20． 3．（24-25九年级上·广东佛山·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．由直角三角形斜边中线的性质推出，，即可证明． 【详解】证明：，， ， 为的中点， ，， ． 4．（2025九年级上·辽宁·专题练习）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再证明，即可得出结论； （2）连接，过点O作于点G，于点H，由等腰直角三角形的性质得，平分，，则，，，得，，再分两种情况，①点F在线段上时，证明，得，则；②点F在线段上时，同理可证，得，则；即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则， ∵，点O为中点， ∴，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 分两种情况： ①点F在线段上时， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②点F在线段上时， 同理可证：， ∴， ∴； 综上所述，的长为1或3． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【典型例题六 矩形与折叠问题】 【例1】（2025·安徽宣城·模拟预测）如图，将矩形纸片的两个直角和分别沿直线，折叠，折叠后点A，B的位置分别是点，，若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与翻折，利用角度的转换即可解答，熟练利用翻折前后的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：由折叠可知，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期中）如图，矩形中，，E是上一点，把沿直线翻折，D点恰好落在边上的F点处，则_______． A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，，，可得，这样得，设，则，利用勾股定理计算即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，熟练掌握勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵矩形中，， ∴，，， ∴， ∴， 设，则， 则， 解得， 故选：A． 【例3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在矩形中，点、分别为、上一个动点，以为对称轴折叠，使点的对称点落在上，若，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理．分两种情况讨论，①当点E在B点时，此时最小，利用勾股定理求得，设，则，，在中，利用勾股定理列式计算求解即可；②当点F在D点时，此时最大，的长为3，据此求解即可． 【详解】解：①当点E在B点时，将沿直线折叠，使得点C恰好落在边上的点P处，如图①， 此时最小，则， 在中，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得； ②当点F在D点时，将沿直线折叠，使得点C恰好落在边上的点P处，如图②， 此时最大，的长为3， ∴的取值范围为． 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）已知在矩形纸片中，，点P在边上，连接．将该纸片沿折叠，使点B落在点E的位置，设与与直线的交点为Q． (1)如图①，当点P与点A重合时，连接． ①求的长； ②求的长； (2)如图②，当点P与点A不重合时，连接．若为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)①5；②； (2)或或4 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，等角对等边，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）①由折叠的性质可得，利用矩形的性质求出，，则可证明 ，得到，在中利用勾股定理建立方程求解即可；②过点E作于H，由折叠的性质可得，求出，利用等面积法得到，再求出，得到，则； （2）分，，三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①由折叠的性质可得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； ②如图所示，过点E作于H， 由折叠的性质可得， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， 在中，由勾股定理得， ∴； 当时，由折叠的性质可得，， ∴， ∴； 当时，在中， ∴； 综上所述，的长为或或4． 1．（2025·山西吕梁·模拟预测）如图，将矩形沿翻折，使点C的对应点与点A重合，点D的对应点为，若，，则折痕的长为（   ） A．6 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了勾股定理，由题意得，根据可求出；作，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵ ∴， 解得：， ∴，， 作，如图所示： 则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．（24-25九年级上·山东日照·阶段练习）根据国际标准，A系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…，将纸按如图所示的方式折叠． 观察图1的折叠过程，可知纸矩形的长与宽的比值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查折叠的性质，正方形的性质，勾股定理. 根据折叠的性质可知四边形为正方形，，再结合勾股定理即可求出，即纸的长宽之比为； 【详解】解：由题意可知：第一次折叠，形成一个正方形，即四边形为正方形， ∴． 第二次折叠，得出， ∴， 即纸的长是宽的倍． 故答案为： 3．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，在矩形中，，，将矩形折叠，折痕为，使点C与点A重合，点D与点G重合，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)求线段的长． 【答案】(1)菱形，见解析 (2)5 【分析】题目主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据矩形的性质，可知，进而可得，根据折叠的性质可知，则，进而可得，又，根据四边相等的四边形是菱形即可判断； （2）设，则，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）四边形是矩形， ， ， ∵折叠， ∴，， ， ， ， 四边形是菱形； （2）设，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴． 4．（24-25九年级上·广西防城港·期中）【综合与实践】综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)操作与证明： ①如图①所示，小华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张三将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)迁移应用： 如图③所示，李四将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)①；②证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）①根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； ②根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，，结合菱形的判定方法即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，由全等的性质得到，如图所示，过点作于点，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 由（2）得到， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 【典型例题七 证明四边形是矩形】 【例1】（24-25九年级上·河北张家口·期中）如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·甘肃白银·期末）在数学活动课上，小明准备用绳子和三角尺检查一个书架是否为矩形．如图，已知书架是平行四边形，对角线，相交于点，下列验证方法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的判定和平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．根据矩形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形，故A符合题意； 四边形是平行四边形， ， ， ， 平行四边形是矩形，故选项B不符合题意； ，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形，故选项C不符合题意； 由四边形是平行四边形，，不能判定平行四边形是矩形，故D符合题意． 故选D． 【例3】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）如图，小美用钉子将四根木棍订成了一个平行四边形框架，现固定，转动． 当 时，四边形的面积最大，此时四边形是 形． 【答案】 90 矩 【分析】本题考查了矩形的判定，过作于点，再根据题意，当即可求解，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， 根据题意可得：的面积为， ∵不变， ∴当时，面积最大， ∴， ∴是矩形， 故答案为：90，矩． 【例4】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）根据下图所标注的数据，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形为矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，根据两对边相等，可得四边形为平行四边形，根据，可得四边形为矩形，熟知矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形，理由如下： 根据图形可得， 四边形为平行四边形， 根据图形可得， 四边形为矩形． 1．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，四边形的对角线，相交于点，且，则下列条件能判定四边形为矩形的是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键．矩形的常用判定方法有：对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是90度的平行四边形是矩形；有三个角是90度的四边形是矩形．据此逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故本选项符合题意； C、由，无法判断四边形是矩形，故不符合题意； D、由，，，无法判断四边形是矩形，故不符合题意． 故选：B． 2．（24-25九年级上·江西吉安·阶段练习）如图，□的四个内角的平分线相交，如能构成四边形，则这个四边形是 ． 【答案】矩形 【分析】本题考查平行四边形的性质和矩形的判定．利用平行四边形的性质得出即可证明四边形是矩形． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴ ∴． ∵分别平分， ∴，即． 同理可证， ∴四边形是矩形． 故答案为：矩形． 3．（2025·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，点D是延长线上一点，，过点A和点D分别作，和相交于点E，连结．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定等知识；先证明四边形是平行四边形，得；再证明四边形是平行四边形，最后由即可证明四边形是矩形． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形． ． ， ． ， 四边形是平行四边形． ， 是矩形． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，平行四边形，延长至，延长至，使，连接、． (1)证明：； (2)若是中点，平分，则边与满足什么数量关系时，四边形是矩形？证明你的结论． 【答案】(1)见解析； (2)，证明见解析． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质是关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，且，由此即可求证； （2）根据题意得到四边形是平行四边形，设，，由勾股定理得到，则，结合矩形的判定即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ． （2）解：，理由如下， 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 平分， ， ， ， ， ，   ∵是中点， ， 设，， ， ， ， 平行四边形是矩形． 【典型例题八 根据矩形的性质与判定求角度】 【例1】（24-25九年级上·江西抚州·期中）两个矩形的位置如图所示，若则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由补角的定义可得，由题意可得，，则有，即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，余角与补角，解答的关键是明确互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180° 【例2】（24-25九年级上·广西贵港·期末）为了研究特殊四边形，刘老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C，B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，刘老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2），观察所得到的四边形，下列结论：①∠BCA＝45°；②AC的长度变小；③AC＝BD；④AC⊥BD．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据平行四边形和矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， AB与BC不一定相等， ∴∠BCA不一定45°，故①错误； AC的长度变小，故②正确； ∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，故③正确； 矩形对角线不垂直，故④错误； 综上，正确的有②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质，弄清图形变化后的变量和不变量是解答此题的关键． 【例3】 （24-25九年级上·吉林长春·期末）如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为 度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【例4】（24-25九年级上·全国·单元测试）如图所示，工人师傅将门砌到一定高度时，质检员要测一下门的四个角是否都为直角，请你帮质检员想一个检测的办法，并说明理由．    【答案】先测量，，，，，的长度，若，，，则门的四个角都是直角，理由见解析 【分析】利用对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， 当时，平行四边形为矩形， 这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键． 1．（2025·河北唐山·模拟预测）将矩形绕点顺时针旋转，得到矩形．当时，下列针对值的说法正确的是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上，分两种情况讨论，依据∠DAG=60°，即可得到旋转角α的度数． 【详解】如图，当GB=GC时，点G在BC的垂直平分线上， 分两种情况讨论： ①当点G在AD右侧时，取BC的中点H，连接GH交AD于M， ∵GC=GB， ∴GH⊥BC， ∴四边形ABHM是矩形， ∴AM=BH=， ∴GM垂直平分AD， ∴GD=GA=DA， ∴△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=60°； ②当点G在AD左侧时，同理可得△ADG是等边三角形， ∴∠DAG=60°， ∴旋转角α=360°-60°=300°， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质的运用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 2．（24-25九年级上·山东滨州·期中）如图，在中，对角线AC、BD相交于点O，OA=OB，若AD=4，∠AOD=60°，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】由题意可知，平行四边形的对角线互相平分且相等，则ABCD为矩形，三角形ADO为等边三角形，则BD=8，在中，应用勾股定理即可求解． 【详解】解： ， ， ， 即 ， 则四边形ABCD为矩形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点E，F分别在，上，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，且，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质 ，勾股定理等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形证明即可； （2）先利用矩形的性质，求出，再证明四边形是菱形，设，则，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形； （2）解：，， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 的长为． 4．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在中，，延长至，使，过点，分别作，，与相交于点．下面是两位同学的对话：    小星：由题目的已知条件，若连接，则可证明． 小红：由题目的已知条件，若连接，则可证明．    这两位同学的说法都正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由． 【答案】这两位同学的说法都正确，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定以及性质，矩形的判定以及性质，连接，，先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明四边形是矩形，根据矩形得性质得出，，进而即可证明． 【详解】这两位同学的说法都正确，证明如下， 证明：如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， 又∵，点D在的延长线上， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴． 【典型例题九 根据矩形的性质与判定求线段长】 【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）如图，正八边形的边长为，对角线、相交于点．则线段的长为（      ）    A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形的内角、矩形的判定和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系解题即可． 【详解】解：如图，过点作于，    由题意可知，四边形是矩形， 由正八边形的性质知，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴是等腰直角三角形， 同理，也是等腰直角三角形， 又∵四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 同理， ∴．   故选：C ． 【例2】（24-25九年级上·北京西城·期中）如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴动点从点运动到点的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·新疆喀什·期中）如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高的树顶飞到另一棵高的树顶上，若两棵树相距，则小鸟至少要飞 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的性质与判定，过点作于C，则可证明四边形矩形得到的长，再求出的长，最后利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于C，    ∵， ∴四边形矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， 则小鸟至少要飞， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）感应灯是一种通过感应模块自动控制光源点亮的一种新型智能照明产品，当人（或动物）移至灯一定距离时灯亮，人走开灯灭，给人们的生活带来了极大的方便，如图，有一个由传感器A控制的灯安装在门的上方，离地面高米的墙壁上，当人移至距离传感器A控制的灯5米及5米以内时，灯就会自动点亮，如果一个身高米的人走到点D处时，米，传感器A控制的灯刚好亮，求此时人到门的距离的长． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．过人的头顶点C作于点E，则，证明四边形为矩形，得出，，根据勾股定理得出． 【详解】解：过人的头顶点C作于点E，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得： ， ∴． 1．（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图．在四边形中，，，，．．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动，当点P当到达点D时，两点停止运动．在此运动过程中，出现和的次数分别是(　　) A．3，6 B．3，7 C．4，6 D．4，7 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，根据题意分别求得和的情形，分类讨论，即可求解． 【详解】解：设点P的运动时间为t， ∵，点P从点A出发，以的速度向点D运动，当点P当到达点D时，P、Q两点停止运动． ∴秒，，则， ∵，点Q从点C同时出发，以的速度在线段上来回运动， ∴， 当时，则四边形是平行四边形， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当时，点Q从B到C运动，， ∴， 解得：， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：(舍去)， ∴能出现三次， 如图所示，过点P，D分别作的垂线，垂足分别为F，E， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴中，， 当时， 在中，， ∴， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从B到C运动，， ∴，解得：或， 当时，点Q从C到B运动，， ∴，解得：或， 当，点Q从B到C运动，， ∴，解得：（舍去）或（舍去）， ∴能出现6次， 故选：A． 2．（24-25九年级上·福建莆田·期末）如图，在矩形中，平分交于点E，在上取点F，使得，连接，以为腰作等腰直角三角形，点G恰好落在边上，则的长为 【答案】 【分析】如图，过点作交于点，交于点，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是矩形，得出，根据角平分线和平行线性质得出，是等腰直角三角形，即可得，根据三角形是等腰直角三角形，得出，证明，从而得出，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了矩形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 3．（24-25九年级上·河南焦作·阶段练习）2025武汉国际传感器展将于10月11日~13日举办，以“新质势能，智链全球”为主题，开启智能制造的未来之路．如图，某自动感应门的正上方处装有一个感应器，离地面的高度为，一名学生竖直站立在处时，感应门自动打开了；此时这名学生离感应门的距离为，头顶离感应器的距离为；求这名学生的身高． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质与判定，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，过点作于，可证四边形是矩形，根据勾股定理，求出长，即可解答． 【详解】解：如图，连接，过点作于． 由题意可知，， 四边形是矩形． ，． 在中，， 由勾股定理，得： ， 为， ． ． 答：这名学生的身高为． 4．（24-25九年级上·吉林松原·期中）某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，并画出如图所示的示意图，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得，，过点作于点．计算人工湖两端点之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理应用，涉及矩形判定与性质，过点作于点，如图所示，由矩形判定得到四边形是矩形，进而由矩形性质得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟记矩形判定与性质、勾股定理求线段长是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ． 、均垂直于， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，，，则由勾股定理得． 【典型例题十 根据矩形的性质与判定求面积】 【例1】（24-25九年级上·全国·单元测试）矩形中，，交于M，交于N，在上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是（    ）    A．10 B．5 C． D． 【答案】B 【分析】先证明四边形是矩形，得到，同理可得，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 同理可证， ∴ ， 故选B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键． 【例2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，在矩形中，E，F，G，H分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质推出，得到平行四边形，推出，，同理得到，，推出，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：连接、， ∵矩形， ∴，， ∵H、F分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形的面积是 ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出、的长和是解此题的关键． 【例3】（2025·浙江台州·模拟预测）如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为 ． 【答案】8 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′， ∴四边形B′C′CB为平行四边形， ∵BB′⊥BC， ∴四边形B′C′CB为矩形， ∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC =S矩形B′C′CB =4×2 =8(cm2)． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【例4】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图1，在中，，于点C，点E是的中点，连接并延长，使，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)如图2，点H为的中点，连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形进行证明即可； （2）根据中点的性质得出四边形的面积等于两个三角形的面积和，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形． （2）解：由（1）得， ∵，， ∴ ∵点E是的中点，点H为的中点， ∴，， 四边形的面积等于． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，解题关键是熟练运用矩形的判定定理进行推理证明，利用矩形和中点的性质求出面积． 1．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，四边形中，对角线，且，点E、F、G、H分别为边的中点，则四边形的面积是（　　） A．24 B．12 C．10 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，三角形中位线定理，先由三角形中位线定理得到，同理可得，，进而证明四边形是平行四边形，再证明，得到四边形是矩形，最后利用矩形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵点E、F是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积为， 故选：B． 2．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】24 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点M作于H，交于G， ∵四边形是矩形，， ∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴， ∴， ，，，，， ∵， ∴， ∴，即图中阴影部分的面积和为， 故填：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）已知：如图，平行四边形的对角线相交于点，，，且．      (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． （1）根据已知条件得出，进而得到，再结合平行四边形的性质，得出，即可证明结论； （2）根据矩形的性质，易证是等边三角形，进而得到，，再证明四边形是平行四边形，从而推出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 4．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）【探究与应用】 我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现有很多结论．如图，在平行四边形中，，将沿直线翻折至，连接，与相交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)如图，与相交于点，若，，，求的面积； (4)如果，，当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)； (4)或或． 【分析】（）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过平行线的性质和等腰三角形的判定即可求证； （）由折叠性质可知：则，由平行四边形的性质可得，通过等腰三角形的性质得，从而求证； （）先证明四边形是矩形，得，，，设，则，再由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解； （）分当时，当时，当三种情况分析即可； 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，矩形的判定与性质和勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）由折叠性质可知：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）由折叠性质可知：， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，， 由（）得， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：，即， ∴， （4）如图，当时， 由折叠性质可知：， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 同（）理可证， ∴； 如图，当， 同理可证四边形是正方形， ∴； 综上可知：或或． 1．（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图，四边形为矩形，过A、C作对角线的垂线，过B、D作对角线的垂线，如果四条垂线段拼成一个四边形，那这个四边形为（    ） A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质、菱形的判定、三角形的面积计算，熟知菱形的判定是解答的关键．先根据矩形的性质得到，，再根据三角形的面积公式得到，进而利用四条边相等的四边形是菱形可得结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴四条垂线段拼成一个菱形， 故选：B． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，一个直角三角形的直角顶点和一个锐角顶点分别叠放在一矩形的一组对边上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的和差计算和平行线的性质，属于基础题目，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先据平行线的性质可得，再根据角的和差求出，进而可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·福建南平·期中）如图，在矩形中，，点是对角线的中点，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，连接，则为（　　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据矩形的性质设，则，结合，得出，在中，勾股定理求出，则，根据折叠可得：，证出，根据等腰三角形三线合一得出，设，则，，在中，根据勾股定理得出，在中，勾股定理求出，即可求解； 【详解】解：在矩形中，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴， ∵点是对角线的中点，， ∴， 设，则，， 在中，， 则， 解得：， 在中，， 则； 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 4．（2025·河北·模拟预测）在中，，点是的中点．动点从三角形某点出发，沿三角形的边按每秒2个单位长度逆时针运动，设运动时间为，线段长度为，则与的函数图象如图所示．已知点的坐标是，点的坐标是，那么点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了动点问题函数图象，直角三角形斜边中线的性质，矩形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，过点D作交于点，过点D作交于点，连接，首先求出，然后由图象判断出动点从点A出发，然后由点的坐标是，求出此时点F和点重合，得到，然后判断出点N表示的是当点F和点重合时，求出，，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点D作交于点，过点D作交于点，连接 ∵在中，，点是的中点 ∴ 由图象得，动点从点A出发，沿三角形的边按每秒2个单位长度逆时针运动， ∵点的坐标是， ∴当时，线段长度 ∴此时点F和点重合 ∴ ∴ 由图象得，点P表示的是点F和点D重合时，点N表示的是当点F和点重合时 ∵，， ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴运动时间 ∴点的坐标是． 故选：B． 5．（24-25九年级上·北京东城·期末）画一个四边形，使得该四边形的面积等于已知图形面积的一半． （1）如图1，已知等腰，D，E分别是的中点，画四边形； （2）如图2，已知四边形，．四边的中点分别为E，F，G，H，画四边形； （3）如图3，已知平行四边形，点E，G分别在上，且．点F，H分别在上，画四边形． 以上三种画法中，所有正确画法的序号是（    ）    A．（1）（3） B．（2） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】C 【分析】如图1所示，连接，证明，进而得到，即可推出；如图2所示，设交于O，先求出 ，利用三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，再证明，得到四边形是矩形，则；如图3所示，连接，证明四边形是平行四边形，得到，再由，得到，同理可得，则． 【详解】解：如图1所示，连接， ∵E是的中点， ∴， ∴，即， ∵， ∴，故（1）画法错误；    如图2所示，设交于O， ∵， ∴ ， ∵分别是的中点， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，故（2）画法正确；    如图3所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴ ∴，故（3）画法正确； 故选C．    【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知相关知识是解题的关键． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，矩形中，对角线相交于点 O，，则 度． 【答案】25 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边对等角，根据矩形的性质可得，再由等边对等角求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵矩形中，对角线相交于点 O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：25． 7．（24-25九年级上·重庆江津·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 8．（24-25九年级上·重庆·期中）如图，在Rt中，，点为上一点，连接，过点作于点，过点作交的延长线于点，若，则的长度为 ． 【答案】19 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线的性质等知识，正确作出辅助线是解题关键．在线段上取点，使得，连接，证明，易得，进而可知为等腰直角三角形，结合“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，在线段上取点，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：19． 9．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，是轴正半轴上的一个动点，是等腰直角三角形，，是点正上方一点，连接，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，轴于点，证明得，证明四边形是矩形得，然后根据即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，轴于点， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 10．（2025·广东·模拟预测）中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则 ． 【答案】 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 11．（2025·陕西宝鸡·模拟预测）如图，在矩形中，是边的中点，连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得到，，由是边的中点，得到，再利用全等三角形判定得出，即可证明． 【详解】证明：矩形， ，， 是边的中点， ， 在和中， ， ． 12．（24-25九年级上·广东中山·期中）如图是一座人行天桥引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行且与地面成角的楼梯、和一段水平平台构成．已知水平平台，引桥水平跨度．若与地面垂直的平台立柱的高度为，求、的长度．（结果保留根号）    【答案】， 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，根据题意作出恰当的辅助线构造含的直角三角形求得，的长度是解题的关键． 【详解】解：过点作，延长交于，    由题意可知，，，，，， ∴四边形是矩形，则， 又∵，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， 则， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理可得：，即：， ∴， ∴． 13．（24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，是边上一动点，将沿折叠得到． (1)连接，若，求此时的面积； (2)①若点，，在同一直线上，求此时的长度． ②若射线与矩形的边交于点，当时，求的长． 【答案】(1)15 (2)①2；②的长为或． 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得到，过点作于点，求出，即可求解； （2）①利用勾股定理求出，证明，利用全等三角形的性质，即可得出结果； ②分当点在边上时，当点在边上时，两种情况讨论，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由折叠知， ∴， ． 如图1，过点作于点， ， ； （2）解：①如图2， 由折叠知， ． ， ． 又，， ， ， ， ； ②如图3，当点在边上时， 设，则，， ， ； 如图4，当点在边上时， 设，则，， ， ． 综上所述，的长为或． 14．（24-25九年级上·河南南阳·期末）如图，在中，D，E分别为AC，BC的中点，延长DE到F，使，连接BD，CF，BF， (1)求证：四边形BDCF为平行四边形； (2)当满足条件__________时，四边形BDCF为矩形； (3)当满足什么条件时，四边形ABFD为菱形？并给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)AB=BC (3)当AC=2AB时，四边形ABFD为菱形 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可证明结论； （2）根据等腰三角形的三线合一的性质可得，当AB=BC时，可证明∠BDC=90°，从而四边形BDCF为矩形； （3）根据三角形中位线定理知，由四边形BDCF为平行四边形，可得，则四边形ABFD是平行四边形，再由AC=2AB，可得AD=AB，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵点E是BC的中点， ∴CE=BE， ∵EF=DE， ∴四边形BDCF为平行四边形； （2）解：当AB=BC时，四边形BDCF为矩形； ∵AB=BC，点D为AC的中点， ∴BD⊥AC， ∴∠BDC=90°， ∴四边形BDCF为矩形； 故答案为：AB=BC； （3）解：当AC=2AB时，四边形ABFD为菱形； ∵D，E分别为AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴， ∵四边形BDCF是平行四边形， ∴， ∴四边形ABFD是平行四边形， ∵AC=2AB， ∴AD=AB， ∴四边形ABFD是菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，矩形和菱形的判定，等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形和菱形的判定定理是解题的关键． 15．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图1，已知长方形，，，，为边的中点，为长方形边上的动点，动点从出发，沿着运动到点停止，设点经过的路程为，的面积为． (1)当时，求对应的值； (2)如图2、3、4，求出当点分别在边、和上时，与之间的关系式； (3)如图5，当在线段上运动时，是否存在一点，使得的周长最小？若存在，请在图5中用直尺和圆规画出点的位置，并求出此时的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)11 (2) (3)存在，理由见详解； 【分析】（1）根据计算出BP的值，再计算出PC的值，分别算出、、和长方形ABCD的面积，即可计算出的值； （2）当点P在AB上运动时，可直接计算出的面积，当点P在BC上运动时，，当点P在EC上运动时，先计算出EP，可直接得到y的表达式，根据三种情况分别计算即可； （3）延长AB，用圆规以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，与射线AB交于点，用直尺画直线连接交BC于点P，点P即所求的点，再根据等腰直角三角形的性质可以求得． 【详解】（1）解： 当时，点P在BC上，且BP=1，如下图所示， ， ， ， ∵， ∴， ∴当时，； （2）当点P在AB上运动时，如图2所示，，， ∴当时，； 当点P在BC上运动时，如图3所示， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在EC上运动时，如图4所示，过点P作，交AB与点F， 得， ∴ ∴， ∴． （3）存在点P，使得的周长最小， 如下图所示，延长AB，用圆规以点B为圆心，以AB为半径画圆弧，与射线AB交于点，用直尺画直线连接交BC于点P，点P即所求的点， ∵, ∴是的垂直平分线， ∴, ∵，其中AE的长不变， ∴， ∴当、P、E三点在同一条直线上时，的周长最小; 如下图所示，过点E作， ∴, ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∴, ∴． 【点睛】本题考查三角形、长方形、等腰直角三角形的性质和垂直平分线的性质，解题的关键是能够根据不同的情况列出表达式． 学科网（北京）股份有限公司 $$