专题08 圆综合解答题压轴（3个压轴题）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（四川专用）

专题08 圆综合解答题压轴 题型概览 题型01圆综合之切线的相关证明 题型02圆综合之其他证明 题型03圆综合之求阴影部分面积 圆综合之切线的相关证明题型01 1．（2025·四川宜宾·二模）如图，锐角△ABC内接于，平分，交于点，交于点，平分，连接并延长交于点． (1)求证：是的切线． (2)若平分，，，求的长． 2．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交于点E，延长至F，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和长． 3．（2025·四川泸州·二模）如图，点B是上的一点，点A是直径延长线上的一点，连接，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，作的平分线，与交于点F，，求的半径及的长． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，在中，，点B在上，以为直径的交于点C，连接并延长交于点E，连接、，连接交于点F，恰好平分． (1)求证：为的切线； (2)已知，，求的半径和的长． 5．（2025·四川泸州·二模）如图，是的直径，，为圆上两点，且，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接，使得，连接，，． (1)求证：为的切线； (2)若点为的中点，，，求的长． 6．（2025·四川绵阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，于点，，为延长线上一点，且，连接． (1)求证： (2)求证：为的切线； (3)若，，求的值， 7．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，且与过点的直线交于，连接并延长，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 8．（2025·四川绵阳·二模）如图，为的直径，D，E为上的点，=，延长至点C，连接，，延长与交于点F，， (1)求证：与相切． (2)求的值． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 10．（2025·四川泸州·二模）如图，已知△ABC内接于，是的直径，点在上，且，交于点，点是延长线上的点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，于点，连接．求，的长． 11．（2025·四川绵阳·二模）如图，是△ABC的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)如图，延长交于点，点恰好是△ABC的内心． ①求证：； ②若，，求的长． 12．（2025·四川成都·二模）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径及线段的长 圆综合之其他证明题型02 1．（2025·四川成都·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点，已知．连接，如图2，当点是的重心时，求的余弦值； 2．（2025·四川泸州·二模）如图，△ABC是的内接三角形，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，交于点，若，，求的长． 2．（2025·四川成都·二模）如图，以△ABC的边为直径的交边于点.交边于点，连接，相交于点，连接. (1)求证：； (2)若，，，求的半径. 3．（2025·四川广元·二模）如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接． (1)当与相切时， 求证：是的切线； 求点C到的距离． (2)直接写出的最大值与最小值的差． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．（2025·四川成都·二模）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 7．（2025·四川成都·二模）如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求⊙的半径． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，是上一点，，以为直径作交于点，射线交于点，且为的中点，连交于点，连接，． (1)若为的中点，求证：； (2)若，，求值和的半径． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，与边相切于点D，与，分别相交于点E，F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径和的长． 10．（2025·四川成都·二模）如图，锐角△ABC为的内接三角形，，将△ABC沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 11．（2025·四川·二模）如图，在△ABC中，，D为上一点，以为直径作，交于E，F两点，点E为中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的直径和的长． 12．（2025·四川成都·二模）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求直径和的长． 圆综合之求阴影部分面积题型03 1．（2025·四川自贡·二模）如图中，，点在上，以为直径的经过上的点与交于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分面积． 2．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和阴影部分的面积． 2．（2025·四川达州·二模）如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 3．（2025·四川眉山·二模）如图，在中，∠B=90°，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．    (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 圆综合解答题压轴 题型概览 题型01圆综合之切线的相关证明 题型02圆综合之其他证明 题型03圆综合之求阴影部分面积 圆综合之切线的相关证明题型01 1．（2025·四川宜宾·二模）如图，锐角△ABC内接于，平分，交于点，交于点，平分，连接并延长交于点． (1)求证：是的切线． (2)若平分，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（）连接，设，则，由角平分线的定义和圆周角定理可得，，由等腰三角形的性质可得，进而可得，即可求证； （）利用角平分线的定义和圆周角定理可证，即得，由可得，可得，利用余角性质得，即得，得到，进而得，再由可得，最后利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：连接， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，C为上一点，点D是的中点，连接交于点E，延长至F，使． (1)求证：是的切线； (2)若，，求和长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由是的直径可得，进而得垂直平分，得到，根据三线合一可得，又由点是的中点得，即可得，即得，即可求证； （2）由（1）可得，利用三角函数可得，即可得到，再利用三角函数可得，得到，又由圆周角定理得，设，则，由勾股定理得，解方程求出即可求解； 【详解】（1）解：连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ， ， 即， ∵点是的中点， ， ， ， ， 即， ∵为的半径， ∴是的切线； （2）解：由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 即， ， ， ， ， ∵是的直径， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得（不合，舍去）或， ． 3．（2025·四川泸州·二模）如图，点B是上的一点，点A是直径延长线上的一点，连接，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，作的平分线，与交于点F，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析(2)，半径为 【分析】本题主要考查了圆的切线的性质、圆的切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图：连接，利用已知条件说明即可证明结论； （2）由切线的性质可得、易得，设，则．由勾股定理可得，则，即，再结合、可得、、、；再证明可得，在中运用运用勾股定理可得、．再根据角平分线的性质可得，进而得到；如图：过点F作于点M．然后通过相似三角形的判定与性质以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图：连接， 为圆的直径， ． ． ， ， ． ， ，即， ． 直线是的切线． （2）解：直线是的切线， ， 在中，， 设，则． ， ， ， ． ， ， 、，，， 又直线AB是的切线， ，， ． ． 在中，， ． ， ． 又是的平分线， ． ． ． 如图：过点F作于点M． ， ，则． 在中，， ，解得：． ， ． 在中， ， ．解得：． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，在中，，点B在上，以为直径的交于点C，连接并延长交于点E，连接、，连接交于点F，恰好平分． (1)求证：为的切线； (2)已知，，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析(2)半径为8， 【分析】（1）证明，得到，即可能由切线的判定定理得出结论 ； （2）连接AC， 证明，得，再根据，求得，又由，从而求得，即可求得，， ，半径为8．继而求得，然后证明，得，即 ，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， 又平分， ， ， ， ，， 又， ， 又，， ， ， ， ， ， 又为半径， 为的切线． （2）解：连接AC， ， ， 是切线， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∵，即 ∴ ∴ ，， ∴， ， ∵， ，， ， ∴，即半径为8． ∵ ∴， ， ∴ ， ， ． 5．（2025·四川泸州·二模）如图，是的直径，，为圆上两点，且，位于两侧，连接交于，点为延长线上一点，连接，使得，连接，，． (1)求证：为的切线； (2)若点为的中点，，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，根据是直径以及，可得，从而得到，即可求证； （2）过点作于，设，则根据，可得，再由勾股定理可得，结合直角三角形的性质可得到，从而得到，进而得到，，，然后根据，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． 是直径， ， ， ，， ， ， ， 半径于点， 为的切线．    （2）解：如图，过点作于． 是直径， ， ， 设，则， ， ， ∴， ∴， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， ， ，，    ， ， ，    ，    ，，， ， ，   ． 6．（2025·四川绵阳·二模）如图，四边形是的内接四边形，于点，，为延长线上一点，且，连接． (1)求证： (2)求证：为的切线； (3)若，，求的值， 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【分析】（1）根据题意得到，根据三角形内角和定理得到，继而得到，即可得到； （2）作的直径．连接，，，证明，得，，继而证明，可推出．继而可证明，即可证明结论； （3）由（2）可得，推出．过点作于点．设，则．根据，建立方程可求得，，继而求得．证明，得，可求得，，．根据，可得，，根据三角函数的定义即可求解． 【详解】（1）证明：∵于点， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图①，作的直径． ∵， ∴， ∴． 由（1）可得， ∴． 连接，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． ∵为的直径， ∴为的切线； （3）解：由（2）可得， ∴． 如图②，过点作于点． 设，则． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 7．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，弦于点，连接，过点作于点，且与过点的直线交于，连接并延长，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解(2) 【分析】（1）根据题意得，，结合垂直得，再利用平角即可得，则有是的切线； （2）由（1）得，则，结合三角形的性质得，连接OC，设的半径为r，则，，利用勾股定理求得r，即可证明，有． 【详解】（1）证明：∵是的直径， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴是的切线； （2）解：由（1）得，则， ∵， ∴， 连接，如图， 设的半径为r， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得（负值已舍）， 则， ∵， ∴， ∴． 8．（2025·四川绵阳·二模）如图，为的直径，D，E为上的点，=，延长至点C，连接，，延长与交于点F，， (1)求证：与相切． (2)求的值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）连接，圆周角定理，得到，进而得到，推出，直径得到，进而得到，推出，即可； （2）连接，过点作，垂足为，证明，得到，进而得到，根据，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，同法求出的长，证明，列出比例式，设，求出的长，勾股定理求出的长，再利用正弦的定义进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图①，连接． ∵， ∴， ∴． 又， ∴． ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即． ∵为的直径， ∴与相切． （2）解：如图②，连接，过点作，垂足为． 为的直径， ． ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）知：， ， ， ． 在中，，， ，解得． ，则． 又，， ， ， ． ， ， ， ． 设，则， ，解得，即． 在中，，，，， ． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，点为斜边上一点，连接，以为直径作，分别交，于，两点，连接交于点，交于点，连接，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径及的长． 【答案】(1)见解析(2)的半径， 【分析】本题考查了圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质及判断，直角三角形的性质，勾股定理，三角函数，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，在解决切线问题时，添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）先证明，即可证出，由，，可证，继而证得即可得证． （2）连接、，过点作于点，易证，利用直角三角形的边角关系，和三角形的面积公式，可求出，在中，利用勾股定理求出，继而在可用求出直径，即可求半径；在中，利用，可求出从而可知，通过的面积可求出，由勾股定理可求出，通过证，即可求出长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是的直径， ∴是的切线． （2）解：连接、，如图 ∵， ∴，， ∵为直径，， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∴， ∴．即的半径为． 过点作于点，如图 ∴， ∵ ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 解得． 10．（2025·四川泸州·二模）如图，已知△ABC内接于，是的直径，点在上，且，交于点，点是延长线上的点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，，于点，连接．求，的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】（1）连接，先根据已知条件得，再根据等边对等角得，进而得出，即可证明你，则结论可证； （2）先证明，再设，可表示，，接下来表示，然后根据勾股定理可得，则，过点B作，进而得出，即可得，再说明，根据相似三角形的性质表示，接下来根据勾股定理求出x,可得，然后证明求出，即可求出；过点D作，先求出，再证明可得，进而求出，最后根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， 即， ∴， 即， ， 即是的切线； （2）解： 由（1）得， ∵， ∴， ∴， 即． 设，则， 根据勾股定理，得， ∴， 根据勾股定理得，则． 过点B作，交于点G， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 根据勾股定理得， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， 根据勾股定理，得； 过点D作，交于点P， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 根据勾股定理，得． 11．（2025·四川绵阳·二模）如图，是△ABC的外接圆，点是的中点，连接交于点，点是延长线上一点，，连接，． (1)求证：是的切线； (2)如图，延长交于点，点恰好是△ABC的内心． ①求证：； ②若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由等边对等角得，继而得到，再根据圆周角定理得，即，进一步推出，即可得证； （2）①根据三角形内心的定义可得，继而得到，即可得证； ②)证明，得，设，则，，可得，，进一步可得在中，，则，，推出，证明，得，则，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）①证明：∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴； ②)解：∵，，，， ∴， ∴，即， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ， 即， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴． 12．（2025·四川成都·二模）如图，为的直径，在位于异侧的上分别取点，，连接，，，，交于点，射线交的延长线于点，延长交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，，求的半径及线段的长 【答案】(1)见解析 (2)的半径为3，． 【分析】（1）连接，利用圆周角定理结合等边对等角求得，再利用圆周角定理求得，证得，即可证明是的切线； （2）先证明，利用勾股定理求得，证明，求得，，，再证明，求得，证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴且为的半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴的半径为3， ∵， ∴， ∴，即， 解得． 圆综合之其他证明题型02 1．（2025·四川成都·二模）如图1，和是半径为2的的两条直径，点是延长线上的一点．连接交于点（点在线段上，且不与点、点重合）． (1)当时，求证：； (2)连接，交半径于点，已知．连接，如图2，当点是的重心时，求的余弦值； 【答案】(1)，见解析(2) 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，根据相似三角形的性质即可得解； （2）过P作于H，根据直径对直角可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义即可得解． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， ； （2）过P作于H， 是直径， ， ， ∵点M是的重心， ， ， ，半径为2， ， ， ， ， ∴． 2．（2025·四川泸州·二模）如图，△ABC是的内接三角形，是的直径，点是上的点，且，连接，过点作的切线，交的延长线于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)过点作于点，交于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由，得，由，得，根据平行线的判定得，根据平行线的性质得，根据垂线定义得； （2）证明，得出，，进而求得，，根据，求得即可求解． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示： ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴. 2．（2025·四川成都·二模）如图，以△ABC的边为直径的交边于点.交边于点，连接，相交于点，连接. (1)求证：； (2)若，，，求的半径. 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）根据同弧或等弧所对的圆周角相等可知可推出，然后根据即可证明结论； （2）由直径所对的圆周角为直角，，设，则，在中利用勾股定理，即可求得，不妨设，，接着利用，得到， 得到，，接着利用，求得，最后在中利用勾股定理求得，最后得到半径． 【详解】（1）解：和为劣弧所对的圆周角， ， ， ． （2）解：是的直径， ， ， 设，则， 在中，， ，即， 解得，（负值已舍去）， ，， ， ， ， 由，不妨设，， ， ， ， ，， ， ， ， 不妨设， ， ， ， ，， （舍去）， ， ，， ， ， ， ， 半径为：． 3．（2025·四川广元·二模）如图，在中，，，以点O为圆心、2为半径画圆，点C是上任意一点，连接．将绕点O按顺时针方向旋转，交于点D，连接． (1)当与相切时， 求证：是的切线； 求点C到的距离． (2)直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)详见解析；(2) 【分析】（1）由切线的性质得，再证，根据全等三角形对应角相等，可得，即可证明是的切线；过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离，根据即可求解； （2）作直线于点H，交于和，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值，则最大值与最小值的差为． 【详解】（1）证明：∵与相切， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴． ∴． 又∵是的半径， ∴是的切线； 如图，过点C作，垂足为E，则即为点C到的距离， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， 即点C到的距离为． （2）解：中，，， ∴． 如图，作直线于点H，交于和， 由题意知，当点C位于处时，取最小值，当C位于处时，取最大值， ∴的最大值与最小值的差． 4．（2025·四川成都·二模）如图，是的直径，点为上一点，连结，，作的角平分线交于点，交于点，连结交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先利用角平分线的定义得到，根据等边对等角得出，推得，根据平行线的判定方法得到结论； （2）先根据圆周角定理得到，再根据平行线的性质得 ，根据垂径定理得到，结合锐角三角函数的定义可求出，求得，，根据勾股定理求出，即可得出，根据锐角三角函数的定义可求出，根据相似三角形的判定和性质即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 又∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 5．（2025·四川成都·二模）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点． (1)求证：； (2)若半径为5，，求的长和的值． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、垂径定理和圆周角定理． （1）连结，先根据切线的性质得到，再利用和得到，然后根据对顶角相等得到，从而有结论； （2）先根据圆周角定理得到，则利用勾股定理可计算出，再证明，利用相似比可求出，在中，设，则，利用勾股定理得到，解方程得到的长，然后根据正切的定义求解． 【详解】（1）证明：连结，如图 ， ∵为的切线， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：是的直径 半径为5 在中， 在和中 ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ∴， 在中， 6．（2025·四川成都·二模）如图，在四边形中，，，且，以为直径的与边相切于点，交于点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为13 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，圆内接四边形对角互补，解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键； （1）连接，，先证明，根据圆内接四边形对角互补，可得，结合公共角，即可证明； （2）连接，，相交于点，根据同弧所对的圆周角相等得，结合已知以及正弦的定义得出，设，则，，证明根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】（1）证明：连接，， 切于点， ， ， 为的直径， ， ， 又， ， ， 又，，，四点共圆， ∴， ∵， ， 又， ； （2）连接，，相交于点， 是的直径， ， ， ， ， 又， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， 设，则，， ，， ， ， ， ， ， ， 舍去，， ， 的半径为． 7．（2025·四川成都·二模）如图，，是⊙的直径，连接，，过点作于点，交于点，交⊙于另一点，过点作⊙的切线交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，，求⊙的半径． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)4 【分析】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的性质以及相似三角形的性质是解答的关键． （1）根据切线的性质和等腰三角形的性质，结合等角的余角相等得到，进而利用等角对等边可得结论； （2）先利用直径所对的圆周角是直角得到，再利用等角的余角相等得到，然后根据相似三角形的判定可得结论； （3）设，，则，，，证明求得，再利用等腰三角形的性质得到，由列方程求解x值即可解答． 【详解】（1）证明：∵与⊙的相切于点C，是⊙的直径， ∴，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵是⊙的直径， ∴，则， ∵，， ∴，又， ∴； （3）解：由可设，， ∴，， ∴， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，即⊙的半径是4． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，是上一点，，以为直径作交于点，射线交于点，且为的中点，连交于点，连接，． (1)若为的中点，求证：； (2)若，，求值和的半径． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】本题考查同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，解直角三角形，综合运用相关知识是解题的关键． （1）由，，得到，由为直径，为中点，得到，从而推出，从而推出，由为中点得到，从而，得证； （2）连接，，由得到， 设，则，因此，，求得．由，得到，从而得到，，设，则，在中，有，得到，因此，求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， 为直径，为中点， ，， ， ， ， 为中点， ， ， ， ； （2）解：连接，， ， ∴， ， ∴； 设，则， ∴，， ∴，， ∴． ， ∴， ∵在，，， ∴， ， 设，则， ∵在中，， ∴， ， ∴， ， ， ， 的半径为． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在中，，与边相切于点D，与，分别相交于点E，F，与相交于点G． (1)求证：； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)见解析(2)的半径为， 【分析】（1）连接，由圆周角定理可得，结合题意推出，由平行线的性质可得，再由圆周角定理得出，即可得证； （2）连接，由切线的性质可得，设，则，解直角三角形得出的半径为，，从而可得，，，，，，，，由（1）可得，由平行线的性质可得，解直角三角形得出，证明，由相似三角形的性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ， ∵与边相切于点D， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解且符合题意， ∴的半径为，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 10．（2025·四川成都·二模）如图，锐角△ABC为的内接三角形，，将△ABC沿所在直线翻折，得到，与交于点，连接，交于点． (1)求证：； (2)若，，求和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】（1）根据等边对等角得出，结合翻折的性质可得出，根据圆周角定理得出，则，然后根据平行线的判定即可得证； （2）根据平行线的性质并结合（1）中，可得出，根据等角对等边得出，证明，根据相似三角形的性质可求出，，则可求，设，则，，证明，根据相似三角形的性质得出，可求，即可求出． 【详解】（1）证明∶∵， ∴， ∵将沿所在直线翻折，得到， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴． 11．（2025·四川·二模）如图，在△ABC中，，D为上一点，以为直径作，交于E，F两点，点E为中点，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的直径和的长． 【答案】(1)见解析(2)的直径为6； 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，圆的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，则，再由直径所对的圆周角是直角得到，据此证明即可证明结论； （2）由相似三角形的性质得到，解得到，则，即的直径为6；解得到，求出，则解可得，进而可得的长，再求出的长进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵，点E为中点， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点O作于G，连接， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴的直径为6； 在中，， ∵， ∴， ∵，点E为中点， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．（2025·四川成都·二模）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求直径和的长． 【答案】(1)见解析(2)， 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据圆内接四边形可得，根据垂径定理可得，再利用平行即可得到，即可解答； （2）根据可得，连接，证明，即可求得，可得直径，过点作交于点，利用面积法即可求得，在根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 的直径⊥弦， ， ， ， 四边形为内接四边形， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：如图，连接， ， ， ， ∵是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径为， 如图，过点作交于点， 根据勾股定理可得， 四边形为平行四边形， ，， ， 根据平行四边形的面积等于， 可得， ， , ， 圆综合之求阴影部分面积题型03 1．（2025·四川自贡·二模）如图中，，点在上，以为直径的经过上的点与交于点，且． (1)求证：是的切线． (2)若，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据得到，即可得到，进而证明结论即可； （2）设的半径为，在中根据勾股定理求出半径的值，然后根据正切求出，然后根据全等得到，再根据计算解题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， ， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 在中，，，， 解得 ，即， ， ， ， 由（1）知， ， ∴ ． 2．（2025·四川南充·二模）如图，是的直径，点在上，的平分线交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的半径和阴影部分的面积． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析(2)的半径为，阴影部分的面积为 【分析】（1）连接，，由等边对等角得，由角平分线的定义得，所以，进而求得，再结合得，即可得解； （2）连接，，由得，证明是等边三角形得，进而求得，所以，， 由解直角三角形的知识得，所以，最后根据扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：直线与相切，理由如下： 连接，， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是的半径， 直线与相切； （2）解：如图，连接，， ， ， ， ， 是等边三角形，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 即的半径为，阴影部分的面积为． 2．（2025·四川达州·二模）如图，是的直径，是的弦，连接是的切线，交的延长线于点，半径交于点． (1)写出图中任意一组相等的角：___________； (2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)（答案不唯一）(2)见解析(3) 【分析】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，解直角三角形，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． （1）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明， （2）根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，证明，得到； （3）根据三角形面积公式、扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：（）（答案不唯一）． （2）证明：为的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， ， ， ， ， ． 3．（2025·四川眉山·二模）如图，在中，∠B=90°，平分交于点E，O为上一点，经过A，E的分别交，于点D，F，连接交于点M．    (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径； (3)若，的半径为2，求阴影部分面积． 【答案】(1)见解析(2)3(3) 【分析】（1）连接，根据角平分线的性质及同弧所对的圆周角是圆心角的一半得出即可； （2）由勾股定理可得出答案． （3）先利用等腰三角形的性质与角平分线，三角形内角和定理，求出，从而求得，即可由扇形面积公式得，再由直角三角形的性质与勾股定理求出，从而求得，即可由求解． 【详解】（1）证明：连接，    平分交于点， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； （2）解：由（1）知，是的切线， ∴ ∴ 设， ， ， 解得， ， 即圆的半径为3． （3）解：如图，连接，    ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 由（1）知，是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$