专题02充要条件（讲义） -吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》（原卷版+解析版）

编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合的第2个专题：充要条件。本专题涵盖充分条件与必要条件的判定的知识点，该知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 充要条件（讲义） 充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 【知识拓展】 1．从集合与集合之间的关系上看：设. 若，则是的充分条件()，是的必要条件；（图1） 若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；（图2） 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件.（图3） 考点：充分条件与必要条件判定（必考点） 【方法总结】：判断充分、必要条件的常见方法 1.定义法：确定条件和结论，尝试，确定条件和结论的关系 2.集合关系法：根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解求解问题. 【典例精讲1】．“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】若一条直线的斜率为但不一定在，而直线时，直线斜率不存在，根据充分必要条件的定义，可得出结论. 【解析】若一条直线的斜率为， 则此直线的倾斜角为， 且；若一条直线的倾斜角为， 则此直线的斜率不一定为， 如时，不存在， 综上：“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为” 的既不充分也不必要条件. 故选：D. 【典例精讲2】设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用充分条件的定义，将问题转化为，由子集的定义求解即可. 【解析】：因为是的一个充分条件， 则， 所以，(如右图由数轴位置可知) 则的取值范围是. 故答案为：. 【易错练1】已知a，，“”是“”的 A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】D 【解析】根据充分、必要条件定义判断即可. 【解析】但a，b若不是正数，则，没有意义， 若，则根据对数函数在定义域内单调递增可知， 是的必要不充分条件. 故选：D． 【易错点晴】：要注意对数的真数要大于0. 【易错练2】“”是“椭圆的左焦点为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由椭圆的焦点求参数m，结合，判断两条件之间的充分、必要关系即可. 【解析】∵椭圆的左焦点为， ∴，即． ∴“”是“椭圆的左焦点为”的充分不必要条件． 故选：A． 【易错点睛】：因为椭圆焦点为，可知椭圆长轴在x上，则，考生若不能确定的值，则会误解. 【易错练3】已知非零向量，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】根据数量积的定义理解判断. 【解析】因为向量，，是非零向量， 则一定可以推出， 若成立，只表示数量积相等，不能推出， 故是的充分不必要条件， 故选：A． 【易错点睛】：在向量运算中，三个向量的数量积的结合律不成立以及向量的消去律也成立，如，前者结果为向量的标量倍数，后者为向量的标量倍数，两个方向通常不同. 同样，若，无法得到，即使为非零向量，如下图所示：，， 但. 1. （2025年吉林高职高专院校单独招生统一考试）"四边形的四条边相等"是"四边形为正方形"的（ ） A．充分条件不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不是充分也不必要条件 【答案】B 【解析】（解法一：定义法）因为菱形的四条边也相等，故四条边相等的四边形不一定是正方形，所以充分性不成立，而正方形的四条边一定相等，故必要性成立.故答案选C （解法二：集合关系法） 设“正方形的集合为A”,“四条边相等的四边形为集合B”,则由Venn图可知,故答案是必要不充分条件，选B 2.（2024年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“”是“”的（ ） A．充分条件不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不是充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当时，,所以充分性成立，当时，,所以不一定是，所以必要性不成立.故答案选A 3. （2023年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为等边三角形的三边相等，三边相等的三角形一定是等边三角形.故答案选C 4. （2022年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为,故答案选C 5. （2021年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当时解得,所以充分性不成立，当时，显然有，所以必要性成立.故答案选B. 1.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分、必要条件的知识确定正确答案. 【解析】由解得； 由解得； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2.设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】根据等腰三角形和等边三角形的定义判断即可. 【解析】设中角、、所对的边分别为、、， 若是等腰三角形，假设是，此时不是等边三角形，故不能推出， 若是等边三角形，则有，此时一定是等腰三角形，故能推出， 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 3. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用相等向量的概念，结合充分条件、必要条件的定义得到答案. 【解析】若成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即， 反之，若成立，若两向量的方向不同则推不到， 所以“”是“”的充分非必要条件， 故选：A. 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】结合分式不等式的解法以及充分、必要条件的知识确定正确答案. 【解析】由得， 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 5.已知a，b∈R，则“ab＝0”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分性和必要性的定义来判断即可． 【解析】当时，若，不能推出，不满足充分性； 当，则，有，满足必要性； 所以“”是“”的必要不充分条件． 故选：B． 6.“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由菱形和平行四边形的定义可判断. 【解析】：四边形是菱形则四边形是平行四边形，反之，若四边形是平行四边形则四边形不一定是菱形，所以“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的充分不必要条件. 故选：A. 7.“”是“”成立的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【解析】推不出，例如还可以取， 由可以推出， 所以“”是“”成立的必要条件． 故选：B． 8.“”是“直线平行于直线”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行的条件分析 【解析】：直线平行于直线，因此正确答案应是充分必要条件，故选C. 9.“角为钝角”是“角”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】利用充分、必要条件的概念即得. 【解析】由角为钝角可推出角， 由角可推出角为钝角， 所以“角为钝角”是“角”的充要条件. 故选：C 10.是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举例说明，结合充分条件和必要条件的定义即可得出结果. 【解析】当时，成立，不成立， 所以“”不能推出“”； 当时，成立，不成立； 所以“”不能推出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 11.甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（    ） A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】D 【分析】由正弦函数的单调性结合充分必要条件的定义判定得解． 【解析】由x是第一象限的角，不能得到是增函数； 反之，由是增函数，x也不一定是第一象限角． 故甲是乙的既不充分又不必要条件． 故选D． 12..“”是“方程表示的曲线为双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据双曲线标准方程的特征求出a的范围即可判断． 【解析】方程表示的曲线为双曲线，则a(2a-1)＜0，解得0＜a＜， 故“”是“方程表示的曲线为双曲线”的充要条件． 故选：C． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》，依据《中等职业学校数学课程标准》及吉林历年高职分类考试真题进行编写。本资料将高考必备知识进行科学划分，系统总结归纳知识点，全面梳理高考题型。整套资料共包含12个模块共41个专题，每个专题均配备配套讲义、课件及练习题。 本专题是吉林省2026年高职分类考试一轮复习《数学知识点清单》的模块1集合的第2个专题：充要条件。本专题涵盖充分条件与必要条件的判定的知识点，该知识点后配有真题及模拟题，供学生进行知识检测。 吉林省2026年高职分类考试 一轮复习 《数学知识点清单》 专题02 充要条件（讲义） 充分条件、必要条件、充要条件 （1）定义如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件. （2）从逻辑推理关系上看 ①若且，则是的充分不必要条件； ②若且，则是的必要不充分条件； ③若且，则是的的充要条件(也说和等价)； ④若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件. 对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立). 【知识拓展】 1．从集合与集合之间的关系上看：设. 若，则是的充分条件()，是的必要条件；（图1） 若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；（图2） 注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”. （2）若，则是的必要条件，是的充分条件； （3）若，则与互为充要条件.（图3） 考点：充分条件与必要条件判定（必考点） 【方法总结】：判断充分、必要条件的常见方法 1.定义法：确定条件和结论，尝试，确定条件和结论的关系 2.集合关系法：根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断，抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解求解问题. 【典例精讲1】．“若一条直线的斜率为”是“此直线的倾斜角为”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例精讲2】设是实数，若是的一个充分条件，则的取值范围是 . 【易错练1】已知a，，“”是“”的 A．充要条件 B．既不充分又不必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【易错练2】“”是“椭圆的左焦点为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【易错练3】已知非零向量，，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 1. （2025年吉林高职高专院校单独招生统一考试）"四边形的四条边相等"是"四边形为正方形"的（ ） A．充分条件不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不是充分也不必要条件 2.（2024年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“”是“”的（ ） A．充分条件不必要条件 B．必要不充分条件 C．必要条件 D．既不是充分也不必要条件 3. （2023年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“三角形的三条边相等”是“三角形是等边三角形”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. （2022年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. （2021年吉林高职高专院校单独招生统一考试）“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 1.“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.设p：是等腰三角形，q：是等边三角形，则p是q的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3. “”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 4.设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知a，b∈R，则“ab＝0”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6.“四边形是菱形”是“四边形是平行四边形”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.“”是“”成立的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 8.“”是“直线平行于直线”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9.“角为钝角”是“角”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 10.是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 11.甲：“x是第一象限的角”，乙：“是增函数”，则甲是乙的（    ） A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 12.．“”是“方程表示的曲线为双曲线”的(    ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！34 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$