第三讲 多边形及其内角和（导图指引+知识梳理+15个考点分类讲练+难度分层随堂练 共50题）-2025年七升八年级暑假衔接培优同步讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练【新课衔接篇】 第三讲 多边形及其内角和 （导图指引+知识梳理+15个考点分类讲练+难度分层随堂练 共50题） 知识点梳理 多边形 1．多边形的基本概念： （1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）要素：顶点、边、内角、外角、对角线 内角：、、、、…… 外角： 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD. n边形对角线条数：条 （3）分类：凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） （4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） 多边形 凸多边形 凹多边形 正六边形 2．多边形的内角和： （1）结论：n边形内角和等于． （2）证明： ①过n边形一个顶点，连对角线，可以得条对角线，并且将n边形分成个三角形，这个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． ②在n边形边上取一点与各顶点相连，得个三角形，n边形内角和等于这个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即． ③在n边形内部取一点与n边形各顶点相连，得n个三角形，这n个三角形所有内角之和为，故n边形内角和等于． 3．多边形的外角和： （1）结论：多边形外角和等于360°． （2）证明： 如图：，， ，…… 等式右边共有n个相加，代表n边形的内角和，即． 模块一 多边形的概念 考点01：多边形的概念与分类 例1 （22-23七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 演练1 （2021·江苏南京·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 考点02：多边形截角后的边数问题 例2 （24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 演练2 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是 边形. 考点03：多边形的周长 例3 （23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 演练3 （17-18八年级上·全国·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 考点04：网格中多边形面积比较 例4 （23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 演练4 （23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 考点05：多边形对角线的条数问题 例5 （24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 演练5 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 考点06：对角线分成的三角形个数问题 例6 （24-25八年级上·云南昆明·期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条对角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 演练6 （21-22七年级上·陕西榆林·期末）已知从一个六边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个六边形分成了m个三角形，且这些对角线的条数是n，求的值． 模块二 多边形的内角和 考点07：多边形内角和问题 例7 （24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 演练7 （24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 考点08：多（少）算一个角问题 例8 （24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 演练8 （23-24八年级上·福建厦门·期末）用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 考点09：多边形截角后的内角和问题 例9 （20-21八年级上·湖北荆州·阶段练习）小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边数为 ． 演练9 （24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 考点10：复杂图形的内角和 例10 （24-25八年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 演练10 （24-25八年级上·湖北黄石·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 考点11：正多边形的外角问题 例11 （2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 演练11 （2020九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 考点12：多边形外角和的实际应用 例12 （24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则 ； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则 ． 演练12 （24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 考点13：多边形内角和与外角和综合 例13 （23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 演练13 （23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 考点14：多边形内角和与外角和综合 例14 （24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 演练14 （24-25八年级上·江西新余·期末）一个多边形的每个内角与它相邻的外角的度数之比为，这个多边形的内角和等于 ． 考点15：平面镶嵌 例15 （24-25八年级上·河南驻马店·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 演练15 （23-24八年级上·广东东莞·期中）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数                   … （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ． ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． 1．（22-23八年级上·广西河池·期末）若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 2．（19-20七年级下·江苏常州·期中）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 4．（23-24八年级上·四川自贡·期中）一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 5．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 6．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 7．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． (2)如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． (1)如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，． ①在图2中，若，，则的度数为______°； ②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）． 11．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图所示，在中，，的角平分线，交于点，外角平分线，交于点，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决．现从一个n 边形一边的中点出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该n 边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 15．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的边数为n． （1）若，则这个多边形的内角和是 °； （2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则 ． 17．（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）数学社团的同学们在研究“生活中的数学”时，发现字母“e”可以看成如图1所示的几何图形．已知和互为补角． (1)小林同学研究了与两条线段所在直线的位置关系，获得结论：．请你写出证明过程； (2)小明、小颖、小丽三名同学继续对该问题展开了探究，请你根据对话内容，补充一个满足条件的的度数，然后求出的度数． 19．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 20．（21-22八年级上·河南郑州·期末）探究： （1）如图1，，，和的平分线交于点F，则______°； （2）如图2，，，且，和的平分线交于点F，则______；(用、表示) （3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 挑战： （4）如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，交于点F，那么与、有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练【新课衔接篇】 第三讲 多边形及其内角和 （导图指引+知识梳理+15个考点分类讲练+难度分层随堂练 共50题） 知识点梳理 多边形 1．多边形的基本概念： （1）定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形． （2）要素：顶点、边、内角、外角、对角线 内角：、、、、…… 外角： 对角线：连接不相邻两个顶点的线段是多边形的对角线．如BD. n边形对角线条数：条 （3）分类：凸、凹多边形：多边形的每一边都在任何一边所在直线的同一侧，叫做凸多边形；反之叫做凹多边形．（如图） （4）正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形（如图正六边形） 多边形 凸多边形 凹多边形 正六边形 2．多边形的内角和： （1）结论：n边形内角和等于． （2）证明： ①过n边形一个顶点，连对角线，可以得条对角线，并且将n边形分成个三角形，这个三角形的内角和恰好是多边形的内角和． ②在n边形边上取一点与各顶点相连，得个三角形，n边形内角和等于这个三角形内角和减去在所取的一点处的一个平角，即． ③在n边形内部取一点与n边形各顶点相连，得n个三角形，这n个三角形所有内角之和为，故n边形内角和等于． 3．多边形的外角和： （1）结论：多边形外角和等于360°． （2）证明： 如图：，， ，…… 等式右边共有n个相加，代表n边形的内角和，即． 模块一 多边形的概念 考点01：多边形的概念与分类 例1 （22-23七年级下·四川宜宾·期末）下列说法中，错误的有（    ） A．三角形是边数最少的多边形 B．等边三角形和长方形都是正多边形 C．边形有条边、个顶点、个内角、个外角 D．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条 【答案】B 【思路引导】本题考查了多边形，根据多边形的定义及性质逐项判断即可求解，掌握多边形的定义及性质是解题的关键． 【完整解答】解：．三角形是边数最少的多边形，该选项说法正确； ．长方形不是正多边形，该选项说法错误； ．边形有条边、个顶点、个内角和外角，正该选项说法确； ．六边形从一个顶点出发可以画条对角线，所有的对角线共有条，该选项说法正确； 故选：． 演练1 （2021·江苏南京·中考真题）下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（    ） A．1，1，1 B．1，1，8 C．1，2，2 D．2，2，2 【答案】D 【思路引导】若四条线段能组成四边形，则三条较短边的和必大于最长边，由此即可完成． 【完整解答】A、1+1+1<5，即这三条线段的和小于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； B、1+1+5<8，即这三条线段的和小于8，根据两点间距离最短即知，此选项错误； C、1+2+2=5，即这三条线段的和等于5，根据两点间距离最短即知，此选项错误； D、2+2+2>5，即这三条线段的和大于5，根据两点间距离最短即知，此选项正确； 故选：D． 【考点评析】本题考查了两点间线段最短，类比三条线段能组成三角形的条件，任两边的和大于第三边，因而较短的两边的和大于最长边即可，四条线段能组成四边形，作三条线段的和大于第四条边，因而较短的三条线段的和大于最长的线段即可． 考点02：多边形截角后的边数问题 例2 （24-25八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，四边形去掉一个后，剩下的新图形不可能是（   ）边形． A．三边形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【思路引导】本题考查了多边形，分情况，画出图形即可，能画出符合的所有情况是解题的关键． 【完整解答】解：如图所示，剩下的新图形可能是①三角形，②四边形，③五边形，不可能是六边形， 故选：D． 演练2 把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是 边形. 【答案】三、四、五 【完整解答】当剪去一个角后，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形， 故答案为三、四、五. 考点03：多边形的周长 例3 （23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）如图，在正八边形中，连接，设，四边形的周长分别为，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较的大小 【答案】B 【思路引导】本题考查了正多边形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形两边之和大于第三边的应用，先证明，得到，计算，结合两边之和大于第三边，计算判断即可． 【完整解答】∵该图是正八边形， ∴， ， ∵， ∴， 同理可证， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 演练3 （17-18八年级上·全国·课后作业）已知正n边形的周长为60，边长为a （1）当n=3时，请直接写出a的值； （2）把正n边形的周长与边数同时增加7后，假设得到的仍是正多边形，它的边数为n+7，周长为67，边长为b．有人分别取n等于3，20，120，再求出相应的a与b，然后断言：“无论n取任何大于2的正整数，a与b一定不相等．”你认为这种说法对吗？若不对，请求出不符合这一说法的n的值． 【答案】（1）20（2）不正确 【完整解答】试题分析：分析：（1）根据正多边形的每条边相等，可知边长=周长÷边数； （2）分别表示出a和b的代数式，让其相等，看是否有相应的值. 试题解析：（1）a=60÷3=20； （2）此说法不正确． 理由如下：尽管当n=3、20、120时，a＞b或a＜b， 但可令a=b，得， ∴60n+420=67n， 解得n=60， 经检验n=60是方程的根． ∴当n=60时，a=b，即不符合这一说法的n的值为60． 点睛：本题考查分式方程的应用，关键是以边长作为等量关系列方程求解，也考查了正多边形的知识点. 考点04：网格中多边形面积比较 例4 （23-24七年级下·广东中山·期末）【阅读理解】在平面直角坐标系中，将横、纵坐标均为整数的点称为格点．若一个多边形的顶点都在格点上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．如图，是格点三角形， 其对应的，，． (1)【学以致用】图中格点四边形对应的______，______，______ ； (2)【拓展研究】已知格点多边形的S，N，L存在 的数量关系，其中a，b为常数． ①试求出a，b的值； ②若某格点多边形对应的面积S为79，内部的格点数N为71，请求出该格点多边形边界上的格点数 L 的值． 【答案】(1)3；1；6； (2)①；②18 【思路引导】本题主要考查了新定义问题、平面直角坐标系中利用网格求图形面积、解二元一次方程组．求平面直角坐标系中图形面积时，常用的方法是割补法，即在图形外补出一个规则图形或者将所求图形分割成若干规则小图形． （1）利用网格即可求出四边形的面积S，根据图形数出内部的格点数N，边界上的格点数L即可． （2）①分别把，，和，，代入，建立健全二元一次方程组，即可求出，的值． ②先把a、b值代入，得，再把，代入求解即可． 【完整解答】（1）解：由图可得：， ， ； 故答案为：3；1；6． （2）解：①分别把，，和，，代入，得 ，解得：， ②由①知：， 当，时，则， 解得：． 演练4 （23-24八年级上·安徽·开学考试）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点处，现将三角形平移得到三角形，使点的对应点为点，点的对应点为点．    (1)请画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据图形平移的性质分别找到平移前后对应的顶点位置，然后连线即可； （2）采用割补方法，利用矩形面积减去多余直角三角形的面积即可． 【完整解答】（1）解：通过观察，发现点向右移动格，向下移动格即可得到对应点，将点、按照同样的平移方式，即可分别得到对应点、，然后顺次连接即可得到如下三角形，    （2）解：由图像可得， 则三角形的面积为． 【考点评析】本题考查了图像的平移，网格中三角形的面积计算，掌握网格中图像平移的性质并掌握网格中的面积计算是解题关键． 考点05：多边形对角线的条数问题 例5 （24-25八年级上·广东云浮·期中）学习了多边形后，我们知道过多边形的一个顶点可作若干条对角线（三角形除外）．如图，过一个顶点，四边形有1条对角线，五边形有2条对角线，六边形有3条对角线……按照此规律，过十二边形一个顶点的对角线有（   ） A．11条 B．10条 C．9条 D．8条 【答案】C 【思路引导】本题考查了多边形对角线的条数问题，根据从一个多边形一个顶点出发，可以连的对角的条数是边数，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：四边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 五边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 六边形从一个顶点出发，可以画条对角线， ∴十二边形从一个顶点出发，可以画条对角线， 故选：C． 演练5 （24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下： 多边形的边数 3 4 5 6 对角线的条数 0 2 5 9 (1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）； (2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示； (3)直接写出十二边形的对角线的条数． 【答案】(1) (2) (3)54 【思路引导】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是． （1）根据从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为条即可得出答案； （2）根据正n边形每个顶点可引出的对角线的条数为，正n边形对角线的总条数为即可得出答案； （3）根据（2）中的关系表达式，将代入计算即可得出答案． 【完整解答】（1）解：从n边形的一个顶点出发可以引出的对角线条数为； （2）解：边形有个顶点， 所有对角线有条，但每条对角线重复一次， 边形所有对角线的条数为； （3）解：将代入，得： ， ∴十二边形的对角线的条数为54． 考点06：对角线分成的三角形个数问题 例6 （24-25八年级上·云南昆明·期中）过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成了_____个三角形，这个多边形共有______条对角线（   ） A．5，21 B．5，14 C．4，28 D．4，21 【答案】B 【思路引导】本题考查了多边形的对角线问题，根据过边形的一个顶点引出的对角线将该多边形分成个三角形分析即可，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：过七边形一个顶点可以引出的对角线将多边形分成个三角形， 七边形共有对角线条数为：（条）， 故选：B． 演练6 （21-22七年级上·陕西榆林·期末）已知从一个六边形的某一个顶点出发的所有对角线将这个六边形分成了m个三角形，且这些对角线的条数是n，求的值． 【答案】 【思路引导】根据从多边形的一个顶点出发有条对角线，把多边形分成个三角形，求出的值，再进行计算即可． 【完整解答】解：因为从六边形的某一个顶点出发的所有对角线共有3条，将六边形分成了4个三角形， 所以， 所以． 【考点评析】本题考查多边形的对角线．熟练掌握从多边形的一个顶点出发有条对角线，是解题的关键． 模块二 多边形的内角和 考点07：多边形内角和问题 例7 （24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点． (1)如果，求的度数；（用含的式子表示） (2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______； (3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，外角和性质，多边形内角和等． （1）根据可得，再利用角平分线定义可得，再利用三角形内角和定理即可得到本题答案； （2）根据角平分线定义得出，再由四边形内角和定理可得结论； （3）先求出，后得到，，，继而得到本题答案． 【完整解答】（1）解：∵， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵作外角，的角平分线交于点， ∴， ∵与的平分线相交于点， ∴， ∴， ∵四边形内角和为， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 演练7 （24-25八年级上·重庆石柱·期中）如图，点D、E、G 分别为 边、、上的点，连接、，将沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段．若，，则的度数为 【答案】/度 【思路引导】本题考查折叠的性质，四边形内角和定理及三角形内角和定理：根据得到，根据折叠得到，，，结合得到，，，结合四边形内角和求解即可得到答案． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵沿、 翻折，顶点A，B 均 落在内部一点F 处，且与重合于线段， ∴，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 考点08：多（少）算一个角问题 例8 （24-25八年级上·吉林松原·期末）如图，五边形是正五边形，，若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查正五边形的性质、两直线平行，内错角相等、三角形的外角性质等知识．延长交于点H，由正五边形的性质，解得，再由三角形的外角和性质解得，据此代入数值解答即可． 【完整解答】解：延长交于点H，如图， 五边形是正五边形， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 演练8 （23-24八年级上·福建厦门·期末）用地砖铺地，用瓷砖贴墙，都要求砖与砖严丝合缝，不留空隙，把地面或墙面全部覆盖．从数学角度看，这些工作就是用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或平面镶嵌）的问题． 　　 (1)如图1是铺在某知名大学数学系大楼入口的彭罗斯地砖，它由如图2和如图3所示的两种不同菱形镶嵌而成． 请观察图形，并填空：______°，______°； (2)如图4所示的拼合图案是使用全等的正三角形地砖铺成．类似的，单独使用哪几种全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案？请证明你的结论； (3)我们也可以用边长相等的多种正多边形镶嵌平面．如果镶嵌时某个顶点处的正多边形有m个，设这m个正多边形的边数分别为，，…，，请说明m与，，…，应满足什么关系？当时，写出所有满足条件的正多边形的组合． 【答案】(1)72，36 (2)正三角形、正方形、正六边形 (3)，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形 【思路引导】本题考查平面镶嵌，涉及等边三角形的性质、正多边形的性质、图形类规律探究，理解平面镶嵌是解答的关键． （1）从图1中找到图2、图3菱形组成的部分，进而可求解； （2）只要正多边形的一个内角能整除即可； （3）先用边数表示出每个正多边形的内角，再根据一个顶点处的m个内角和为求解即可． 【完整解答】（1）解：由图1可知，，， ∴，， 故答案为：72，36； （2）解：∵正三角形的每个内角是，能整除， ∴全等的等边三角形能镶嵌成一个平面图案； 设正多边形的边数为n，则正多边形的每个内角为， ∵单独使用全等的正多边形能镶嵌成一个平面图案， ∴能整除，又n为正整数， ∴或4或6， 故单独使用全等的正三角形、正方形、正六边形能镶嵌成一个平面图案； （3）解：∵正n多边形的每个内角为， ∴正边形内角为，正边形内角为，…，正边形内角为， 由镶嵌条件，得， 则， ∴ 当时，， 若这4个正多边形都是正方形时，满足； 若这4个正多边形中，2个正方形，1个正三角形，1个正六边形，满足； 若这4个正多边形中，2个正三角形、2个正六边形时，满足， 综上，当时，满足条件的正多边形的组合为4个正方形；2个正方形，1个正三角形，1个正六边形；2个正三角形、2个正六边形． 考点09：多边形截角后的内角和问题 例9 （20-21八年级上·湖北荆州·阶段练习）小明在求某个多边形的内角和时，由于看漏了一个角而求得的度数和为2035°，那么这个多边形的边数为 ． 【答案】14 【思路引导】根据多边形的内角和公式（n-2）•180°可知多边形的内角和是180°的倍数，所求出的多边形的边数再加上1即可． 【完整解答】解：设除去的内角为α，则（n-2）•180°=2035°+α， ∵2035°÷180°=11…55°， ∴n-2=11+1=12， 解得n=14， 所以，这个多边形的边数n的值是14． 故答案为：14． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和公式，根据多边形的内角和公式得知多边形的内角和是180°的整数倍是解题的关键． 演练9 （24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）某同学在进行多边形的内角和的计算时，求得的内角和为，当发现错了之后，重新检查，发现是多加了一个内角，问：多加的这个内角的度数是 ，这个多边形是 边形． 【答案】 /45度 八 【思路引导】本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形的内角和公式 ，多边形的内角在之间，是解决问题的关键，首先由题意列出不等式组，进而求出边数的取值范围，注意边数为不小于3的整数，然后确定多加的内角度数． 【完整解答】解：解：由题意可知：多加的内角为． 解得． ∵n为正整数， ∴． ∴多加的内角为：． 故多加的这个内角是，这个多边形是八边形． 故答案为：，八． 考点10：复杂图形的内角和 例10 （24-25八年级上·山东德州·阶段练习）（1）如图是一个多边形，若用一条直线截去这个多边形的一个角，使该多边形分别满足以下条件，请你在图①，图②，图③中画出该条直线： ①新多边形内角和原多边形的内角和； ②新多边形内角和原多边形的内角和； ③原多边形内角和新多边形内角和； （2）若将一个多边形剪去一个角后，得到的新的多边形的内角和为，求原多边形的边数． 【答案】（1）见解析；（2）12或13或14． 【思路引导】本题主要考查了多边形内角和定理： （1）n边形内角和为，那么每增加一条边，对应的多边形内角和就增加180度，据此可知①的多边形边数为5，②的多边形边数为6，③的多边形边数为4，据此作图即可； （2）先根据多边形内角和计算公式求出新多边形的边数，再根据（1）进行讨论求解即可． 【完整解答】解：（1）如图所示，即为所求； （2）设新的多边形边数为n， 由题意得，， 解得， ∴新多边形的边数为13， 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为13； 当新多边形内角和原多边形的内角和时，原多边形的边数为12； 当原多边形内角和新多边形内角和时，原多边形的边数为14； 综上所述，原多边形的边数为12或13或14． 演练10 （24-25八年级上·湖北黄石·期中）已知一个多边形的内角和与外角和相加等于． (1)求这个多边形的边数及对角线的条数． (2)这个多边形剪去一个角后，所形成的新多边形有______条边． 【答案】(1)，； (2)或或 【思路引导】本题考查多边形内角和定理：多边形内角和为，解题的关键是剪角时注意分类讨论． （1）已知一个多边形的内角和与外角和的和为，外角和是，因而内角和是．边形的内角和是，代入就得到一个关于n的方程，就可以解得边数，从而得到这个多边形的对角线的条数． （2）剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变，由此即可求出答案． 【完整解答】（1）解：设这个多边形的边数为， ， 解得：； ∴对角线的条数为：； 所以这个多边形的边数是，它的对角线的条数是． （2）解：因为剪掉一个角以后，多边形的边数可能增加了条，也可能减少了条，或者不变， ①当沿两边中间点剪时，多边形多出一条边，边数为， ②当沿一边中间点与一顶点剪时，多边形边数不变，边数为， ③当沿两顶点剪时，多边形边减少1边，边数为， 综上所述：新多边形可能是条或条或条边． 考点11：正多边形的外角问题 例11 （2021八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= ． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G= ． 【答案】 【思路引导】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【完整解答】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 【考点评析】本题考查了三角形内角和定理及多边形内角和定理，熟练掌握相关定理是解题的关键． 演练11 （2020九年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数． 【答案】540° 【思路引导】如图所示，由三角形外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML，然后由多边形的内角和公式可求得答案． 【完整解答】解：如图所示： 由三角形的外角的性质可知：∠A＋∠B＝∠IJL，∠C＋∠D＝∠MLJ，∠H＋∠K＝∠GIJ，∠E＋∠F＝∠GML， ∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠K＝∠IJL＋∠MLJ＋∠GML＋∠G＋∠GIJ＝（5－2）×180°＝3×180°＝540°． 【考点评析】本题主要考查的是三角形外角的性质和多边形的内角和公式的应用，利用三角形外角和的性质将所求各角的和转化为五边形的内角和是解题的关键 考点12：多边形外角和的实际应用 例12 （24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，小新将若干个与全等的三角形进行摆放． （1）若小新取6个这样的三角形按照如图1所示的方法拼接起来，恰好能够围成正六边形；若取9个这样的三角形按照如图2所示的方法拼接起来，恰好能够围成正九边形，则 ； （2）小新取3个这样的三角形按如图3的形式摆放，则 ． 【答案】 /80度 /180度 【思路引导】本题考查了多边形的外角和，以及三角形的内角和． （1）根据图1可求出的度数，根据图2可求出的度数，进而可得答案； （2）利用的外角和是，得到，据此求解即可． 【完整解答】解：（1）由图1可知，恰好是正六边形的一个外角，则， 由图2可知，恰好是正九边形的一个外角，则， ∴， 故答案为：； （2）如图， ∵的外角和是， ∴， ∴． 故答案为：． 演练12 （24-25八年级上·内蒙古兴安盟·阶段练习）如图1，图2，在四边形中，是四边形的一个外角． (1)四边形的外角和为________度； (2)如图1，图2，已知． ①如图1，求证：； ②如图2，若，平分，交于点G，平分，且与相交于点F，试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)360 (2)①见解析；②．理由见解析 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，多边形的外角和，邻补角，对顶角，角平分线的定义，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用多边形的外角和定理即可作答； （2）①利用，是四边形，得到，再利用，即可证明； ②由①可知：，利用角平分线得到，进一步得到：，再利用，，证明，即． 【完整解答】（1）解：四边形的外角和为； 故答案为：360； （2）①证明：∵，是四边形， ∴， ∵， ∴； ②．理由如下， 假设和交于点H，如图， 由（1）可知：， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 考点13：多边形内角和与外角和综合 例13 （23-24八年级上·广东韶关·期中）（1）如图，求出的度数． （2）如图，求出的度数． 【答案】（1）；（2） 【思路引导】此题考查了三角形外角的性质、多边形的外角和定理、四边形的内角和定理等知识． （1）根据三角形外角的性质得到，，再用多边形外角和定理即可求解； （2）根据三角形外角的性质得到，再用四边形内角和为即可求解． 【完整解答】解：（1）∵是的外角， ∴， 同理， ∵三角形的外角和为， ∴， （2）∵是的外角，是的外角， ∴， ∵四边形内角和为， ∴ 演练13 （23-24七年级下·江苏南京·期中）几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)下列有、两题，请你选择其中一个进行证明(若两题都证明，按题A给分)． ．如图①，和是的两个外角，求证； ．如图②、是边、上的点，将沿翻折至，若点在内部，．我选择 作答 (2)如图③，、分别平分四边形的外角、．已知，，求的度数； (3)如图④，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若，，，．请你直接写出的度数用含、的代数式表示) 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题考查了三角形的外角的性质，多边形的外角和定理，折叠的性质； （1）选择，根据三角形的外角的性质，即可得证；选择B，由翻折性质得：，，进而根据三角形的外角的性质，折叠的性质证明，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，由（1）B可知：，即可求解． 【完整解答】（1）证明：选择，证明如下： ，，， ， ； 选择B，证明如下： 由翻折性质得：，， ，， ， ， ， 又，， ， ， 即； 故答案为：或． （2）延长，交于点，如图③所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ，， ， 设，， ，， ，， ， 即， ， ， 由（1）B可知：． 考点14：多边形内角和与外角和综合 例14 （24-25八年级上·安徽合肥·期中）小东在学习中遇到这样一个问题：如图1，中，平分，平分外角．猜想与的数量关系．    (1)小东阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入的值求的值， ①如果，则的度数为_____；如果，则的度数为_____． ②请猜想与的数量关系，并说明理由． (2)小东继续探究，如图2，在四边形中，平分，且与四边形的外角的平分线交于点．若，，则的度数为_____． (3)小东又思考，改变，的大小，如图3，在四边形中，四边形的内角的角平分线所在的直线与外角的角平分线所在的直线相交于点，若，，则可表示为_____．（请用含α、β的表达式表示） 【答案】(1)①，②，详见解析 (2)，详见解析 (3)，详见解析 【思路引导】（1）利用三角形内角和与外角关系求出与的关系，①将和代入即可得解，②利用三角形内角和与外角关系求出与的关系即可得证； （2）根据四边形内角和得出，利用三角形外角的性质和角平分线的性质得出，进而即可得解； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，由（1）得，，由三角形的内角和得出，进而即可求解． 【完整解答】（1）解：①∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 当得，当得； 故答案为：，； ②，理由如下： ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， 故答案为：； （3）如图，延长到G，延长，交于点H，    ∴，， ∵平分，平分， ∴平分，平分， 由（1）得，， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：； 【考点评析】本题主要考查了三角形内角和定理、四边形内角和，三角形外角的性质以及角平分线的性质等知识点，熟练掌握四边形的内角和是和三角形外角的性质是解决此题的关键． 演练14 （24-25八年级上·江西新余·期末）一个多边形的每个内角与它相邻的外角的度数之比为，这个多边形的内角和等于 ． 【答案】/1440度 【思路引导】本题考查了多边形的外角和定理，多边形内角和定理，邻补角的定义，熟练掌握外角和定理和内角和定理是解题的关键． 设每个内角与它相邻的外角的度数分别为、，根据邻补角的定义求出x，然后根据多边形的外角和为即可计算出多边形的边数，然后根据多边形内角和定理即可解答． 【完整解答】解：∵多边形的每个内角与它相邻的外角的度数之比为， 设每个内角与它相邻的外角的度数分别为、， ， ， 多边形的边数为， 内角和为， 故答案为：． 考点15：平面镶嵌 例15 （24-25八年级上·河南驻马店·期中）在日常生活中，观察各种建筑物的地板，你就能发现地板常用各种正多边形地砖铺砌成美丽的图案，也就是说，使用给定的某些正多边形，能够拼成一个平面图形，既不留下一丝空白，又不互相重叠（在几何里叫做平面镶嵌），这显然与正多边形的内角大小有关，当围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角（）时，就拼成了一个平面图形． (1)如图，请根据下列图形，填写表中空格： 正多边形边数 … 正多边形每个内角的度数 … (2)如果限于一种正多边形镶嵌，哪几种正多边形能镶嵌成一个平面图形？ (3)从正三角形、正方形、正六边形中选一种，再在其它正多边形中选一种，请画出用这两种不同的正多边形镶嵌成一个平面图，并探索这两种正多边形共能镶嵌成几种不同的平面图形？说明你的理由． 【答案】(1)，，； (2)正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形； (3)正方形和正八边形，图见解析，符合条件的图形只有一种，理由见解析． 【思路引导】（）利用求解即可； （）根据正多边形的内角能构成角即可； （）设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解即可； 本题考查了正多边形的内角问题，平面镶嵌，掌握知识点的应用是解题的关键． 【完整解答】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：如限于用一种正多边形镶嵌，则由一顶点的周围角的和等于得正三角形、正四边形（或正方形）、正六边形都能镶嵌成一个平面图形； （3）解：正方形和正八边形（如下图所示）， 理由：设在一个顶点周围有个正方形的角，个正八边形的角，那么，应是方程的正整数解， 即的正整数解，只有一组， ∴符合条件的图形只有一种． 演练15 （23-24八年级上·广东东莞·期中）【问题背景】 生活中，我们经常可以看到由各种形状的地砖铺成的漂亮地面．在这些地面上，相邻的地砖平整地贴合在一起，整个地面没有一点空隙．从数学角度来看，当一个顶点周围围绕的各个多边形的内角恰好拼成一个周角时，就能形成一个既不留空隙又不互相重叠的平面图案，我们把这类问题叫做多边形平面镶嵌问题．如图1是由正方形镶嵌而成的图案，图2是由正三角形、正方形和正六边形镶嵌的图案． 【探究发现】 （1）填写表中空格： 正多边形的边数 3 4 5 6 … n 正多边形每个内角的度数                   … （2）如果只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形有 ． ①正三角形 ②正五边形 ③正六边形 ④正七边形 ⑤正八边形 【拓展应用】 （3）如果同时用两种正多边形镶嵌，镶嵌的平面图案的一个顶点周围有x个正三角形和y个正六边形，求x和y的值． 【答案】（1），；（2）①③；（3）x和y是值为或 【思路引导】该题主要考查了n边形内角和定理以及平面镶嵌，二元一次方程的整数解等知识点，解题的关键是掌握n边形内角和定理以及平面镶嵌． （1）根据n边形内角和定理求出内角和再除以n即可求解； （2）根据除以n边形的每一个内角的度数是整数即可解答； （3）由题意得，x、y满足的正整数解即可求解； 【完整解答】解：（1）正三角形的每一个内角的度数为， 正方形的每一个内角的度数为， 正五边形的每一个内角的度数为， 故答案为：，； （2）由（1）的方法可求出， ①正三角形的每一个内角的度数是， ②正五边形的每一个内角的度数是， ③正六边形的每一个内角的度数是， ④正七边形的每一个内角的度数是， ⑤正八边形的每一个内角的度数是， 由于， 所以只用一种正多边形镶嵌，那么能镶嵌成一个平面图案的正多边形可以为正三角形，正方形，正六边形， 故答案为：①③； （3）由题意得，x、y满足的正整数解， 二元一次方程的正整数解为或， 答：x和y是值为或． 1．（22-23八年级上·广西河池·期末）若一个正多边形的每一个外角都等于，则它是（    ） A．正八边形 B．正九边形 C．正十边形 D．正十一边形 【答案】C 【思路引导】本题考查了多边形的外角和，正多边形的性质，根据正多边形外角和来求解是解本题的关键．根据边数多边形的外角和一个外角的度数即可． 【完整解答】解：， 故选：C． 2．（19-20七年级下·江苏常州·期中）若一个多边形的每个内角都是相邻外角的2倍，则这个多边形的边数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多半小时外角和内角综合，设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为，再根据正多边形一个内角的度数与一个外角的度数之和为180度建立方程求出一个外角的度数，再根据外角和为360度求出边数即可． 【完整解答】解：设这个多边形的一个外角的度数为x，则一个内角的度数为， ∴， 解得． ∴该多边形一个外角的度数为， ∴该多边形的边数为， 故选：C． 3．（24-25八年级上·广西河池·期末）如图，要使木架（用5根木条钉成）不变形，至少需要再钉木条（    ） A．2根 B．3根 C．4根 D．5根 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了三角形的稳定性，多边形对角线分三角形问题，三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成两个角形，即过六边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条，据此可得答案． 【完整解答】解：过五边形的一个顶点作对角线，有条对角线， ∴至少要钉上2根木条． 故选：A． 4．（23-24八年级上·四川自贡·期中）一个正多边形的内角和为，则这个多边形的边数是 ． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查了多边形内角和定理的应用．根据多边形内角和定理，列方程解答出即可． 【完整解答】解：设这个正多边形的边数为n， 根据正多边形内角和定理得， ， 解得． 故答案为：12． 5．（23-24八年级下·上海·期末）一个正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，设这个正多边形的边数为n，则这个多边形的内角和为，再根据多边形外角和为，结合题意建立方程求解即可． 【完整解答】解：设这个正多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个正多边形的边数是6， 故答案为：6． 6．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）已知：是的高，直线相交所成的角中有一个角为，则的度数为 ． 【答案】或 【思路引导】本题考查了三角形高的定义、四边形的内角和等知识，正确分类并画出图形是解题的关键； 分两种情况：为锐角与为钝角，分别画出图形，利用四边形的内角和求解即可． 【完整解答】解：当为锐角时，如图，设三角形的两条高交于点O， 则，， ∴， ∴； 当为钝角时，如图，设三角形的两条高所在的直线交于点O， 则，， ∴； 故答案为：或． 7．（24-25八年级上·云南楚雄·期末）一个n边形的每个外角都相等，它的内角与相邻外角的度数之比为． (1)求这个n边形一个内角的度数． (2)求这个n边形的内角和． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查多边形的内角与外角关系、方程的思想．关键是记住多边形的每一个内角与其相邻的外角互补、及外角和的特征． （1）先根据多边形的内角和外角的关系，列方程求解即可得出一个内角和一个外角； （2）根据外角和是固定的，求出多边形的边数，从而可代入公式求解． 【完整解答】（1）解：设这个n边形一个内角的度数为，则它的相邻外角的度数为， 根据题意，得 解得：， ，， 故这个n边形一个内角的度数为； （2）根据（1）得这个n边形一个外角的度数为， ， 这个n边形的内角和为． 8．（23-24七年级下·全国·期末）如图，在四边形中，与互补，分别平分，与相交于点G． (1)与有怎样的数量关系？说明理由： (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了四边形的内角和、余角和补角的定义，角平分线定义，平行线性质，弄清角之间的互余、互补关系是解题的关键． （1）根据四边形的内角和为360°以及补角的定义可得，再根据角平分线的定义以及平行线的性质即可得出； （2）根据可得的度数，根据可得的度数，根据平行线的性质可得的度数，然后根据三角形的内角和以及角的和差关系计算即可． 【完整解答】（1）解：．理由： ∵四边形的内角和为360°，， ∴， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 9．（24-25八年级上·山西吕梁·期末）规定：有一对相对的角互补的四边形叫做智慧四边形．例如，在四边形中，若或，则四边形是智慧四边形． (1)如图1，已知四边形是智慧四边形，其中三个内角、、的比是，则的度数为______． (2)如图2，D为内一点，且，的两个外角、的角平分线交于点E，判断四边形是否为智慧四边形，并说明理由． 【答案】(1) (2)四边形为智慧四边形，理由见解析 【思路引导】本题考查三角形的内角和定理，多边形的内角和，理解相关定义是解决问题的关键． （1）设，则，，由四边形是智慧四边形得，则，即可求得，则； （2）由题意可得，，进而可知，再结合三角形内角和定理可得，即可证明结论． 【完整解答】（1）设， ∵， ∴，， ∵四边形是智慧四边形， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． （2）四边形为智慧四边形，理由如下： ∵的两个外角、的角平分线交于点E， ∴，， 则 ， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形为智慧四边形． 10．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形．如图1，在四边形中，若，且，则四边形为等垂四边形． (1)如图2和如图3，已知四边形为等垂四边形，，． ①在图2中，若，，则的度数为______°； ②在图3中，若，，分别平分，，请判断四边形是否为等垂四边形，并说明理由． (2)如图4，在锐角中，，，且，D是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含α的式子表示）． 【答案】(1)①70；②是，理由见解析 (2)或，当时，的大小还可以为 【思路引导】本题考查新定义等垂四边形，平行线性质，角平分线定义，以及四边形内角和，解题的关键在于正确理解等垂四边形定义及性质． （1）①根据等垂四边形定义和四边形内角和求解，即可解题； ②利用平行线性质和角平分线定义得到，再结合等垂四边形性质得到，最后根据等垂四边形定义证明，即可解题； （2）根据等垂四边形定义，分三种情况，当B，C为顶点的一组对角相等时， 当A，B为顶点的一组对角相等时， 当A，C为顶点的一组对角相等时，结合四边形内角和求解，即可解题． 【完整解答】（1）解：①，， ， ， ， ， ， 故答案为：． ②四边形是等垂四边形，理由如下： ， ， ，分别平分，， ，， ， 四边形为等垂四边形，， ， 即， ， 四边形是等垂四边形． （2）解：以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形， 且，，且， ， 当B，C为顶点的一组对角相等时， 有， ， 或（不合题意，舍去）； 当A，B为顶点的一组对角相等时， 有，即， 则， 或（不合题意，舍去）； 当A，C为顶点的一组对角相等时， 有， 或（不合题意，舍去）； 综上所述，的大小为或，以及当时，的大小还可以为． 11．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图所示，在中，，的角平分线，交于点，外角平分线，交于点，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了邻补角、角平分线的定义、四边形内角和定理，根据各角之间的关系，求出是解题的关键．利用邻补角互补及角平分线的定义，可求出，的度数，再结合四边形的内角和为，即可求出． 【完整解答】解：如图所示，设点在的延长线上，点在的延长线上， ，的角平分线，交于点， ，， 和平分线，交于点， ，， ， ， ， ， 又， ． 故选：C． 12．（24-25八年级上·广东湛江·阶段练习）如图，已知中，，将按照如图所示折叠，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，掌握“三角形的内角和是”，“四边形的内角和是”，“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解决本题的关键． 利用三角形的内角和定理的推论，先用表示出，再利用邻补角和四边形的内角和定理用表示出，最后再利用三角形的内角和定理求出． 【完整解答】解：由折叠知． ， ， ， ， ， ， 故选：D． 13．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）“转化”是数学中的一种重要思想方法，同学们在研究多边形（边数大于3）的内角和时，通常是将多边形的内角和转化为三角形的内角和来解决，从而化陌生的问题为熟悉的情境来解决．现从一个n 边形一边的中点出发，依次连接多边形的各个顶点，分割得到的所有三角形的内角和是，则该n 边形的边数是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了多边形的性质，根据从n边形一边上的中点出发，依次连接多边形的各个顶点，把n边形分为了个三角形，再根据所有三角形的内角和列方程求解，即可解题． 【完整解答】解：从n边形一边上的中点出发，依次连接多边形的各个顶点，把n边形分为了个三角形， ， 解得：， 故选：C． 14．（2023·河北张家口·三模）如图，甲、乙两位同学用个完全相同的正六边形按如下方式拼成一圈后，使相邻的两个正六边形有公共顶点，设相邻两个正六边形外圈的夹角为，内圈的夹角为，中间会围成一个正边形，关于的值，甲的结果是，乙的结果是或4，则（    ）    A．甲的结果正确 B．乙的结果正确 C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确 【答案】D 【思路引导】正六边形的一个内角为，根据外角的定义有，，得，再讨论即可得的值． 【完整解答】解：∵正六边形的一个内角为， ∴， ∵为正边形的一个内角为度数， ∴， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 则的值为3或4或5或6． 故选：D． 【考点评析】本题考查了多边形的内角和．解题的关键是根据周角的定义推得． 15．（24-25八年级上·重庆石柱·期中）若一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的，则这个正多边形的边数是 【答案】5 【思路引导】本题考查多边形内外角关系，根据正多边形每个内角、外角都相等，结合多边形相邻内外角互补求解即可得到答案； 【完整解答】解：设正多边形的内角度数为， ∵一个正多边形同一个顶点处的外角是与它相邻的内角的， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：5． 16．（24-25八年级上·河北唐山·期中）已知一个多边形的边数为n． （1）若，则这个多边形的内角和是 °； （2）若这个多边形的内角和是它的外角和的3倍，则 ． 【答案】 540 8 【思路引导】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和公式以及多边形的外角和为是解本题的关键． （1）直接根据多边形内角和公式为求解即可； （2）根据多边形的外角和为，然后根据多边形内角和列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：当时，， 所以这个多边形的内角和为； 故答案为：540 （2）由题意得，， 解得：， 故答案为：8． 17．（23-24八年级上·广西河池·期中）已知一个多边形的边数为． (1)若该多边形的内角和的比外角和多，求的值； (2)若该多边形是正多边形，且其中一个内角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查多边形的内角和与外角和，正多边形的性质， （1）根据多边形内角和公式与外角和列式计算即可解答； （2）根据正多边形的性质及多边形内角和公式解答即可； 解题的关键是掌握：①边形的内角和为（且为正整数），外角和为；②正边形的每条边相等、每个内角相等、每个外角相等． 【完整解答】（1）解：依题意，得： ， 解得：， 即的值为； （2）（2）依题意，得： ， 解得：， 即的值为． 18．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）数学社团的同学们在研究“生活中的数学”时，发现字母“e”可以看成如图1所示的几何图形．已知和互为补角． (1)小林同学研究了与两条线段所在直线的位置关系，获得结论：．请你写出证明过程； (2)小明、小颖、小丽三名同学继续对该问题展开了探究，请你根据对话内容，补充一个满足条件的的度数，然后求出的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2)补充， 【思路引导】本题考查的是平行线的判定，三角形的外角的性质，多边形的内角和定理的应用； （1）由，，证明可得结论； （2）补充，先求解，，再利用三角形的外角的性质可得结论． 【完整解答】（1）解：∵和互为补角． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，补充， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 19．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）计算：如图1，已知，，求的度数． 归纳：与分别为的两个外角，与之间的数量关系为__________________，并给予证明． 应用：如图2，在纸片中剪去，得到四边形．若，则_______________． 拓展：如图3，在四边形中，，分别平分外角，，设 ①试说明与的数量关系； ②根据值的情况，请直接判断的形状（按角分类）． 【答案】计算：；归纳：，证明见解析；应用：；拓展：①；②当时，为钝角三角形；当，为直角三角形；当时，为锐角三角形； 【思路引导】计算：根据三角形外角的性质和三角形内角和定理求解即可． 归纳： 由，，，再进一步求解即可． 拓展：①利用角平分线的定义、三角形外角和内角和定理求解即可．②分三种情况：当时，当时，当时，分别判定即可. 【完整解答】解：计算：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 归纳：； 证明：， ． ，， ，， ∴， ∴， ∴； 应用：∵在纸片中剪去，得到四边形． ∴结合归纳可得：， ∵， ∴； 拓展： ①如图，∵，分别平分外角，， ∴，， ∴ ， ； ②当时， ， ， 为钝角三角形； 当时，， 为直角三角形； 当时， ， ， 由题意可得，， ，都是锐角． 为锐角三角形． 【考点评析】本题考查角平分线的定义，三角形外角性质与内角和定理，三角形分类，四边形的内角和定理，熟练掌握三角形外角性质与内角和定理是解题的关键． 20．（21-22八年级上·河南郑州·期末）探究： （1）如图1，，，和的平分线交于点F，则______°； （2）如图2，，，且，和的平分线交于点F，则______；(用、表示) （3）如图3，，，当和的平分线、平行时，、应该满足怎样的数量关系？请证明你的结论． 挑战： （4）如果将（2）中的条件改为，再分别作和的平分线，交于点F，那么与、有怎样的数量关系？画出图形并直接写出结论． 【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析；（4），图和证明见解析． 【思路引导】（1）利用角的平分线定义，四边形的内角和定理，三角形外角性质，解答即可； （2）利用角的平分线定义，四边形的内角和定理，三角形外角性质，解答即可； （3）利用平行线的性质，结合前面的证明解答即可． （4）利用角的平分线定义，四边形的内角和定理，三角形外角性质，解答即可． 【完整解答】（1）解：平分，平分， ，. ， . 又， . 故答案为：35. （2）解：由(1)得：， . . 故答案为：. （3）若，则. 证明：若，则. 平分，平分， ，. . . . （4）解：如图4，平分，平分， ，. ， . . . 与是对顶角， . 又， . ， 即. 【考点评析】本题考查了角的平分线，四边形内角和定理，三角形外角性质，平行线的判定和性质，对顶角的性质，熟练掌握角的平分线，四边形的内角和定理，三角形外角性质是解题的关键． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$