专题07 二次函数综合解答题压轴（4个压轴题）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（四川专用）

专题07 二次函数综合解答题压轴 题型概览 题型01二次函数综合之最值问题 题型02二次函数综合之定值定点定线段问题 题型03二次函数综合之存在性问题 题型04二次函数综合之其他类问题 二次函数综合之最值问题题型01 1．（2025·四川广安·二模）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)①如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； ②点A 关于抛物线对称轴对称点为Q，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，，则的最小值为 ． 2．（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 4．（2025·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方抛物线上是否存在一点D，使得的面积最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点E、F分别是射线、上的动点（如图），点P为线段的中点，且，求的最大值． 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，求周长的最大值； (3)如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标 6．（2025·四川绵阳·二模）如图，在△ABC中，，为边上的高，且， ， E，M为边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），，与边交于点F，四边形为平行四边形，连接． (1)求，的长． (2)如图①，若四边形为菱形，当时，求该菱形的边长． (3)如图②，若，则当长为多少时，平行四边形的面积取得最大值？求出最大值． 7．（2025·四川德阳·二模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点． (1)求抛物线的函数表达式： (2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 9．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数综合之定值定点定线段问题题型04 1．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 3．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求点A，的坐标； (2)如图2当时，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 4．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 二次函数综合之存在性问题题型05 1．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 4．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； (3)如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 6．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是线段上的一个动点（不与端点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 7．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 8．（2025·四川绵阳·二模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2025·四川南充·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 10．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 11．（2025·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 二次函数综合之其他类问题题型06 1．（2025·四川泸州·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 2．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标； (3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标． 3．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 4．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 5．（2025·四川资阳·二模）如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． (1)求“果圆”中的抛物线的解析式． (2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 6．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值； (3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 7．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交点的坐标为，D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，线段上有一点E，过点E作，垂足为F，将绕点D顺时针旋转得到，且的延长线与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图①，当点E恰好在上时，求与抛物线的交点H的坐标； (3)如图②，连接，试说明无论点E怎样变化都有． 8．（2025·四川泸州·二模）在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 11．（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标； 定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 12．（2025·四川泸州·三模）已知二次函数． (1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． (2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 13．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标． 1 / 124 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 二次函数综合解答题压轴 题型概览 题型01二次函数综合之最值问题 题型02二次函数综合之定值定点定线段问题 题型03二次函数综合之存在性问题 题型04二次函数综合之其他类问题 二次函数综合之最值问题题型01 1．（2025·四川广安·二模）如图1，已知抛物线经过点，C，与y轴交于点A，顶点为D． (1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标； (2)①如图2，连接，若点P为直线上方抛物线上的一个动点，且，求点P的横坐标； ②点A 关于抛物线对称轴对称点为Q，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，，则的最小值为 ． 【答案】(1)， (2)①；②10 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）两点式写出函数解析式，转化为顶点式，求出顶点坐标即可； （2）①取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，求出的坐标，将直线向上平移个距离，平移后的直线与抛物线的交点即为点，进行求解即可；②作点关于轴的对称点，设交对称轴于点，对称轴交轴与点，连接，易证四边形为平行四边形，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，C， ∴， ∵， ∴顶点坐标为：； （2）①∵， ∴当时，， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 取的中点，连接，过点作的平行线，交轴于点，则：， ∵， ∴， ∴点到的距离等于点到的距离， 由（1）知：， ∴， ∴设直线的解析式为：， 把代入，得：，解得：， ∴，当时，， ∴， ∴， ∴将直线向上平移2个单位得到，点即为直线与抛物线的交点， 令，解得：或； 故点的横坐标为：； ②作点关于轴的对称点，设交对称轴于点，对称轴交轴与点，连接，则： ∵， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵，关于对称轴对称， ∴，， ∴，轴，， ∵在轴上，对称轴， ∴轴，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴的最小值为10． 故答案为：10 2．（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，连接，若． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交直线于点，过作于点，、是对称轴上两个动点，点在点的上方，且．当取得最大值时，求的周长的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到得新抛物线，为新抛物线上的一个动点当时，请求出所有符合条件点的横坐标． 【答案】(1)(2)(3)点的横坐标为 【分析】（1）首先求出，然后结合求出，然后利用待定系数法求解即可； （2）首先求出直线表达式为，设，表示出，由是等腰直角三角形表示出，然后代入利用二次函数的性质求出当时，取得最大值，得到此时，，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值，利用勾股定理求解即可； （3）首先求出，，然后得出平移方式，进而得到平移后的表达式，然后根据题意分两种情况讨论：当点在轴右边时和当点在轴左边时，分别求出的表达式，然后和抛物线联立求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线， ∴当时，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴将，代入得， ， 解得， ∴； （2）∵P是直线上方抛物线上的一动点， ∴设， ∵，， ∴可得直线表达式为， ∵过点P作轴交直线于点M， ∴设， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴此时，， 如图，作点关于直线的对称点，则在上时取得最小值， ∵， ∴， ∴的周长的最小值为； （3）∵， ∴，， ∵将该抛物线沿方向平移个单位长度得到得新抛物线， ∴平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∵， ∴平移后的新抛物线表达式为， ∵， ∴当点Q在y轴右边时，如图所示，延长交直线于点D，交于点， ∴， ∴，即， 设， ∵，， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴可得直线表达式为， ∴联立得，， 解得， 当点Q在y轴左边时，不存在，符合题意的点； 综上所述，点的横坐标为． 3．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，且横坐标为1，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点，点为抛物线的顶点，点的坐标为． (1)求线段的长； (2)点为线段上方抛物线上的任意一点，当的面积最大时，求此时点坐标，并求出最大面积； (3)在（2）的情况下，过点作的垂线交于点，点在轴上一点，求的最小值． 【答案】(1)(2)，(3) 【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图象与性质、二次函数与面积综合、二次函数求最值等问题，数形结合是解决问题的关键． （1）根据题意，令，代入表达式求出即可得到，再根据点与点关于抛物线的对称轴对称，即可求出，从而得到答案； （2）作轴交于，如图所示，设，数形结合，在平面直角坐标系中表示出的面积，由二次函数图象与性质分析即可得到答案； （3）作直线交于，使得，作于交于，如图所示，数形结合得，利用等面积法求解即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上，且横坐标为1， 令，则，则， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ； （2）解：作轴交于，如图所示： 设， 直线的解析式为， ， ， ， 抛物线开口向下，有最大值，当时，的面积最大为，此时； （3）解：作直线交于，使得，作于交于，如图所示： 由（2）知点，， ， ， ，此时的值最小， ， ， 的最小值为． 4．（2025·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点C，且． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在直线下方抛物线上是否存在一点D，使得的面积最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点E、F分别是射线、上的动点（如图），点P为线段的中点，且，求的最大值． 【答案】(1)(2)存在，(3)的最大值为4 【分析】（1）先得出，结合，得，再把点、点代入，得，即可作答． （2）依题意，设，再把点、点代入，求出直线的解析式，整理得，，结合二次函数的图象性质进行分析计算，即可作答． （3）先在中，，即，证明，得，故，整理得的最大值即的最大值，在中，点T所对的边是，且，则点T的运动轨迹在的外接圆上，且在优弧上运动，当经过的外接圆的圆心时，即为的外接圆的直径时，有最大值，即可作答． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点、点， ∴， ∵与y轴交于点C，且， ∴， 即， 把点、点代入， 得， 解得， ∴； （2）解：依题意，过点D作直线轴，交于一点，连接， ∵点D在直线下方抛物线上， ∴设， 设直线的解析式， 把点、点代入， 得， 解得， ∴直线的解析式， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴开口向下， 在对称轴为直线时，有最大值， 把代入， 得， ∴， （3）解：依题意，延长至点G，使得，连接，在延长线上取点T，使得，连接，如图所示： ∵点，， ∴， 在中，， 即， ∵点P为线段的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴在中，， 则 ∵， ∴， ∴， ∴的最大值即的最大值， ∵，， ∴， 在中，点T所对的边是，且， 则点T的运动轨迹在的外接圆上，且在优弧上运动， ∴当经过的外接圆的圆心时，即为的外接圆的直径时，有最大值， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴的最大值为4． 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于A，B两点，点B在x轴上，点A在y轴上．C是直线上方抛物线上一点，过点C分别作z轴、y 轴的平行线，交直线于点D，E (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，求周长的最大值； (3)如图②，若将沿直线翻折，点C的对应点F恰好落在y轴上，求点C的坐标 【答案】(1)(2)(3)点C的坐标为 【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点，，然后用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）根据，即，则，从而求得，则的周长为，所以当取得最大值时，的周长也取得最大值．然后设，则，求得，根据二次函数的性质求得当时，取得最大值，最大值为4，从而求得，，即可由周长的最大值求解． （3）过点E作轴于点M，延长交y轴于点N，则轴．设，则，，所以，，．再根据翻折和性质证明，得出，从而求得，．根据，得到，解得（舍去），．继而可求出点点C的坐标． 【详解】（1）解：∵， 令，则， 令，则， ∴，． 把，代入，得 解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵轴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴当取得最大值时，的周长也取得最大值． 设，则， ∴， 当时，取得最大值，最大值为4， ∴， ∴周长的最大值． （3）解：如图③，过点E作轴于点M，延长交y轴于点N，则轴． 设，则，， ∴，，． 由翻折可得，，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， 解得（舍去），． 当时，， ∴点C的坐标为． 6．（2025·四川绵阳·二模）如图，在△ABC中，，为边上的高，且， ， E，M为边上两个不重合的动点（点E在点M的上方，且均不与端点重合），，与边交于点F，四边形为平行四边形，连接． (1)求，的长． (2)如图①，若四边形为菱形，当时，求该菱形的边长． (3)如图②，若，则当长为多少时，平行四边形的面积取得最大值？求出最大值． 【答案】(1)，(2)(3)当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为． 【分析】（1）由正切的定义设，，由勾股定理可得出，解出x即可得出答案． （2）过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K， 由平行线的性质和等腰直角三角形的性质得出，，，进而可得出．设，则，由菱形的性质得出，通过解直角三角形可得出，再由已知条件可得出，最后可得出，解x即可得出答案． （3）过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T．设与交于点W．由正切的定义求出 ，由等腰三角形三线合一的性质得出． 设，则，由平行线截线段成比例可得出，进而可得出，再解直角三角形可得出，最后再根据菱形的面积得出关于m的一元二次函数，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：在中， 为边上的高， ∴是直角三角形， ∵， 设，， ∴ 解得， ∴，， ∴ （2）如图③，过点E作于点H，设与交于点R，过点M作于点G，过点N 作于点K， ∵， ，， ∴，，， ∴， 即． 设， 则， ∴ ∵四边形为菱形， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴当时，该菱形的边长为． （3）解：如图④，过点B作于点P，与交于点Q，过点E作于点T．设与交于点W． 在中，，， ∵， ∴设， ∴ 解得或（舍去） ∴， ∴． 当时，是等腰三角形， ∵，， ∴， ∴为的中线和高， 即． 设，则， ∴， ∵， ∴， 即：， 解得， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同（2）可得出， ∴， 当时，， ∴当时，平行四边形的面积取得最大值，最大值为． 7．（2025·四川德阳·二模）已知：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点， (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)点为抛物线上位于直线下方的一动点，当面积最大时，求点的坐标； (3)若点为线段上的一动点，问：是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，顶点的坐标为 (2)点的坐标为 (3)存在最小值，最小值为 【分析】本题主要考查二次函数的解析式求解、顶点坐标计算、三角形面积最大值求解以及利用几何构造求线段和的最小值． （1）通过代入已知点坐标，求出解析式及顶点坐标； （2）作轴，交于点，设设，计算的长度，利用三角形面积公式求解．当时，取得最大值，此时点的坐标为； （3）将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，，通过构造含角的直角三角形，利用几何性质求解的最小值．当A、Q、N三点共线时，取得最小值，计算得到最小值为． 【详解】（1）解：由题意，设抛物线解析式为，其中， 点的坐标为， 将代入，解得：， ． 抛物线的解析式为． 对称轴为直线， 将代入，得：． 顶点的坐标为； （2）解：，， 直线的解析式为：． 点在抛物线上，且位于直线下方， 设，其中，． 如图所示，作轴，交于点， ． ． ，，， ． ． 整理可得：，其中． ， 当时，取得最大值． 将代入，得：， 此时点的坐标为； （3）解：存在最小值，理由如下： 如图所示，将直线绕着点逆时针旋转，并过点作其垂线，垂足为，分别连接，，， 则，． 在中，． 随着点的运动，总有． ． 要使得取得最小值， 即要使得取得最小值， 如下图，当、、三点共线时，满足取得最小值， 此时，，， ， ，． ． ． ． 存在最小值，最小值为． 8．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，以点为端点向右作与轴平行的射线交抛物线于点连接，点为线段的中点，过点的直线与轴交于点，与射线交于点，与抛物线在第一象限内交于点． (1)求抛物线的函数表达式： (2)连接，，则的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)连结，以所在直线为对称轴，经轴对称变换后得到，记直线与射线的交点为若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)的面积不存在最大值，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了求二次函数解析式，面积问题，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）设抛物线解析式为代入，即可求解； （2）过点作，根据题意得出点在直接的抛物线图象上运动，分别求得抛物线顶点和点到的距离，进而判断最大值时的位置，而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值； （3）由（2）可得到的距离为，则，进而求得的坐标，分情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴ ∵与轴交于点， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）解：∵轴， 当时， 解得：或 ∴ 如图，过点作 依题意，点在直接的抛物线图象上运动， ∵是的中点，， ∴ ∴抛物线的顶点坐标为， ∴顶点坐标为到的距离为， 直线与的距离为， ∵ 当重合时，的面积最大， 而与轴相交，与轴平行，则点无法与点重合，故的面积不存在最大值 （3）解：由（2）可得到的距离为 ∵的面积为， ∴ ∴， 如图，当在点的左侧时， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∵折叠 ∴ ∴ ∴， 设， 由，可得直线的解析式为 设，依题意，点在的左侧，则 ∵折叠 ∴ ∴ 设直线的解析式为，代入， ∴， 解得：， ∴直线的解析式， 当时，，即的横坐标为； 设直线的解析式为， 代入， ∴ 解得： ∴ 当时， 解得：，即， ∵， ∴， 解得：（舍去）或， ∴ 当在点的右侧时，如图 ∴∵ ∴ 解得：（舍去）或 ∴ 综上所述，或 9．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求拋物线的函数解析式． (2)是直线下方抛物线对称轴的左侧拋物线上一动点，过点分别作轴，交抛物线于点，作于点，求的最大值及此时点的坐标． (3)将抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，在取得最大值的条件下，连接，交轴于点，平移后的抛物线上是否存在一点，使得？若存在，直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)的最大值为11，此时点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与线段的综合、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用所学知识成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）如图：过P作轴交直线于H，由二次函数的性质可得点，对称轴为；再通过证明是等腰直角三角形，即，进而得到；再运用待定系数法求得直线的解析式为，设点，则，进而得到，然后运用配方法求最值即可解答； （3）先直线的解析式为，再求得，然后确定平移后的抛物线解析式为；设，再用两点间距离公式表示出，然后再运用勾股定理列方程求得n即可解答． 【详解】（1）解：将两点代入可得： ，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图：过P作轴交直线于H， ∵抛物线的表达式为， ∴点，对称轴为， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则， ∴，， ∴ ， ∴当，即时，的最大值为11． ∴的最大值为11，． （3）解：如图：设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， ∵连接交y轴于点M， ∴， ∵，抛物线沿射线方向平移个单位， ∴将抛物线向左平移两个单位，向上平移两个单位得到平移后的函数解析式为：， 设， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 整理得：，解得：或， 将、代入分别得到，2， ∴ 或． 二次函数综合之定值定点定线段问题题型04 1．（2025·四川成都·二模）如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求的面积； (3)若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标为，进而推出抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，则抛物线的解析式为，联立，可得，则点M为中点，即可得； （3）同理得到抛物线的解析式为，则，设，则可推出；利用待定系数法可得，，求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线经过原点O、， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式， （2）解：∵抛物线的表达式， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵抛物线绕点旋转得到抛物线， ∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为， 联立，解得或， ∴， ∵， ∴点M为中点， ∴； （3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为， ∴抛物线的解析式为， ∴， 设， 联立得， ∴； 设直线解析式为，直线解析式为， ∴， 解得， 同理可得， ∴ ， ∵是一个定值， ∴，即． 2．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点E，其顶点为C，D是抛物线第四象限上一点． (1)求线段的长； (2)当时，若的面积是面积的两倍，求点D的坐标； (3)延长交x轴于点F，，试探究直线是否经过某一定点．若是，请求出定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3)直线恒过定点 【分析】（1）令，则，从而可得，求解得出、的坐标，即可得解； （2）求出，连接、、、，作轴于，轴交于，设点的坐标为，则，求出，表示出，求出直线的解析式为，从而可得，求出，表示出，结合题意得出，解方程即可得解； （3）求出，，作轴于，设，则，求出，，由等腰三角形的性质可得，得出，从而可得，求出直线的解析式为，进而可得，得出方程，解方程得出，即，求出直线的解析式为，即可得解． 【详解】（1）解：在中，令，则， ∴， 解得：，， ∴，， ∴； （2）解：当时，， ∴， 如图，连接、、、，作轴于，轴交于， ， 设点的坐标为，则， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积是面积的两倍， ∴， 整理得：， 解得：或， ∵， ∴，此时， ∴； （3）解：∵， ∴， 在中，当时，，故， 如图：作轴于， ， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 解得：或， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴直线恒过定点． 3．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）其顶点为，是抛物线第四象限上一点． (1)求点A，的坐标； (2)如图2当时，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，如图3，过点A的直线与轴正半轴交于点，与抛物线交于点，将直接绕点A顺时针旋转使其与轴负半轴交于点，与抛物线交于点，若，试判断直线是否经过定点．若是，请求出该点坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、正切的定义、二次函数与一元二次方程等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先说明A，两点的横坐标为方程的解，即方程的解，然后解方程即可解答； （2）根据题意和二次函数的性质可得、顶点，如图：过C作轴于点E，交于点F，则，可说明，即，则；设点F的坐标为，则，，易得，解得：，即；再运用待定系数法求得直线的解析式为，最后与抛物线解析式联立即可解答． （3）由（2）可得：当时，函数解析式为，，设直线的解析式为可得直线的解析式为、，再与抛物线解析式联立可得；设直线的解析式为，同理可得：、，；再由可得；再运用待定系数法求得直线的解析式进行分析即可解答． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧）， ∴A，两点的横坐标为方程的解， ∵， ∴，解得：， ∴点A，的坐标分别为：． （2）解：如图：当时，函数解析式为， ∴，顶点， 如图：过C作轴于点E，交于点F，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设点F的坐标为，则，， ∴，即，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得：当时，函数解析式为，， 设直线的解析式为，则，即， ∴直线的解析式为，， 联立，解得：或（不合题意舍弃）， ∴； 设直线的解析式为， 同理可得：、， ∵， ∴，解得：， 设直线的解析式为， 则， ①-②可得, , , ∵， ∴， 把代入可得： ， ， ， ∴∴直线的解析式为，整理得： ∴当，即时，， ∴直线经过定点． 4．（2025·四川南充·二模）如图，抛物线的最大值为4，顶点为，轴于，经过中点的任意直线与抛物线交于分别与轴交于． (1)求抛物线的解析式． (2)当四边形是平行四边形时，求四边形的面积． (3)判断是否为定值，并说明由． 【答案】(1)(2)(3)是定值，为8 【分析】（1）把解析式化为顶点式得到顶点坐标，再根据最大值为4求出a的值即可得到答案； （2）作于，延长交抛物线于，作于．可证明．得到．由对称性可得．则．可知点与点重合．则轴．可求出．由，解得．则，． （3）可求出直线为．直线为．设．由，得．则直线为．由，得．据此可求出，．由根系关系，得．则． 【详解】（1）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线顶点坐标为， ∵抛物线的最大值为4， ∴． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，作于，延长交抛物线于，作于． ∴． 当四边形是平行四边形时，． 又∵， ∴． ∴． 由题意，为对称轴，则． ∴． ∴点与点重合． ∴轴． 由（1），得顶点坐标为， ∴． 由，得． ∴． ∴． ∴． （3）解：设直线为，则． ∴． ∴直线为． 同理，可设直线为． 设． 则．否则，无两个交点． 由，得． ∴直线为． 由，得． ∴． 同理，． 由，得． 以为元，由根系关系，得． ∴． 二次函数综合之存在性问题题型05 1．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线：（）与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，作直线，点的坐标为且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在抛物线第一象限图象上，线段（点在点的左侧）是直线上一段长度为2的动线段，轴上一点，连接，，，，若四边形为平行四边形，求点的横坐标； (3)一次函数：（）图象交二次函数于，两点，抛物线上是否存在定点，连接，，当点与点，不重合时，总有，若存在，求定点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或(3)存在， 【分析】（1）根据题意得到，，由三角形面积得到，，再利用待定系数法即可求解； （2）连接交于点，利用待定系数法求出直线的解析式为，利用平行四边形的性质得到，，设，利用中点坐标公式可得，代入点到，求出的值得到点的坐标，设，利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案； （3）过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为，设，，联立一次函数和抛物线的解析式，整理得，利用一元二次方程根与系数的关系得到，，进而表示出，，再通过证明，推出，设，根据图形的坐标列出等式，结合点是定点，求出的值，得出点的坐标，再检验是否符合题意即可解答． 【详解】（1）解：抛物线：（）， 当时，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接交于点， 设直线的解析式为， 代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵四边形为平行四边形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：，， 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； 当时，， 设，则， 解得：，， ∵点在点的左侧， ∴； ∴综上所述，点的横坐标为或． （3）解：如图，过点作轴的平行线，过点分别作此平行线的垂线，垂足为， 设，， 联立， 消去整理得：， ∴，， ∴， ， 设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ∵点是定点， ∴，，， 解得：，， 经检验，在抛物线上，符合题意； ∴抛物线上存在定点，点的坐标为． 2．（2025·四川成都·二模）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为． (1)求新抛物线的表达式； (2)若，求点的坐标； (3)若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值． 【答案】(1)(2)3)四边形的面积是定值，这个定值为15 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，二次函数图象的平移，运用待定系数法求函数拭，正确求出函数关系式是解答本题的关键． （1）设平移后新抛物线的表达式为，再把和代入解析式，解出关于的方程组即可； （2）求出抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，得到平移方式，设，则，运用待定系数法求出和的解析式，根据可得，求出的值即可解答； （3）连接，，，证明，，求出，可得结论． 【详解】（1）解：抛物线平移得到新抛物线， 设新抛物线的表达式为， 把和代入可得：， 解得， 新抛物线的表达式为； （2）解：新抛物线的表达式为， 抛物线的顶点平移到抛物线的顶点， 抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位， 设，则， 设的解析式为，它过和， 则， 解得， 设解析式为，它过和， 则， 解得， ， ， ， 经检验：是原方程的根， 当时，，， ； （3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E， 设的解析式为，它过， 则， 解得， ∴的解析式为； 设的解析式为，它过和， 则， 解得， ∴设的解析式为， 联立方程组， 解得，， ∴, ∴，，， ∵， 是直角三角形， ， 平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为， ，， ， 四边形的面积是定值，这个定值为15． 3．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，连接． (1)求抛物线的函数解析式； (2)P为直线上方抛物线上一动点，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)Q是对称轴上一动点，R是平面内任意一点，当以B，C，Q，R为顶点的四边形为菱形时，求点R的坐标． 【答案】(1)(2) (3)或或或或 【分析】（1）将代入，再建立方程组求解即可； （2）先直线的函数解析式为．如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接．的面积．当取得最大值时，的面积最大．设点的坐标为，则点的坐标为，再进一步建立二次函数求解即可； （3）如图2，设直线与轴交于点．可得．①当为对角线时，，②当为对角线时，如图3，过点作垂直于对称轴于点，则，③如图4，当为对角线时，设点的坐标为，再进一步利用菱形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于两点， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为． （2）解：令，则， 点． 设直线的函数解析式为． 将代入，得， 解得， 直线的函数解析式为． 如图1，过点作轴于点，交直线于点，连接． 的面积． 当取得最大值时，的面积最大． 设点的坐标为，则点的坐标为， ． ， 当时，取得最大值，的面积最大， 此时点的坐标为． （3）解：抛物线的对称轴为直线． 如图2，设对称轴与轴交于点． ， ， ． ①当为对角线时，， ， 点的坐标为，点的坐标为． 根据平移的性质，点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点， 点向左平移2个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点． 同理得到点； ②当为对角线时， 如图3，过点作垂直于对称轴于点， 则， ， 点的坐标为，点的坐标为， 同理，点，点； ③如图4，当为对角线时， 设点的坐标为， ，即，解得， 点的坐标为， 同理，点的坐标为． 综上，点的坐标为或或或或． 4．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线经过点，，交轴于点，点是直线上方抛物线上一点，其横坐标为，连接交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使，若存在，求出值；若不存在，请说明理由． (3)点是抛物线上的点，当的值最大时，是否存在点使得是直角三角形，若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)存在， (3)存在，点坐标为，，， 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题关键； （1）用待定系数法求解即可； （2）由相似得出，设，根据勾股定理列方程求解即可； （3）如图作轴交于点，作轴交的延长线于点，证明，得出，得出的值最大时即有最大值，利用二次函数性质求出最值即可；根据是直角三角形分三种情况根据勾股定理分别列方程解方程即可解决． 【详解】（1）解：将点，代入得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为：； （2）解：存在点使，理由如下： 假设存在点使，设， ， 当时，， ， 在中， ， 解得，（不合题意舍去）， 则坐标为， ，， ， ， 存在点使； （3）解：如图作轴交于点，作轴交的延长线于点， ， ， ， ， ， ， 的值最大时即有最大值， 当时，最大，点的坐标为， 设，，， 当是直角三角形时，有以下三类情况， ①时， ， 解得，（不合题意舍去）， ； ②，， ， 解得，（不合题意舍去），   ； ③，， ， 解得，（不合题意舍去）， ，； 综上所述，点坐标为，，，． 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点，E为x轴负半轴上的点，F为抛物线第一象限上的点，，D为直线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，若四边形是平行四边形，求直线的解析式； (3)如图②，直线满足（2）中的条件，M为直线上的点，当点D在第一、象限中，且，求点D的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】此题考查了二次函数综合题，平行四边形的性质、相似三角形的性质等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）证明是等腰直角三角形，得到．设直线的解析式为，则，则直线的解析式为．证明，则，，得到．利用待定系数法即可求出答案； （3）过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K．求出，得到，则，根据得到，整理可得，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ． 将代入， 得， 抛物线的解析式为． （2）如图③，过点作，垂足为． 由（1）可得抛物线的解析式为， ， 是等腰直角三角形， ． 设直线的解析式为，则， 直线的解析式为． 四边形是平行四边形， ，，， ， ，， ， ． 点在直线上，把代入中， 得，解得， 直线的解析式为 （3）如图④，过点D作，垂足为H，过点B作，垂足为N，过点N作，垂足为K． ∵， ∴， ∴， ∴，则． ，则， 由直线EF的解析式为，得． ∵，， ∴直线BN的解析式为， ∴， ∴， ∴， ， ∴，， 整理可得， 解得． ∵点D在第一象限内， ∴， ∴， 即当△ADE∽△DBM时，点D的坐标为． 6．（2025·四川泸州·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点是线段上的一个动点（不与端点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的长； (3)若以、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】　　（1）将、代入中，再建立方程组求解即可； （2）求解，直线为，设，则，可得，，结合，再建立方程求解即可； （3）由，，可得当时，，如图，此时，可得关于抛物线对称轴对称，从而可得答案，当时，则，如图，过作轴于，证明，设，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：将、代入中， 可得：， 解得：， 即抛物线解析式为：； （2）解：∵， 当时，， ∴，而， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） ∴， ∵， ∴. （3）解：∵，， ∴当时，，如图， ∴， ∴关于抛物线对称轴对称， ∵的对称轴为直线，， ∴，， 当时，则，如图，过作轴于， ∴， ∴， ∴，设， ∴， ∴， 解得：，，（都不符合题意，舍去） 综上：. 7．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）经过点，与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点．连接，作射线，且． (1)求抛物线（）的表达式； (2)点是射线下方抛物线上的一动点，过点作轴于点，交线段于点．点是线段上一动点，轴于点，点为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； (3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（）中线段长度取得最大值时的点，且与射线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点T的坐标为或 【分析】（1）利用正切函数求得，得到，再利用待定系数法即可求解； （2）求得，利用待定系数法求得直线的解析式，设（），则，当时，最大，此时，将线段向左平移个单位得到，则，当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度，则的最小值为； （3）根据（2）可得，再利用平移的性质得到新抛物线的解析式，再分两种情况讨论，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，则， ∴， ∴， 将和代入得， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：令，则， 解得或， ∵， 则 设直线的解析式为， 代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 设（），则， ∴， ∵， ∴当时，最大，此时， ∵点是线段上一动点，轴于点， ∴当线段长度取得最大值时， ∵，，点为线段的中点， ∴ 将线段向左平移个单位得到，则 当三点共线时最小，即最小，最小值为的长度； ∴的最小值为； （3）解：由（2）得， ∴新抛物线由向左平移个单位，向上平移个单位得到， ∴， 过点作交抛物线于点， ∴， 同理求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为，代入 ∴ 解得： ∴直线的解析式为 联立得， 解得，， 当时，， ∴， 联立直线和抛物线解析式可得 解得：， 当时，， ∴ ∴轴， 又∵ ∴ ∴ 作关于直线的对称点，连接交于点 ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴将点向左平移个单位再向下平移个单位，得 同理直线的解析式为， 联立， 解得或， 当时，， ∴， 综上，符合条件的点T的坐标为或． 8．（2025·四川绵阳·二模） 如图，抛物线与轴交于点和点(点在原点的左侧，点在原点的右侧)，与轴交于点，． (1)求该抛物线的函数解析式． (2)如图1，连接，点是直线上方抛物线上的点，连接，．交于点，当时，求点的坐标． (3)如图2，点的坐标为，点是抛物线上的点，连接，是否存在点，使或等于？若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)或 (3)存在，的坐标或或或 【分析】（1）由及图像可得B、C两点坐标，然后利用待定系数法直接进行求解即可； （2）由题意得出，进而得到点D、F横坐标之间的关系为，设点横坐标为，则点横坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，设，待定系数法求出直线所在的直线表达式为：，推得点，将点坐标代入抛物线，即可求出点的坐标； （3）当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，结合全等三角形的判定和性质得出点的坐标为，根据待定系数法求求出直线的解析式；联立方程组，求出的坐标，结合平行线的性质与等角对等边的性质得出，结合一次函数的平移得出直线解析式，结合勾股定理即可求出点的坐标，根据待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，求出的坐标；当时，分为点在轴上方和点在轴下方，两种情况进行讨论，根据等角对等边得出，结合勾股定理即可求出点的坐标，待定系数法求出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标，结合一次函数的平移得出直线的解析式，联立方程组，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 把、坐标代入得， 解得：， ∴抛物线解析式：； （2）解：∵， ∴，即：， 设点横坐标为，则点横坐标为， 设直线的解析式为：，把代入得，， 解得：， ∴所在的直线表达式为：， ∵点在直线上， ∴， 设直线的函数表达式为：，把代入得：， 解得：， ∴直线所在的直线表达式为：， 则点， 把点坐标代入抛物线解析式得：， 解得：或， 则点的坐标为或； （3）解：①当， 若点在轴上方，此时点，直线交轴于点， 若点在轴下方，此时点，过点作交于点，过点作轴交于点，作于点，如图： ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为：， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， 即， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：， (舍去)， 则点； ②当时， 若点在轴上方，此时点，直线与交于点，过点作轴交于点，过点作作轴交于点， 若点在轴下方，此时点，如图： ∵，， ∴ ， ∴ ， 由①知，直线的解析式为， 故设， ∵，， ∴，， ∴，，，， 在与中，， ∴， 解得：， 则点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵直线过点、，则直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； ∵，， ∴， ∴， 故直线可以看成直线向下平移个单位得到的， 即直线的解析式为： ， 联立， 解得：或（舍去）， ∴点的坐标为； 综上所述，点的坐标或或或． 9．（2025·四川南充·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于和两点，与轴相交于，且顶点，是抛物线上一动点． (1)求二次函数的解析式； (2)如图1，连接，若，求的坐标； (3)如图2，过作交抛物线于，以、、为顶点的三角形是否存在直角三角形，若存在，求出的坐标；若不存在，通过计算说明． 【答案】(1)(2)(3)或 【分析】（1）根据图象顶点为点，设抛物线解析式为，再代入求出即可解答； （2）将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且，则，求出，，证明，求出，求出的直线解析式，联立即可求解． （3）分为①当时，②当时，分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象顶点为点， 故设抛物线解析式为， ∵抛物线图象经过， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， 即； （2）解：将以为旋转中心顺时针旋转对应点，连接交抛物线于，过作轴，且， ， 令，解得：， ， 当时，， ， ∵， ∴在和中 ， ∴， ∴， ， 设的直线解析式为， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理的， 解得：， 当时，， ∴； （3）解：①当时， 设的直线方程为， 设的直线方程为， ∴， 整理得， ∴， ∴， ， ∴， 整理得， ∴， ∴， ∴， ， ∴直线与轴夹角的正切值直线与轴夹角的正切值的倒数， ∴，即， ， ∴， 即， ∵， 设的直线解析式为， ， 整理得：， ， ∴， 解得：， ∴的直线解析式为， ∴， 整理得， 解得：， ∵当在的左侧时， ， ， ， ∵当在的右侧时， ， ； ②由（1）知，顶点， ， ， ， ， ∴此时为直角三角形，即， 若，此时与重合，与题意不合，应舍去． 综上，或时，以为顶点的三角形是直角三角形． 10．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线，连接，． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，若点M为直线上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交于点N，过点M作x轴的平行线，交直线于点Q，求的最大值； (3)如图2，点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标． 【答案】(1)(2)(3)点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的解析式为；设，则，，求出，得出，，表示出，再由二次函数的性质求解即可； （3）由题意可设，，分三种情况：当为对角线时；当为边时，平行四边形为时；当为边时，平行四边形为时；分别利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，对称轴是直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，令，则， 解得：，， ∴，， 设直线的解析式为， 将，代入直线解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为； 设，则，， 在中，当时，， 解得，即， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，的值最大，为； （3）解：由题意可设，， ∵平面内以点A、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，， ∴当为对角线时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 当为边时，平行四边形为时，由平行四边形的性质可得， 解得：或（不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 11．（2025·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与轴交于点，与轴交于点，与抛物线交于两点（点在点的左侧），连接，，求的面积； (3)在（2）的条件下，为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点作交轴于点，过点作于，试问：是否存在点，使以点为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)3 (3)存在，、或，理由见详解 【分析】本题主要考查了抛物线与直线的综合，二次函数图象和性质，利用待定系数法求函数表达式，函数和几何图形，二次函数和相似三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和相似三角形的判定． （1）利用待定系数法即可求得函数表达式； （2）利用函数解析式得，，由可假设，，根据求得，再求得，最后利用三角形面积公式即可求解； （3）假设，利用勾股定理求得，，，利用两个角相等的三角形相似，相似三角形的对应边成比例，分类进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：将代入得： ， 解得， 抛物线的函数表达式； （2）解：当函数值为0时， 即， 解得， ∴， ∵直线与轴交于点， ∴， 由可假设， ， 解得或（舍去）， ， 将代入得： ， 解得， ∴， 当直线函数值为0时，即， 解得， , ； （3）解：存在，理由如下 假设，， 由勾股定理得， ∴ 即 整理得 解得或（舍去） ∴，，， 抛物线对称轴为直线， 设，因为在抛物线上，所以， 过作轴于，则，，， ①当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得或（舍去） ∴； ②当时，以点为顶点的三角形与相似， 此时， 当点在轴下方时，，解得或（舍去） ∴； 当点在轴上方时，，解得（舍去）或（舍去） 综上，、或． 二次函数综合之其他类问题题型06 1．（2025·四川泸州·二模）如图1，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，连接，．点是该抛物线上一动点． (1)求该抛物线的表达式； (2)如图1，若点在第一象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标： (3)如图2，若点在第四象限，直线与交于点，过点作轴交于点，当是等腰三角形时，求线段的长． 【答案】(1)(2)(3)或或 【分析】（1）根据待定系数法解答即可； （2）先利用勾股定理的逆定理判断，继而可得，在轴上取点，连接，易得是等腰直角三角形，可得，进一步可推出，可得，然后利用待定系数法分别求出直线与的解析式，再与抛物线的解析式联立方程组求解即可； （3）设直线交y轴于点，如图，由题意可得为等腰三角形，则也为等腰三角形，设，求出直线和直线的解析式后，再解方程组求出点的坐标，然后分三种情况求出的值，再求出直线的解析式，进而可求出点的坐标和点的坐标，问题可求解． 【详解】（1）解：已知抛物线与轴交于点，，设抛物线的交点式为， 把代入，可得：即，解得， 所以抛物线的表达式为． （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在轴上取点，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为，把点代入，可得， ∴直线的解析式为， 解方程组，得或，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标是． （3）解：设直线交y轴于点，如图， 轴， ，， 若为等腰三角形，则也为等腰三角形， ，， 直线的解析式为， 设， ， 直线的解析式为， 解方程组，得， 点的坐标是， ，，， 当时，，解得：（舍去正值）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ， 当时，，解得或（舍）或（舍）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 当时，，解得或（舍去）， 此时直线的解析式为， 解方程组，得或， 点的坐标是，此时点的坐标是， ； 综上，或或． 2．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，与y轴交于点，过点B的直线交y轴于点．在x轴上方抛物线上有一点P，过点P作的垂线，垂足为E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，过点P作x轴的垂线交直线于点Q，当的周长最大时，求此时点P的坐标； (3)如图2，连接，当与相似时，求点E的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与几何的综合、相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点，灵活运用数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先运用待定系数法可得直线的解析式为，如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M，进而得到，再证明可得，即当PQ最大时，的周长最大，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，进而得到，再根据二次函数的性质求解即可； （3）如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N，再证明可得，由，则要使与相似，即或2；设点，、，进而得到或，即，最后求点E的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线过点、点、点， 设抛物线的解析式为：， ，解得：， 抛物线的解析式为：． （2）解：设直线的解析式为， ，， ∴ 直线的解析式为：， 如图：过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 点M的坐标为， ，，， ， ， ， 又， ， ． 当PQ最大时，的周长最大， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ， ， ∴当时，， 点P的坐标为． （3）解：如图2，过点E作x轴的平行线，再过点P、B作该平行线的垂线，垂足分别为M、N， ， ，， ， ， ， ，要使与相似， ∴或2， 设点， ，， 或， ，，点不合题意，应舍去， 把点代入抛物线的解析式为：， 解得：，（舍去）， 点E的坐标为． 3．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．连接，． (1)求抛物线的表达式； (2)设点D在直线下方的抛物线上； ①连接、、，设的面积为，的面积为，当的值最大时，求点D的坐标； ②如图2，设所在直线绕点A逆时针旋转后与射线相交于点E，与抛物线交于另一点F，当时，求点D的横坐标． 【答案】(1)(2)①；② 【分析】（1）根据抛物线交点式，得到、两点坐标，再根据正切值求出点坐标，代入抛物线解析式求出的值即可； （2）①设点，分别用含的式子表示出、，进而得出，再利用二次函数的最值求解即可； ②设点，利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立两直线，得到点的横坐标为，再根据，得到关于的一元二次方程，从而求出，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、，证明，设，利用全等三角形的性质，求出，进而得出直线的解析式，联立直线与抛物线，即可求出点D的横坐标． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于A，B两点， ，， ， 在中，， ， ， ， 将代入抛物线得：， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①如图，设点， 点D在直线下方的抛物线上，， ， ， ， ， ， 当时，的值最大为， 此时点D的坐标为； ②设点， 设直线的解析式为， ，解得：， 则直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：，即点的横坐标为， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ， 如图，过点作于点，过点作直线轴，分别过点、作、于点、， 由旋转的性质可知，， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 设， ，，，， ，， 解得：，， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立， 整理得：， 解得：（舍），， 点D的横坐标为． 4．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值为6； (2)当时，w有最低成本，最低成本为元．． 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，当时，有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴当时，有最小值， ∴时，有最小值，最小值为； （2）解：设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得： ， ∵ ， ∴， ∴当时，w有最小值， ∴或（舍去）时，w有最低成本，最低成本为元． 5．（2025·四川资阳·二模）如图1， 我们把一个半圆和抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”， 已知， ， ， 分别为“果圆”与坐标轴的交点，  与“果圆”中的抛物线 交于 ， 两点． (1)求“果圆”中的抛物线的解析式． (2)“果圆”上是否存在点 使？如果存在请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)如图2， 为直线下方“果圆”上一点， 连接， ， ， 设与 交于点 ， 的面积记为 ， 的面积记为 ， 求 的最小值． 【答案】(1) (2)使,点坐标为或(3) 【分析】（1）先求出点，坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）求出线段，进而得出，判断出满足条件的一个点和点重合，再利用抛物线的对称性求出另一个点． （3）先判断出要的最小值，只要最大即可，再求出直线解析式和抛物线解析式联立成的方程只有一个交点，求出直线解析式，即可求出，即可求解． 【详解】（1）解：对于直线，交坐标轴 两点， ，， ∵抛物线过，两点， ∴， 解得：， 即， （2）解：如图2， 是半圆的直径， 半圆上除点，外任意一点，都有， 点只能在抛物线部分上， ，， ， ， ， ， 当时，点和点重合，即：， 由抛物线的对称性知，另一个点的坐标为， 即：使，点坐标为或． （3）如图3， ，， ， 过点作交轴于， 的边上的高和的边的高相等，设高为， ，， ， 的最小值，即最小， ， ， 当最大时，即最小，的最小值， 和果圆的抛物线部分只有一个交点时，最大， 直线的解析式为， 设直线的解析式为①， 抛物线的解析式为即②， 联立①②化简得，， ，抛物线和直线只有一个交点． 解得：， 直线的解析式为， 直线与轴交点坐标 ， ； 的最小值为． 6．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知顶点为的抛物线经过点，点为轴上一动点，过点的直线与抛物线交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，当，时，在轴上有一点，连接，，若面积为，求的值； (3)如图2，当，时，过点作直线与轴、轴分别交于，两点，且直线与抛物线有且仅有一个公共点，连接，过点作交轴于点．若与的面积之比等于，求点的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，直线与抛物线的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等知识点，难度很大，计算复杂． （1）由待定系数法即可求解； （2）联立，得到，由根与系数得关系得到，则，由，代入可得，再解方程即可； （3）可设直线：，联立得：，则，化简得到，那么可得，，则，由与的面积之比等于，得到，故，同理可求直线，则，而，则，化简得到，同理可得，化简得到，解得：，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵顶点为的抛物线过点， ∴将点代入抛物线得：， 解得：； ∴抛物线表达式为：； （2）解：当时，， 当时，， ∴， 联立， ∴， ∴， ∵点在点左侧， ∴， ∵， ∴， ， ， 整理得，， ∵， ∴， 解得：； （3）解：由题意得，， 设直线， 代入得，， ∴， ∴直线， 即， 联立得：， ∵直线与抛物线有且仅有一个公共点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线，即， 当， ∴， 当，则， 解得：， ∴， ∴， ∵与的面积之比等于， ∴， ∴， ∵， 同理可求直线， ∵， ∴， ∴同理可求直线， 当，则， 解得：， ∴， 对于直线，同理可求， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， ∴， ∴， ∴，， ∴ ∴， ∴， 解得：， ∵， ∴． 7．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交点的坐标为，D为抛物线的顶点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，线段上有一点E，过点E作，垂足为F，将绕点D顺时针旋转得到，且的延长线与x轴交于点B． (1)求抛物线的解析式及点D的坐标； (2)如图①，当点E恰好在上时，求与抛物线的交点H的坐标； (3)如图②，连接，试说明无论点E怎样变化都有． 【答案】(1)，(2)(3)见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再将解析式化为顶点式，即可求出点D的坐标； （2）利用二次函数的性质求出的坐标，利用旋转的性质得到，，推出，进而证出，求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再联立抛物线和直线的解析式，即可求出点H的坐标； （3）由（2）得，，推出四点共圆，再利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）解：代入和到，得， 解得：， 抛物线的解析式为， ， 抛物线的顶点的坐标为， 综上所述，抛物线的解析式为，点的坐标为． （2）解：由（1）得，， ，， 令，则， 解得：，， ， ， ， ， 由旋转的性质得，，， ， ， 又， ， ， ，， ， ， 又， ， ，即， 解得：， ， 设直线的解析式为， 代入和得，， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或， 与抛物线的交点H的坐标为． （3）解：由（2）得，， 四点共圆，记圆心为，且是的直径， 和在中所对的弧相同， ． 8．（2025·四川泸州·二模）在二次函数中， (1)如图，当时，若二次函数与轴的交点为（点在点的左侧），与轴交于点． ①求点的坐标． ②在坐标平面内是否存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (2)如果都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】(1)①②，或 (2)或 【分析】本题主要考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数和平行四边形的综合，二次函数和不等式综合，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质和不等式的求解． （1）①当函数值为0时，转化成一元二次方程进行求解即可； ②根据题意，结合平行四边形的判定定理，即对角线互相平分的四边形为平行四边形，一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，分类进行讨论求解即可； （2）根据点的纵坐标相等判断出是对称点，得出，得到表示出，利用列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：①当时，， 当时， 解得， ； ②存在，理由如下： 由得 当线段为对角线时，假设，则线段中点坐标为即， 解得 ∴； 当线段为边时，此时，，,假设， 解得，或， ∴或； 综上，，或； （2）解：∵， ∴两点是对称点， 解得， ， ， ∵， 整理得 解得或． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．抛物线与抛物线在第一象限交于点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)若以，，为顶点的三角形为直角三角形，求的值； (3)当时，过点的直线与抛物线在第二象限交于点，与抛物线的另一交点为，求四边形的面积与的函数关系式． 【答案】(1)(2)2或(3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，分①；②；③三种情况讨论，利用直角三角形的性质列出方程，解出的值，得到点的坐标，代入抛物线即可求出的值； （3）联立抛物线和直线的解析式，得到，再联立抛物线和直线的解析式，同理可得，得出，再利用即可求解． 【详解】（1）解：代入和到抛物线得，， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：由（1）得，， 抛物线， 令，则， ， 又， ， 第一象限点在抛物线上， 设， ①若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：（舍去）； ②若，则点和点的纵坐标相同， ， 解得：或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； ③若，取的中点为，则， ， ， 解得：或（舍去）或（舍去）， ， 代入到抛物线得，， 解得：； 综上所述，的值为2或． （3）解：联立， 消去整理得：， 直线与抛物线交于点、， ， 联立， 消去整理得：， 同理可得，， ， 四边形的面积 ， 四边形的面积与的函数关系式为． 11．（2025·四川成都·二模）如图，已知抛物线与轴相交于点，将抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，抛物线与轴相交于点． (1)求点的坐标及抛物线的顶点坐标； (2)在抛物线上取一点，连接，且满足． 当时，求点的坐标； 定义：我们把一条对角线与一条边相等的平行四边形称为关于此对角线的对等平行四边形．现过点，，作平行四边形，当平行四边形是关于对角线的对等平行四边形时，求此时的值． 【答案】(1)； (2)或或 【分析】（1）令即可求点坐标，利用可得顶点坐标； （2）由，得出或，分两种情况：①当为时，先利用旋转得出新的抛物线的解析式和点的坐标，再利用结合点的坐标求出直线解析式，最后联立新的抛物线的解析式即可求出点；②当为时，同理可得； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，，可得，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同，求出新的抛物线的解析式，再利用结合点的坐标求出直线解析式，联立新的抛物线的解析式即可求出点坐标，由平行四边形是关于对角线的对等平行四边形，分两种情况讨论：当时和当时，分别列式求解即可． 【详解】（1）解：∵令，得， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵， ∴， ∴或， 当为时，如图， 设新的抛物线的解析式为， 抛物线绕着点旋转得到新的抛物线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 则， ∵点绕点旋转得，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴关于轴对称， ∴， 解得：， ∴新的抛物线的解析式为， ∵如图，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴设， 设直线解析式为， 将代入，得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴； 当为时，如图， 同理可得新的抛物线的解析式为， 如图，过点作轴于点， 同理可得直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 综上所述，或； 由旋转知和关于点对称，新的抛物线的对称轴与抛物线的对称轴直线关于轴对称，，， ∴，新的抛物线的对称轴为直线，两抛物线开口方向相反，形状相同， 同方法可得新的抛物线的解析式为， 设交轴于点， ∵， ∴，且点在轴负半轴， ∴， 设直线解析式为， 将，代入， 得， 解得：， ∴直线解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∵平行四边形是关于对角线的对等平行四边形， 当时， 得， 解得：； 当时， 得， 解得：或（大于，舍）； 综上所述，或． 12．（2025·四川泸州·三模）已知二次函数． (1)若二次函数上的点恒成立不等式，请求出的最小值． (2)若，直线与二次函数图象交于，两点（假设点在点左侧）． ①若，点是二次函数图像上一点，且介于点，之间，求的最大值． ②已知定点，求证． 【答案】(1)(2)①；②见解析； 【分析】（1）由题意可知，，即，由可知，与轴的交点最多为1个时，不等式恒成立，利用判别式小于等于0即可； （2）①联立直线与抛物线，先求得点和，过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，通过，表示出，从而得到的最大值；②设点，，作轴于，作轴于，联立直线和抛物线，得到，通过根与系数的关系，得到，，，通过计算可知，，得到，利用 ，，可知，推出，得证． 【详解】（1）二次函数上的点恒成立不等式， ∴ ∴ ∴ （2）解：①， ， ， ， 联立直线和抛物线，得到 解得，， 当时，，那么 当时，，那么 过点作轴交直线于，过点作于，过点作于，设点，那么，如图所示： 时，有最大值，最大值为， 此时，且介于点，之间，符合题意； 的最大值为； ②证明：设点，，作轴于，作轴于，如图所示： 联立直线和抛物线，得到 ， ， ， ， 13．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过A、B、C三点，点，点，点C在y轴的正半轴上，连接、，，点D在抛物线的对称轴上，其纵坐标为，连接、，并延长交抛物线于点E，连接．    (1)求抛物线的函数解析式； (2)求的面积； (3)若点K在抛物线上，且满足，求点K的坐标． 【答案】(1)(2) (3)， 【分析】（1）证明，得到，从而求出，再设抛物线的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴得到，利用待定系数法求出直线CD的函数解析式为，联立抛物线和直线，解得，过点E作平行于y轴的直线交于点H．利用待定系数法求出直线的函数解析式为，求出，即可得到的面积； （3）分两种情况讨论：①作交抛物线于点K，则．求出直线的函数解析式为，联立抛物线和直线，即可求出点的坐标；②作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时．设．利用勾股定理表示出和，根据垂直平分线的性质列方程，求出，求出直线的函数解析式为．联立抛物线和直线，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，和均为直角三角形． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵，， ∴，， ∴， ∴，即． 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得， ∴． ∴抛物线的函数解析式为，即． （2）：∵抛物线的对称轴为直线，且点的纵坐标为， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数解析式为． 联立，解得 ，， ∴， 如图1，过点E作平行于y轴的直线交于点H．      设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得， ∴， ∴． ∴． （3）：①如图2，作交抛物线于点K，则．    ∵直线的函数解析式为， ∴设直线的函数解析式为， 将代入，得，解得． ∴直线的函数解析式为． 联立， 解得 ，（舍去）． ∴点的坐标为． ②如图3，作的垂直平分线，分别交、于点M、N，连接并延长交抛物线于点，此时．    ∵点M在直线上， ∴设． ，， ∴，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴， 解得：， ∴． 设直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的函数解析式为． 联立，解得，（舍去）． ∴点的坐标为． 综上所述，满足条件的点K有两个，即，． 1 / 124 学科网（北京）股份有限公司 $$