专题16 概率全章综合8种常考题型总结（河北专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编

专题16 概率全章综合7种常考题型总结 题型概览 题型 01 随机事件的判断 题型 02 互斥与对立事件的判断 题型 03 互斥与对立事件的概率 题型 04 古典概型的概率计算 题型 05 相互独立事件的判断 题型 06 相互独立事件的概率 题型 07 用频率估计概率综合 ( 题型01 ) 随机事件的判断 1．（2023春•武强县校级期末）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是　　 A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 2．（2017春•石家庄期末）从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是　　 A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 ( 题型0 2 ) 互斥与对立事件的判断 3．（2024春•高碑店市校级期末）从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　 A．至少1个白球，都是红球 B．至少1个白球，至少1个红球 C．至少1个白球，至多1个白球 D．恰好1个白球，恰好2个红球 4．（2024春•邢台期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是　　 A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 5．（2023春•唐山期末）从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是　　 A．“至少有1名女生”与“都是女生” B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生” C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生” （多选）6．（2023春•承德期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件 “点数为4”，事件 “点数为奇数”，事件 “点数小于4”，事件 “点数大于3”，则　　 A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 （多选）7．（2022春•衡水期末）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有　　 A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张蓝色 C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色 ( 题型0 3 ) 互斥与对立事件的概率 8．（2024春•承德期末）已知事件，，两两互斥，若，则　　． 9．（2021春•安平县校级期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率； （Ⅱ）求事件发生的概率； （Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率． 10．（2023春•邢台期末）队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题队回答正确的概率是　　 A． B． C． D． 11．（2017秋•保定期末）若，为互斥事件，则　　 A．（A）（B）B．（A）（B） C．（A）（B）D．（A）（B） ( 题型0 4 ) 古典概型的概率计算 12．（2024春•廊坊期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为　　 A． B． C． D． 13．（2024春•唐县校级期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为　　 A． B． C． D． 14．（2023春•路南区校级期末）抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为　　 A． B． C． D． 15．（2024春•河北期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，并记下每次抛掷后正面朝上的点数．若第一次抛掷正面朝上的数字大于4，则再抛掷一次，若第一次抛掷正面朝上的数字不大于4，则停止抛掷，则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为　　 A． B． C． D． 16．（2023春•辛集市期末）从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是　　 A． B． C． D． ( 题型0 5 ) 相互独立事件的判断 17．（2024春•唐县校级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法正确的是　　 A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与对立 （多选）18．（2024春•沧州期末）已知事件，满足（A），（B），则下列说法正确的是　　 A．若事件与事件相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B．事件与事件可能为对立事件 C．若事件与事件相互独立，则 D．若事件与事件互斥，则 19．（2023春•邯郸期末）如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个．首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为．若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为．设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是　　 A．与为互斥事件 B．与相互独立 C．与为互斥事件 D．与相互独立 20．（2024春•辛集市期末）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩．则下列说法正确的是　　 A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 ( 题型0 6 ) 相互独立事件的概率 21．（2024春•辛集市期末）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 22．（2024春•张家口期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是　　 A． B． C． D． 23．（2024春•高碑店市校级期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的． （Ⅰ）求丙投篮命中的概率； （Ⅱ）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （Ⅲ）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率． 24．（2024春•河北期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 25．（2022春•邯郸期末）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响． （1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率． 26．（2024春•邢台期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲岁）、乙岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． （1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 27．（2024春•承德期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完．已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲、乙、丙每次答题是相互独立的，且甲、乙、丙的答题结果也是相互独立的． （1）求甲第二次答题通过初赛的概率； （2）求乙通过初赛的概率； （3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率． 28．（2024春•唐县校级期末）在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜的频率为，乙获胜的频率为．为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． （1）求前两局乙均获胜的概率； （2）前2局打成时， ①求乙最终获得全部奖金的概率； ②若比赛此时因故终止，有人提出按分配奖金，你认为分配合理吗？为什么？ 29．（2024春•定州市期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮．已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立． （1）若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率； （2）若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率． ( 题型0 7 ) 用频率估计概率综合 30．（2023春•石家庄期末）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为　　 7527 0923 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 31．（2021春•唐山期末）为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为．现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0到9之间的随机整数，用1，2，3，4表示堵车，用5，6，7，8，9，0表示不堵车；再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况．经试验产生了如下20组随机数： 807 066 123 923 471 532 712 269 507 752 443 277 303 927 756 368 840 413 730 086 据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为　　 A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.40 32．（2022春•邯郸期末）饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946．由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为　　 A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 33．（2021春•邯郸期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为　　 A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 1．（2023春•邯郸期末）“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为　　 A． B． C． D． （多选）2．（2023春•定州市期末）一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，各4张，从扑克牌中随机取出1张， “取出的牌为10”， “取出的牌为红桃”， “取出的牌为黑桃9”，则　　 A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与对立 3．（2023春•承德期末）甲、乙两位同学切磋棋艺，已知甲先手时，甲获胜的概率为，平局的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，平局的概率为：第一局甲先手，后面比赛的先手顺序约定如下：若上一局有胜败，则本局由上一局的败者先手，若上一局平局，则本局由乙先手，且每局比赛之间的结果相互独立．若某选手先胜三局，则该选手胜利，比赛结束． （1）求三局内结束比赛，且甲连胜三局的概率； （2）求五局内结束比赛，且乙胜利的概率． 4．（2023春•曹妃甸区校级期末）某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是，甲、丙都回答错误的概率是，乙、丙都回答正确的概率是．假设他们是否回答正确互不影响． （Ⅰ）分别求乙、丙回答正确的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题16 概率全章综合7种常考题型总结 题型概览 题型 01 随机事件的判断 题型 02 互斥与对立事件的判断 题型 03 互斥与对立事件的概率 题型 04 古典概型的概率计算 题型 05 相互独立事件的判断 题型 06 相互独立事件的概率 题型 07 用频率估计概率综合 ( 题型01 ) 随机事件的判断 1．（2023春•武强县校级期末）从6个篮球、2个排球中任选3个球，则下列事件中，是必然事件的是　　 A．3个都是篮球 B．至少有1个是排球 C．3个都是排球 D．至少有1个是篮球 【解析】根据题意，从6个篮球、2个排球中任选3个球， 分析可得：，是随机事件，是不可能事件，是必然事件； 故选：． 2．（2017春•石家庄期末）从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件，则必然事件是　　 A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【解析】从含有8件正品、2件次品的10件产品中，任意抽取3件， 在 中，3件都是正品是随机事件，故错误； 在中，至少有1件次品是随机事件，故错误； 在中，3件都是次品是不可能事件，故错误； 在中，至少有1件正品是必然事件，故正确． 故选：． ( 题型0 2 ) 互斥与对立事件的判断 3．（2024春•高碑店市校级期末）从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是　　 A．至少1个白球，都是红球 B．至少1个白球，至少1个红球 C．至少1个白球，至多1个白球 D．恰好1个白球，恰好2个红球 【解析】根据题意，从装有2个红球和2个白球的口袋里任取2个球，其样本空间为个红球，2个白球，1个红球和一个白球， 依次分析选项： 对于，“至少1个白球”即“2个白球”或“1个红球和一个白球”，和“都是红球”是对立事件，不符合题意； 对于，“至少1个白球”即“2个白球”或“1个红球和一个白球”，“至少1个白球”即“2个红球”或“1个红球和一个白球”， 两个事件可以同时发生，不是互斥事件，不符合题意； 对于，“至少1个白球”即“2个白球”或“1个红球和一个白球”，“至多1个白球”即“2个红球”或“1个红球和一个白球”， 两个事件可以同时发生，不是互斥事件，不符合题意； 对于，“恰好1个白球”即“1个红球和一个白球”，与“恰好2个红球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意． 故选：． 4．（2024春•邢台期末）一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是　　 A．“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球” B．“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球” C．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球” D．“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球” 【解析】根据题意，依次分析选项： 对于，“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”是对立事件，故错误； 对于，“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误； 对于，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”是互斥且不对立事件，故正确； 对于，“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”可以同时发生，不是互斥事件，故错误． 故选：． 5．（2023春•唐山期末）从5名男生和4名女生中任选3人去参加学校“献爱心，暖人心”下列各事件中，互斥不对立的是　　 A．“至少有1名女生”与“都是女生” B．“至少有1名女生”与“至少有1名男生” C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D．“至少有1名女生”与“至多有1名男生” 【解析】“至少有1名女生”与“都是女生”，能够同时发生，如3人都是女生，所以不是互斥事件，错； “至少有1名女生”与“至少有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，错； “至少有1名女生”与“至多有1名男生”能够同时发生，如1男2女，所以不是互斥事件，错； “恰有1名女生”与“恰有2名女生”不能同时发生，所以是互斥事件， 又因为“恰有1名女生”与“恰有2名女生”之外，还可能有“没有女生”与“恰有3名女生”两种情况发生， 即“恰有1名女生”与“恰有2名女生”可以同时不发生，所以不是对立事件，正确． 故选：． （多选）6．（2023春•承德期末）将一枚质地均匀的骰子抛掷一次，记下骰子面朝上的点数，设事件 “点数为4”，事件 “点数为奇数”，事件 “点数小于4”，事件 “点数大于3”，则　　 A．与互斥 B．与互斥 C．与对立 D．与对立 【解析】事件“点数为4”与“点数为奇数”不能同时发生，所以与互斥，正确； 事件“点数为4”与“点数小于4”不能同时发生，所以与互斥，正确； 事件“点数为奇数”的对立事件是“点数为偶数”，不是“点数大于3”， 错误； 事件“点数小于4”的对立事件是“点数不小于4”，即“点数大于3”， 与对立，正确． 故选：． （多选）7．（2022春•衡水期末）不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有　　 A．2张卡片都不是红色 B．2张卡片恰有一张蓝色 C．2张卡片至少有一张红色 D．2张卡片都为绿色 【解析】从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：两张都为红色，两张都为绿色，两张都为蓝色，1张红色1张绿色，1张红色1张蓝色，1张绿色1张蓝色，共6种， 2张卡片至少有一张红色包含2张卡片都为红色，二者并非互斥事件，故错误，正确． 故选：． ( 题型0 3 ) 互斥与对立事件的概率 8．（2024春•承德期末）已知事件，，两两互斥，若，则　　． 【解析】因为事件，，两两互斥， 所以， 又因为， 所以， 同理可得， 所以． 故答案为：． 9．（2021春•安平县校级期末）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件：“两数之和为8”，事件：“两数之和是3的倍数”，事件：“两个数均为偶数”． （Ⅰ）写出该试验的基本事件空间，并求事件发生的概率； （Ⅱ）求事件发生的概率； （Ⅲ）事件与事件至少有一个发生的概率． 【解析】将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，， ，，，，，，共有36个基本事件， 事件：“两数之和为8”，事件包含的基本事件有： ，，，，，共5个基本事件， 事件发生的概率为（A）． 事件：“两数之和是3的倍数”， 事件包含的基本事件有12个，分别为： ，，，，，，，，，，，， 事件发生的概率（B）． 事件与事件至少有一个发生包含的基本事件有11个，分别为： ，，，，，，，，，，， 事件与事件至少有一个发生的概率为． 10．（2023春•邢台期末）队共有甲、乙两名队员回答某道题，有1人答出则此题回答正确，甲答出的概率为，乙答出的概率为，则此题队回答正确的概率是　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意，队中，甲答出的概率为，乙答出的概率为， 则甲、乙答不出的概率分别为，， 故队答出的概率为． 故选：． 11．（2017秋•保定期末）若，为互斥事件，则　　 A．（A）（B）B．（A）（B）C．（A）（B） D．（A）（B） 【解析】由已知中，为互斥事件， 由互斥事件概率加法公式可得：（A）（B） 当，为对立事件时，（A）（B） 故选：． ( 题型0 4 ) 古典概型的概率计算 12．（2024春•廊坊期末）用2，3，4这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”发生的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】将2，3，4组成一个没有重复数字的三位数的情况有，243，324，342，423，，共6种， 其中偶数有，324，342，，共4种， 所以事件“这个三位数是偶数”发生的概率为． 故选：． 13．（2024春•唐县校级期末）“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天．”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑．现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】样本空间（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑）， （小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑）， （芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，大暑）， 共有15个样本点．其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个． 所以这2个节气不在同一个月的概率为． 故选：． 14．（2023春•路南区校级期末）抛掷两个质地均匀的骰子，则“抛掷的两个骰子的点数之和是6”的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】抛掷两枚骰子的基本事件数为：； 抛掷两个骰子的点数之和为6的基本事件为：，，，，共5种， 所以， 故选：． 15．（2024春•河北期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，并记下每次抛掷后正面朝上的点数．若第一次抛掷正面朝上的数字大于4，则再抛掷一次，若第一次抛掷正面朝上的数字不大于4，则停止抛掷，则抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】根据题意可得抛掷一次的所有情况为： （1），（2），（3），（4）共4种情况， 抛掷两次所有情况为： ，，，，，，，，，，，，共12种情况， 抛掷骰子所得点数之和为奇数的概率为． 故选：． 16．（2023春•辛集市期末）从3，4，5，6四个数中任取三个数作为三角形的三边长，则构成的三角形是锐角三角形的概率是　　 A． B． C． D． 【解析】从3，4，5，6四个数中任取三个数，所有基本事件为，4，，，4，，，5，，，5，共4个， 构成的三角形是锐角三角形的基本事件有：，5，共1个， 所以构成的三角形是锐角三角形的概率是． 故选：． ( 题型0 5 ) 相互独立事件的判断 17．（2024春•唐县校级期末）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法正确的是　　 A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与对立 【解析】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反）共8种结果， 事件 “第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反正），（正反反）共4种结果， 事件 “三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件 “三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件 “三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（正反反），共2种结果， 对于选项，事件与事件可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，错误； 对于选项，，，则与不独立，错误； 对于选项，，，，则与相互独立，正确； 对于选项，和互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，错误． 故选：． （多选）18．（2024春•沧州期末）已知事件，满足（A），（B），则下列说法正确的是　　 A．若事件与事件相互独立，则它们的对立事件也相互独立 B．事件与事件可能为对立事件 C．若事件与事件相互独立，则 D．若事件与事件互斥，则 【解析】对于，根据相互独立事件的定义易知正确； 对于，（A），（B）， 对立事件的概率和为1， 但（A）（B）．故错误； 对于，（A），（B）， 根据相互独立事件的定义，（A）（B），故正确； 对于．事件与事件互斥，则（A）（B），故正确． 故选：． 19．（2023春•邯郸期末）如图，有质地均匀的正四面体、正六面体和正八面体骰子各一个．首先抛掷正六面体骰子，向上的点数记为．若为奇数，则再抛掷正四面体骰子；若为偶数，则再抛掷正八面体骰子，记第二次向下的点数为．设事件；事件；事件；事件；事件，则下列说法错误的是　　 A．与为互斥事件 B．与相互独立 C．与为互斥事件 D．与相互独立 【解析】样本空间为：，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，． 事件包含的基本事件为： ，，，， ，，，， ，，，． 事件包含的基本事件为：，，，，，． 事件包含的基本事件为：，，． 事件包含的基本事件为：，，，，． 事件包含的基本事件为：，，，． 与为互斥事件，选项正确； 选项，，， 事件包含的基本事件为：，， 所以， 所以与相互独立，选项正确； 与为互斥事件，选项正确； 选项，， 事件包含的基本事件为：， 所以， 所以与不是相互独立事件，选项错误． 故选：． 20．（2024春•辛集市期末）国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育、优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策．某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩．假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩．则下列说法正确的是　　 A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 【解析】对于，事件：该家庭最多有一个男孩，即一个男孩两个女孩或三个女孩，事件：该家庭最多有一个女孩，即一个女孩两个男孩或三个男孩， 不能同时发生，也不能同时不发生，故与是互斥且对立事件，故错误， 对于，事件与事件能同时发生，不是互斥事件，故错误， 对于，（B）（C），，（B）（C），与不是相互独立事件，故错误， 对于，由题意可知，（A），（B），， （A）（B），与独立，故正确． 故选：． ( 题型0 6 ) 相互独立事件的概率 21．（2024春•辛集市期末）甲、乙两人组成“九章队”参加青岛二中数学学科周“最强大脑”比赛，每轮比赛由甲、乙各猜一个数学名词，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮比赛中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． （1）求甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）求“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词的概率． 【解析】（1）因为甲每轮猜对的概率为， 所以甲两轮至少猜对一个数学名词的概率； （2）“九章队”在两轮比赛中猜对三个数学名词，包括两轮比赛中甲猜对2个，乙猜对一个，和甲猜对1个，乙猜对2个， 所以所求概率为． 22．（2024春•张家口期末）如图，某电子元件由，，三种部件组成，现将该电子元件应用到某研发设备中，经过反复测试，，，三种部件不能正常工作的概率分别为，，，各个部件是否正常工作相互独立，则该电子元件能正常工作的概率是　　 A． B． C． D． 【解析】该电子元件能正常工作的对立事件是： 上面串联的，至少有一个不能正常工作，同时下面并联的，不能同时正常工作和不能正常工作两种情况至少有一个发生， 该电子元件能正常工作的概率是： ． 故选：． 23．（2024春•高碑店市校级期末）已知甲投篮命中的概率为0.6，乙投篮不中的概率为0.3，乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，假设甲、乙、丙三人投篮命中与否是相互独立的． （Ⅰ）求丙投篮命中的概率； （Ⅱ）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不中的概率； （Ⅲ）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率． 【解析】（Ⅰ）由题意，乙投篮不中的概率为0.3，则乙投篮命中的概率为0.7， 又乙、丙两人都投篮命中的概率为0.35，则丙投篮命中的概率为； （Ⅱ）甲和乙命中，丙不中的概率为； （Ⅲ）恰有一人命中的概率为． 24．（2024春•河北期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为． （1）已知． ①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； ②若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围． 【解析】（1）①记事件为“至少收到一次0”， 则至少收到一次0的概率为（A）． ②证明：记事件为“第三次收到的信号为1”，事件为“三次收到的数字之和为2”， 则（B）， （C）， ， （B）（C）， 事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立． （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，事件为“采用单次传输方案时译码为0”， ， ， 根据题意得， ， ，，， 解得， 的取值范围是． 25．（2022春•邯郸期末）在中国共产主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中3人答对的概率分别为，，，乙队中每人答对的概率均为，且各人回答问题正确与否互不影响． （1）分别求甲队总得分为1分和2分的概率； （2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率． 【解析】（1）依题意记甲队总得分为1分为事件，甲队总得分为2分为事件， 则（A）． （B）． 所以甲队总得分为1分的概率为，2分的概率为． （2）依题意甲队总得分为0分的概率为． 得1分的概率为，得2分的概率为，得3分的概率为； 乙队总得分为0分的概率为，得1分的概率为． 得2分的概率为，得3分的概率为． 则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率． 26．（2024春•邢台期末）某社区举办“趣味智力挑战赛”，旨在促进社区邻里关系，鼓励居民参与公益活动．本次挑战赛第一轮为选手随机匹配4道难度相当的趣味智力题，参赛选手需依次回答这4道题目，任何一道题答对就算通过本轮挑战赛．若参赛选手前两道题都没有答对，而后续还需要答题，则每答1道题就需要后期参与一次社区组织的公益活动，若4道题目都没有答对，则被淘汰．根据大数据统计，年龄在20岁到30岁之间与年龄在30岁到40岁之间的参赛选手在第一轮挑战赛中答对每道趣味智力题的概率分别为，．已知甲岁）、乙岁）两人都参与了该“趣味智力挑战赛”，他们每道题是否答对相互独立． （1）甲热爱公益活动，若需要答题机会，他愿意参与社区组织的公益活动，求甲通过第一轮挑战赛的概率； （2）求甲、乙均不需要通过参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛的概率； （3）求甲、乙均通过了第一轮挑战赛且只有一人需要参与一次公益活动的概率． 【解析】（1）设甲、乙两人第次答对题目分别记为事件，，2，3，， 则，， 甲第一轮挑战赛被淘汰的概率为， 则甲通过第一轮挑战赛的概率为； （2）设甲不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件，乙不需要参与公益活动获得答题机会就通过了第一轮挑战赛为事件，则， ． 故所求概率为； （3）甲通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 乙通过了第一轮挑战赛且需要参与一次公益活动的概率为． 故所求概率为． 27．（2024春•承德期末）某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完．已知甲、乙、丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是，假设甲、乙、丙每次答题是相互独立的，且甲、乙、丙的答题结果也是相互独立的． （1）求甲第二次答题通过初赛的概率； （2）求乙通过初赛的概率； （3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率． 【解析】（1）根据题意，甲第二次答题通过初赛，即甲第一次没有通过初赛， 则（A）； （2）设乙通过初赛为事件，对立事件为乙最终没有通过初赛，即乙连续三次答题错误， 则， 则（B）； （3）因为甲、乙、丙每人通过初赛的概率为，未通过的概率为， 则可设甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件， 则（C）． 28．（2024春•唐县校级期末）在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜的频率为，乙获胜的频率为．为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，胜者获得全部奖金． （1）求前两局乙均获胜的概率； （2）前2局打成时， ①求乙最终获得全部奖金的概率； ②若比赛此时因故终止，有人提出按分配奖金，你认为分配合理吗？为什么？ 【解析】（1）前两局乙均获胜的概率为； （2）①乙最终获得全部奖金的概率为； ②甲最终获得全部奖金的概率为， 因为甲最终获得全部奖金的概率与乙最终获得全部奖金的概率之比为， 所以按分配奖金不合理． 29．（2024春•定州市期末）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中，则此人继续投篮，若未命中，则换对方投篮．已知甲每次投篮的命中率均为0.7，乙每次投篮的命中率均为0.5，甲、乙每次投篮的结果相互独立． （1）若第1次投篮的人是甲，求第3次投篮的人是甲的概率； （2）若第1次投篮的人是乙，求前5次投篮中乙投篮次数不少于4的概率． 【解析】（1）若第1次投篮的人是甲，且第3次投篮的人是甲， 则甲第1次和第2次投篮都命中或第1次未命中、第2次乙也未命中， 故所求概率为； （2）前5次投篮中乙投篮次数为5的概率， 若前5次投篮中乙投篮次数为4，则乙前3次投篮均命中且第4次投篮未命中或前3次乙有1次投篮未命中且甲投篮未命中， 所以前5次投篮中乙投篮次数为4的概率， 故所求概率为． ( 题型0 7 ) 用频率估计概率综合 30．（2023春•石家庄期末）已知某射击运动员每次击中目标的概率都是0.8，现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组，代表射击4次的结果，经随机模拟产生了20组随机数，根据以下数据估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率为　　 7527 0923 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 A．0.852 B．0.8192 C．0.8 D．0.75 【解析】由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数， 在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：7527 0923 9857 0347 4373 8636 9647 4698 6233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数， 所求概率为0.75． 故选：． 31．（2021春•唐山期末）为了了解某道口堵车情况，在今后的三天中，假设每一天堵车的概率均为．现采用模拟试验的方法估计这三天中恰有两天堵车的概率：先利用计算器产生0到9之间的随机整数，用1，2，3，4表示堵车，用5，6，7，8，9，0表示不堵车；再以每三个数作为一组，代表这三天的堵车情况．经试验产生了如下20组随机数： 807 066 123 923 471 532 712 269 507 752 443 277 303 927 756 368 840 413 730 086 据此估计，这三天中恰有两天堵车的概率近似为　　 A．0.25 B．0.3 C．0.35 D．0.40 【解析】由题意可知，总的基本事件为20， 三天中恰有两天堵车的有923，471，532，712，303，共5个， 所以这三天中恰有两天堵车的概率近似为． 故选：． 32．（2022春•邯郸期末）饱和潜水是一种在超过百米的大深度条件下开展海上长时间作业的潜水方式，是人类向海洋空间和生命极限挑战的前沿技术，我国海上大深度饱和潜水作业能力走在世界前列．某项饱和潜水作业一次需要3名饱和潜水员完成，利用计算机产生之间整数随机数，我们用0，1，2，3表示饱和潜水深海作业成功，4，5，6，7，8，9表示饱和潜水深海作业不成功，现以每3个随机数为一组，作为3名饱和潜水员完成潜水深海作业的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：713，517，659，491，275，937，740，632，845，946．由此估计“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为　　 A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.9 【解析】10组随机数中表示3名饱和潜水员中至少有1人成功为：713，517，491，275，937，740，632，共7个， 则“3名饱和潜水员中至少有1人成功”的概率为． 故选：． 33．（2021春•邯郸期末）已知某人射击每次击中目标的概率都是0.5，现在用随机模拟的方法估计此人3次射击至少2次击中目标的概率：先由计算器产生0到9之间的整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示击中目标，5，6，7，8，9表示未击中目标．每3个随机数为一组，代表3次射击的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 926 446 072 021 392 077 663 817 325 615 405 858 776 631 700 259 305 311 589 258 据此估计，其3次射击至少2次击中目标的概率约为　　 A．0.45 B．0.5 C．0.55 D．0.6 【解析】根据题意，在20组随机数中， 能表示至少2次击中目标的有446、072、021、392、325、405、631、700、305、311，共10组， 则其3次射击至少2次击中目标的概率； 故选：． 1．（2023春•邯郸期末）“黄梅时节家家雨，青草池塘处处蛙”，黄梅时节就是梅雨季节，每年6月至7月会出现持续天阴有雨的天气，它是一种自然气候现象．根据历史数据统计，长江中下游某地区在黄梅时节每天下雨的概率为．假设每天是否下雨互不影响，则该地区黄梅时节连续两天中至少有一天下雨的概率为　　 A． B． C． D． 【解析】两天都不下雨的概率为， 所以所求事件概率为， 故选：． （多选）2．（2023春•定州市期末）一副扑克牌去掉大王和小王后，共52张，，2，3，4，5，6，7，8，9，10，，，各4张，从扑克牌中随机取出1张， “取出的牌为10”， “取出的牌为红桃”， “取出的牌为黑桃9”，则　　 A．与互斥 B．与互斥 C．与相互独立 D．与对立 【解析】因为 “取出的牌为10”， “取出的牌为红桃”， “取出的牌为黑桃9”， 所以与可以同时发生，与不能同时发生，所以与不互斥，与互斥，故错误，正确； 因为，所以，故正确； 因为与的并事件不是全事件，所以与不对立，故错误． 故选：． 3．（2023春•承德期末）甲、乙两位同学切磋棋艺，已知甲先手时，甲获胜的概率为，平局的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，平局的概率为：第一局甲先手，后面比赛的先手顺序约定如下：若上一局有胜败，则本局由上一局的败者先手，若上一局平局，则本局由乙先手，且每局比赛之间的结果相互独立．若某选手先胜三局，则该选手胜利，比赛结束． （1）求三局内结束比赛，且甲连胜三局的概率； （2）求五局内结束比赛，且乙胜利的概率． 【解析】（1）若甲连胜三局， 则第一局甲先手，乙败；第二局乙先手，乙败；第三局乙先手，乙败， 由题意甲先手甲胜的概率为，乙先手甲胜的概率为， 所以甲连胜三局的概率为； （2）若三局乙获胜，则结果为乙胜乙胜乙胜， 三局都为甲先手，每局乙获胜的概率为， 所以乙前三局连胜的概率为； 若四局乙获胜，则第四局乙胜，前三局有一局乙不胜，结果为乙不胜乙胜乙胜乙胜， 乙胜乙不胜乙胜乙胜，乙胜乙胜乙不胜乙胜， 其中乙获胜的局中有2局是甲先手，一局乙先手，不获胜的局都是甲先手， 所以此时乙获胜的概率为； 若五局乙获胜，则第五局乙获胜，前四局乙获胜两局，共种结果， 结果为乙不胜乙不胜乙胜乙胜乙胜，乙胜乙不胜乙不胜乙胜乙胜， 乙胜乙胜乙不胜乙不胜乙胜，乙不胜乙胜乙不胜乙胜乙胜， 乙不胜乙胜乙胜乙不胜乙胜，乙胜乙不胜乙胜乙不胜乙胜， 其中前三种结果中乙获胜的三局中有两局是甲先手，一局乙先手， 不获胜的两局中一局甲先手，一局乙先手， 后三种结果中乙获胜的三局中有两局是乙先手，一局甲先手， 不获胜的两局都是甲先手， 所以此时乙获胜的概率为， 综上，五局内结束比赛，且乙胜利的概率为． 4．（2023春•曹妃甸区校级期末）某社区举办环保知识有奖问答比赛，某场比赛中，甲、乙、丙三人同时回答一道问题，已知甲回答正确的概率是，甲、丙都回答错误的概率是，乙、丙都回答正确的概率是．假设他们是否回答正确互不影响． （Ⅰ）分别求乙、丙回答正确的概率； （Ⅱ）求甲、乙、丙3人中不少于2人回答正确的概率． 【解析】（Ⅰ）设事件表示“甲回答正确这道题”，事件表示“乙回答正确这道题”，事件表示“丙回答正确这道题”， 由题意得：， 解得乙回答正确的概率（B）， 丙回答正确的概率（C）． （Ⅱ）甲、乙、丙三人中不少于2人回答正确这道题的概率为： ． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$