专题04 一次函数与反比例函数（6个基础题+4个压轴题）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（四川专用）

专题04 一次函数与反比例函数 题型概览 题型01利用一次函数的增减性求值 题型02一次函数的实际应用 题型03利用反比例函数的增减性求值 题型04 利用反比例函数K的几何意义求解 题型05 一次函数和反比例函数综合基础题 题型06一次函数与反比例函数综合之面积问题 题型07函数图象上的动点问题（选填压轴） 题型08一次函数与反比例函数综合之最值问题（压轴题） 题型09 一次函数与反比例函数综合之存在性问题（压轴题） 题型10 一次函数与反比例函数综合之其他问题（压轴题） 利用一次函数的增减性求值题型01 1．（2025·四川成都·二模）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而减小， ∴． ∴． 当时，， ∵图象与y轴的交点在原点上方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）若点，在一次函数的图象上，则 .(填“”，“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数的性质，一次函数随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：一次函数的， 一次函数随的增大而减小， ， ． 故答案为：． 3．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次函数与一次函数的交点问题，先联立方程组求得两个函数的交点横坐标为，，然后分和两种情况，利用一次函数和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由得： 整理，得， 解得，， 由题意，， 当时，一次函数y随x的增大而增大，二次函数图象开口向上， 若时，恒成立， 则， 解得，即； 当时，一次函数y随x的增大而减小，二次函数图象开口向下， 若时，恒成立， 则， 解得，即， 综上，满足条件的a的取值范围为且， 故答案为：且． 一次函数的实际应用题型02 1．（2025·四川绵阳·二模）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表， 可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆） 小货车 10 15 500 大货车 20 10 800 设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题： (1)求物流公司有哪几种运送方案？ (2)求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？ 【答案】(1)共有3种运送方案 (2)物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据题意，以及表格数据列不等式组求解即可； （2）设运送费用为W元，小货车x辆，根据题意得到．利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，解得：． 为整数， ，3，4， 共有3种运送方案： 方案1：小货车2辆，大货车18辆； 方案2：小货车3辆，大货车17辆； 方案3：小货车4辆，大货车16辆． （2）解：设运送费用为W元，小货车x辆， 则：． ， 随x的增大而减小， 又， 当时，， 物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低． 2．（2025·四川南充·二模）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 【答案】(1)两款分别购进100条，80条 (2)应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元 (3)从利润率的角度看，第二次更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A款购进条，则款购进条．根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设第二次A款购进条，则款购进条．利润为元，先根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润的利润的利润，得出y关于x的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． （3）先分别算出第一次的销售利润（A款利润与B款利润相加），再根据利润率公式算出第一次利润率；接着算出第二次进货成本和利润，进而得出第二次利润率；最后比较两次利润率大小，判断哪次更划算． 【详解】（1）解：设A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． ∴． 即两款分别购进100条，80条． （2）设第二次A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． 设利润为元，则． 随增大而增大， ∴时，． 此时． 即应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元． （3）第一次销售利润为（元）． 销售利润率为． 第二次进货款为（元）． 销售利润率为． ∴从利润率的角度看，第二次更划算． 3．（2025·四川德阳·二模）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 【答案】(1)； (2)共有11种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得； （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； （3）解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 4．（2025·四川资阳·二模）某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元． (1)求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？ (2)该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？ 【答案】(1)种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元； (2)购买这 50 件奖品到少花费 690 元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列二元一次方程求解即可； （2）设购买种奖品m个，则购买种奖品个，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买费用为，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元； （2）解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个， 由题意得：， 解得：， 令购买费用为， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为， 即购买这 50 件奖品到少花费 690 元． 5．（2025·四川南充·二模）某果农销售成本价为2元/斤的枇杷，果农决定直播销售和门店销售同时进行．直播销售，售价为10元/斤；门店销售，第一天售价为10元/斤，此后售价每天比前一天每斤降低0.2元，已知两种销售方式第天的销售数量（斤）均满足． (1)门店销售每天的售价（元/斤）与的函数关系式； (2)销售过程中，在第几天获得的总利润（元）最大？总利润最大是多少？ (3)李阿姨路过果农门店，果农正在直播，“今天是本店销售的第10天，凡网络下单一律八折优惠…”．李阿姨预购买10斤枇杷，李阿姨选择什么方式购买划算？ 【答案】(1) (2)第或天总利润（元）最大，总利润最大是元 (3)李阿姨选择直播购买划算 【分析】本题考查函数解应用题，涉及一次函数运用、二次函数运用，读懂题意，准确表示出相应函数关系式，由函数性质分析是解决问题的关键． （1）由题意直接得到门店销售每天的售价（元/斤）与的函数关系式； （2）根据题意，得到两种销售方式的利润，从而得到总利润，由抛物线性质分析即可得到答案； （3）根据题意，分三种情况计算比较即可得到答案． 【详解】（1）解：门店销售，第一天售价为10元/斤，此后售价每天比前一天每斤降低0.2元， 门店销售每天的售价（元/斤）与的函数关系式为； （2）解：门店销售每天的售价（元/斤）与的函数关系式为；直播销售，售价为10元/斤， 两种销售方式第天的销售数量（斤）均满足， 直播销售的总利润；门店销售的总利润； 总利润 ， ， 有最大值， 抛物线的对称轴为， 当或时，有最大值，为元； （3）解：若李阿姨直播购买10斤枇杷，花费元； 若李阿姨门店购买10斤枇杷，第10天的售价为，则花费元； 若李阿姨直播购买斤枇杷，门店购买斤枇杷，则花费， ， 花费随着的增大而减小，即当全部直播购买花费最小为元； 综上所述，李阿姨选择直播购买划算． 6．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． (2)超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 7．（2025·四川成都·二模）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 【答案】(1)每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元 (2)商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元 【分析】本题主要考查分式方程，一元一次不等式，一次函数最值的计算，掌握以上知识，正确列式是关键． （1）设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元，由此列分式方程求解即可； （2）设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克，根据题意得到，设利润为，则，根据一次函数求最值的计算即可求解． 【详解】（1）解：每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元， ∴设每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元， ∵4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴（元）， ∴每千克甲种茶叶的进价为元，则每千克乙种茶叶的进价为元； （2）解：计划购进两种茶叶共30千克， ∴设购进甲种茶千克，则购进乙种茶千克， ∵甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的， ∴， 解得，， ∵甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售， ∴甲种茶叶每千克的利润为（元），乙种茶叶每千克利润为（元）， 设利润为， ∴， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，的值最大，最大值为（元）， ∴商店销售完两种茶叶获得的最大利润为元． 8．（2025·四川绵阳·二模）某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．计划用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)因商铺长期与厂家合作，厂家决定对商铺本次采购种饰品按进价折优惠．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 【答案】(1)种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元 (2)①购进种饰品件数的取值范围为且为整数；②当采购种饰品件，种饰品件时，商铺获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元，利用数量总价单价，根据“用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍”即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出每台种电器的进价，再将其代入中即可求出每台种电器的进价； （2）①根据“计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍”列不等式组可得结论； ②设采购种饰品件时的总利润为元，根据“总利润每件种饰品的利润数量每件种饰品的利润数量”列出关于的函数关系式，再根据增减性即可解答． 【详解】（1）解：设种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解且符合题意， ∴， 答：种饰品每件的进价为元，则种饰品每件的进价为元； （2）①依题意，得：， 解得：， 购进种饰品件数的取值范围为且为整数； ②设采购种饰品件时的总利润为元， 则， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值是：（元）， 即当采购种饰品件，种饰品件时，商铺获利最大，最大利润为元． 利用反比例函数的增减性求值题型03 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数图象的特征是解题的关键．由反比例函数的图象只能在第一、三象限或二、四象限，结合当时，有， 则函数图象在第一、三象限，得，求解即可． 【详解】解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴当时，两点只能在第一、三象限或二、四象限， 又∵当时，有， ∴函数图象在第一、三象限， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025·四川成都·二模）点，都在函数的图象上，且，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数性质，根据反比例函数的性质可以确定双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，从而得出答案． 【详解】解：函数中，， 函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ， 在第四象限，B在第二象限， ， ， 故答案为：． 3．（2025·四川成都·二模）已知反比例函数的图象经过点，，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大， ∵反比例函数的图象经过点，，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了比较反比例函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答，即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数在每一项限内，y随x的增大而增大， ∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为： 利用反比例函数K的几何意义求解题型04 1．（2025·四川南充·二模）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，轴于，，则的值为（      ） A．12 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、中点坐标公式、求反比例函数的解析式．先根据中点坐标公式求得对角线的交点坐标，再待定系数法求k值即可． 【详解】解：如图，设对角线的交点为点D，则， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象经过点D， ∴， 故选：B． 2．（2025·四川宜宾·二模）如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当△BDE面积最大时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的几何应用，二次函数的性质，锐角三角函数函数等，过点作轴于点，由可得，由锐角三角函数得，即得，，进而可得，即可得反比例函数解析式为，再求得一次函数解析式，设，则，即得，由三角形面积公式得到，最后根据二次函数的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于点，则轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵，， ∴，， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数解析式， 设，则， ∴， ∴， ∵点是线段上任意一点， ∴， ∴当时，的面积最大， ∴， 故选：． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，设点，则点，，由求出，即可得出结论，求出的值是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， 设点，则点，， 轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 4．（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据正方形的性质设，再根据点的横坐标为和点在反比例函数的图象上，分别写出点，，的坐标，然后根据点在反比例函数的图象上，得出用表示，再求出点的坐标，根据在反比例函数的图象上，求得． 【详解】解：连接交于点， ∵四边形是正方形， ∴设， ∵点的横坐标为，点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得：(舍去)或， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 故选： A． 5．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键．先求出，四边形是矩形，再根据反比例函数的几何意义可得，然后根据计算即可得． 【详解】解：∵过点分别作轴于点，轴于点， ∴，四边形是矩形， ∵反比例函数的图象分别与，相交于两点， ∴， ∵四边形的面积为4， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的综合应用，三角函数的定义，勾股定理，菱形的性质，过点A作轴于点D，根据，得出，设，则，得出，根据点A在反比例函数的图象上，求出，根据勾股定理求出，根据菱形性质得出，求出k的值即可． 【详解】解：过点A作轴于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：，负值舍去， 经检验是方程的解， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵顶点落在反比例函数的图象上， ∴． 故答案为：． 7．（2025·四川成都·二模）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，相似三角形的判定与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键． 设，可求，可求，从而可求，，由，即可求解 【详解】解：设， 轴， ， 解得：， ， ∵， ， ， 作轴于点M，则， ∴ ， ， 解得：， ， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为， ， ， 解得：． 故答案为：． 一次函数和反比例函数综合基础题题型05 1．（2025·四川南充·二模）如图，矩形的顶点均在双曲线上，边经过原点，对角线与轴平行，． (1)求双曲线的解析式． (2)求顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，勾股定理等知识，熟知相关知识是解题的关键． （1）设与x轴交于E，则，利用勾股定理求出的长得到点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可得点关于原点对称．则，证明，得到，则，再根据矩形对角线中点坐标相同列式求解即可． 【详解】（1）解：设与x轴交于E， ∵轴，， ∴． ∴．   ∴． 设双曲线为， ∴． ∴双曲线的解析式为． （2）解：∵点在双曲线上，经过原点， ∴点关于原点对称． ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)若反比例函数时，取值范围是______． (2)求一次函数的解析式； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法的应用，一次函数与反比例函数的交点问题； （1）先求出时，，再根据函数图象判断出的取值范围； （2）先求出点A，B的坐标，再利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （3）根据点A，B的坐标，结合函数图象可直接得出答案． 【详解】（1）解：对于反比例函数， 当时，， 当时，， 故答案为：； （2）把，代入得：，， ∴， ∴，， 把，代入得：， 解得， 一次函数的解析式为； （3）∵，， ∴由函数图象可得：不等式的解集为：或． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点A，B，且．求： (1)该反比例函数的解析式； (2)点A的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，一次函数与反比例函数的综合 ； （1）把代入即可得到答案； （2）设，而，可得，结合，求解，再进一步求解一次函数解析式以及的坐标即可． 【详解】（1）解：把代入得：， 反比例函数为：． （2）解：设，而， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 把，代入一次函数中， ∴， 解得：， ∴一次函数为， 当时，解得：， ∴． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数（）交于点A，且点A的横坐标为1，连接，B为一次函数图象上的点，连接，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点B的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】（1）把代入，求出b的值，点A的横坐标为1，代入求出纵坐标，点A的坐标代入反比例函数（），即可求出反比例函数的解析式； （2）过点A作轴于点，过点作轴于点D，可得，设，则，得，得 ，解得，即得点的坐标为 【详解】（1）解：已知一次函数与轴交于点， 将代入 得， 解得， 即一次函数的解析式为 点A的横坐标为1，且点A在一次函数的图象上， 点 点在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为． （2）如图，过点A作轴于点，过点作轴于点 则， ， ． 又， ， ． 由（1）可得， ， ， 即． 设，则， 点， 点在一次函数的图象上． ， 解得， 则， 点的坐标为 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边，分别交于点E，F． (1)若E是的中点，求反比例函数的解析式； (2)若，将沿直线对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查反比例函数的几何综合题，还涉及了勾股定理，解题的关键是理解题意． （1）根据点坐标求出的值，即可得出反比例函数解析式； （2）过点做轴于点，若，则点，得出，根据翻折可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：矩形中，是中点， ， ∵点在双曲线上， ， ； （2）解：过点做轴于点， 若，则反比例函数为， ∴点， ∴， 根据翻折可得， ， ∴， 即． 6．（2025·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，． (1)求一次函数的解析式； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）联立反比例函数和一次函数解析式，可得，，在利用勾股定理可得值，即可求得坐标，代入反比例函数，即可求出值． 【详解】（1）解：把，代入， 可得， 解得； 一次函数的解析式为 （2）解：联立， 整理得， 直线与双曲线交于点，， 点，的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入， 可得， ， ， ， ， ， 解得，（舍去）， ， 把代入反比例函数， 可得， 一次函数与反比例函数综合之面积问题题型06 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为． (1)求直线的解析式与点E的坐标； (2)连接，，当时，求m的值． 【答案】(1)直线的解析式为：，点E的坐标为 (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图象上点的坐标特征，平行线分线段成比例定理，待定系数法求反比例函数的解析式等知识，准确作出辅助线求出C点坐标是解题的关键． （1）过点B作于点F，根据平行线分线段成比例定理得出，由点A的坐标为，，得出，，则点B的纵坐标为2．根据待定系数法即可求出直线的解析式与点E的坐标； （2）由可得，可求点，代入得，则，可求m的值． 【详解】（1）解：过点B作于点F， ， ， 点A的坐标为，， ， ，， 点B的纵坐标为2， 双曲线过点， ， 点B的坐标为， 设直线的解析式为：， ， ， 直线的解析式为：， 令，解得， 点E的坐标为． （2）解：， ， ， 点， ，代入得， ， 代入中，即， 解得． ． 2．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，P是x轴上一点，且的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， 点． 把代入，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：由题意，得点． 把代入，得，解得， 点，． 设点，由题意，得， 解得， 点的坐标为或． 3．（2025·四川自贡·二模）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的解析式． (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数解析式为，一次函数解析式为： (2)的面积为 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，一次函数与几何图形面积的计算方法是关键． （1）把点代入反比例函数解析式得，，得到反比例函数解析式，可求出点的坐标，再运用待定系数法得到一次函数解析式； （2）由一次函数与坐标轴的交点得到次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示，分别算出的值，由即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， 把点代入反比例函数解析式得，， ∴反比例函数解析式为， ∴当时，， ∴， 设一次函数解析式为， 把点，代入一次函数解析式得， ， 解得，， ∴一次函数解析式为：； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为：， 当时，，当时，， ∴设一次函数与坐标轴的交点分别为，如图所示， ∴， ∴，，， ∴， ∴的面积为． 4．（2025·四川南充·二模）一次函数的图象经过，交轴于点，与反比例函数的图象交于点，，为反比例函数图象上一动点． (1)求的值； (2)若面积为6，求点坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与几何的综合应用： （1）求出点坐标，根据以及中点坐标公式求出点坐标，进而求出值即可； （2）在轴上取一点，使得的面积为6，求出点坐标，过点作的平行线，与反比例函数的交点即为点进行求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， 在轴上取一点，使得的面积为6， ∵，， ∴， ∴或， ∴或， 过点作，设的解析式为， ∵面积为6， ∴点为直线与反比例函数图象的交点， 当时，代入，得：， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 当时，代入，得：， ∴， 联立，解得：或（舍去）； ∴； 综上：或． 5．（2025·四川内江·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)或； (3) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数与几何图形，正确求出函数解析式是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）由（）得到点坐标，再根据图象解答即可； （）设直线与的交点为，可得，再根据计算即可求解； 【详解】（1）解：把代入得，， ∴反比例函数的表达式为； 把代入， ∴，即， ∴， 解得：， ∴一次函数的表达式为． （2）解：∵，， 由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集为或； （3）解：设直线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴， ∴． 6．（2025·四川南充·二模）如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、反比例函数图像上的点、反比例函数与几何的综合等知识点，求得反比例函数解析式是解答本题的关键． （1）证明得出，根据，，，得出，即可求得反比例函数解析式； （2）勾股定理求得，，进而根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴ ∵点，都在反比例函数（）的图象上， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）解：由（1）可得 ∴ ∴ 又∵ ∴， 又， ∴ ∴四边形的面积 7．（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．    (1)求该反比例函数的表达式及点的坐标； (2)连接，，求△ADE的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，利用待定系数法求函数的解析式，整理掌握待定系数法以及数形结合是解题的关键． （1）将代入，可得．把代入，可得， 则反比例函数的表达式为；联立一次函数和反比例函数解析式，解方程即可求出； （2）先求出直线平移后的直线表达式为，联立求得D、E横坐标的差的绝对值为，过作轴交于，则，，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上，且点的横坐标为1， ∴将代入，可得， ∴． 又∵点在反比例函数上， ∴把代入，可得， ∴反比例函数的表达式为； 联立方程得到， 即，解得，， ∴； （2）解：∵直线沿轴向上平移2个单位长度，得到平移后的直线表达式为， ∴联立，得，即：， 解得， ∴D、E横坐标的差的绝对值， 过作轴交于，    ∵当时，，则， ∴， ∴． 8．（2025·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方， 又∵， ∴由图象可知． 故答案为：； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ，， 四边形的面积 ． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为8，求点D的坐标； (3)若，求k的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练利用数形结合的思想是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）利用中心对称的性质可得，则可得，表示出坐标，再代入反比例函数解方程即可； （3）列方程得到，表示出点的坐标，根据即可得到点的坐标，代入反比例函数即可解答． 【详解】（1）解：把代入，可得， ，即， ， ， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：延长与双曲线交于点E， 点关于原点中心对称， ， , 设点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 设，则点的横坐标为， 把代入直线解析式可得， ， 点都在双曲线上， ， 解得， ； （3）解：列方程， 整理得， 直线与双曲线交于点C、D， 点的横坐标即为方程的两个解， ， 设，则，且， 把代入直线解析式可得， ， ， ， ， ， 解得（舍去）， ， 把代入反比例函数可得， 10．（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该函数的解析式； (2)当k为何值时，的面积为． 【答案】(1) (2)当的值为2或4时，的面积为． 【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定反比例解析式，解一元二次方程等知识． （1）当F为的中点时，点F的坐标为，由此代入求得函数解析式即可； （2）根据图中的点的坐标表示出三角形的面积，得到关于k的方程，通过解方程求得k的值即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ， 为的中点， ， 又∵点在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意知，两点坐标分别为，， ， 的面积为， ∴， 整理得， 解得，， ∴当的值为2或4时，的面积为． 函数图象上的动点问题（选填压轴）题型07 1．（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（    ）个． ①点的运动速度为； ②点的坐标为； ③线段段的函数解析式为； ④曲线段的函数解析式为； ⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． ⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】结合函数图象可得当时，，此时的面积为，进而求出为 ，即可得出点的速度，进而求出的长，由此即可判断①②；当点在上时，过点作于点，根据三角形的面积公式可求出此时的，由此即可判断③；过点作于点，从而可得，再解直角三角形可得，利用三角形的面积公式即可判断④；先求出四边形的面积，从而可得的面积，分三种情况：和，分别列出方程，解方程即可判断⑤．作点关于和的对称点，连接，则，得出当点共线时，最小，故的周长最小值为，结合①知，证明，得出，重合，此时，不符合题意，故⑥错误． 【详解】解：由函数图象可知，当时，的面积的函数关系式改变，则在上运动 3 秒， ∴当时，，此时的面积为， ， ， ∴点的运动速度为，则说法①正确； 当运动到 5 秒时，函数关系式改变，则， 如图，过作于点， ∴四边形是矩形， ， ， ∴设，则， ， ， ， ， ∴，则说法②错误； 如图，当点在上时，过点作于点， ， ∴线段段的函数解析式为，则说法③正确； ∵点从点运动到点所需时间为，点沿线段匀速运动到终点时，所需时间为， ， 当时，如图，过点作于点， 则， ， ∴设，则， ， ， ， ∴曲线段的函数解析式为，则结论④正确； ， ∴的面积． 当时，此时的边边上的高为， ∴，解得或（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得（不符合题设，舍去）； 当时，则，解得或（不符合题设，舍去）； 综上，若的面积是四边形的面积的，则时间或， 则说法⑤错误； 如图，作点关于和的对称点，连接 则， 则的周长， 当点共线时，最小，即， 故的周长最小值为， 结合①知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴重合， 此时， 则，不符合题意，故⑥错误． 综上，说法正确的是①③④，共3个， 故选：A． 2．（2025·四川广安·二模）如图1，将一矩形纸板剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P的运动时间的关系如图2所示，点P从点E运动到点F需要的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了观察函数图象，动点问题和面积结合，正确理解几何图形与函数图象间的关联是解题的关键．根据题意先通过函数图象得到，，，，根据当点P与点B重合时，，求出，根据当点P与点D重合时，，求出，最后求出结果即可． 【详解】解：由题意及函数图象可知：，，，， 当点P与点B重合时，， ， 解得， 当点P与点D重合时，， ， 解得， 当时，，， ， 点P从点E运动到点F需要， 故选：C． 3．（2025·四川达州·二模）如图，在△ABC中，，，是上的一点（不与、重合），，垂足是点，设，四边形的周长为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是构建函数关系式，注意自变量的取值范围．由，得，求出、，即可解决问题． 【详解】解：如图，作于． ，，， ， ， ， ， ， ， 设的长为， ， ，， 四边形的周长为． ， 图象是B． 故选：B． 4．（2025·四川眉山·二模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③若点在此函数图像上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图像与性质，一次函数图像和数形结合思想，掌握以上知识是解答本题的关键． 结合函数图像逐个分析，进行作答，即可求解． 【详解】解：由图像可得， 当时，或，故①错误； 当时，随的增大而增大；故②正确； ∵， ∴点在一次函数的图像上， 如图： 由图像可得，有3个交点， ∴点在此函数图像上，则符合要求的点有3个，故③错误； ∵函数经过点， ∴将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点，故④正确． 综上所述，上述结论中，所有正确结论的序号是②④． 故选：B． 一次函数与反比例函数综合之最值问题（压轴题）题型08 1．（2025·四川广安·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求k的值； (2)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、求反比例函数的解析式、解直角三角形、轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，解直角三角形得出，求出，再利用待定系数法求解即可； （2）求出，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，，由轴对称的性质可得，，，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，求出直线的解析式为，令，则，求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，当时，，即， 将代入可得， ∴； （2）解：∵点是反比例函数图象上的点， ∴， ∴，即， 如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则点即为所求，， 由轴对称的性质可得，， ∴，由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， 解得：， ∴． 2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求反比例函数表达式及点的坐标； (2)如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． 【答案】(1)， (2)点N的坐标为或 (3) 【分析】（1）先由一次函数表达式求出A坐标，进而得到k值，再联立两个函数表达式求B点坐标即可； （2）先求出D点坐标和直线解析式，进而求得M坐标，可知，所以只需讨论是以为腰的等腰三角形即可得解； （3）过作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N，则，进而求出最大值即可得解． 【详解】（1）解：由题可知点A在上， ∴， ∴， 把代入， ∴，即反比例函数表达式为； 依题意，得， 则， 整理得 解得或， 经检验：或是原分式方程的解， ∵， ∴把代入，得 ∴； （2）解：∵点B和点D关于点O对称，且， ∴， 依题意，设直线表达式为， 将，代入得， ， 解得， ∴直线表达式为， 令得，解得， ∵连接交轴于点 ∴， ∵直线与轴交于点， ∴令，则，解得， ∴， ∵， 则， ， ∴； ∵以点，，为顶点的三角形与相似， ∴①若时， 则， 设 ∵， 则， 解得或（舍去）； ∴， ②时，此时， 设， 则， ∴， 解得， ∴， 综上，点N的坐标为或 （3）解：如图，过D作轴，交延长线于点M，过Q作轴交于点N， ∵过D作轴，交延长线于点M，且 ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ 要使的值最小，则求最大即可， 设 则， ∴， ∵ ∴ ∴ 则， 当且仅当时取等， ∴当（负值舍去）时，最大， ∵， 此时 ， ∴ ∴， ∵O是的中点， ∴， ∴， ∴． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知， (1)求点D的坐标； (2)若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)最大值为；点M的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合． （1）根据，，可以构造直角三角形，求出点B坐标，利用点B在反比例函数上，求出的值，再根据，得直线AB的解析式，最后根据边与反比例函数的图象交于点B，D求出D点坐标． （2）延长交y轴于点G．设，利用轴交于点N，用坐标表示出的面积，通过函数或导数求其最大值及对应点M的坐标． 【详解】（1）解：∵四边形OABC为菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． 设的解析式为， 代入由，解得， 故的解析式为． 由解得或 ∴点D的坐标为． （2）解：如图，延长交y轴于点G．设，其中， ， ∴当时，的面积最大，最大值为． 当时，， 将代入，得点M的横坐标为， ∴点M的坐标为． 4．（2025·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于点和点，的延长线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，当的值最小时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）把代入，可得反比例函数解析式，再求解，再利用待定系数法求解的解析式即可； （2）根据函数图象可得：当或时，反比例函数图象位于一次函数图象上方，从而可得答案； （3）如图，过分别作轴的平行线，交过与轴平行的平行线交于，的交点为，的交点为，可得，求解，求解直线为，可得，即，可得，同理：，可得，判断，当最小，最小，可得：，（舍去），再进一步求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可得，当或时，反比例函数图象位于一次函数图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：如图，过分别作轴的平行线，交过与轴的平行线交于，的交点为，的交点为， ∴， ∴， ∵的延长线交反比例函数的图象于点，， ∴， 设直线为， ∴， ∴，即， ∴，解得：， 同理：， 解得：， ∴ ， ∵在线段上，当重合时， 同理可得：， 当重合时， 同理可得：， ∴， 当最小，最小， ∵， ∴， ∴此时， 解得：，（舍去）， ∴，， 同理可得：直线为， ∴， ∴， 同理可得直线为：， ∴， ∴， ∴． 5．（2025·四川泸州·二模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)直接写出的值和点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，熟练掌握反比例函数与一次函数交点的计算方法进行求解是解题的关键． （）由直线过点，求出的值，则点的坐标为，代入即可求出的值，联立，解出方程即可求出点的坐标； （）作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，，当与重合，即三点共线时的值最小为长，证明，则，求出，然后根据两点间的距离公式即可求解． 【详解】（1）解：∵直线过点， ∴，解得：， ∴点的坐标为， ∵双曲线过点， ∴， ∴双曲线解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点的坐标为； （2）解：如图，作关于轴对称轴，过分别作，轴于点，连接，与轴交于点，则，，， ∴， ∵， ∴当与重合，即三点共线时的值最小为长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即纵坐标为， ∵在双曲线的图象上， ∴， ∴， ∴的最小值为． 6．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． (3)【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点的坐标代入直线，求出点的坐标，再代入双曲线，求出； （2）先求得反比例函数的解析式为，，再根据题意得出，，然后根据，得到关于的方程求解，从而可得出、两点的坐标，再求出； （3）先根据“点是点关于原点的对称点”求出点的坐标，再求出，，设，然后用表示出，化简后利用“（只有当时，）”求出最小值． 【详解】（1）解：∵直线都经过点， ∴， ∴， ∵双曲线经过点， ∴，解得：； （2）∵，， ∴反比例函数的解析式为，， ∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点， ∴，， 当时，，解得：，（舍去），， 当时，，，不符合； 当时，∴，，此时． （3）∵点是点关于原点的对称点，， ∴， ∵过作轴于点，作轴于点， ∴，， ∵点为双曲线上任意一点， ∴设， 过点作于点，于点， 则，， ∵， ∴ =， 当时，，解得：（负值舍去），的最小值为， 一次函数与反比例函数综合之存在性问题（压轴题）题型09 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、利用待定系数法求反比例函数的解析式，解直角三角形，利用等边三角形的性质求出点的坐标是解题关键． （1）过点B作轴，垂足为H，可求出，再用待定系数法解答，即可求解； （2）过点D作轴，垂足为K．设，可得，求出m的值即可． 【详解】（1）解：如图①，过点B作轴，垂足为H， ∵点A的坐标为是等边三角形． ∴是线段的垂直平分线．． ∴． 在中，， ∴，即． ∵点B在反比例函数的图象上， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图②，过点D作轴，垂足为K． ∵是等边三角形， ∴． ∵点D在反比例函数的图象上， ∴设． 在中，，，， ∴， ∴， 整理得， 解得，． ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 2．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 (1)求点A的坐标和k的值； (2)如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； (3)若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)9 (3)存在，或 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、利用点的平移即可求解对应的点坐标． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， ∴， ∴， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得 ∴， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且， ∴点向点的平移方式与点向点的平移方式与距离一样， ∵，，， ∴； 当时，同理可得． 3．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积； (3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)的面积是； (3)存在，，． 【分析】（1）先求出点的坐标，再根据点的坐标即可求得；由与的图象的交点关于原点对称可得点的坐标； （2）由推得，设，则，再由点在的图象上可求得点坐标，从而可由得解； （3）由直线的解析式求出过点且与垂直的直线的解析式，可得直线与轴的交点及直线与轴的交点坐标，这两点即为点，再结合矩形性质、两点间距离、一次函数求出对应的点坐标即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为， 点的坐标为， ， ， 与的图象的交点关于原点对称， 点与点关于原点对称， ； （2）解：，， ， 又， ， ， 设，则， 又在的图象上， ， ， ， ； （3）解：存在点，，使得四边形是矩形，，，理由如下： 设直线的解析式为，把代入， 则， 直线的解析式为， 设过点且与垂直的直线交y轴于点E，作轴于点N，作于点M， 四边形是矩形， ， ， ， ， ，即 设过点且与垂直的直线的解析式为， 将代入可得， 直线的解析式为， 当时，， 直线与轴的交点为，直线与轴的交点为（与点E重合）， 四边形是矩形， ，且，， 设的解析式为，的解析式为， 当时，， 即的解析式为， 此时， 设， 则， 解得，即， 当时，同理可得． 4．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标； (3)设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为； (2)，或， (3)点P的坐标为或 【分析】（1）先求出一次函数的解析式，再求出点的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，联立求解即可； （2）先求出直线的解析式为，设，再分两种情况：当为菱形的对角线时；当为菱形的边时，分别结合菱形的性质求解即可； （3）先求出，再分两种情况：当时，；当时，；分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入一次函数的解析式可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入一次函数得：， 解得：， ∴， 将代入反比例函数解析式可得， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 联立， 解得或， ∴； （2）解：如图：令直线交轴于，直线交轴于， 在中，当时，，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形， ∴设， 当为菱形的对角线时， ∵点为的中点，且， ∴此时点也在直线上， ∵点E是坐标轴上一点， ∴在中，当时，；当时，，解得，即此时点的坐标为或， 当点的坐标为时，， 解得：，此时，即； 当点的坐标为时，， 解得：，此时，即； 当为菱形的边时，由菱形的性质可得：， 即， 解得：或， ∴当时，，即，当时，，即， 设点， 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 当时，且菱形为时，此时， 解得：，即，不符合题意； 综上所述，，或，； （3）解：由（2）可得：直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， ∵与相似，， ∴当时，，如图： 由题意可得此时， ∴设直线的解析式为， 将代入解析式可得， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴； 当时，，连接，如图： 设，则，，， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：或， 5．（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点，其中点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点是反比例函数上的一点，轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或 【分析】本题考查反比例函数与平行四边形综合题，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式，平行四边形对角线平分且相等的性质，中点坐标公式是解题的关键， （1）利用点的纵坐标求出其横坐标，进而确定反比例函数的解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点坐标； （2）利用平行四边形的性质（对角线平分并相等），利用中点坐标公式即可即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵点的纵坐标是2．且点在一次函数， ∴， 解得：， ∴， 把代入，得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵一次函数与反比例函数的图象交于点和点， ∴ 解得：或， ∴． （2）解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B， ∴令，解得： ；令，解得：， ∴，， ∵点在反比例函数上， 设，且轴交直线于点， ∴点的坐标为， 若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，则分两种情况： ①当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合， 由中点公式可得：，即， 比较横坐标：，即：， 故此情况不成立； ②当为对角线时，对角线的中点与对角线的中点重合， 由中点公式可得：，即， 比较横坐标：，即：， 解得：或， ∴点的坐标为或. ∵， ∴，此时； 综上所述，点P的坐标为或． 6．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)或； (3)存在，点的坐标为或． 【分析】把代入，求出值，即可得到反比例函数的解析式，把代入，求出值，即可得到一次函数的解析式； 将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数； 根据等和点的关系和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， ， 反比例函数的解析式为， 把代入， 可得：， ， 直线的解析式为； （2）解：， 点的坐标是， ， 如下图所示， 将直线沿轴方向向上平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 将直线沿轴方向向下平行移动时， 设直线与，轴分别交于点，，则， ， ， ， ， 直线与直线平行，， 直线的解析式为； 综上所述，直线的解析式为或； （3）解：点的坐标为或， 点在图象上，点在直线上， 设点，点， 点是点的等和点， ， ， ， ，， 经检验，，均是原分式方程的根， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或． 7．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把点代入解析式可求得A的坐标值，代入解析式可求得k值，即可求得解析式. （2）根据题意，得,过点A作交y轴于点D，从而得证，解得，求得，解答即可． （3）设直线的解析式为，确定直线的解析式为，设直线与x轴的交点为Q，则，过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N，此时，，故点，在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则直线是线段的垂直平分线，证明，则点即为所求． 【详解】（1）解：把点代入解析式 得， 故， ∵反比例函数的图象过点A， ∴， 解得； （2）解：令，得， ， ， 由，得， 由， 解得， ， ∴,, ∴, 过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， 解得， ∴， 故. （3）解：设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与x轴的交点为Q， 令，则， 解得， 故， ∴， ∴， 过点Q作轴于点Q，设直线与双曲线的交点为点N， 此时，， 故点， 在x轴上截取，交x轴于点P，连接，则， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， 故点． 一次函数与反比例函数综合之其他问题（压轴题）题型10 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标： (2)如图2，当，连接时，，求的值； (3)当时，若，求的值． 【答案】(1)反比例函数解析式为，(2)或(3)的值为或 【分析】（1）根据题意得到，根据中点坐标的计算得到，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意得到，根据点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上，得到一次函数解析式为：，反比例函数解析式为，则，如图所示，过点作轴于点，根据，得，可求出直线的解析式为，，根据三角形面积的计算即可求解； （3）根据题意得到，则，，则点，，，设一次函数与轴交点，，直线的解析式为，即，根据两点之间距离的计算得到，，，，由，得到，由此列式求解即可 ． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， 解得，， ∴， 把点代入反比例函数解析式得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 把点代入一次函数解析式得，， 解得，， ∴一次函数解析式为， 联立反比例函数、一次函数解析式得，， 解得，， ∴； （2）解：当时，同理，，， ∵点是的中点，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵点在一次函数的图象上，在反比例函数的图象上， ∴，， 解得，，， ∴一次函数解析式为：，反比例函数解析式为， 联立方程组得， 解得，， ∴， 如图所示，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴ ， 整理得，， ∴， 解得，或， ∴或， 解得，或； （3）解：当时，一次函数解析式为，把点代入得，， ∴，则， ∴，则点，， ∴， 把点代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∴， 解得，， ∴， 当时，，即设一次函数与轴交点， ∴， 同理，， ∴， ∴，则， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， ∴， 当时，， ∴，，如图所示， 当时，， ∴，，如图所示， ∴若，的值为或． 2．（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)双曲线的解析式 (2)①；②的值不发生变化，为18 【分析】（1）根据非负数的性质求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）①求出点，，即可求出的面积，设点D的坐标为，，根据的面积是的面积的3倍，求出m的值，即可解答． ②过C作轴于H，证得是等腰直角三角形，进而可得是等腰直角三角形，设，则，可得，再根据题意可得，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得， 将代入，得 ，解得， ∴双曲线的解析式． （2）①当时，， 令，得， ∴，即， 联立得：， 解得：或， ∴点C的坐标为， ∴， 设点D的坐标为，，则 ， ∵的面积是的面积的3倍， ∴，解得， 即， ∴． ②的值不发生变化，理由如下： 过C作轴于H，如图：在中，令得，令得， ∴， ∴， 即 ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴， 由反比例函数可知，， ∴，即， ∴， ∴ 即的值不发生变化，为18． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上． (1)如图，若直线的解析式为，点，求点的坐标； (2)如图，以为边作矩形，点、的坐标分别是、，求的值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）将点代入即可求出，得，，联立，求解即可； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设，根据矩形的性质及平移的性质得，，，，，，证明，得，即，推出①，再根据函数图象上点的坐标特征得，推出②，联立方程①、②求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上和直线：上， ∴， ∴， ∴， 此时反比例函数的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， 即点的坐标为； （2）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，设， ∴，，， ∵四边形是矩形，、， ∴，，， ∴线段向左平移个单位，再向上平移个单位得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴①， 又∵、在反比例函数的图象上， ∴， ∴②， 联立方程①、②，得：， 解得：， ∴， 即的值为． 4．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点. (1)求，的值： (2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围， 【答案】(1)，(2)(3)或． 【分析】（1）作于，可求得，从而得出，代入数据，即可求解； （2）过点作于，作点关于轴对称点，连接，交轴于，此时最小，可求得，设直线的解析式为：求得其解析式为，进一步得出结果； （3）先表示出，，求得点和点在直线上时的值，进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图1， 作于， ， ， ，恰好是线段的三等分点， 当时，， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，过点作于，作点关于轴对称点，连接，交轴于，此时最小， 同理（1）可得， 在反比例函数上， ， ， 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ， 由得， （3）从到可以看作向右平移4个单位，向下平移4个单位， 依题意，当正方形上的点通过平移个单位，，能到达，即满足定义， 如图3，将，向上或向下平移个单位，得到， 正方形边长为，且以点为中心， ，， 当点在上时， ， ， 当点在上时， ， ， 当点在上时， ， ， 当点在上时， ， ， 或． 5．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 【答案】(1)当时，有最小值，最小值为6； (2)当时，w有最低成本，最低成本为元．． 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意，，当时，有最小值，即可求解； （2）设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得，根据，即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴当时，有最小值， ∴时，有最小值，最小值为； （2）解：设设备平均每天的租赁使用成本为元，依题意得： ， ∵ ， ∴， ∴当时，w有最小值， ∴或（舍去）时，w有最低成本，最低成本为元． 6．（2025·四川德阳·二模）如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 【答案】(1)(2)或 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数与几何综合，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）将点代入，求出，所以，将点坐标代入，求出，即可得解； （2）分两种情况：当点在点的下方时；当点在点的上方时；分别构建方程解决问题即可． 【详解】（1）解：正比例函数与反比例函数的图象交于， ， ， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：设，则， 如图，当点在点的下方时，， 则， 解得：， ， ，， ； 如图，当点在点的上方时，， 则， 解得：， ， ，， ； 综上所述，点的坐标为或． 7．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 【答案】(1)，(2)(3) 【分析】（1）因为直线分别与轴，轴交于，两点，得出，结合，则，再求出，故，因为，所以，再代入反比例函数进行计算，即可作答． （2）结合平行线分线段成比例，得，再设点，因为，，即，j结合点在反比例函数上，得，故，得，运用待定系数法求出的解析，即可作答． （3）先运用等面积法求出，结合在中，故，因为，设点的坐标为，且，得，再运用证明，得出，同理得，，因为，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线分别与轴，轴交于，两点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点A在轴的负半轴， ∴， 把代入， 得， ∵， ∴， 故， ∴ ∵， ∴，， 即，， ∴， ∴ ∵点在反比例函数图象， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， 由（1）得反比例函数解析式为， ∵点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点， ∴设点， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即， ∵点在反比例函数上， ∴ ∴， ∴ 设的解析式为． 把代入， ∴ 解得， ∴的解析式为． （3）解：由（2）得的解析式为． 把代入，得， 依题意， ∴ 整理得， 解得， ∵ ∴把代入， 得， ∴， 则，， 过点作，过点作直线轴，过点作直线轴，过点 作轴，且分别交直线于点，过点 作轴，且交直线于点， 如图所示： ∵ ∴ ； 则 则， 在中， ∴ ∵， ∴， 连接，， ∵点为反比例函数图象上，两点之间一点， ∴设点的坐标为，且， ∵点关于轴的对称点为， ∴， 即轴，且， 过点作且使，过点M作，再过分别作， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为， ∴点的横坐标为， 即， ∵， ∴是共线的， 设的解析式分别为， 把分别代入， 得， ∴， 把，分别代入， 得， ∴， ∵是共线的， ∴， 即， 整理得 ∴， ∵ ∴， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为． 8．（2025·四川成都·二模）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值； (3)中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)(3)或 【分析】（1）过点C作轴于点D，过点A作轴，交于点E，根据，得出，即，求出，把代入求出，根据反比例函数解析式求出，把，代入求出，即可得出一次函数解析式； （2）过点M作轴，交于点N，根据平移可知：，根据，得出，求出结果即可； （3）分两种情况：当正方形在直线下方时，当正方形在直线上方时，先分别求出p的值，得出直线的解析式，然后再画出图形，根据图形求出q的取值范围即可． 【详解】（1）解：过点C作轴于点D，过点A作轴，交于点E，如图所示： ∵点，， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， 把代入得：， ∴反比例函数解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：过点M作轴，交于点N，如图所示： 根据平移可知：， ， ∵， ∴， 解得：； （3）解：①当正方形在直线下方时， 由得，， 整理得：， ∵直线与双曲线有唯一公共点， ∴， ∴， 解得：， ∵反比例函数， ∴直线与双曲线有唯一交点时， ∴此时的“楚河汉界线”为，如图所示： ∵点是此正方形的中心， ∴顶点， 把代入得， ∵顶点不能在直线上方， ∴， 解得：； ②当正方形在直线上方时， 把代入得：， 把代入得：， 把代入得：， 解得：， 把代入得， ∴在直线上， ∴此时直线的解析式为，如图所示： 把代入得：， ∵顶点不能在直线下方， ∴， 解得：； 综上所述，或． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点的坐标为；(2)点的坐标为； (3)的面积为或． 【分析】（1）利用待定系数法求解可求得反比例函数的表达式，联立得，解方程即可求得点的坐标为； （2）求得直线与轴的交点的坐标为，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）利用勾股定理及其逆定理求得是等腰直角三角形，且，从而得到是等腰直角三角形，且，，再分两种情况讨论，画出图形，利用全等三角形的判定和性质求解即可 【详解】（1）解：∵在直线上， ∴， 解得， ∴， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立得， 解得或， 经检验或都是原方程的解， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线与轴的交点为， 当时，， 解得， ∴点的坐标为， ∵， 解得， ∴点的坐标为； （3）解：∵，，， ， ， ， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形，且，， 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交轴于点，交于点，则四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的垂线交于点， 同理，， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴的面积； 综上，的面积为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 一次函数与反比例函数 题型概览 题型01利用一次函数的增减性求值 题型02一次函数的实际应用 题型03利用反比例函数的增减性求值 题型04 利用反比例函数K的几何意义求解 题型05 一次函数和反比例函数综合基础题 题型06一次函数与反比例函数综合之面积问题 题型07函数图象上的动点问题（选填压轴） 题型08一次函数与反比例函数综合之最值问题（压轴题） 题型09 一次函数与反比例函数综合之存在性问题（压轴题） 题型10 一次函数与反比例函数综合之其他问题（压轴题） 利用一次函数的增减性求值题型01 1．（2025·四川成都·二模）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 2．（2025·四川成都·二模）若点，在一次函数的图象上，则 .(填“”，“”或“”) 3．（2025·四川成都·二模）已知一次函数：，二次函数：，当时，恒成立，则的取值范围是 ． 一次函数的实际应用题型02 1．（2025·四川绵阳·二模）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表， 可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆） 小货车 10 15 500 大货车 20 10 800 设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题： (1)求物流公司有哪几种运送方案？ (2)求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？ 2．（2025·四川南充·二模）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 3．（2025·四川德阳·二模）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 4．（2025·四川资阳·二模）某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元． (1)求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？ (2)该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？ 5．（2025·四川南充·二模）某果农销售成本价为2元/斤的枇杷，果农决定直播销售和门店销售同时进行．直播销售，售价为10元/斤；门店销售，第一天售价为10元/斤，此后售价每天比前一天每斤降低0.2元，已知两种销售方式第天的销售数量（斤）均满足． (1)门店销售每天的售价（元/斤）与的函数关系式； (2)销售过程中，在第几天获得的总利润（元）最大？总利润最大是多少？ (3)李阿姨路过果农门店，果农正在直播，“今天是本店销售的第10天，凡网络下单一律八折优惠…”．李阿姨预购买10斤枇杷，李阿姨选择什么方式购买划算？ 6．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 7．（2025·四川成都·二模）四川是中国茶文化的发源地之一，拥有悠久的种茶、制茶和饮茶历史，其茶文化融合了自然，民俗与人文特色，形成了独具巴蜀风情的茶生活方式．已知每千克甲种茶叶的进价比每千克乙种茶叶的进价少100元，且4000元购进甲种茶叶的重量与5000元购进乙种茶叶的重量相同． (1)求甲、乙两种茶叶的进价； (2)某商店计划购进两种茶叶共30千克，且甲种茶叶的重量至少是乙种茶叶重量的．若甲种茶叶按530元/千克出售，乙种茶叶按650元/千克出售，求商店销售完两种茶叶获得的最大利润为多少元？ 8．（2025·四川绵阳·二模）某商铺打算购进，两种文创饰品对游客销售．计划用元采购种饰品，元采购种饰品，采购的种饰品件数恰好是种饰品件数的倍，种的进价比种的进价每件多元，两种饰品的售价均为每件元；计划采购这两种饰品共件，采购种的件数不低于件，不超过种件数的倍． (1)求，饰品每件的进价分别为多少元？ (2)因商铺长期与厂家合作，厂家决定对商铺本次采购种饰品按进价折优惠．设购进种饰品件， ①求的取值范围； ②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润． 利用反比例函数的增减性求值题型03 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，若点，都在反比例函数的图象上，当时，有，则的取值范围是 ． 2．（2025·四川成都·二模）点，都在函数的图象上，且，则 （填“”或“”）． 3．（2025·四川成都·二模）已知反比例函数的图象经过点，，则 ．（填“”或“”或“”） 4．（2025·四川成都·二模）若点，，都在反比例函数的图象上，则 （填“”或“”）． 利用反比例函数K的几何意义求解题型04 1．（2025·四川南充·二模）如图，反比例函数的图象经过对角线的交点，轴于，，则的值为（      ） A．12 B．6 C．4 D．3 2．（2025·四川宜宾·二模）如图，一次函数（）的图象交轴、轴于两点，与反比例函数（，）的图象相交于点，，，．点是线段上任意一点，过点作轴平行线，交反比例函数的图象于点，连接．当△BDE面积最大时，点的坐标是（   ）． A． B． C． D． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 4．（2025·四川宜宾·一模）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，过点分别作轴于点轴于点，反比例函数的图象分别与，相交于两点，连接．若四边形的面积为4，则的值为______． 6．（2025·四川成都·二模）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为 ． 7．（2025·四川成都·二模）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点，点、在函数图象上，轴，轴，连接，．若，的面积为，则的值为 ． 一次函数和反比例函数综合基础题题型05 1．（2025·四川南充·二模）如图，矩形的顶点均在双曲线上，边经过原点，对角线与轴平行，． (1)求双曲线的解析式． (2)求顶点的坐标． 2．（2025·四川资阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)若反比例函数时，取值范围是______． (2)求一次函数的解析式； (3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点，与x轴、y轴分别交于点A，B，且．求： (1)该反比例函数的解析式； (2)点A的坐标． 4．（2025·四川绵阳·二模）如图，一次函数与x轴交于点，与反比例函数（）交于点A，且点A的横坐标为1，连接，B为一次函数图象上的点，连接，且．求： (1)反比例函数的解析式； (2)点B的坐标． 5．（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边，分别交于点E，F． (1)若E是的中点，求反比例函数的解析式； (2)若，将沿直线对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标． 6．（2025·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与双曲线的图象交于点，，连接并延长与双曲线交于点，连接，． (1)求一次函数的解析式； (2)若，求的值． 一次函数与反比例函数综合之面积问题题型06 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系下如图放置，其中轴．斜边交x轴于点E，过点A的双曲线交斜边于点B，过点C作双曲线．，点A的坐标为． (1)求直线的解析式与点E的坐标； (2)连接，，当时，求m的值． 2．（2025·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，P是x轴上一点，且的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标． 3．（2025·四川自贡·二模）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数及一次函数的解析式． (2)求的面积． 4．（2025·四川南充·二模）一次函数的图象经过，交轴于点，与反比例函数的图象交于点，，为反比例函数图象上一动点． (1)求的值； (2)若面积为6，求点坐标． 5．（2025·四川内江·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，求的面积． 6．（2025·四川南充·二模）如图，点，都在反比例函数（）的图象上，已知点，且，． (1)求反比例函数解析式； (2)连接，求四边形的面积． 7．（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为1．将直线沿轴向上平移2个单位长度后与反比例函数图象交于点，．    (1)求该反比例函数的表达式及点的坐标； (2)连接，，求△ADE的面积． 8．（2025·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且，与双曲线交于点C、D，连接并延长与双曲线交于点E，连接． (1)求直线的解析式； (2)若的面积为8，求点D的坐标； (3)若，求k的值． 10．（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，F是上的一个动点（F不与A，B重合），过点F的反比例函数的图象与边交于点E． (1)当F为的中点时，求该函数的解析式； (2)当k为何值时，的面积为． 函数图象上的动点问题（选填压轴）题型07 1．（2025·四川宜宾·二模）如图1，在平面直角坐标系中，点分别在轴和轴上，轴，，点从点出发，以的速度沿边匀速运动，点从点出发，沿线段匀速运动．点与点同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点运动的时间为的面积为，已知与之间的函数关系如图2中的曲线段、线段与曲线段．下列说法中正确的个数有（    ）个． ①点的运动速度为； ②点的坐标为； ③线段段的函数解析式为； ④曲线段的函数解析式为； ⑤若的面积是四边形的面积的，则时间． ⑥当在线段上运动时，存在某一时刻，使得周长最小． A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025·四川广安·二模）如图1，将一矩形纸板剪掉一个小矩形，动点P从点A出发，沿路径匀速运动，速度为，点P到达终点F后停止运动，的面积与点P的运动时间的关系如图2所示，点P从点E运动到点F需要的时间是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川达州·二模）如图，在△ABC中，，，是上的一点（不与、重合），，垂足是点，设，四边形的周长为，则下列图象能大致反映与之间的函数关系的是（    ） A．B．C． D． 4．（2025·四川眉山·二模）在平面直角坐标系中，与的函数关系如图所示，图像与轴有三个交点，分别为，，．给出下面四个结论： ①当时，； ②当时，随的增大而增大； ③若点在此函数图像上，则符合要求的点只有一个； ④将函数图像向右平移2个或4个单位长度，经过原点． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①②④ B．②④ C．②③④ D．③④ 一次函数与反比例函数综合之最值问题（压轴题）题型08 1．（2025·四川广安·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求k的值； (2)点是反比例函数图象上的点，在x轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，直线与反比例函数图象交于，两点，与轴交于点，点关于原点的对称点为点． (1)求反比例函数表达式及点的坐标； (2)如图1，连接交轴于点．点在轴上，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的坐标； (3)如图2，点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，，．记的面积为，的面积为．当的值最小时，求的值． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，菱形在平面直角坐标系中，边与y轴的正半轴交于点E，边与反比例函数的图象交于点B，D．已知， (1)求点D的坐标； (2)若M是反比例函数的图象上段上的一动点，作轴交于点N，连接求面积的最大值及此时点M的坐标． 4．（2025·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数相交于点和点，的延长线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点是线段上一点．连接，交反比例函数在第一象限的图象于点，连接，当的值最小时，求的值． 5．（2025·四川泸州·二模）如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且． (1)直接写出的值和点的坐标； (2)点是轴上的动点，连接，，求的最小值． 6．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． (3)【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值． 一次函数与反比例函数综合之存在性问题（压轴题）题型09 1．（2025·四川绵阳·二模）如图，B是反比例函数图象上的一点，点A的坐标为是等边三角形． (1)求该反比例函数的解析式； (2)若D为反比例函数图象上位于点B右边的一点，C为x轴上的点，是等边三角形，求点D的坐标． 2．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于A，B两点，点B的纵坐标为3 (1)求点A的坐标和k的值； (2)如图2，点C在反比例函数的图象上，且在点B的左侧，连接并延长交x轴于点D，连接，，若，求的面积； (3)若点P是坐标轴上的点，点Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为． (1)求点的坐标和的值； (2)如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积； (3)若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于点，B两点，与x轴相交于点，过点B作的垂线交反比例函数的图象于另一点D． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)点E是坐标轴上一点，点F是直线上一点，若A，C，E，F为顶点的四边形为菱形，求E，F两点的坐标； (3)设点P是第三象限内的反比例函数图象上一点，连接交与点Q，若与相似，求点P的坐标． 5．（2025·四川泸州·二模）如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点和点，其中点的纵坐标是2． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)点是反比例函数上的一点，轴交直线于点，若以、P、Q、O为顶点的四边形为平行四边形，求出点的坐标． 6．（2025·四川成都·二模）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点． (1)求直线和反比例函数的解析式； (2)将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式； (3)对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上?若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由． 7．（2025·四川·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B；与y轴交于点C，点A的横坐标为． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标； (3)设点N在第二象限的反比例函数图象上，点P在x轴上，设点，连接，，，，，若，求点N的坐标． 一次函数与反比例函数综合之其他问题（压轴题）题型10 1．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，一次函数：的图象与轴交于点，与反比例函数：的图象交于，两点（点在点的右侧），过的中点作线段的垂线交轴于点，交轴于点，连接，，． (1)如图1，当，点的坐标为时，求反比例函数的表达式和点坐标： (2)如图2，当，连接时，，求的值； (3)当时，若，求的值． 2．（2025·四川成都·二模）如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C． (1)求双曲线的解析式； (2)如图2，连接OC． ①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标； ②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 3．（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上． (1)如图，若直线的解析式为，点，求点的坐标； (2)如图，以为边作矩形，点、的坐标分别是、，求的值． 4．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与双曲线()的交点为，在的左边)，且，恰好是线段的三等分点. (1)求，的值： (2)在x轴上找一点，使的值最小，求满足条件的点的坐标； (3)在平面直角坐标系中，对于线段和点，若在直线上存在点，使得四边形为平行四边形，则称点为线段的“笛卡尔伴生点”.已知正方形边长为，且以点为中心，各边与坐标轴垂直或平行，若对于正方形上的任意一点，都存在线段上的两点，，使得该点为线段的“笛卡尔伴生点”，请求出的取值范围， 5．（2025·四川达州·二模）知识背景 当且时，因为，所以，从而（当时取等号）． 设函数，由上述结论可知：当时，该函数有最小值为． 应用举例 已知函数与函数，则当时，有最小值为． 解决问题 (1)已知函数与函数，当x取何值时，有最小值？最小值是多少？ (2)已知某设备租赁使用成本包含以下三部分：一是设备的安装调试费用，共490元；二是设备的租赁使用费用，每天200元；三是设备的折旧费用，它与使用天数的平方成正比，比例系数为．若设该设备的租赁使用天数为x天，则当x取何值时，该设备平均每天的租赁使用成本最低？最低是多少元？ 6．（2025·四川德阳·二模）如图正比例函数与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若点是第二象限反比例函数图象上一点，过点作轴的垂线，交轴于点、交直线于点，若三个点、、中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称点、、三点为“和谐点”，直接写出使点、、三点成为“和谐点”的的坐标． 7．（2025·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数图象交于，两点（点在第一象限），，． (1)求点的坐标及的值； (2)如图2，点为反比例函数图象第三象限上一点，连接并延长交反比例函数图象于点，连接，，若，求直线的表达式； (3)在（2）的条件下，点为反比例函数图象上，两点之间一点，点关于轴的对称点为，连接，，若，求点的坐标． 8．（2025·四川成都·二模）如图1，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，且． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)若将直线向上平移个单位，使平移后的直线与的图象在第一象限交于点，若，求的值； (3)中国象棋棋盘上双方的分界处称为“楚河汉界”，以“楚河汉界”比喻双方对垒的分界线．在平面直角坐标系中，为了对两个图形进行分界，对“楚河汉界线”给出如下定义：点是图形上的任意一点，点是图形上的任意一点，若存在直线满足且，则直线就是图形与的“楚河汉界线”．例如：如图2，直线是函数的图象与正方形的一条“楚河汉界线”．如图3，正方形的一边在轴上，其他三边都在轴的右侧，点是此正方形的中心，若存在直线是图1中反比例函数的图象与正方形的“楚河汉界线”，求的取值范围． 9．（2025·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)过点作直线，交轴正半轴于点，连接，若，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，在第三象限的反比例函数图象上取一点（点不与点重合），在轴上取一点，连接，，，当时，求此时的面积． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$