第一讲 三角形的概念与相关线段（导图指引+知识梳理+16个考点分类讲练+难度分层随堂练 共52题）-2025年七升八年级暑假衔接培优同步讲练（新教材）

2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练【新课衔接篇】 第1讲 三角形的概念与相关线段（章节13.1-13.2） （导图指引+知识梳理+考点分类讲练+难度分层随堂练 共52题） 知识点梳理01：三角形中的基本概念 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 知识点梳理02：三角形的边和角 1．三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 2．三角形的角 定 义 示例剖析 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 知识点梳理03： 三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 模块一 三角形的基本概念 考点01：三角形的个数问题 例1 （24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 【答案】 2/两 或 【思路引导】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 【完整解答】解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 演练1 （2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 【答案】 3 5 7 13 / 【思路引导】本题主要考查了图形的变化类规律型、三角形个数问题等知识点，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是解题的关键． （1）根据观察可得：图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；由此可以猜测第七个图形中共有13个三角形即可； （2）按照（1）中规律如此画下去，三角形的个数等于图形序号的2倍减去1，据此求得第n个图形中的三角形的个数即可． 【完整解答】解：（1）∵图②有3个三角形，； 图③有5个三角形，； 图④有7个三角形，； ∴图②有3个三角形；图③有5个三角形；图④有7个三角形；…猜测第七个图形中共有13个三角形． （2）由（1）可知，第n个图形中有个三角形． 故答案为：3，5，7，13，． 考点02：三角形的分类 例2 （23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 【答案】(1)4个 (2)，见解析 (3)， 【思路引导】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【完整解答】（1）解：，， ， 是直角三角形， 图中有4个直角三角形,； （2）解：由（1） 知是直角三角形， ， ； （3）解：，， ， ， ． 演练2 （22-23八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 【答案】 6 ，， ，， 【思路引导】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形； （2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形； （3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角； 【完整解答】（1）由图可知， 图中三角形有、、、、、， 图中有6个三角形， 由图可知，直角三角形有，，； 故答案为：6，，，； （2）由图可知， 以线段为公共边的三角形是，，； 故答案为：，，； （3）由图可知， 线段所在的三角形是， 边所对的角是； 故答案为：，． 【考点评析】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键． 模块二 三角形的边和角 考点03：构成三角形的条件 例3 （24-25八年级上·云南昆明·期末）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边是解题的关键． 根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可． 【完整解答】解：A、， 不能构成三角形，不符合题意； B、， 不能构成三角形，不符合题意； C、， 能构成三角形，符合题意； D、， 不能构成三角形，不符合题意， 故选：C． 演练3 （24-25八年级上·全国·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 【答案】(1)不能； (2)8根火柴能搭成1种三角形，边长分别是3，3，2；12根火柴能搭成3种三角形，边长分别是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 【思路引导】本题主要考查三角形的三边关系． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形． （2）把8和12进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形． 【完整解答】（1）解：4根火柴只能分成1，1，2三个数，这三条线段不能组成三角形，故4根火柴不能搭成三角形； （2）解：8根火柴能搭1种，边长是3，3，2； 12根火柴能搭3种，边长是5，4，3或5，5，2或4，4，4． 示意图如下： 考点04：确定第三边的取值范围 例4 （24-25八年级上·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 【答案】(1)可以设计2种不同规格的三角形框架，理由见解析 (2)最少费用为53元 【思路引导】本题考查三角形三边关系． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【完整解答】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 可以设计2种不同规格的三角形框架，三角形框架的边长为2，3，4或2，5，4； （2）解：由表格可得，4米的铁条每米费用最少， ∵铁条长度可以切割，但不能拼接 ∴应尽可能多的使用4米铁条，才能使费用最少， 由（1）知两种三角形框架的边长分别为：2，3，4和2，5，4，各做一个， ∴可以购买4米的3根，3米和5米的各一根，费用最少， 最少费用为：（元）． 答：购买铁条共需53元． 演练4 （24-25八年级上·山东滨州·期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 【答案】12 【思路引导】本题主要考查三角形三边关系，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边，确定x的范围，再根据x为奇数，据此可求得答案． 【完整解答】解：根据三角形两边的和大于第三边，则．即． 根据三角形两边的差小于第三边，则，即， ， 为奇数， 的长为， ∴三角形的周长， 故答案为：12． 考点05：三角形三边关系的应用 例5 （24-25八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【思路引导】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【完整解答】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 演练5 （24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边是解答此题的关键． （1）利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可； （2）由，，三角形的周长为偶数，求解即可求得答案． 【完整解答】（1）解：由三角形三边关系可知： ，，， ∴原式； （2）∵，， ∴， ∵三角形得周长为偶数，为奇数， ∴； 考点06：三角形的识别与有关概念 例6 （24-25七年级上·全国·假期作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 【答案】20 【思路引导】本题考查了构造等腰直角三角形求不规则图形的面积，先把图形补全成为等腰直角三角形，求解即可，补充图形是解题的关键． 【完整解答】解：延长交于点E ∵A是，角D是， ∴角E是，如图所示： ， ∴是等腰直角三角形，也是等腰直角三角形， 则四边形的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差， 即， 答：四边形的面积20． 演练6 （2024八年级上·北京·专题练习）如图，，分别是的边和上的点，与的周长相等，与的周长相等．设，，．则 ， ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了三角形的识别与有关概念，等式的性质，整式的加减运算等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据与的周长相等，可以得出：，等式的左右边正好是周长的一半，即，由于已知，于是可求出的长，同理可求出的长． 【完整解答】解：与的周长相等，，，， ， ， ， ， ； 与的周长相等，，，， ， ， ， ， ； 故答案为：，． 模块三 三角形中三条重要的线段 考点07：画三角形的高 例7 （24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在网格点上（网格线的交点） (1)的面积为______； (2)过点A作的高线，则点D的坐标为______； (3)将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 【答案】(1)8 (2) (3)见解析 【思路引导】此题考查了平移的作图、三角形的高、网格中求三角形的面积等知识． （1）利用正方形的面积减去两个直角三角形的面积即可得到答案； （2）根据三角形高的画法作图，再写出点D的坐标即可； （3）根据平移规律找到的对应点，顺次连接即可． 【完整解答】（1）解：的面积为； 故答案为：8； （2）解：如图，即为所求，点D的坐标为， （3）解：如图，即为所求， ． 演练7 （24-25八年级上·四川泸州·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的高线； (3)在图中能使 的格点P的个数有几个？(点P异于C)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)8个 【思路引导】本题主要考查了作图−平移变换，平行线的性质等知识点， （1）根据图形平移的性质画出平移后的即可； （2）延长，作垂直于，交的延长线于点E，即为的高线； （3）过点A作直线的平行线，此直线与格点的交点即为P点； 熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 【完整解答】（1）解：如图，即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； （3）如下图， 过点A作直线的平行线， ∵平行线间的距离相等， ∴直线的所有点与的连线组成的三角形都与相等， ∴能使 的格点P的个数共有8个点． 考点08：与三角形的高有关的计算问题 例8 （24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【思路引导】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 演练8 （24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】（1）由图可知和是等高三角形，然后根据等高三角形的性质即可得到答案； （2）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据和等高三角形的性质可求得； （3）根据，和等高三角形的性质可求得，然后根据，和等高三角形的性质可求得． 本题主要考查了等高三角形的定义、性质以及应用性质解题，熟练掌握等高三角形的性质并能灵活运用是解题的关键． 【完整解答】解：（1）如图，过点A作， 则， ∵， ∴．                （2）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴．                   （3）∵和是等高三角形， ∴， ∴； ∵和是等高三角形， ∴， ∴． 考点09：垂心 例9 （23-24八年级上·全国·单元测试）我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【思路引导】此题考查三角形的高、垂心的定义、余角的性质等知识， （1）由高的定义得到，则，得到，同理可得，，，即可得到答案； （2）根据三角形垂心的定义进行解答即可； （3）根据三角形垂心的定义进行解答即可． 【完整解答】（1）解：∵于点E，于点F， ∴ ∴， ∴， 同理可得，，， 故答案为：或或； （2）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点G是三角形的垂心； 故答案为：； （3）∵于点D，于点E，于点F，交于点G． ∴点A是三角形的垂心， 故答案为：． 演练9 （24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了重心和垂心的性质． （1）连接，，两线相交于点，作射线并延长交点，根据三角形三条中线相交于一点，即可判断点是的中点，点即为所作； （2）连接并延长交的延长线于点，连接交的延长线于点，根据三角形三条垂线相交于一点，即可得到，线段． 【完整解答】（1）解：点即为所作； ； （2）解：线段即为所作； ． 考点10：根据三角形中线求长度 例10 （24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 【答案】(1)， (2) (3)的周长为30 【思路引导】本题考查了三角形的中线及周长计算，理解三角形中线的定义是解题的关键． （1）根据三角形中线的定义求出的长度即可； （2）根据题意得出，确定， （3）利用三角形的周长公式计算周长即可． 【完整解答】（1）解：∵分别是边上的中线， ∴点分别为的中点． ∵，， ∴，． （2）解：∵的周长比的周长长2， ∴， 由（1）得， ∴， （3）解： 由（1）（2）得，，， ∴的周长为：． 演练10 （24-25八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将平移后得到，图中点为点的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)画出中边上的中线； (3)画出中边上的高线． (4)求的面积． 【思路引导】本题主要考查了平移作图，画三角形的中线和高，求三角形的面积，                                       （1）根据平移作图的方法作图即可；                                       （2）根据三角形中线的定义作图即可；                                       （3）根据三角形高的定义作图即可；                                       （4）根据三角形面积公式求解即可．                                       【完整解答】（1）解：如下图所示，即为所求；                                       （2）解：如下图所示，线段 即为所求；                                       （3）解：如下图所示，线段  即为所求                                       （4）解：                                    ．                                   考点11：根据三角形中线求面积 例11 （24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 【答案】(1)，见解析 (2)相等，； (3) 【思路引导】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算．解题的关键是读懂题中所给材料，并能正确运用即可． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）中的结论即可得出； （3）运用以上两题的方法，根据三角形的面积底高，先求出的面积进而求出四边形的面积即可． 【完整解答】（1）解：                由题意可知，， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，所以的面积为． ∵ ∴，即 故答案为；相等，；  ． （3）解：是的重心， ， ， ， ． 演练11 （24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)12 【思路引导】本题考查三角形中线性质、三角形的面积，熟知等高三角形的面积关系是解答的关键． （1）根据题干证明过程，结合三角形的面积公式求解即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由（2）可得，，再结合已知求解即可． 【完整解答】（1）证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ． ，， ． 故答案为：，； （2）证明：如图3，过点作于点． ，， ∴； （3）解：同理（2）得，， ∵的面积为，是边上靠近点的三等分点， ∴， ∴， ∵是边上靠近点的四等分点， ∴， ∴， 故答案为：12． 考点12：重心的概念 例12 （22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 【答案】B 【思路引导】根据三角形中线的定义与性质及重心的定义可判定①，②，③，④，而根据已知条件无法判定⑤⑥，据此可求解． 【完整解答】解：∵和是的中线， ∴，分别为，的中点， ∴，，故①正确； ∵和是的中线， ∴点是的重心，故②正确； ∵， ∴，故③正确； ∵点是的重心， ∴过的直线平分线段，故④正确； 根据已知条件无法判定，，故⑤，⑥错误． 故选：B． 【考点评析】本题考查了三角形的重心，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形重心的定义是解题的关键． 演练12 （2020·江苏镇江·二模）如图，是的中线，且，将绕点旋转得到，则 ．的面积 ．    【答案】 2 18 【思路引导】根据是的中线，且CG=2DG可得点G为△ABC的重心，得到CD=3GD=6，DE=GD=GC=2，再利用勾股定理逆定理证明BG⊥CE，根据中线的性质，得S△ACD=S△BCD，可求△BCD的面积． 【完整解答】解：∵是的中线，且CG=2DG， ∴点G为△ABC的重心， ∴CD=3GD=6， 根据旋转的性质得：DE=GD=GC=2， ∵GB=3，EG=GC=4，BE=GA=5， ∴BG2+GE2=BE2，即BG⊥CE， ∵CD为△ABC的中线， ∴S△ACD=S△BCD， ∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=2S△BCD=2××BG×CD=18cm2． 故答案为：2，18． 【考点评析】本题考查重心的概念和性质，旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度． 考点13：三角形角平分线的定义 例13 （24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据平行线的性质和已知条件证明，据此可证明； （2）先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义求出的度数即可得到答案． 【完整解答】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：，， ， ， 平分， ． 演练13 （23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知） ∴_______（_______） ∵（已知） ∴_______（_______） ∴（_______） ∵（已知） ∴_______（等量代换） ∴（_______） ∴（_______） 【答案】，角平分线的定义；，两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补 【思路引导】本题考查角平分线的定义、平行线的判定与性质，根据角平分线的定义和平行线的判定与性质进行证明，即可求解． 【完整解答】解：证明过程如下：∵平分（已知） ∴（角平分线的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两条直线平行）， ∴（两条直线平行，同旁内角互补）， 故答案为：，角平分线的定义；，两直线平行，同位角相等；等量代换；；内错角相等，两条直线平行；两条直线平行，同旁内角互补． 考点14：利用网格求三角形面积 例14 （24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的． (2)点的坐标为______，的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查利用平移性质作图，利用网格求三角形的面积，解题的关键是熟练掌握平移性质，属于中考常考题型． （1）分别作出，，的对应点，，，再顺次连接即可． （2）利用分割法求解即可． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求作． （2）解：由图可得：点的坐标为， ． 故答案为：，3.5． 演练14 （24-25八年级上·贵州贵阳·期末）2018年12月，贵阳轨道交通1号线全线开通，2023年12月，贵阳轨道交通3号线开通．贵阳轨道交通实现了从无到有，从“一条线”到“一张网”，畅通了城市发展脉络，逐步融入贵阳市民生活．下图是贵阳轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1．若延安西路的坐标为，贵医的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)若省医的坐标为，河滨公园的坐标为，请在图中标出这两个站点的位置； (3)设贵医、延安西路、河滨公园和省医所在位置分别为A，B，C，D，连接，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据延安西路的坐标为，贵医的坐标为，建立坐标系即可； （2）根据（1）中坐标系描点即可； （3）由（2）依次连接，根据求解即可． 【完整解答】（1）解：平面直角坐标系如图所示： （2）解：如图所示，为所求： （3）解：根据题意，如图，依次连接， ． 考点15：三角形的稳定性及应用 例15 （24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 【答案】（1）（2）（3） 【思路引导】本题考查三角形的稳定性，图形类规律问题； （1）利用三角形具有稳定性即可解答； （2）根据（1）中的结论代入计算即可求解； （3）根据（1）中的结论可知，有18根木条，则多边形的边数为，即可求解． 【完整解答】解：（1）如下表： 多边形木架的边数 4 5 6 … n 至少钉木条的根数 1 2 3 … （根）， ∴要使十二边形木架不变形，至少要钉上9根木条， 故答案为：． （2）由（1）进而得表格中的“▲”处填 故答案为：． （3）解：， ∴这个多边形的边数是21， 故答案为：21． 演练15 （23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）（1）如图1所示设计的折叠凳坐着舒适、稳定．折叠凳这种设计所运用的数学原理是 ． （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息求的长度． 【答案】（1）三角形具有稳定性；（2） 【思路引导】本题考查了三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据三角形的性质即可得出答案； （2）证明即可得解． 【完整解答】解：（1）由题意得：折叠凳这种设计所运用的数学原理是三角形具有稳定性；                  （2），理由如下： ∵O是和的中点， ∴，，                 在和中， ， ∴    ，                  又∵， ∴． 考点16：四边形的不稳定性 例16 （19-20七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 【答案】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳：①是三角形， 稳定性；②四边形， 稳定性 ． 【思路引导】①根据三角形的稳定性进行解答即可； ②根据四边形的不稳定性进行解答即可． 【完整解答】图（1）扭动三角形木架， 它的形状不会改变，因为三角形具有稳定性； 图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变，四边形不稳定； 图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状不会改变，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性； 归纳： ①由三角形具有稳定性知， 三角形木架的形状不会改变， 这说明三角形具有稳定性 ． 故答案为： 是三角形， 稳定性； ②四边形木架的形状是四边形， 四边形具有不稳定性 ． 故答案为： 四边形， 稳定性 ． 【考点评析】本题考查的是三角形的稳定性，三角形的稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用问题，比较简单． 演练16 （18-19八年级·全国·假期作业）下列图中哪些具有稳定性？ ． 【答案】(1)(6) 【思路引导】根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 【完整解答】解：根据三角形具有稳定性，只要图形分割成了三角形，则具有稳定性． 显然具有稳定性的有：(1)(6) 故答案为(1)(6). 【考点评析】考查了三角形的稳定性及多边形的知识，注意根据三角形的稳定性进行判断． 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案． 【完整解答】解：分别为三角形的三边， ， ，， ， 解得：， 故选：B． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【思路引导】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； 根据题意先得出在4条线段中取3条共有四种情况，然后结合三角形的三边关系即可作出判断. 【完整解答】解：以长度分别为3，5，8，11的四条线段，取3条共有以下四种情况： 3，5，8；3，5，11；3，8，11；5，8，11； 其中能够组成三角形的只有5，8，11这一种情况； 所以可以组成三角形的组数是1； 故选：D. 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列长度的线段能组成三角形的是（   ）． A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，11，9 D．3，6，8 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了三角形三边关系，根据三角形任意两边之和大于第三边逐个判断即可． 【完整解答】因为，所以这三条线段不能组成三角形，则A不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则B不符合题意； 因为，所以这三条线段不能组成三角形，则C不符合题意． 因为，所以这三条线段能组成三角形，则D符合题意； 故选：D． 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查的是三角形三边关系，绝对值，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．根据三角形的三边关系判断出，及的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可． 【完整解答】解：、、是的三边的长， ，，， 原式． 故选：A． 5．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 【答案】6 【思路引导】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高的长，根据三角形中线平分三角形面积得到，再根据三角形面积计算公式得到，据此可得答案． 【完整解答】解：∵为的中线，的面积为6， ∴， ∵为的高线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：6． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 ． 【答案】稳定性 【思路引导】此题考查了三角形稳定性的特性．根据三角形的稳定性进行解答即可． 【完整解答】解：为了安全，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 7．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了三角形的中线，三角形的周长，根据中线的定义可得，再根据三角形的周长即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【完整解答】解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为点，，，将平移得到，其中点，，的对应点分别为，，． (1)已知点，请画出，并直接写出点E和点F的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，， (2)3 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化——平移，三角形的面积，熟练掌握坐标平移的变化规律是解题的关键． （1）先由点，点的坐标，根据坐标向左（右）平移时点的横坐标减去（加上）一个正数，上（下）平移时点的纵坐标加上（减去）一个正数，判断出平移方式，进而得到点、点平移后的坐标，在坐标系中画出图形即可； （2）根据坐标得到线段的长度，利用三角形面积公式计算即可． 【完整解答】（1）解：点经过平移得到点， 点向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点， 点，分别向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点，， 如图即为所求： 由图可知，点坐标为，点坐标为 （2）解：由（1）可知为直角三角形，直角边，， ． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【思路引导】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【完整解答】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出，并直接写出点的坐标； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） (3)求的面积． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)7 【思路引导】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积． （1）根据题中的平移方式作图即可求解； （2）根据题意可得将点向左平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P，即可求解； （3）利用分割法求三角形的面积即可． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求，； （2）解：∵将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到， ∴将点向左平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到点P， ∴； （3）解：由图可得，． 11．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查非负数的性质，二元一次方程组的应用以及三角形三边关系定理，根据非负数的性质得，求解后再根据三角形三边关系定理即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边． 【完整解答】解：∵，，， ∴， 解得：， ∵一个三角形的三边长分别是，，， ∴，即， ∴此三角形的边的取值范围是． 故选：B． 12．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题主要考查了图形的变化类规律、三角形的面积，解题的关键是得出． 由题意求得，根据点分别是的中点，得，，从而得出，同理可得：，，，…， 归纳出，代入n值即可得到答案． 【完整解答】解：由题意得： ， ∵点分别是的中点， ，， ， 同理可得：， ， ， …， ． ． 故选：D． 13．（22-23八年级上·山西大同·期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【思路引导】根据三角形的三边关系列出不等式组求解即可． 【完整解答】解：设从10.5的小木棍上裁剪的线段长度为x， 则，即， ∴整数x的值为5、6 、7 、8、9、10， ∴同学们最多能做出6个不同的三角形木架． 故选：C． 【考点评析】本题主要考查的是三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边、两边差小于第三边是解题的关键． 14．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知：如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形的中线，解题关键是正确理解三角形中线的性质，熟练利用中线性质推出三角形面积． 【完整解答】解：点是的中点，， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 【答案】三角形的稳定性 【思路引导】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形具有稳定性是解题的关键．根据题意即可得到答案． 【完整解答】解：一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是三角形的稳定性． 故答案为：三角形的稳定性． 16．（2024八年级上·上海·专题练习）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”． 例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． 已知点，，．若点，，的“最佳间距”是2，则的值为 ．    【答案】2或/或2 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，两点间的距离，直角三角形的性质等知识点，由新定义知，三点构成直角三角形，由直角三角形的三边关系可得最佳间距出现在和两条线段上，进而比较长短即可得解，熟练掌握新定义的规则是解决此题的关键． 【完整解答】解：∵点，，，由定义知 ∴与y轴平行，为直角三角形的斜边， ∴，， ∵点，，的“最佳间距”是2， ∴， ∴或， 故答案为：2或． 17．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，的顶点，，．若向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，且点、、的对应点分别是点、、． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析， (2) 【思路引导】本题考查了平移作图，割补法求面积，掌握平移的性质是解题关键． （1）先把平移后的对应点求出，A平移后得对应点，B平移后对应点，C平移后的对应点，在描点画图即可； （2）把三角形面积看成矩形面积减去三个直角三角形面积即可． 【完整解答】（1）解：解：如图，为所求，的坐标为； （2）解：的面积． 18．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了三角形面积的计算和中线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先画图，根据三角形的面积公式即可求得的长； （2）根据中线的性质可得出和的面积相等，从而得出答案． 【完整解答】（1）解：如图： ∵，是边上的高，，，． ∴； ∴ ∴； （2）解：∵的边上的中线是 ， ∴． 19．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      【答案】（1）28；（2）①；② 【思路引导】本题考查了与三角形中线有关的面积计算、列代数式，解题的关键在于添加适当的辅助线，正确表示出三角形面积． （1）连接，，根据三角形中线有关的面积计算出、、、，再根据计算即可得出答案； （2）①连接、、、、，设的面积为、的面积为，则，结合题意求出，同理可得：，再根据计算即可得出答案；②同①的方法计算即可得出答案． 【完整解答】解：（1）如图，连接，， ， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴； ②如图，连接、、、、， ， 设的面积为、的面积为，则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 同理可得：， ∴． 20．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；②；③的值为2或9； (3)点P的坐标为或 【思路引导】（1）根据点A的坐标和平移的特点求解即可； （2）①根据题意求出点E的横坐标为，纵坐标为6，进而求解即可；②首先求出点E的横坐标为9，，，然后表示出点E的纵坐标为，进而求解即可；③根据题意分点E在上和点E在上，然后分别根据点到轴距离为7列方程求解即可； （3）首先求出四边形的面积，然后根据题意分和两种情况讨论，分别根据题意列方程求解即可． 【完整解答】（1）解：∵点，将向下平移10个单位得线段， ∴点的坐标为，即， 故答案为：； （2）解：①∵点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动一圈， ∴当时，， ∴点E的横坐标为，纵坐标为6 ∴点E的坐标为， 故答案为：； ②∵点在边上运动， ∴点E的横坐标为9 ∵， ∴ ∴点E的纵坐标为， ∴点E的坐标为， 故答案为：； ③∵点到轴距离为7， ∴点E的横坐标为7 ∵点E的运动路程为， ∴当点E在上时，， 解得； ∴当点E在上时， ∵点到轴距离为7， ∴ ∴ ∴ 解得； 综上所述，当点到轴距离为7时，的值为2或9； （3）∵， ∴四边形的面积 如图所示，点E在上，延长交y轴与点F，连接， 当时， ∴ ∴， ∴，即， 解得，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， 点P的坐标为， 如图所示，当交于点E，连接，延长交y轴于点G，则，过P点作交的延长线于点H， 当时， ∴ ∴， ∴，即 解得， ，符合题意； ， ， ， ， ， ， ， ∴点P的纵坐标为，横坐标为0， ∴点P的坐标为， 综上，点P的坐标为或． 【考点评析】此题考查了坐标与图形，动点问题，三角形的面积公式，列代数式等知识，解题的关键是正确表示出点E运动的路程及用分类讨论的思想． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年人教版数学七升八年级暑假衔接培优同步精讲练【新课衔接篇】 第1讲 三角形的概念与相关线段（章节13.1-13.2） （导图指引+知识梳理+考点分类讲练+难度分层随堂练 共52题） 知识点梳理01：三角形中的基本概念 定 义 示例剖析 三角形的定义： 由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.三角形具有稳定性. 表示法及读法： 三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“”，读作“三角形ABC”．的三边有时也用a，b，c表示． 顶点A的对边a（BC） 顶点B的对边b（AC） 顶点C的对边c（AB） 三角形的内角： 三角形的每两条边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角. ，，是的内角 三角形的外角： 三角形的任意一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角. 如图，，，是的外角. 三角形的分类： 注意：每个三角形至少有两个锐角，而至多有一个钝角．三角形的三个内角中，最大的一个内角是锐角（直角或钝角）时，该三角形即为锐角三角形（直角三角形或钝角三角形）． 锐角三角形 直角三角形 锐角三角形 不等边三角形 等腰三角形 等边三角形 知识点梳理02：三角形的边和角 1．三角形的边 三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边. 三角形三边关系定理的推论:三角形任意两边之差小于第三边． 即a、b、c三条线段可组成三角形两条较小的线段之和大于最大的线段． 注意：在应用三边关系定理及推论时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形． 2．三角形的角 定 义 示例剖析 三角形内角和定理： 三角形三个内角和等于. 如图，在中，． 三角形内角和定理的三个推论： ①推论1：直角三角形的两个锐角互余． ②推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③推论3：三角形的一个外角大于任意一个和它不相邻的内角． 如：外角， ， ． ， ， ， 三角形的外角和： 每个顶点处取一个外角再相加，叫三角形的外角和． 三角形的外角和等于． 注意：三角形的外角与相邻的内角互为邻补角，因为每个内角均有两个邻补角，因此三角形共有六个外角，其中有三个与另外三个相等.每个顶点处的两个外角是相等的． ∠1+∠2+∠3=360° 知识点梳理03： 三角形中三条重要的线段 定 义 示例剖析 三角形的角平分线： ①定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线． ②性质：三角形的三条角平分线交于一点． 线段AD为的一条角平分线 三角形的中线： ①定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线． ②性质：三角形的三条中线交于一点． 线段AD为BC边上的中线 三角形的高： ①定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高． ②性质：锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；钝角三角形有两条高落在三角形的外部，三条高所在直线的交点也在三角形的外部；直角三角形有两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点是三角形的直角顶点． 总结：直角三角形的三条高所在直线交于一点． 线段AD为BC边上的高 模块一 三角形的基本概念 考点01：三角形的个数问题 例1 （24-25八年级上·河北秦皇岛·期中）如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出 个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是 ． 演练1 （2024八年级上·全国·专题练习）观察以下图形，回答问题： （1）图②有 个三角形；图③有 个三角形；图④有 个三角形；…猜测第七个图形中共有 个三角形． （2）按上面的方法继续下去，第n个图形中有 个三角形（用含n的代数式表示结论）． 考点02：三角形的分类 例2 （23-24七年级下·全国·假期作业）如图所示，于于与相交于点．仔细观察图形，回答以下问题： (1)图中有几个直角三角形？ (2)和是什么关系？为什么？ (3)若，那么和各是多少度？ 演练2 （22-23八年级·全国·假期作业）已知：如图，试回答下列问题： （1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ． （2）以线段为公共边的三角形是 ． （3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ． 模块二 三角形的边和角 考点03：构成三角形的条件 例3 （24-25八年级上·云南昆明·期末）下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 演练3 （24-25八年级上·全国·单元测试）如图表所示，在平面内，分别用3 根、5根、6根火柴（每根火柴长度相等）首尾顺次相接，能搭成不同形状的三角形． 火柴根数 3 5 6 示意图 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 (1)4根火柴首尾顺次相接，能搭成一个三角形吗？ (2)8根、12 根火柴首尾顺次相接，能搭成几种不同的三角形？分别写出它们的边长． 考点04：确定第三边的取值范围 例4 （24-25八年级上·山东临沂·期中）某工厂要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的三角形框架． (1)设计小组可以设计几种不同规格的三角形框架，为什么？ (2)设计小组成员到建材市场收集数据如下： 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 10 15 20 根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架各一个（铁条长度可以切割，但不能拼接），求最少费用． 演练4 （24-25八年级上·山东滨州·期末）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为．且x为奇数，则此三角形的周长为 ． 考点05：三角形三边关系的应用 例5 （24-25八年级上·吉林四平·期末）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 演练5 （24-25八年级上·安徽六安·期末）已知的三边长分别为，，． (1)化简：． (2)若，，且三角形的周长为偶数，求的值． 考点06：三角形的识别与有关概念 例6 （24-25七年级上·全国·假期作业）如图，已知一个四边形的两条边的长度，，三个角的度数：角 B和D是直角，角A是，求这个四边形的面积． 演练6 （2024八年级上·北京·专题练习）如图，，分别是的边和上的点，与的周长相等，与的周长相等．设，，．则 ， ． 模块三 三角形中三条重要的线段 考点07：画三角形的高 例7 （24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点都在网格点上（网格线的交点） (1)的面积为______； (2)过点A作的高线，则点D的坐标为______； (3)将先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到，画出． 演练7 （24-25八年级上·四川泸州·期中）画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移6格，再向上平移1格，请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的高线； (3)在图中能使 的格点P的个数有几个？(点P异于C)． 考点08：与三角形的高有关的计算问题 例8 （24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 演练8 （24-25八年级上·山东德州·期中）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形． 例如：如图①．在和中，分别是和边上的高线，且，则和是等高三角形． 【性质探究】 如图①，用，分别表示和的面积． 则， ∵ ∴． 【性质应用】 （1）如图②，是的边上的一点．若，，则______； （2）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则的面积是多少？ （3）如图③，在中，，分别是和边上的点．若，，，则______． 考点09：垂心 例9 （23-24八年级上·全国·单元测试）我们知道，三角形三条高线所在的直线交于一点． 规定：三角形三条高线所在的直线的交点叫做这个三角形的垂心． 如图，于点D，于点E，于点F，交于点G． (1)图中哪两个不共顶点的锐角一定相等？请写出两组： ， ． (2)点G是三角形 的垂心． (3)点A是三角形 的垂心． 演练9 （24-25八年级上·江西上饶·期末）请仅用无刻度的直尺完成以下作图．（保留作图痕迹，不写作法） (1)如图1，在中，D，E分别为边的中点，请作出边的中点； (2)如图2，在中，，是边的中点，于点，请过点作边的垂线． 考点10：根据三角形中线求长度 例10 （24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在中，、是的中线，的周长比的周长长2，若，． (1)求，的长； (2)求的长； (3)直接写出的周长． 演练10 （24-25八年级上·甘肃庆阳·阶段练习）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将平移后得到，图中点为点的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)画出中边上的中线； (3)画出中边上的高线． (4)求的面积． 考点11：根据三角形中线求面积 例11 （24-25八年级上·贵州遵义·期末）【发现与探究】三角形的重心 三角形三条中线的交点叫三角形的重心．重心是个物理名词．从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．图1中，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态．为什么会平衡呢？希望你经过下面的探索过程能得到答案．图2中，是的中线，与等底等高，面积相等，记作．图3中，若三条中线、、交于点，则是的中线，利用上述结论可得：，同理，． (1)图3中，若设，，，猜想，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (2)由（1）可知被三条中线分成的六个三角形面积 ，如果面积为，用含有的式子表示的面积为 ，： ； (3)图4中，是重心，点、在的边、上，、交于，，，，求四边形的面积． 演练11 （24-25八年级上·山西朔州·期中）阅读与思考：数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，在中，为边上的中线．求证：．小明给出如下证明过程． 证明：如图2，过点作于点． 为边上的中线， ① ． ，② ， ． (1)请将小明横线处的证明过程补充完整． (2)经过探究，小明还发现：如图3，若为边上的任意一点，则，请写出证明过程． (3)如图4，的面积为，是边上靠近点的三等分点，是边上靠近点的四等分点，则的面积为______． 考点12：重心的概念 例12 （22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，和是的中线，则以下结论：①；②是的重心；③与面积相等；④过的直线平分线段；⑤；⑥，其中正确的结论有（    ）    A．①②③⑤ B．①②③④ C．②③⑥ D．①②⑤⑥ 演练12 （2020·江苏镇江·二模）如图，是的中线，且，将绕点旋转得到，则 ．的面积 ．    考点13：三角形角平分线的定义 例13 （24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，点、分别在线段、上，连接、、，过点作分别交、于点、，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 演练13 （23-24七年级下·云南昆明·期末）如图，若，平分，且，求证：． 证明：∵平分（已知） ∴_______（_______） ∵（已知） ∴_______（_______） ∴（_______） ∵（已知） ∴_______（等量代换） ∴（_______） ∴（_______） 考点14：利用网格求三角形面积 例14 （24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，请在图中作出平移后的． (2)点的坐标为______，的面积为______． 演练14 （24-25八年级上·贵州贵阳·期末）2018年12月，贵阳轨道交通1号线全线开通，2023年12月，贵阳轨道交通3号线开通．贵阳轨道交通实现了从无到有，从“一条线”到“一张网”，畅通了城市发展脉络，逐步融入贵阳市民生活．下图是贵阳轨道交通线网图（部分）示意图，图中每个小正方形边长均为1．若延安西路的坐标为，贵医的坐标为，请按要求解答下列问题： (1)在图中建立合适的平面直角坐标系； (2)若省医的坐标为，河滨公园的坐标为，请在图中标出这两个站点的位置； (3)设贵医、延安西路、河滨公园和省医所在位置分别为A，B，C，D，连接，求四边形的面积． 考点15：三角形的稳定性及应用 例15 （24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条，那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使七边形木架不变形，至少要钉几根木条？要使n边形木架不变形，又至少要钉多少根木条？请带着这些问题开始探究活动．    多边形木架的边数 至少要钉木条的根数 … ▲ 根据以上信息，解答下列问题． （1）要使十二边形的木架不变形，应至少要钉______根木条． （2）表格中的“▲”处填_____．（用含n的代数式表示） （3）有一个多边形，至少要钉上18根木条，才能使它不变形．则这个多边形的边数是_____． 演练15 （23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）（1）如图1所示设计的折叠凳坐着舒适、稳定．折叠凳这种设计所运用的数学原理是 ． （2）图2是折叠凳撑开后的侧面示意图（木条等材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，是它们的中点．撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息求的长度． 考点16：四边形的不稳定性 例16 （19-20七年级·全国·假期作业）如图（1）扭动三角形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（2）扭动四边形木架， 它的形状会改变吗？ 如图（3）斜钉一根木条的四边形木架的形状形状会改变吗？为什么？ 归纳：①三角形木架的形状______，说明三角形具有______； ②四边形木架的形状______说明四边形没有______． 演练16 （18-19八年级·全国·假期作业）下列图中哪些具有稳定性？ ． 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·四川南充·阶段练习）四条线段的长度分别为3，5，8，11，可以组成三角形的组数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25八年级上·广东广州·期中）下列长度的线段能组成三角形的是（   ）． A．3，4，8 B．5，6，11 C．2，11，9 D．3，6，8 4．（24-25八年级上·天津·阶段练习）已知、、是的三边长，则(    ) A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期中）如图，分别为的中线和高线，的面积为6，，则的长为 ． 6．（24-25八年级上·广西南宁·期中）如图，建筑工地上的塔吊上部设计成三角形结构，其中的数学原理是三角形的 ． 7．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图，中，，，是的中线，则的周长比的周长大 ． 8．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为点，，，将平移得到，其中点，，的对应点分别为，，． (1)已知点，请画出，并直接写出点E和点F的坐标． (2)求的面积． 9．（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是______________； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是____________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 10．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点． (1)请在所给坐标系中画出，并直接写出点的坐标； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标；（直接写出结果即可） (3)求的面积． 11．（24-25八年级上·山东济宁·期末）一个三角形的三边长分别是，，，且满足，则此三角形的边的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·四川德阳·期中）设的面积为1．如图①，，分别是，的中点，，相交于点，与的面积差记为；如图②，，分别是，的3等分点，，相交于点，与的面积差记为；如图③，，分别是，的4等分点，，相交于点，与的面积差记为，依此类推，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．（22-23八年级上·山西大同·期中）老师布置了一份家庭作业：用三根小木棍首尾相连拼出一个三角形，三根小木棍的长度分别为5、9、10.5，并且只能对10.5的小木棍进行裁切（裁切后，参与拼图的小木棍的长度为整数），则同学们最多能拼出不同的三角形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 14．（24-25八年级上·安徽宣城·期中）已知：如图所示，在中，点、、分别为、、的中点，且阴影部分的面积为，则 ． 15．（24-25八年级上·福建莆田·期中）如图，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里运用的几何原理是 ． 16．（2024八年级上·上海·专题练习）给出如下定义：在平面直角坐标系中，已知点，，，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点，，的“最佳间距”． 例如：如图，点，，的“最佳间距”是1． 已知点，，．若点，，的“最佳间距”是2，则的值为 ．    17．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，的顶点，，．若向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，且点、、的对应点分别是点、、． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求的面积． 18．（24-25八年级上·重庆巴南·期中）在直角三角形中，，是边上的高，，，． (1)求的长； (2)若的边上的中线是，求出的面积． 19．（23-24七年级下·福建泉州·期末）【问题情境】 如图1，是的中线，与的面积有怎样的数量关系？小陈同学在图1中作边上的高，根据中线的定义可知． 又因为高相同，所以，于是，据此可得结论：三角形的一条中线平分该三角形的面积． 【深入探究】 （1）如图2，的面积为4平方厘米，延长到点，延长到点，延长边到点，使，，，依次连接得到，求的面积． 【拓展延伸】（2）如图3．若四边形的面积为，分别延长四边形的各边，使得，，，，依次连接得到四边形． ①若，求四边形的面积；（用含的代数式表示） ②直接写出四边形的面积（用含的代数式表示）      20．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将向下平移10个单位得线段，其中点的对应点为点． (1)填空：点C的坐标为____________； (2)点E从点A出发，以每秒2个单位的速度沿…运动，设运动时间为t秒， ① 当时，点E坐标为__________， ② 当E点在边上运动时，点E坐标为_____________；（用含t的式子表示） ③ 当点E到y轴距离为7时，求t值； (3)在（2）的条件下，连接并延长，交y轴于点P，当将四边形的面积分成两部分时，求点P的坐标． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$