精品解析：2025年安徽省淮北市定准卷三模数学试题

数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中，比小1的数是（ ） A. B. C. 4 D. 6 2. 《中国冰雪旅游发展报告（2025）》预测：2024—2025冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数预计超5亿人次，旅游收入有望超过亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 7. 四张背面相同卡片上分别写有李商隐《夜雨寄北》的四句诗：“君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池．何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时．”将四张卡片背面朝上打乱洗匀，然后依次抽出四张卡片，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线与直线相交于点，，其中，若点在双曲线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：________． 12. 有一个圆形珠宝展柜，如图所示，商家在展柜边缘A处安装了一个监控摄像头，它的监控角度为．若要全方位监控圆形展柜，则至少要安装________个监控摄像头． 13. 在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为________． 14. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E为中点，连接并延长交的延长线于点F，与交于点M，连接，与交于点N，连接． （1）若，则________． （2）的长为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网络线的交点）上． （1）先把水平向右平移5个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度，得到，请画出． （2）将以AC边所在的直线为轴进行翻折，请画出翻折后的图形． （3）点P为AB上一点，请用无刻度直尺在上求作一点Q，使． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． （1）第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． （2）第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． （3）当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 18. 如图，一位渔民在靠近海岸拐角的地方围了一个天然养殖场是直的海岸线，，，．该渔民在附近海域选了一点D，用围网连接和，使．若，求所需围网的总长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： （1）写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． （3）直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 20. 是的直径，点C为的中点，弦交于点E． （1）如图1，连接，若，求证：． （2）如图2，过点A作的切线交的延长线于点F，若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 世界卫生组织采用体重指数作为衡量人体胖瘦程度标准，其计算公式为“体重指数=体重身高”[体重的单位为千克，身高的单位为米]，即，表示体重过低，表示体重正常，表示超重，表示肥胖．某校数学兴趣小组对本校七年级学生的体重指数进行了调查，他们从七年级学生中随机选出10名男生和10名女生，测量他们的身高和体重，并计算体重指数． 10名男生的： 10名女生的： 七年级20名学生频数分布表如下表所示，扇形统计图如图所示． 七年级20名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数、 A 2 1 B 5 7 C a b D c 0 （1）补充频数分布表中所缺的数据：________，________，________．扇形统计图中圆心角________． （2）已知该校七年级学生中男生有260人，女生有240人． ①估计该校七年级男生的人数； ②估计该校七年级学生中的人数． （3）根据以上统计数据，请你针对七年级学生的胖瘦程度提出一条合理化建议． 七、（本题满分12分） 22. 定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． （1）概念理解： ①请写出一个已学过“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． （2）概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到． （1）如图1，当边落在边上时，连接，则的度数是（用含的代数式表示）． （2）如图2，当时，若，，求的值． （3）如图3，当绕点按顺时针方向旋转时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学试题卷 注意事项： 1．本试卷满分为150分．考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共6页． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列各数中，比小1的数是（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，有理数的加减运算． 有理数大小比较的法则∶正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解∶ A．， 比小1，故符合题意； B．， 比大1，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选∶A． 2. 《中国冰雪旅游发展报告（2025）》预测：2024—2025冰雪季，我国冰雪休闲旅游人数预计超5亿人次，旅游收入有望超过亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：亿． 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，合并同类项，零指数幂，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 某几何体如图所示，下列各图不是该几何体的三视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，熟记三视图是解题关键． 根据三视图的定义求解即可． 【详解】解：A、是主视图，故不符合题意； B、是俯视图，故不符合题意； C、是左视图，故不符合题意； D、不是该几何体的三视图，故符合题意， 故选：D． 5. 如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由等边三角形性质得到，，进而由正五边形性质得到相关角度与边的关系，再由等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理求出相关角度，数形结合表示出要求的角，代值求解即可得到答案． 【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形， ，， 是正五边形， ，且， ，，， 在等腰中，，则， ， 故选：B． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及等边三角形的性质、正多边形性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、正多边形内角与外角关系．数形结合，准确表示各个角度是解决问题的关键． 6. 某汽车生产企业上半年生产电动和燃油两种类型的汽车若干辆．已知电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆，燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆．设电动汽车为x万辆，燃油汽车为y万辆．根据题意可列出的方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查实际问题与二元一次方程组．分析题意，找到两个等量关系，分别列出方程，联立即可． 【详解】解：设电动汽车万辆，燃油汽车万辆， ∵电动汽车的数量比两种汽车总数的一半多11万辆， ∴， ∵燃油汽车的数量比两种汽车总数的三分之一少2万辆， ∴， 联立可得：， 故选：C． 7. 四张背面相同的卡片上分别写有李商隐《夜雨寄北》的四句诗：“君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池．何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时．”将四张卡片背面朝上打乱洗匀，然后依次抽出四张卡片，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求概率，设表示“君问归期未有期”，表示“巴山夜雨涨秋池”，表示“何当共剪西窗烛”，表示“却话巴山夜雨时”，画树状图如图，则一共有种等可能结果，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样有种结果，然后用概率公式求解即可，掌握列表法或画树状图求概率是解题的关键． 【详解】解：如图，设表示“君问归期未有期”，表示“巴山夜雨涨秋池”，表示“何当共剪西窗烛”，表示“却话巴山夜雨时”， 画树状图如图， 一共有种等可能结果，四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样有种结果， ∴四张卡片上的诗句恰好和原诗句顺序一样的概率是， 故选：． 8. 已知双曲线与直线相交于点，，其中，若点在双曲线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数交点问题，关键是利用函数性质判断函数值大小． 先联立双曲线与直线方程，利用韦达定理及、正负判断的符号，确定双曲线所在象限，再根据各点横坐标正负及双曲线单调性，比较、、大小 ． 【详解】联立双曲线与直线方程，可得 ，即， 由韦达定理． 因为， 所以，双曲线在二、四象限． 对于，，则； 对于，，则． 点，，在双曲线第二象限分支，随增大而增大， 所以． 综上，， 故选：A． 9. 如图，在中，，，点D为上一点，，点P为平分线上一点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，过点P作于点E，于点F，由角平分线的性质得到，则可证明四边形CEPF是正方形，设，则，，由勾股定理结合可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解；如图所示，过点P作于点E，于点F， 平分，，， ∴， 又∵ ∴四边形CEPF是矩形， 矩形CEPF是正方形， 设，，则， ， ， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， ∴， ∴， 解得 ， 故选：C． 10. 如图，在矩形中，，，点P从A点出发，以每秒的速度沿的路线运动，到达D点时停止运动，过点P作的平行线交对角线于点E．设点P运动的时间为t，的面积为S，则S与t的函数图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、函数的动点问题、一次函数的应用、二次函数的应用，根据点的位置分类讨论是解题的关键．根据题意，分3种情况讨论：①点P在边上；②点P在边上；③点P在边上，分别求出对应的S与t的函数关系式，再结合选项的函数图像分析即可判断． 【详解】解：矩形， ，，， ①当时，点P在边上， ， ，， ，即， ， ； ②当时，点P在边上，点与点重合， ， ； ③当时，点P在边上， ， ， ，， ，， ， ，即， ， ； ， S与t的函数图像大致为 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解是解题的关键． 根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 有一个圆形珠宝展柜，如图所示，商家在展柜的边缘A处安装了一个监控摄像头，它的监控角度为．若要全方位监控圆形展柜，则至少要安装________个监控摄像头． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了要圆周角定理．根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得该圆周角所对的弧所对的圆心角是，于是得到结论．解答时，注意把实际问题转化为数学问题，能够把数学和生活联系起来是解题关键． 【详解】解：， 所对弧所对的圆心角度数是， ， 至少要安装4个监控摄像头． 故答案为：． 13. 在某市的家博会上，家庭智能扫地机器人展台正在演示两款机器人的清扫性能．乙款扫地机器人每分钟清扫的面积比甲款扫地机器人多，甲款扫地机器人清扫所用的时间比乙款扫地机器人多．若设甲款扫地机器人每分钟清扫，根据题意可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目中给出的两款扫地机器人的清扫性能关系，列出关于甲款和乙款扫地机器人清扫效率的方程即可． 本题主要考查了分式方程的应用，熟练掌握根据题意找出等量关系列方程是解题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，对角线，相交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，与交于点M，连接，与交于点N，连接． （1）若，则________． （2）的长为________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】（1）连接，证明为的中位线，得出，，即可得出，即，求出． （2）根据为的中点，得出，根据相似三角形的性质得出，再根据相似三角形的性质得出，由（1）知，证明，得出，结合，勾股定理得出，即可得． 【详解】解：（1）∵在正方形中，，， 连接， 为的中点，E为的中点， 为的中位线， ，， ， ， 即， ． 故答案为：2． （2）为的中点， ， ， ， ，， ， ， 由（1）知， ， ∵， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解方程： 【答案】x1=-3，x2=4 【解析】 【详解】试题分析：先去括号，移项整理后再运用因式分解法求解即可. 试题解析：， 整理得：x2-x-12=0， ∴（x+3）（x-4）=0, ∴x+3=0，x-4=0， ∴x1=-3，x2=4. 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点（网络线的交点）上． （1）先把水平向右平移5个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度，得到，请画出． （2）将以AC边所在的直线为轴进行翻折，请画出翻折后的图形． （3）点P为AB上一点，请用无刻度直尺在上求作一点Q，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的平移、翻折变换的性质，熟练掌握平移和翻折的性质是解题的关键． （1）利用平移的性质，确定平移后各顶点的位置，进而画出平移后的三角形． （2）依据翻折的性质，找出各顶点关于翻折轴的对称点，从而画出翻折后的图形． （3）利用轴对称的性质，通过构造辅助线找到满足条件的点． 【小问1详解】 解：根据平移要求，将的三个顶点、、分别水平向右平移个单位长度，再竖直向下平移个单位长度，得到、、，然后依次连接、、得到． 如图． 【小问2详解】 解：以边所在直线为轴进行翻折，分别找出点关于的对称点，然后连接、，得到翻折后的图形，如图． 【小问3详解】 解：连接与相交，作以为端点，过与的交点作射线，交于，则为所求． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，某图案是由基本图形（由一个边长为的正方形和两个边长为的等边三角形组成）拼接而成的，每个图案外围部分（实线部分）用型材料围成，内部（虚线部分）用型材料焊接． （1）第5个图案中正三角形的个数为________；第个图案中正三角形的个数为________（用含的代数式表示）． （2）第5个图案中型材料的总长为________，型材料的总长为________． （3）当一个图案所用的型材料的总长比型材料的总长多时，求这是第几个图案． 【答案】（1）；． （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现三角形的个数依次增加4是解题的关键． （1）根据图形找到规律，第个图案中正三角形的个数为个， （2）根据图形，分别求得前几个图案中型材料和型材料的总长，即可求解； （3）根据（2）的规律得出型材料的总长为，型材料的总长为，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵第1个图案中正三角形的个数为2，其中， 第2个图案中正三角形的个数为6，其中， 第3个图案中正三角形的个数为10，其中， 第4个图案中正三角形的个数为14，其中， 第5个图案中正三角形的个数为18，其中， …… 第个图案中正三角形个数为个， 故答案为：；． 【小问2详解】 解：第1个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第2个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第3个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第4个图案中型材料的总长为，其中，型材料的总长为，其中， 第5个图案中型材料的总长为，其中，其中型材料的总长为，， 故答案为：，． 【小问3详解】 根据（2）可得第个图案中，型材料的总长为，型材料的总长为． 则， 解得． 18. 如图，一位渔民在靠近海岸拐角的地方围了一个天然养殖场是直的海岸线，，，．该渔民在附近海域选了一点D，用围网连接和，使．若，求所需围网的总长．（计算结果保留整数．参考数据：，，） 【答案】所需围网的总长约为390m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确作垂线构造直角三角形是解题的关键． 过点A作于点E，过点C作于点F，四边形是矩形，则，先解，求出，那么即可求解，再解求出，最后即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于点E，过点C作于点F，则． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ，． ， ， ，． 在中，，， ，， ，， ， ． 答：所需围网总长约为390m． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： （1）写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （2）根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． （3）直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 【答案】（1） （2），见解析 （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方体体积计算公式求解即可； （2）分别把和代入（1）所求解析式中求出对应的函数值即可得到m、n的值，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （3）先利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出函数与函数的交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【小问1详解】 解：某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为， ， ； 【小问2详解】 解：在中，当时，，当时，， ∴； 故答案为：，； 函数图像如下图，为所求； 【小问3详解】 解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴函数与函数的交点坐标为， ∴由函数图象可得当时，x的取值范围是． 故答案为：，． 20. 是直径，点C为的中点，弦交于点E． （1）如图1，连接，若，求证：． （2）如图2，过点A作的切线交的延长线于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）8 【解析】 【分析】（1）连接，由直径得到，然后求出，求出，然后由得到，进而求解即可； （2）连接，过点O作于点G，证明出，得到，勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：如图1，连接． 为直径， ， 点C为的中点， ，， ， ， ，， ． ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如图2，连接，过点O作于点G， 则， 为的切线， ，， ． ，， ． ． ． ， ． 在中，， ． 【点睛】此题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 六、（本题满分12分） 21. 世界卫生组织采用体重指数作为衡量人体胖瘦程度的标准，其计算公式为“体重指数=体重身高”[体重的单位为千克，身高的单位为米]，即，表示体重过低，表示体重正常，表示超重，表示肥胖．某校数学兴趣小组对本校七年级学生的体重指数进行了调查，他们从七年级学生中随机选出10名男生和10名女生，测量他们的身高和体重，并计算体重指数． 10名男生的： 10名女生的： 七年级20名学生频数分布表如下表所示，扇形统计图如图所示． 七年级20名学生频数分布表 组别 男生频数 女生频数、 A 2 1 B 5 7 C a b D c 0 （1）补充频数分布表中所缺的数据：________，________，________．扇形统计图中圆心角________． （2）已知该校七年级学生中男生有260人，女生有240人． ①估计该校七年级男生人数； ②估计该校七年级学生中的人数． （3）根据以上统计数据，请你针对七年级学生的胖瘦程度提出一条合理化建议． 【答案】（1）2；2；1； （2）①26人；②126人 （3）适当控制饮食，加强体育锻炼（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，读懂统计图表获取必要的信息是解题的关键． （1）根据统计数据求出的值，得出七年级学生的人数占比，再乘以即可求出圆心角； （2）①利用七年级男生的人数占比乘以260即可得出答案；②分别估计七年级男生的人数和七年级女生的人数，再相加即可； （3）根据统计数据，针对七年级学生的胖瘦程度提出合理化建议即可． 【小问1详解】 解：由题意得，七年级男生有2人，七年级女生有2人，七年级男生有1人， ，，； ， 扇形统计图中圆心角； 故答案为：2；2；1；． 【小问2详解】 解：①（人）， 答：估计该校七年级男生的人数为26人． ②（人）， 答：估计该校七年级学生中的人数为126人． 【小问3详解】 解：适当控制饮食，加强体育锻炼（答案不唯一，言之有理即可）． 七、（本题满分12分） 22. 定义：若一个函数图像上至少存在两个点关于y轴对称，则称该函数为“纵轴点对称函数”，对称点叫作“纵轴对称点”． （1）概念理解： ①请写出一个已学过的“纵轴点对称函数”：________； ②若函数是“纵轴点对称函数”，请写出它的“纵轴对称点”． （2）概念应用： ①一次函数是否为“纵轴点对称函数”？请说明理由； ②已知函数是“纵轴点对称函数”，与直线（，）交于点，，且．若经过定点，求点的坐标． 【答案】（1）①（答案不唯一）②和 （2）①不是，理由见解析② 【解析】 【分析】本题主要考查了关于轴对称的点坐标变换规律，二次函数与一次函数的综合，一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用所学的知识是解题的关键． （1）①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，写出一个对称轴为轴的二次函数，即可求解； ②根据关于轴对称的点的坐标特征，设对称点为和，分别代入反比例函数和二次函数，求得的值，即可求解； （2）①设点、均在直线上，得出，则点和点为同一个点，即可判断不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则，得出，根据点，均为抛物线与直线的交点，得出、是方程的两根，根据一元二次方程根与系数的关系得出，进而可得当时，，即可得出定点的坐标． 【小问1详解】 解：①根据“纵轴对称点”的定义以及二次函数的性质，对称轴为轴的二次函数，都符合题意， 故答案为：（答案不唯一）； ②设对称点和，则，， ，解得， 当时，，所以纵坐标对称点坐标为和． 【小问2详解】 ①不是，理由如下：设点、均在直线上， 则两式相减，得． ， ，此时点和点为同一个点， 故不是“纵轴点对称函数”； ②若函数是“纵轴点对称函数”，则， ． 当时，， 点，均为抛物线与直线的交点， 、是方程的两根， ，， ， ， ， ， 当时，， 点的坐标为． 八、（本题满分14分） 23. 在中，，将绕点按顺时针方向旋转，得到． （1）如图1，当边落在边上时，连接，则的度数是（用含的代数式表示）． （2）如图2，当时，若，，求的值． （3）如图3，当绕点按顺时针方向旋转时，求证：． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转可知，根据得出，进而根据即可求解； （2）过点作于．先证明 ，设，根据得出，，．求得，在中，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）过点作交于点，连接．证明，，，四点共圆，，得为等边三角形，解，得出，即可得证． 【小问1详解】 解：由旋转可知， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 如图1，过点作于． ， ，． ， ． ， ． 设， ， ，，． ，， ． 在中，， ， 解得，． ，， ， ． 【小问3详解】 如图2，过点作交于点，连接． ，， ． 同理，， ，，，四点共圆， ， ． ， ， ． ， ， ，， 为等边三角形， ． 在中，，， ． ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$