精品解析：湖南省邵阳市海谊中学2024-2025学年高三下学期期中考试数学试题

2025年海谊中学高三期中考试（数学） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，若复数是纯虚数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念直接得出，解之即可. 【详解】由复数为纯虚数， 得，解得. 故选：D. 2. 函数，的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求解的对称轴,再分析的单调性得出值域即可. 【详解】的对称轴为,故在时为增函数. 故当时,当时. 故值域是. 故选：C 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域问题,属于基础题. 3. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解. 【详解】曲线C：等价于或或或. 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 对于表示以和为顶点线段，其长度为， 所以曲线C：的周长为. 故选：D 4. 对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】计算，得到元素个数. 【详解】，则，则中元素的个数为 故选：C 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由圆的方程求圆心和半径，再由直线与圆相交的弦长得到圆心到直线的距离，再用点到直线的距离可得出结果. 【详解】由得圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径， 又直线与圆相交所得的弦， 则圆心到直线的距离， 即，解得. 故选：D. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】解： ，即且， ，当且仅当时取等号， 故选： 【点睛】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题． 7. 设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次函数的性质，可得，再根据正态曲线的对称性，即可求解. 【详解】函数有零点， 即方程有实根，得，即， 因为函数有零点的概率是0.5， 所以，由正态曲线的对称性知． 故选：B 8. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理变化角及三角形的内角和定理，再利用诱导公式及两角和的正弦公式，结合三角形内角的范围和三角方程即可求解. 【详解】由及正弦定理，得 , 所以, 所以, 即， 即，解得或, 当时，又，,所以或（舍），所以为等腰三角形; 当时，又，所以，所以为直角三角形; 综上所述，为等腰或直角三角形. 故选：D. 二、多选题（每题6分，正确按正确比例给分，选错不给分） 9. 下列说法正确是（ ） A. 线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱 B. 在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 独立性检验方法不适用于普查数据 D. 已知随机变量，若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用相关系数、决定系数的意义判断AB；利用独立性检验的意义判断C；利用正态分布的对称性求出概率判断D. 【详解】对于A，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，A错误； 对于B，在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，B正确； 对于C，普查数据可以准确地判断两个变量之间是否有关联，不需要进行独立性检验，C正确； 对于D，由随机变量，得，D正确. 故选：BCD 10. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，，则可能相交，A选项错误. 对于B，若，，则，B选项正确. 对于C，若，，则，C选项正确. 对于D，若，，则可能相交，D选项错误. 故选：BC 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上的点到轴的距离的最大值为1 C. 若，且点在上，则 D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据点代入判断对称性判断A，根据判断B，根据点在上计算1判断C，联立方程得出公共点计算判断D. 【详解】把点关于轴对称的点代入轨迹方程成立，A正确． 因为，所以，所以曲线上的点到轴的距离的最大值为1，正确． 因为，所以． 当时，因为点在上， 所以． 因为，所以，即． 当时，因为点在上，所以． 因为，所以．故1，C正确． 联立得． 当时，，当时，，即是曲线与圆的2个公共点． 因为曲线与圆只有2个公共点，所以方程除外没有其他解． 因为，所以4，所以，D错误． 故选：ABC. 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，，则向量与的夹角的正弦值为______. 【答案】 【解析】 【分析】设向量与的夹角为，然后根据条件求出、，然后根据算出，然后可得答案. 【详解】设向量与的夹角为，因为，所以， 又，，所以，所以， 因为， 所以. 故答案为： 13. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___． ①；② 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题目所给条件以及等比数列的知识求得正确答案. 【详解】依题意，是等比数列，设其公比为， 由于①，所以， 由于②，所以， 所以符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知椭圆：左，右焦点分别为，，为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意得到，进而得到，继而由是等边三角形求得，再利用椭圆的定义与离心率公式即可得解. 【详解】因为是等边三角形，所以， 又，所以，则是直角三角形，且， 又，，则， 又P在椭圆上，故，即， 所以，即椭圆E的离心率为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求圆锥曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出，代入公式； ②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得（的取值范围）． 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别证明，，再结合线面垂直、面面垂直的判定定理即可得证； （2）建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合向量夹角的坐标公式即可进一步求解. 【小问1详解】 由分别为棱的中点，得， 分别为棱的中点， 且，， 平面平面， 平面， 因为平面， 所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）知平面，又是等腰直角三角形，E是中点，， 以E为原点，为轴，建立空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面的法向量， ， 记平面与平面所成角为，， 平面与平面所成角的正弦值为. 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角B的大小； （2）若，求b的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）将结合正弦定理进行边化角，再由三内角和等于对式子进行化简，解得即可求出角的大小； （2）结合余弦定理得到的表达式，再结合基本不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 由，由正弦定理可得 又因为，所以， ， 则，又因为， 且． 【小问2详解】 在中，， 由余弦定理可得： （当且仅当时等号成立）． 又． 即b的取值范围为． 17. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 【答案】（1）3班进入决赛的可能性最大 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据概率乘法公式分别求出1班，2班，3班进入决赛的概率，比较大小确定结论； （2）先确定的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列. 【小问1详解】 1班进入决赛的概率为， 2班进入决赛的概率为， 3班进入决赛的概率为， 因为， 所以3班进入决赛的概率最大，所以3班进入决赛的可能性最大. 【小问2详解】 由（1）可知：1班、2班、3班进入决赛的概率分别为，，， 的可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 P 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，设不过点B的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且与互补为坐标原点. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 【答案】（1）； （2）①证明见解析，；②. 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的焦点，再利用椭圆的定义求解椭圆的方程. （2）①设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合计算推理得证；②由①中定点，求出面积的函数关系并借助于基本不等式求面积的最大值. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为， 则椭圆的焦点坐标为，半焦距，而椭圆过点， 于是，，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①，由（1）知，，设直线：（），， 由，得， ， 且，（*）， 由与互补，可得直线的斜率满足， 则， 则，则， 将（*）代入上式，可得，整理得，而，解得， 所以动直线恒过轴上的定点； ②由①知，，，且由可得， 又， 令，则， 因此，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为. 19. 已知数列的首项. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1）证明见解析， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推公式可得，进而可得数列是等比数列，利用等比数列通项公式，即可求出结果； （2）将等价于恒成立，即恒成立，只需要分析的单调性，即可求出结果； （3）构造函数，利用导数判断单调性，即可得到，即，然后结合对数运算和等比数列前项和公式，即可得证. 【小问1详解】 因，所以， 又因为， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以. 【小问2详解】 因为， 所以等价于， 即，令，则， 所以当时，， 所以为减函数， 而， 又因为恒成立，所以， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 令，所以， 所以在上单调递减，所以， 所以当时，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 将上式累加，得：， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年海谊中学高三期中考试（数学） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知，若复数纯虚数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 0或 D. 2. 函数，的值域是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 20 4. 对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知直线与圆相交于A，B两点，若，则m的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的最小值是（ ） A. 1 B. C. D. 10 7. 设随机变量服从正态分布，函数有零点的概率是0.5，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 二、多选题（每题6分，正确按正确比例给分，选错不给分） 9. 下列说法正确是（ ） A. 线性相关系数越小，两个变量的线性相关性越弱 B. 在线性回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好 C. 独立性检验方法不适用于普查数据 D. 已知随机变量，若，则 10. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于轴对称 B. 曲线上点到轴的距离的最大值为1 C. 若，且点在上，则 D. 若曲线与圆只有2个公共点，则的取值范围为 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知，，，则向量与的夹角的正弦值为______. 13. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列{}的通项公式＝___． ①；② 14. 已知椭圆：的左，右焦点分别为，，为坐标原点，若以为直径的圆与椭圆在第一象限交于点，且是等边三角形，则椭圆的离心率为______． 四、解答题 15. 如图，在三棱锥中，，，设分别为棱的中点，且． （1）求证：平面平面； （2）求平面与平面所成角的正弦值． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足． （1）求角B的大小； （2）若，求b的取值范围． 17. 某校运动会4*100接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛．已知1班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；2班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；3班在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和． （1）1班，2班，3班中哪个班级进入决赛的可能性最大？ （2）设三个班中进入决赛的班级数为，求的分布列． 18. 已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）椭圆的右焦点为，设不过点B的动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且与互补为坐标原点. ①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标； ②求面积的最大值. 19. 已知数列的首项. （1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）若恒成立，求实数的取值范围； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$