第二讲 与三角形有关的角（导图指引+知识梳理+8个考点分类讲练+难度分层随堂练 共44题）-2025年七升八年级暑假衔接培优同步讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练【新课衔接篇】 第二讲 与三角形有关的角（章节13.3） （导图指引+知识梳理+8个考点分类讲练+难度分层随堂练 共44题） 知识点梳理01：三角形的角 定 义 示例剖析 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 知识点梳理02：两大模型与角度关系 “飞镖”模型 “8”字模型 飞镖模型结论的常用证明方法： 知识点梳理03：两大模型与边长关系 “飞镖”模型 “8”字模型 模块一 与三角形有关的角 考点01：三角形内角和定理的证明 例1 （2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 演练1 （24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 演练2 （24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动： (1)【问题情境】 如图①，已知是的三个内角． 求证：．小明过点A作，请完善小明的证明过程； (2)【尝试运用】 如图②，在（1）的条件下，分别作和的角平分线和，若，求的度数； (3)【拓展探索】 如图③，在图①的基础上，分别作和的四等分线和，即，若，求的度数． 考点02：与平行线有关的三角形内角和问题 例2 （24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 演练1 （24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 演练2 （24-25八年级上·山西大同·开学考试）如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 考点03：与角平分线有关的三角形内角和问题 例3 （23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将线段平移得到线段（点A、B的对应点分别是C、D），若点（，且），连接、， (1)点D的坐标为 （用含m的式子表示） (2)探究，，之间的数量关系 (3)若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求m的值． 演练1 （24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 演练2 （24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 考点04：三角形折叠中的角度问题 例4 （24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 演练1 （24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 演练2 （24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 考点05：三角形内角和定理的应用 例5 （24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 演练1 （24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 演练2 （24-25八年级上·广东汕头·期中）某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线，为了准确定出右边开挖的方向线，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得，，那么应等于（   ）度才能确保与在同一条直线上． A．52 B．100 C．28 D．任意度数 考点06：直角三角形的两个锐角互余 例6 （18-19七年级下·山西太原·期中）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且和直角三角形． (1)操作发现：在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； (3)实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将（2）中的图形继续变化得到如图3所示，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写与的数量关系． 演练1 （24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（   ）    A． B． C． D． 演练2 （24-25八年级上·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 考点07：锐角互余的三角形是直角三角形 例7 （24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 演练1 （24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 演练2 （24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 模块二 三角形的外角 考点08：三角形的外角的定义及性质 例8 （23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 演练1 （24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 演练2 （24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 1．（22-23八年级上·广西河池·期末）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，将一副直角三角尺按如图摆放在同一平面内，直角顶点E在斜边上，且点F在的延长线上，已知，，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 6．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）若三角形分别满足以下条件：①，；②；③；④；⑤则其中能判断直角三角形的个数是 个 7．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 9．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，，点，分别在射线，上移动，平分，交于点，平分，的反向延长线与交于点．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点，在射线，射线（均不与点重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 12．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，，在边上，，在上取一点，使，则的度数是 ． 15．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为 ． 16．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ． 17．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 19．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练【新课衔接篇】 第二讲 与三角形有关的角（章节13.3） （导图指引+知识梳理+8个考点分类讲练+难度分层随堂练 共44题） 知识点梳理01：三角形的角 定 义 示例剖析 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 知识点梳理02：两大模型与角度关系 “飞镖”模型 “8”字模型 飞镖模型结论的常用证明方法： 知识点梳理03：两大模型与边长关系 “飞镖”模型 “8”字模型 模块一 与三角形有关的角 考点01：三角形内角和定理的证明 例1 （24-25八年级上·山西晋中·期末）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容――利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，，求证： 方法一 方法二 【答案】见解析 【思路引导】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理的证明，熟练掌握利用平行线的性质证明三角形的内角和定理是解答的关键． 方法一：过点A作，利用平行线的性质得到，，再利用平角定义和等量代换可得结论； 方法二：过点C作，利用平行线的性质得到，即可求解． 【完整解答】证明：方法一：过点A作． ∵， ∴，． ∵， ∴， 即； 方法二：过点C作． ∵， ∴，， ∴，即． 演练1 （24-25八年级上·贵州贵阳·期末）小明在学习了三角形内角和定理时，对三角形进一步开展探究活动： (1)【问题情境】 如图①，已知是的三个内角． 求证：．小明过点A作，请完善小明的证明过程； (2)【尝试运用】 如图②，在（1）的条件下，分别作和的角平分线和，若，求的度数； (3)【拓展探索】 如图③，在图①的基础上，分别作和的四等分线和，即，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，交平分线的定义，平行线的性质． （1）由平行线的性质得到，再根据平角的定义即可解答； （2）根据交平分线的定义求出，再利用三角形内角和定理结合，即可解答； （3）同理（2）可得，求出，由即可解答． 【完整解答】（1）证明：∵． ． ， ； （2）解：由（1）知， ∵平分，平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：同理（2）可得：， ∴， ∴． 演练2 （24-25八年级上·山西晋中·期末）课堂回顾 在学习《三角形内角和定理》时，张老师鼓励同学们用不同的方法证明三角形内角和定理． 已知：如图1，． 求证：． 下面是小明与小颖的想法． 小明的想法：把三个角“凑”到A处，他过点A作直线（如图2）．下面是他写的证明过程，请你在括号内填写依据． 证明：过点A作直线，则 ，（______） ，（平角的定义） ．（______） 小颖的想法：从之前撕角的验证过程中得到了思路启发（如图3），在线段的右侧作（如图4）．你认为她的想法可行吗？如果可行，请写出证明过程；如果不可行，请说明理由． 【答案】两直线平行，内错角相等；等量代换；可行，过程见解析 【思路引导】本题考查三角形内角和的证明，平行线的性质与判定；小明的想法逐步分析前后步骤之间的关系，再填上理由即可；小颖的想法由可得，即可得到，等量代换以后得到． 【完整解答】解：小明的想法证明过程如下： 证明：过点A作直线，则 ，（两直线平行，内错角相等） ，（平角的定义） ．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；等量代换； 小颖的想法可行． 证明：如图，作， ∴， ， 即， ． 考点02：与平行线有关的三角形内角和问题 例2 （24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【完整解答】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 演练1 （24-25八年级上·山西大同·开学考试）如图，，与的平分线相交于点G，于点E，F为AC上的一点，且，于点H．下列说法：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【思路引导】①中，运用平行线的性质以及三角形的内角和性质列式，化简作答；②中，根据等角的余角相等，得，故；③中，根据三角形的面积公式进行作答；④运用四边形内角和360度以及，得出，再结合角平分线的性质，证明全等，即可作答．此题的综合性较强，运用了平行线的性质、等角的余角相等、四边形的内角和公式、等边对等角、三角形的面积公式、角平分线的概念． 【完整解答】解：∵ ∴， ∵与的平分线相交于点G， ∴， ∵ ∴； 故①是正确的； ②中，∵ ∴ ∴ 故②是正确的； ， （等底同高）； 故③是正确的； 在四边形中，． 又， 则， 故④是正确的． 故选：A． 演练2 （23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，将线段平移得到线段（点A、B的对应点分别是C、D），若点（，且），连接、， (1)点D的坐标为 （用含m的式子表示） (2)探究，，之间的数量关系 (3)若三角形的面积是三角形的面积的2倍，求m的值． 【答案】(1) (2)， (3)或 【思路引导】（1）根据题意可得将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D，即可求解； （2）由题意可得点C、D分别在直线、的直线上，分类讨论：当线段在的左侧时，如图，延长交直线于点F；当线段在的右侧，且在点E左侧，如图；延长交的延长线于点G；当线段在的右侧，且在点E右侧时，如图，过点E作交直线于点M，根据平行线的性质和等量代换即可求解； （3）过点A作的延长线于点N，连接，求得，进而求得，即，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴，， ∴将向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点D， ∴，即， 故答案为：； （2）解：∵，，可得点C、D分别在直线、的直线上， 当线段在的左侧时，如图，延长交直线于点F， 由题意得，， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴； 当线段在的右侧，且在点E左侧，如图；延长交的延长线于点G， 由题意得，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当线段在的右侧，且在点E右侧时，如图，过点E作交直线于点M， 由题意得，， ∴， ∴，， ∴， 即； 综上所述，，； （3）解：如图，过点A作的延长线于点N，连接， ∵ ， ∴， ∵，， ∴， ∴或， ∴或． 【考点评析】本题考查坐标与图形−平移变化、平行线的性质、绝对值的性质、三角形内角和定理、解一元一次方程，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 考点03：与角平分线有关的三角形内角和问题 例3 （24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）（1）如图①，平分，平分，试确定和的数量关系； （2）如图②，在中，、把三等分，把三等分，试猜想和的数量关系，并给出证明； （3）在图②的基础上把变成四边形，如图③，把三等分，把三等分，请直接写出和的数量关系． 【答案】（1）（2），证明见解析（3） 【思路引导】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）根据三角形的内角和定理和角平分线平分角，进行求解即可； （2）根据三等分角，求出，再利用三角形的内角和定理进行求解即可． （3）根据三等分角，得到，再根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【完整解答】解：（1）∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵、把三等分，把三等分， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵把三等分，把三等分， ∴， ∴； ∴． 演练1 （24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，在中，，，平分，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题主要考查三角形内角和定理和角平分线定理，根据三角形内角和定理求得，结合角平分线定理即可求得答案． 【完整解答】解：，， ， 平分，， 演练2 （24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，点E，F分别在边和上，连接，将沿着直线折叠，使得点A与点重合，连接，，平分，平分． (1)若，求的度数： (2)若，，求出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题主要考查折叠的性质，三角形内角和定理和角平分线定义等知识，熟练掌握疏导他对于空间解答本题的关键． （1）由三角形内角和定理求出，由角平分线定义得，再由三角形内角和定理可求出； （2）设，则，求出根据可得结论． 【完整解答】（1）解：如图， ，且 又平分，平分， ∴ ∴ ； （2）解：设，则， 由折叠得， ∴ ∴ 而 ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 考点04：三角形折叠中的角度问题 例4 （24-25八年级上·吉林·期中）如图，在中，将和按如图所示方式折叠，点B，C均落于边上一点G处，线段，为折痕．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形的内角和定理，图形的折叠问题，平角的定义等知识点，根据三角形的内角和定理可得，再由折叠的性质可得,,从而得到,进而即可得解，熟练掌握三角形的内角和定理，图形的折叠的性质并能灵活运用是解决此题的关键． 【完整解答】解：, 由折叠的性质得：, , ， 故答案为：． 演练1 （24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，将一张长方形纸片沿对角线折叠后，点落在点处，连接交于，再将三角形沿折叠后，点落在点处，若刚好平分，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了矩形中的折叠问题，角平分线的定义，解题的关键是掌握折叠的性质．由折叠可知，，，结合平分，可得，推出， ，根据，即可求解． 【完整解答】解：由折叠可知，，， 平分， ， ， ， ， ， 在矩形中，， ，即， ， ． 故选：A． 演练2 （24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【完整解答】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 考点05：三角形内角和定理的应用 例5 （24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【完整解答】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 演练1 （24-25八年级上·广东汕头·期中）某工程队准备开挖一条隧道，为了缩短工期，必须在山的两侧同时开挖，为了确保两侧开挖的隧道在同一条直线上，测量人员在如图的同一高度定出了两个开挖点P和Q，然后在左边定出开挖的方向线，为了准确定出右边开挖的方向线，测量人员取一个可以同时看到点A，P，Q的点O，测得，，那么应等于（   ）度才能确保与在同一条直线上． A．52 B．100 C．28 D．任意度数 【答案】A 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理的应用，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．要确保与在同一条直线上，即在同一条直线上，则点需在的边上，利用三角形的内角和定理求解即可得． 【完整解答】解：要确保与在同一条直线上，即在同一条直线上，则点需在的边上， ∴， ∵，， ∴， 即应等于52度才能确保与在同一条直线上． 故选：A． 演练2 （18-19七年级下·山西太原·期中）问题情境：在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直线且和直角三角形． (1)操作发现：在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； (3)实践探究：缜密小组在创新小组发现结论的基础上，将（2）中的图形继续变化得到如图3所示，平分，此时发现与又存在新的数量关系，请直接写与的数量关系． 【答案】(1) (2)理由见详解； (3) 【思路引导】本题考查的是直角三角形的性质，平行线的性质，掌握连续性的性质定理是解题的关键． （1）根据直角三角形的性质求出，根据平行线的性质解答； （2）过点作，由此可得，进而可得出结论； （3）根据平分，可知，过点作，则，根据，，可知，，则，进而可知，则． 【完整解答】（1）解：如图标出， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， 过点作， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 考点06：直角三角形的两个锐角互余 例6 （24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，于点，于点，则下列各角中，与一定相等的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题主要考查垂直的定义，角的和差，熟练掌握垂直的定义是解题的关键．根据，即可得到结论． 【完整解答】解：， ， ， ， ， 故选B． 演练1 （24-25八年级上·江西赣州·期末）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”．例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． 如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（），． (1)求的度数． (2)若是中边上的高，则，都是“友爱三角形”吗？为什么？ 【答案】(1)，； (2)、都是“友爱三角形”，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，本题是新定义题型，理解新定义，并熟练运用是解题的关键． （1）利用“友爱三角形”的定义及结合解答即可； （2）由，，，求出，，根据“友爱三角形”的定义即可得出结论． 【完整解答】（1）解：是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”（）， ， ， ，即，解得， ； （2）解：、都是“友爱三角形”， 理由：是中边上的高， ， ，， ，， 在中，，， ， 为“友爱三角形”； 在中，，， ， 为“友爱三角形”． 演练2 （24-25八年级上·福建厦门·阶段练习）如图，在中，点在上，过点作，交于点，平分，交的平分线于点，与相交于点，的平分线与相交于点． (1)若，，则___________°，___________°； (2)若（其中是固定值），当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？若有变化，说明理由；若不变化，求的度数（用的代数式表示）； (3)若中存在一个内角等于另一个内角的三倍，请直接写出所有符合条件的的度数． 【答案】(1)，； (2)； (3)或或或． 【思路引导】（1）由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （2）同理由平行线的性质，角平分线的定义结合三角形内角和定理即可求解； （3）设，由（）可知，．再由不变，即可分类讨论①当时，②当时，③当时和④当时，分别列出关于的等式，解出即可． 【完整解答】（1）解：∵，， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴，． ∵平分， ∴． ∴； ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∵， ∴，即， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴，． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． ∴． 由（）可知不变， ∴． （3）解：设， 由（）可知，． ∵， ∴可分类讨论：①当时， ∴， 解得：， ∴； ②当时， ∴， 解得：， ∴； ③当时， ∴， 解得：， ∴； ④当时， ∴， 解得：， ∴． 综上可知或或或． 【考点评析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形的两锐角互余，三角形内角和定理等知识．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 考点07：锐角互余的三角形是直角三角形 例7 （24-25八年级上·吉林·期中）下列条件不能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．， 【答案】C 【思路引导】本题考查了直角三角形的判定，三角形的内角和，根据三角形内角和定理，直角三角形的判定逐项判断即可，掌握三角形内角和定理及直角三角形的定义是解题的关键． 【完整解答】、由题意可设三角形的三个内角度数分别为、、， ∴， ∴，故三角形三个内角的度数分别为、、， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、∵， ∴， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 、设，，（为正数）， ∵， ∵， ∴， ∴，，， ∴此选项中不是直角三角形，符合题意； 、∵，， ∴， ∴此选项中是直角三角形，不符合题意； 故选：． 演练1 （24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）在下列条件：①；②；③；④；⑤中，能确定为直角三角形的条件有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【思路引导】本题考查的是直角三角形的判定，三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键．根据直角三角形的判定对各个条件进行分析，从而得到答案． 【完整解答】解：①当时，不能判定是直角三角形，不符合题意； ②当时，，能确定为直角三角形，符合题意； ③设，则，， ， 解得， ，，，不能判定是直角三角形，不符合题意； ④设，则，， ， 解得， ，能确定为直角三角形，符合题意； ⑤设，则， ， 解得：， ，，不能判定是直角三角形，不符合题意； 综上所述，能确定为直角三角形的条件有2个， 故选：． 演练2 （23-24七年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，，求的度数； (3)若的周长为，，当中线将分成周长差为的两部分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【思路引导】（1）由两直线平行，内错角相等得出，再根据题意可得出，最后根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出； （2）根据题意可求出的大小，再根据角平分线的定义，得出，最后根据三角形外角的性质，即可求出的大小； （3）设，则，得出，，分两种情况：当时，当时，分别列出方程，求出x的值，再求出结果即可． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵的周长为，， ∴设，则， ∵是的中线， ∴， 则， ， 当时，， 解得：， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上可知：或． 模块二 三角形的外角 考点08：三角形的外角的定义及性质 例8 （24-25八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，平分交于点D，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了三角形内角和定理和角平分线的相关计算，三角形外角的性质等知识，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线定义得到，根据角的和即可求出答案； （2）根据角平分线的定义得到，由三角形内角和定理即可得到答案． 【完整解答】（1）解：，平分， ．    ． （2）   平分交于点D，平分交于点E． ． 演练1 （24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【完整解答】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 演练2 （24-25八年级上·陕西西安·期末）定义：在一个三角形中，若一个内角的度数是另一个内角的度数的3倍，则这样的三角形称为“优美三角形”．例如：三个内角分别为的三角形是“优美三角形”． 【概念理解】 （1）如图1，，点在边上，过点作，交于点，以为端点作射线，交线段于点（点不与点重合）． ①______“优美三角形”（填“是”或“不是”）． ②若，求证：是“优美三角形”． 【应用拓展】 （2）如图2，点在的边上，连接，，作的平分线，交于点，在上取一点，使，．若是“优美三角形”，求的度数． 【答案】（1）①是；②见解析；（2） 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，外角定理，平行线的判定与性质，“优美三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意． （1）①根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“优美三角形”的概念判断； ②根据“优美三角形”的概念证明即可； （2）根据比较的性质得到，根据平行线的性质得到，推出，得到，根据角平分线的定义得到，求得，根据“优美三角形”的定义求解即可． 【完整解答】（1）①解：， ， ， ， 为“优美三角形”， 故答案为：是； ②证明：，， ， ， 为“优美三角形”； （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 是“优美三角形”， ， ， ． 1．（22-23八年级上·广西河池·期末）一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质．先得出，再运用三角形内角和进行列式，计算即可作答． 【完整解答】解：如图所示： 由题意得出， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，将一副直角三角尺按如图摆放在同一平面内，直角顶点E在斜边上，且点F在的延长线上，已知，，当时，的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键．根据三角形外角的性质可进行求解． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 3．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）在下列条件中：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查三角形内角和定理，判断三角形能否构成直角三角形等．根据题意逐一对序号进行分析即可得到本题答案． 【完整解答】解：∵，， ∴，即：，即①能确定是直角三角形， ∵， ∴设， ∴，即：， ∴，即②能确定是直角三角形， ∵，， ∴，解得：，即③不能确定是直角三角形， ∵，， ∴，解得：， ∴，即④能确定是直角三角形， 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，、分别平分和，连接，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理及三角形角平分线的性质，根据三角形的三条角平分线相交于同一点，得出平分是解题的关键．先由三角形的角平分线的定义得出，，根据三角形内角和定理得出，再由三角形的三条角平分线相交于同一点，可知平分，进而可求出答案． 【完整解答】解：平分，， ， 平分，， ， ． 在中，、分别平分和， 平分， ， 故选：C． 5．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，设，由三角形外角的性质可得出，在中，利用三角形内角和定理可求出x的值，再将其代入中即可求出结论． 【完整解答】解：设， 则， 在中，， 即， 解得， ， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）若三角形分别满足以下条件：①，；②；③；④；⑤则其中能判断直角三角形的个数是 个 【答案】 【思路引导】此题考查三角形的内角和定理：掌握三角形的内角和是解决问题的前提．利用三角形的内角和定理分别求得最大角的度数，进一步判断即可． 【完整解答】解：①，判定三角形是直角三角形，故①符合题意； ②，， 两式相加得，故是直角三角形，故②符合题意； ③， ∴设，则 ∵ ∴， ∴ ∴三个内角为，故不是直角三角形，故③符合不题意；； ④∵ ∴设， ∵ ∴， ∴ ∴，故是直角三角形，故④符合题意； ⑤由条件得到，，而，求出，得到，判定三角形是直角三角形，故⑤符合题意． 其中能判断直角三角形的个数是个． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）如图，在中，，分别是的中线和高，是的角平分线． (1)若的面积为，，求的长； (2)若，，求的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了三角形的中线、高和角平分线，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识． （1）由三角形的中线定理可得：，，再结合，即可求解； （2）根据三角形的外角性质可求出，根据角平分线的定义可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【完整解答】（1）解：是的中线，的面积为， ，， ， ， ； （2），， ， 是的角平分线， ， 是的高， ， ， ． 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）（1）问题引入：如图①，在中，O是和的平分线的交点，若，则________；如图②，，，，则________（用含的式子表示） （2）如图③，，，，请猜想________（用含的式子表示），并说明理由． （3）类比研究：，分别是的外角，的n等分线，它们交于点O，，，，请猜想________． 【答案】（1）；（2）（3） 【思路引导】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）由三角形内角和定理可求得，根据角平分线的定义可求得，在中利用三角形内角和定理可求得； （2）方法同（1）； （3）根据三角形的内角和等于列式整理即可得． 【完整解答】解：（1）∵，, ∴， ∵点O是和平分线的交点， ∴， ∵， ∴； 同法，在中， ， 故答案为：；； （2） 理由如下：在中， ； 故答案为：； （3）类似（2），可得在中， ； 故答案为：． 9．（24-25八年级上·吉林长春·开学考试）【结论发现】 小明在完成教材第43页第21题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论应用】 （1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，则的度数为 °； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于P、F，求的度数； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形的内角与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数为______． 【答案】（1）20；（2）；（3）200 【思路引导】（1）设，由角平分线定义得，，，由三角形外角定理得，，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）①延长，交于，延长，交于，先求出，，再根据，得，则，由此可得的度数． 【完整解答】解：（1）设， 平分，平分， ，，， ，， 整理得：， 当时，， 故答案为：20； （2）和是邻补角， ， 平分，平分， ，， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）①延长，交于，延长，交于，如下图所示： ，， 即， 同理：， ，， ， 由（1）可知：， ； 故答案为：200． 【考点评析】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 10．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）在中，，平分，点在射线上，连接，点在的延长线上． (1)如图，． ①若，分别求和的度数； ②若直线与的一条边垂直，求的度数； (2)若平分，请直接写出的度数． 【答案】(1)①，；②的度数为，或 (2)的度数为． 【思路引导】（1）①根据三角形外角的性质可以求出，根据角平分线的定义可以求出，根据平行线的性质可得；②若直线与△的一条边垂直，则要分当时、当时、当时三种情况分类讨论； （2）根据三角形外角的性质和角平分线的定义可知，再利用三角形外角等于与它不相邻的两内角之和可以求出结果． 【完整解答】（1）解：①，， ； 平分， ， ， ； ②， ， 当时，如下图所示，； 当时，如图，， ； 当时，如图， ． 综上，当直线与△的一条边垂直时，的度数为，或； （2）解：， 平分， ， ， 即的度数为． 【考点评析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和定理，三角形的外角的性质． 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）如图，，点，分别在射线，上移动，平分，交于点，平分，的反向延长线与交于点．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（   ） 结论Ⅰ：若，则； 结论Ⅱ：无论点，在射线，射线（均不与点重合）上怎样移动，的度数都不变 A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 【答案】B 【思路引导】本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键． 结论Ⅰ：由平分，，可得，可得，再由平分，可得，再判断即可； 结论Ⅱ：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论； 【完整解答】解：结论Ⅰ：平分，， ， ， 平分， ， 故结论Ⅰ错误； 结论Ⅱ：的大小不会变，，理由如下： ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 即的大小不会变，， 故结论Ⅱ正确． 故选：B． 12．（24-25八年级上·山西晋中·期末）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为该凸透镜的焦点．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查对顶角，三角形的外角以及平行线的性质，对顶角求出的度数，三角形的外角，求出的度数，再根据平行线的性质，求出的度数即可． 【完整解答】解：∵，， ∴， ∵光线平行于主光轴， ∴， ∴； 故选D． 13．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出． 【完整解答】∵的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； 取的延长线与点M，的延长线与点N，如图： 平分，平分， ， 故C正确，不符合题意； 由选项C知， ，无法得到， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 14．（24-25八年级上·天津·阶段练习）如图，在中，，在边上，，在上取一点，使，则的度数是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，设，则，，由是的外角，利用三角形的外角性质，可求出，再利用三角形内角和定理求出的度数即可，掌握以上知识点是解题的关键． 【完整解答】解：设，则，， ∵是的外角， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，，在上取一点，延长到，使得；在上取一点，延长到，使得，，按此做法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形内角和定理及外角性质，图形类规律变化问题，由三角形内角和定理及外角性质可得，，，进而可得，据此即可求解，找到角度的变化规律是解题的关键． 【完整解答】解：在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴， 同理得，，， ∴， 故答案为：． 16．（20-21七年级下·湖北武汉·期末）如图，已知，点在上，点为平面内一点，，过点作，平分，平分，若，．则 ． 【答案】 【思路引导】延长交于点，结合所给的条件，则可找到，通过角之间关系的转化，可以得到，从而可得，再结合可求得的度数，则可求的度数．本题主要考查了平行线的性质，垂线，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形，找到已知条件与所求角之间的关系． 【完整解答】解：延长交于点，如图所示： ，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ，整理得：， ， ， 在中，， ， ， 即， ， 解得：， ． 故答案为：． 17．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期中）如图，在中，是高，，是角平分线，它们相交于点O，，．求和的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的内角和定理，外角的性质，高线、角平分线的定义，熟记定义并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据三角形的内角和定理，高线、角平分线的定义，外角的性质进行解答即可． 【完整解答】解：∵在中，是高， ∴， ∵在中，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵在中， ，是角平分线， ∴，， ∴， ∴． 18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，点D在边上，连接，．是中边上的高线，延长交于点F．设，． (1)当时，的度数为_____； (2)求的度数（用含的式子表示）； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，三角形内角和为是解题的关键． （1）先根据题意得到，再由三角形内角和定理求出，则； （2）同理求出，则由三角形外角的性质得到； （3）先得到，再由三角形内角和定理得到，即可求出． 【完整解答】（1）解：，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵是中边上的高线， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）将一副三角板中的两块直角三角板的直角顶点按如图方式叠放在一起，，，． (1)①若，则的度数为 ； ②若，则的度数为 ； (2)由（1）猜想与的数量关系，并说明理由． (3)现固定，将绕点旋转，点永远在直线上方，使两块三角尺有一组边互相平行，请直接写出所有满足条件的的度数． 【答案】(1)①，② (2)，理由见解析 (3)、、、、 【思路引导】本题考查了平行线的性质求角度，三角形内角和定理，角的和差计算． （1）①由角的和差运算求解即可；②由角的和差运算求解即可； （2）由角的和差运算求解即可； （3）分五种情况讨论，根据平行线的性质，三角形的内角和定理进行求解即可． 【完整解答】（1）解：①，， ， ， ， 故答案为：； ②，， ， ， 故答案为：； （2）解：猜想：， 理由如下：， 又， ， 即； （3）解：的度数为、、、、． 理由：当时，如图1所示： ， ； 当时，如图2所示： ； 当时，如图3所示： ， ； 当时，如图4所示： ， ； 当时，延长交于，如图5所示： ， ，， ， ． 综上：所有满足条件的的度数为、、、、． 20．（24-25八年级上·河南郑州·期末）综合与实践 在学习平行线的性质的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“平行线的拐点问题”进行研究． 如图1，直线，点M，N分别在直线，上，点H是直线与外一点，连接，． (1)【问题初探】若，，则的度数为______． (2)【问题拓展】①如图2，作平分，平分，若设，，求出的度数用含x，y的式子表示 ②在①的条件下，如图3，若平分，平分，可得，平分，平分，可得依次平分下去，则的度数为______用含x，y的式子表示 (3)【问题应用】智慧组制作了一个如图4所示的“燕子镖”，经测量发现，，试探究与之间有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)① ；② (3)理由见解析 【思路引导】过点H作，利用两直线平行，内错角相等，推出，，利用角的和，通过等量代换即可求出的度数． 利用第一问的方法推出，结合角平分线的定义即可推出，从而求出的度数；利用相同的方法，求出和的度数，发现之间规律，从而求出度数． 过点H作，利用两直线平行，内错角和同位角相等，推出，，结合外角定义，利用已知条件，通过等量代换即可求出与的数量关系． 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，外角定义，解题的关键在于学会掌握过拐点作平行线以及通过求角度，发现角度之间的规律问题． 【完整解答】（1）解：过点P作，如图所示， ， ， ，， ，， ， 故答案为： （2）解：① 过点作，如图所示， ， ， ，， ， ， 平分，平分， ，， ， ，， ， ② 解：按照上述方法可知， 平分，平分，， ， 同理可得， ， 故答案为： （3）解： 理由：过点P作交于点G，如图所示， ，， ，， ， ，， ， 故与之间的数量关系为： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$