专题03 方程（组）与不等式（组）（11个基础题型）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编（四川专用）

专题03 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01一元一次方程的实际应用（选填题） 题型02实际问题与二元一次方程组（选填题） 题型03一元二次方程根的判别式 题型04 一元二次方程中根与系数的关系求代数式的值 题型05 利用根与系数的关系求参数的值 题型06一元二次方程的实际问题 题型07根据分式方程根的情况进行求值 题型08解分式方程（选填题） 题型09 已知不等式解的情况求值 题型10 方程与不等式组中的计算题 题型11 方程与不等式组中应用题 一元一次方程的实际应用（选填题）题型01 1．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川绵阳·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样-一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱（钱：古代货币计量单位）．问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川广安·二模）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人． 5．（2025·四川成都·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 6．（2025·四川广安·二模）两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是 ． 实际问题与二元一次方程组（选填题）题型02 1．（2025·四川成都·二模）《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川南充·二模）中国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·二模）某文创店制作甲、乙两种热销产品销售，已知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克．设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·四川·二模）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·四川绵阳·二模）《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（   ） A．2.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．11尺 一元二次方程根的判别式题型03 1．（2025·四川乐山·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 2．（2025·四川广安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．（2025·四川成都·二模）关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 4．（2025·四川绵阳·二模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D． 5．（2025·四川泸州·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 一元二次方程中根与系数的关系求代数式的值题型04 1．（2025·四川自贡·二模）若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．（2025·四川泸州·二模）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 4．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 5．（2025·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 6．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 7．（2025·四川宜宾·二模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 8．（2025·四川德阳·二模）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 利用根与系数的关系求参数的值题型05 1．（2025·四川广元·二模）等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为 ． 2．（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 4．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 5．（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ． 6．（2025·四川·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根，满足，且，则k的值为 ． 一元二次方程的实际问题题型06 1．（2025·四川德阳·二模）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则每个球队参赛的场数为（   ） A．7场 B．8场 C．9场 D．10场 2．（2025·四川绵阳·二模）已知关于x的方程有两个不等实数根，且，则m的值是 3．（2025·四川绵阳·二模）据调查，某村 2022年的人均收入为30000元，2024年的人均收入为 36 300元．若从 2022 年到 2024年该村人均收入的平均增长率不变，按此平均增长率预测 2025 年该村的人均收入是 元． 4．（2025·四川成都·二模）某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 根据分式方程根的情况进行求值题型07 1．（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川自贡·二模）若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 3．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是 ． 4．（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 5．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 6．（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 解分式方程（选填题）题型08 1．（2025·四川成都·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 2．（2025·四川宜宾·二模）分式方程的解是 ． 3．（2025·四川·二模）分式方程的解是 ． 4．（2025·四川成都·二模）方程的解是 ． 5．（2025·四川成都·二模）分式方程：的解为 ． 已知不等式解的情况求值题型09 1．（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川自贡·二模）不等式组，有2个整数解，则取值范围为（     ） A． B． C． D． 3．（2025·四川宜宾·二模）关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 6．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 7．（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 8．（2025·四川南充·二模）已知：，，且，的取值范围是 ． 方程与不等式组中的计算题题型10 1．（2025·四川眉山·二模）解不等式组 2．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． （2）解方程： 3．（2025·四川德阳·二模）（1）计算：； （2）解不等式组． 4．（2025·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 5．（2025·四川成都·三模）（1）计算：； （2）解不等式组： 6．（2025·四川广安·二模）（1）计算： （2）解不等式： 7．（2025·四川绵阳·二模）（1）计算： （2）先化简，再从不等式组的解集中选择一个适当的整数解代入求值 8．（2025·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 方程与不等式组中应用题题型11 1．（2025·四川绵阳·二模）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表， 可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆） 小货车 10 15 500 大货车 20 10 800 设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题： (1)求物流公司有哪几种运送方案？ (2)求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？ 2．（2025·四川资阳·二模）某旅游度假村有甲种风格客房20间，乙种风格客房30间．按现有定价：若全部入住，一天的营业额为12000元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天的营业额为5000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会增加2个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个居住的房间每天支出60元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？ 3．（2025·四川南充·二模）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 4．（2025·四川成都·二模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． (1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 5．（2025·四川德阳·二模）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 6．（2025·四川资阳·二模）某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元． (1)求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？ (2)该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？ 7．（2025·四川成都·二模）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？ (2)请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大． 8．（2025·四川绵阳·二模）在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润． 9．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 10．（2025·四川泸州·二模）某批发商计划购进甲、乙两种水果，已知每千克甲种水果的进价比每千克乙种水果的进价多2元，用360元购进甲种水果的质量恰好与用300元购进乙种水果的质量相同． (1)求该批发商购进甲、乙两种水果的单价各是多少元？ (2)若该批发商计划购进甲、乙两种水果共500千克，且决定将甲种水果以每千克16元，乙种水果以每千克13元的价格对外出售，若要获得总利润不低于1800元，则至少应购进甲种水果多少千克？ 11．（2025·四川成都·二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元． (1)，两个工种的工人各有多少人？ (2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额． 12．（2025·四川成都·二模）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用） (1)求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？ (2)为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论： ①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半； ②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的； 为保证型家用电车的高端定位，求的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 方程（组）与不等式（组） 题型概览 题型01一元一次方程的实际应用（选填题） 题型02实际问题与二元一次方程组（选填题） 题型03一元二次方程根的判别式 题型04 一元二次方程中根与系数的关系求代数式的值 题型05 利用根与系数的关系求参数的值 题型06一元二次方程的实际问题 题型07根据分式方程根的情况进行求值 题型08解分式方程（选填题） 题型09 已知不等式解的情况求值 题型10 方程与不等式组中的计算题 题型11 方程与不等式组中应用题 一元一次方程的实际应用（选填题）题型01 1．（2025·四川成都·二模）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十.问：家数、牛价各几何？题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱，家数、牛价各是多少？若设牛价是x钱，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．由每7家共出钱，会差钱，每9家共出钱，又多了钱，设牛价是x钱，列方程即可． 【详解】解：依题意得，可列方程为， 故选：C． 2．（2025·四川绵阳·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载有这样-一个问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四、问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱，多出3钱；每人出7钱，差4钱（钱：古代货币计量单位）．问人数、物价各是多少？若设共有x人，物价是y钱，则所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 设共有x人，物价是y钱，根据人数不变或钱数不变即可列出一元一次方程． 【详解】设共有x人，物价是y钱， 根据题意得，或． 故选：A． 3．（2025·四川成都·二模）我国古代名著《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”意思是：“快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，问快马几天可以追上慢马？”若设快马天可以追上慢马，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据慢马先走12天，得出慢马的路程，快马每天走240里，快马天可以追上慢马，得快马的路程，进行列方程，即可作答． 【详解】解：∵快马每天走240里，慢马每天走150里．慢马先走12天，设快马天可以追上慢马， ∴， 故选：A． 4．（2025·四川广安·二模）九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有 人． 【答案】25 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这两种实验都做对的有x人，根据九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人可列方程求解． 【详解】解：设这两种实验都做对的有x人， ， 解得． 故都做对的有25人． 故答案为：25． 5．（2025·四川成都·二模）幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．将9个数填在三行三列的方格中，若每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，就构成一个三阶幻方．图1是一个三阶幻方，图2是一个未完成的三阶幻方，则 ． 【答案】48 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，代数式求值．根据题意可得，从而得到，再由，可得，然后根据，可得，即可得到答案． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴， ∵，即 ∴， ∵，即 ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：48 6．（2025·四川广安·二模）两个角，它们的比是，其差为，则这两个角的关系是 ． 【答案】互补 【分析】本题考查角的计算，根据有两个角，它们的度数比是，其度数差为，可以求得这两个角的度数，从而可以求得它们的关系．解题的关键是根据题目设两个角的度数，然后列出等量关系． 【详解】解：有两个角，它们的度数比是，其度数差为， 设这两个角分别为、， ， 解得， ，， ． 即这两个角的关系是互补． 故答案为：互补． 实际问题与二元一次方程组（选填题）题型02 1．（2025·四川成都·二模）《九章算术》中有这样一个数学问题：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻，一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”翻译为：“今有五只雀、六只燕，分别称重时，五只雀比六只燕重；若交换一只雀和一只燕，两边重量相等．五只雀和六只燕共重1斤．问每只雀、燕各重多少斤？”（注意：古代1斤=16两）设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列二元一次方程组，设每只雀x斤，每只燕y斤，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】解：设每只雀x斤，每只燕y斤， 交换一只雀和一只燕，两边重量相等，则，即， 五只雀和六只燕共重1斤，即， 所以 故选：B． 2．（2025·四川南充·二模）中国古代数学著作《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设木头长为尺，绳子长为尺，根据“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设木头长为尺，绳子长为尺， 由题意可得． 故选：C． 3．（2025·四川成都·二模）某文创店制作甲、乙两种热销产品销售，已知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克．设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，正确理解题意是解题的关键． 设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，由“知制作1件甲产品需要A型材料3千克，B型材料2千克：制作1件乙产品需要A型材料1千克，B型材料3千克．该文创店在制作产品时共用去A型材料130千克，B型材料180千克”即可建立方程组． 【详解】解：设该文创店制作甲、乙两种产品的数量分别为件、件，则可列方程组为： ， 故选：A． 4．（2025·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个题目：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤．问玉、石重各几何？其大意是：一立方寸的玉重两：一立方寸的石重两，一块内部含有玉的正方体石头，总重斤（古代斤两），体积为立方寸．问玉、石各重多少？设玉重两，石重两，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练根据题意得出等量关系是解题的关键．由 “总重斤”，得，由“体积为立方寸”，得，即可求解． 【详解】解：设玉重两，石重两， 由 “总重斤”，得， 由“体积为立方寸”，得， ∴列方程组为， 故选：A． 5．（2025·四川·二模）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何？”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人？这个物品的价格是多少？设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设共有人，物品的价格为钱，根据“每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱”列出二元一次方程组即可．理解题意，弄清数量关系是解题关键． 【详解】解：设共有人，物品的价格为钱，根据题意得： ． 故选：A． 6．（2025·四川绵阳·二模）《孙子算经》中有一个有趣的数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，长木几何？”其大意是：用绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量这根长木，长木还剩余1尺，问这根长木长多少尺？此问题中长木的长为（   ） A．2.5尺 B．5.5尺 C．6.5尺 D．11尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设绳长为x尺，长木长y尺，根据“一个根绳量一根长木，绳子还剩4.5尺”得，再根据“将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”得，然后得出方程组，求出解即可． 【详解】解：设绳长为x尺，长木长y尺，根据题意，得 ， 解得， 所以长木长为6.5尺． 故选：C． 一元二次方程根的判别式题型03 1．（2025·四川乐山·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程有两个不相等的实数根则得判别式，且二次项系数不为0，列含k的不等式，求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根． ∴，， 解得：且， 故选：D． 2．（2025·四川广安·二模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程（，a，b，c为常数）根的判别式的意义．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式的意义可得，根据一元二次方程的定义得出，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故选：B． 3．（2025·四川成都·二模）关于一元二次方程根的情况，以下说法正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当，方程有两个不相等的实数根，当，方程有两个相等的实数根，当，方程没有实数根，进行解答即可． 【详解】解：， ，，， ， 方程没有实数根， 故选：C． 4．（2025·四川绵阳·二模）关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求解即可． 【详解】解：当时，方程化为，解得，故原方程有实数根，符合题意； 当时，当，即时，原方程有两个实数根， 综上，满足条件的k的取值范围为， 故选：B． 5．（2025·四川泸州·二模）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了根的判别式，解题的关键是牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出关于的一元一次不等式，结合二次项系数不等于0，可得出的取值范围，对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， ， 且， ∴的值可以是3， 故选：C． 一元二次方程中根与系数的关系求代数式的值题型04 1．（2025·四川自贡·二模）若一元二次方程的两个实根为，，则的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，由，即可直接得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实根为， ∴，， ∴． 故选B． 2．（2025·四川泸州·二模）若，是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，利用一元二次方程的解，根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ， ， 故选：． 3．（2025·四川南充·二模）如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 4．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，掌握并能灵活运用根与系数的关系建立关系式是解题的关键． 由，是一元二次方程的两个实数根，则、、代入，然后进行计算即可解答． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴、、． ∴ ∴ ． 故答案为：28． 5．（2025·四川成都·二模）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．先根据根与系数的关系求出，然后把变形后代入求值即可． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴即， ∴ ， 故答案为：． 6．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简求值，掌握以上知识及计算是关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，根据分式的性质，分式的混合运算化简，再代入计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，， ∴， ， ∴原式， 故答案为： ． 7．（2025·四川宜宾·二模）若是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：0． 8．（2025·四川德阳·二模）已知方程的两根分别为，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系可直接求解． 【详解】解：∵方程的两根分别为，， ∴，， 则． 故答案为：5． 利用根与系数的关系求参数的值题型05 1．（2025·四川广元·二模）等腰三角形的三边分别是a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两根，则n的值为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了根与系数的关系、三角形的三边关系以及等腰三角形的性质，分2为底边长或腰长两种情况解题即可． 【详解】解：∵a，b是关于x的一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∵等腰三角形的三边分别是a，b，2， ∴当2为底边长时，则， ∴． ∵4，4，2能围成三角形， ∴； 当2为腰长时，、中有一个为2，根据可得另一个为6， ∵6，2，2不能围成三角形， ∴此种情况不存在． 故答案为：20． 2．（2025·四川成都·二模）若关于的一元二次方程两根为、，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，由一元二次方程根和系数的关系可得，，进而可得，据此即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程两根为、， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的两个实数根为，，若，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及根的情况是解题的关键，由于，是方程的两个实数根，可得，，代入可得，进而得到，，代入原式验证后，即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：，， 当时，原方程为， ∴，不符合题意舍去， 当时，原方程为， ∴，符合题意舍去， 综上所述：， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）若，是已知关于的方程的两个实数根，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．先由根的判别式求得的取值范围，再根据根与系数的关系得,再代入列方程求解即可． 【详解】解：关于的方程有两个实数根， ， 解得：， 根据根与系数的关系得, ， ， ， 解得：， ， ， 故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，且满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系．先利用一元二次方程的根与系数的关系得出，结合，求出和，再利用一元二次方程的根与系数的关系得出，即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别是，， ∴， 又∵， 得， 解得：， ∴， 故答案为：． 6．（2025·四川·二模）若关于x的一元二次方程的两个实数根，满足，且，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】根据所给一元二次方程有实数根，得出关于k的不等式，利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根，，且，， ∴， 由是方程的两个根， 则，， ∵， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴， 故 解得，符合题意， 故答案为：2． 一元二次方程的实际问题题型06 1．（2025·四川德阳·二模）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则每个球队参赛的场数为（   ） A．7场 B．8场 C．9场 D．10场 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． 设参赛的队数为，根据参赛的每两个队之间都要比赛一场，列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参赛的队数为，根据题意得， 解得：，（舍去）， ∴每个球队参赛的场数为8场 故选：B． 2．（2025·四川绵阳·二模）已知关于x的方程有两个不等实数根，且，则m的值是 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 先根据根与系数的关系得到，再根据完全平方公式变形得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根为， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025·四川绵阳·二模）据调查，某村 2022年的人均收入为30000元，2024年的人均收入为 36 300元．若从 2022 年到 2024年该村人均收入的平均增长率不变，按此平均增长率预测 2025 年该村的人均收入是 元． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 设年到年该地区人均收入的年平均增长率为，则年的人均收入为元，年的人均收入为元，再由年的人均收入为元列出方程求解即可． 【详解】解：设年到年该地区人均收入的年平均增长率为， 根据题意，得， 解得 ，（不合题意，舍去）． ∴2025 年该村的人均收入是（元） 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）某商品在电商平台上销售，其进价为每件40元．市场调研显示，当售价为每件80元时，每天能售出20件．为了促销并减少库存，商家决定降价销售．每降低1元的售价，每天就能多售出4件商品． (1)商家希望每天通过销售该商品获得1400元的利润．为了达到这一利润目标，则售价应该降低多少元？ (2)在降价促销的策略下，商家每天能够获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1)售价应降低30元 (2)商家每天获得的最大利润为2025元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用． 找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数关系式是解题的关键． （1）设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要尽量减少库存，即可求解． （2）设商家每天获得的利润为元，根据总利润=每件的销售利润×日销售量，列出w关于x的二次函数关系，然后利用二次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设售价应降低元，由题意得． ， ， 解得，， 又要减少库存， ， 答：售价应降低30元． （2）解：设商家每天获得的利润为元， ． ， 当时，元， 答：商家每天获得的最大利润为2025元． 根据分式方程根的情况进行求值题型07 1．（2025·四川南充·二模）关于的方程一定有根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解分式方程以及分式方程有根的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 解分式方程得，由分式方程有根的条件得，所以，解得，即可得解． 【详解】解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 关于的方程一定有根， ， ， 将代入，得， ， 故选：A． 2．（2025·四川自贡·二模）若分式方程无解，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．1或2 【答案】C 【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先将分式方程转化为整式方程，再分一元一次方程无解和分式方程有增根进行讨论即可． 【详解】解： 分式方程无解， ， ； ， 当时，，不成立； 当时，，则， ， 综上所述，若分式方程无解，则的值为或， 故答案为：C． 3．（2025·四川成都·二模）已知关于x的方程的解是，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，根据题意可得出关于的分式方程，解方程即可得解． 【详解】解：∵关于x的方程的解是， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解， 故， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的增根，理解“分式方程的增根是去分母后所化为整式方程的根”是解决问题的关键，分式方程有增根与分式方程无解意义不同．先解方程，再根据方程的增根为，可求出k值． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 关于的分式方程的增根是， ， 故答案为：3． 5．（2025·四川广安·二模）若关于的方程的解是非负数，则的取值范围为______． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式，求出方程的解是解题的关键．先用含m的代数式表示x，再根据解为正数，列出关于m的不等式，求解即可． 【详解】解：原方程去分母，得，得：且， ∵关于的方程的解是非负数， ∴且， 解得：且， 故答案是：且． 6．（2025·四川达州·模拟预测）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】1或3 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行求解即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解， ①当整式方程无解时：，解得：； ②当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：1或3． 解分式方程（选填题）题型08 1．（2025·四川成都·二模）分式方程的解是（   ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 故选：C 2．（2025·四川宜宾·二模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤解答即可求解，掌握解分式方程的步骤是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以得，， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解， 故答案为：． 3．（2025·四川·二模）分式方程的解是 ． 【答案】 【分析】解方程后解答即可． 本题考查了解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解：， 去分母，得 去括号，得， 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得， 经检验，是原方程的根， 故答案为：． 4．（2025·四川成都·二模）方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键．先去分母化为整式方程，再求解，并验根即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 解得：， 经检验，时，， 故是方程的解， 故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）分式方程：的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程一定要验根是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得，， 解得，， 经检验，是原方程的根， 所以，分式方程的解为， 故答案为： 已知不等式解的情况求值题型09 1．（2025·四川南充·二模）关于的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围．本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到（即）关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 【详解】解： ， 用第一个方程减去第二个方程， 可得： 去括号得： 合并同类项得： 两边同时除以，得到． ∵， ∴． ，对于，当时，；当时，． ∵的取值范围是大于小于， ∴的取值范围是． 故选：D 2．（2025·四川自贡·二模）不等式组，有2个整数解，则取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解不等式组，掌握不等式的性质是关键． 根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解①得，， 解②得，， ∴， ∵不等式组有2个整数解， ∴， 解得，， 故选：A ． 3．（2025·四川宜宾·二模）关于的不等式组的整数解仅有个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由不等式组的解的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，根据解的情况列出关于的不等式，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：解不等式组，得， ∵不等式组的整数解仅有个， ∴， 解得， 故选：． 4．（2025·四川南充·二模）不等式组的解集是，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 先分别解两个不等式，求出它们的解集，再根据解集是，即可求出m的取值范围． 【详解】解：解，得， 解，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得 ． 故选：A． 5．（2025·四川成都·二模）某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得出设所求的矩形的两边分别是和，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 6．（2025·四川绵阳·二模）已知不等式的解都能使得关于x的不等式成立，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查解一元一次不等式，不等式的性质等知识点，能根据已知得到关于a的不等式是解此题的关键． 求出不等式的解，分类讨论求出不等式的解集，得出关于a的不等式，求出a即可． 【详解】解：解不等式得， ， ∵不等式的解都能使不等式成立， ∴当，即时 不等式， ， ， 可以取任意实数，那么的解必然能使该不等式成立， 所以满足条件． 当，即时 不等式其解为． 因为的解都能使成立， 所以． 解不等式： ，结合前提，这种情况满足条件． 当，即时 不等式其解为． 要使的解都能使成立，那么． 解不等式： ，结合前提，得到． 综合以上三种情况． 故答案为：． 7．（2025·四川泸州·二模）关于的不等式组有且只有四个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查求含参数的不等式解集，熟练掌握解一元一次不等式组，不等式组的整数解：是解题关键． 求出原不等式组的解集，由解集恰好只有4个整数解，得出关于a的不等式组，解不等式组确定出a的范围即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组只有4个整数解， 为2，1，0，， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·四川南充·二模）已知：，，且，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组以及代数方程变形的能力，先分别用x表示出a，b然后再根据a，b的取值范围列出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵, ∴，， 解得：，且， 综上，x的取值范围：， 故答案为： 方程与不等式组中的计算题题型10 1．（2025·四川眉山·二模）解不等式组 【答案】 【分析】此题考查了解不等式组．求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 所以不等式组的解集为：． 2．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． （2）解方程： 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，分式方程的解法； （1）先化简绝对值，计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，分母有理化，再合并即可； （2）先去分母，化为整式方程，再解整式方程并检验即可． 【详解】解：（1） ； （2）； 去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：是增根，是原方程的解． 3．（2025·四川德阳·二模）（1）计算：； （2）解不等式组． 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，特殊角三角函数值的混合运算，实数的运算． （1）先根据零指数幂，特殊三角函数值，负整数指数幂，绝对值的定义，乘方的运算法则化简各式，最后算加减法即可； （2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 【详解】解：（1） ； （2）解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：． 4．（2025·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及0指数、特殊角的三角函数值、负整数指数等知识，也考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握上述基本知识是解题的关键． （1）先计算0指数、代入特殊角的三角函数值、计算负整数指数、化简绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先求出每个不等式的解集，再找出其解集的公共部分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，，解得：， ∴不等式组的解集为． 5．（2025·四川成都·三模）（1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，解一元一次不等式组： （1）先化简各数，再进行加减运算即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：（1）原式； （2） 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：． 6．（2025·四川广安·二模）（1）计算： （2）解不等式： 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查解一元一次不等式、实数的混合运算，特殊角三角函数，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序和运算法则． （1）先代入三角函数值、计算负整数指数幂、立方根，再去绝对值符号、计算乘法，最后计算加减即可； （2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可． 【详解】解：（1）           ； （2）将， 去分母得， 去括号得， 解得：． 7．（2025·四川绵阳·二模）（1）计算： （2）先化简，再从不等式组的解集中选择一个适当的整数解代入求值 【答案】（1）；（2）；时，原式 【分析】本题考查实数混合运算，分式化简求值，解一元一次不等式组，熟练掌握零指数幂与负整指数幂、特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）先开方，再计算乘除并化简绝对值，最后计算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则化简分式，再解不等式组，求出x值的范围，然后根据分式有意义的条件确定出x取值，代入化简式计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ， ， 解①得：； 解②得：， ∴ ∵x为整数，且， ∴当时，原式． 8．（2025·四川成都·二模）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【分析】本题考查实数的混合运算，解分式方程，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值是解题的关键，注意解分式方程要检验． （1）先计算乘方，并把特殊角三角函数值代入、求出绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）先去分母化成整式方程求解，然后再检验即可求解． 【详解】解：（1）原式 ； （2）去分母，得：， 解整式方程，得：， ， ， 经检验：是原方程的根． ∴方程的解为． 方程与不等式组中应用题题型11 1．（2025·四川绵阳·二模）绵阳作为四川省重要的区域中心城市和成渝地区双城经济圈的重要节点，近年来物流业发展迅速，绵阳有望成为川西北物流新高地．现在绵阳某物流公司需要从涪城区运送360吨蔬菜和210吨水果到三台县城，物流公司准备派大货车和小货车共20辆来完成此次运送任务，其每辆车的运载量和运费如下表， 可载蔬菜吨数（吨/辆） 可载水果吨数（吨/辆） 运费（元/辆） 小货车 10 15 500 大货车 20 10 800 设物流公司派小货车x辆，请解决下面的问题： (1)求物流公司有哪几种运送方案？ (2)求物流公司采用哪种运送方案使运送费用最低？ 【答案】(1)共有3种运送方案 (2)物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）根据题意，以及表格数据列不等式组求解即可； （2）设运送费用为W元，小货车x辆，根据题意得到．利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：，解得：． 为整数， ，3，4， 共有3种运送方案： 方案1：小货车2辆，大货车18辆； 方案2：小货车3辆，大货车17辆； 方案3：小货车4辆，大货车16辆． （2）解：设运送费用为W元，小货车x辆， 则：． ， 随x的增大而减小， 又， 当时，， 物流公司采用方案3：小货车4辆，大货车16辆使运送费用最低． 2．（2025·四川资阳·二模）某旅游度假村有甲种风格客房20间，乙种风格客房30间．按现有定价：若全部入住，一天的营业额为12000元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天的营业额为5000元． (1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？ (2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会增加2个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个居住的房间每天支出60元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元 (2)当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元 【分析】本题考查了二次函数的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，正确列出方程组和二次函数关系式，利用二次函数的性质解答． （1）设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元，根据题意列方程组并解方程组解决； （2）设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲，根据题意列出函数关系式并根据二次函数性质求最值即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两种客房每间现有定价分别是元、元， 根据题意，得：， 解得， 答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元； （2）解：设每天的定价增加了个20元，则有个房间空闲， 根据题意有： ， ， 当时，取得最大值，最大值为4840，此时房间的定价为元， 答：当每间房间定价为280元时，乙种风格客房每天的利润最大，最大利润是4840元． 3．（2025·四川南充·二模）某服装商店开辟专柜购进两款围巾销售，进货价和销售价如下表． 款 款 进价（元/条） 60 50 售价（元/条） 90 78 (1)第一次用10000元购进两款围巾共180条，求两款各购进多少条． (2)第二次根据销售情况，A款进货量不超过款进货量的一半，计划购进两款围巾共300条．应如何设计进货方案，才能获得最大利润，最大利润是多少？ (3)商店两次进货均按预期售完．请从利润率的角度分析，哪一次更划算？ 【答案】(1)两款分别购进100条，80条 (2)应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元 (3)从利润率的角度看，第二次更划算 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A款购进条，则款购进条．根据题意找出等量关系，列出方程组求解即可； （2）设第二次A款购进条，则款购进条．利润为元，先根据题意，列出不等式，求出x的取值范围，再根据总利润的利润的利润，得出y关于x的表达式，结合一次函数的增减性，即可解答． （3）先分别算出第一次的销售利润（A款利润与B款利润相加），再根据利润率公式算出第一次利润率；接着算出第二次进货成本和利润，进而得出第二次利润率；最后比较两次利润率大小，判断哪次更划算． 【详解】（1）解：设A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． ∴． 即两款分别购进100条，80条． （2）设第二次A款购进条，则款购进条．由题意，得 ． 解得． 设利润为元，则． 随增大而增大， ∴时，． 此时． 即应购进A款围巾100条，款围巾200件，可获最大利润，最大利润为8600元． （3）第一次销售利润为（元）． 销售利润率为． 第二次进货款为（元）． 销售利润率为． ∴从利润率的角度看，第二次更划算． 4．（2025·四川成都·二模）当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． (1)求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； (2)由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】(1)每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； (2)该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 5．（2025·四川德阳·二模）随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 【答案】(1)； (2)共有11种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得； （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； （3）解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 6．（2025·四川资阳·二模）某中学在2025年“校园文化艺术节”到来之际，开展了“魅力艺术，和谐校园”主题活动．为此该校在某商场购买了A、B两种奖品，已知购买2个A种奖品和3个B种奖品共花费65元，购买3个A种奖品和6个B种奖品共花费120元． (1)求购买1个A种奖品和1个B种奖品各需多少元？ (2)该校决定购买A、B两种奖品共50件，其中A种奖品的数量不多于B种奖品数量的 求购买这50件奖品至少花费多少元？ 【答案】(1)种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元； (2)购买这 50 件奖品到少花费 690 元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，读懂题意找出数量关系是解题关键． （1）设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元，根据题意列二元一次方程求解即可； （2）设购买种奖品m个，则购买种奖品个，根据题意列不等式，得到m的取值范围，令购买费用为，得到关于m的一次函数，再利用一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设种奖品的单价为元，种奖品的单价为元， 由题意得：， 解得：， 答：种奖品的单价为10元，种奖品的单价为元； （2）解：设购买种奖品m个，则购买种奖品个， 由题意得：， 解得：， 令购买费用为， 则， ， 随m的增大而减小， 当时，有最小值，最小值为， 即购买这 50 件奖品到少花费 690 元． 7．（2025·四川成都·二模）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？ (2)请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大． 【答案】(1)商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元 (2)，当最低销售单价为元时，公司所获利润越大 【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，写出销售单价的代数式，掌握一元一次方程、一元一次不等式的解法及一次函数、二次函数的增减性是解题的关键． （1）设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元，将销售单价用含的代数式表示出来，列方程并求解即可； （2）设销售件，所获利润元，分别讨论、两种情况下的最大值即可． 【详解】（1）解：设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元． 根据题意，得， 解得． 答：商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元． （2）设销售件，所获利润元． 当时， ， 随的增大而增大， 当时值最大，； 当时： 根据题意，得， 解得， ， ， 该函数图象开口向下，对称轴为，， 当时值最大，， ， 元． 答：当最低销售单价为元时，公司所获利润越大． 8．（2025·四川绵阳·二模）在乡村振兴行动中，某村办企业以A，B两种农作物为原料开发了一种有机产品，A原料的单价是B原料单价的1.5倍，若用900元收购A原料会比用900元收购B原料少．生产该产品每盒需要A原料和B原料，每盒还需其他成本9元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒；每涨价1元，每天少销售10盒． (1)求每盒产品的成本（成本=原料费+其他成本）； (2)设每盒产品的售价是x元（x为整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）； (3)若每盒产品的售价不超过a元（a是大于60的整数），求出每天的最大利润． 【答案】(1)每盒产品的成本为30元 (2) (3)当时，每天的最大利润为16000元；当时，每天的最大利润（）元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、二次函数的应用等知识点，正确理解题意、列出分式方程和函数解析式成为解答本题的关键． （1）设原料单价为元，则原料单价为元．然后再根据“用900元收购原料会比用900元收购原料少”列分式方程求解即可； （2）直接根据“总利润=单件利润×销售数量”列出解析式即可； （3）先确定的对称轴和开口方向，然后再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）设原料单价为元，则原料单价为元． 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的根，且符合题意． ， ∴每盒产品的成本为（元）． 答：每盒产品的成本为30元． （2）． （3）抛物线的对称轴为直线，开口向下， 当时，取70时有最大利润，此时， 即每天的最大利润为16000元． 当时，每天的最大利润（）元． 9．（2025·四川成都·二模）年春节，随着电影《哪吒》的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． (1)单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ (2)该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元/个、元/个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． (2)超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 【分析】（1）设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验； （2）由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 【详解】（1）解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元． （2）解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元． 10．（2025·四川泸州·二模）某批发商计划购进甲、乙两种水果，已知每千克甲种水果的进价比每千克乙种水果的进价多2元，用360元购进甲种水果的质量恰好与用300元购进乙种水果的质量相同． (1)求该批发商购进甲、乙两种水果的单价各是多少元？ (2)若该批发商计划购进甲、乙两种水果共500千克，且决定将甲种水果以每千克16元，乙种水果以每千克13元的价格对外出售，若要获得总利润不低于1800元，则至少应购进甲种水果多少千克？ 【答案】(1)甲种水果单价是12元，乙种水果单价是10元 (2) 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式方程的应用，解题的关键是找准数量关系，正确列出分式方程和列出一元一次不等式方程． （1）设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，依据“用360元购进甲种水果的质量恰好与用300元购进乙种水果的质量相同”，列出分式方程，解方程并检验，进而求出甲，乙种水果单价。 （2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据“总利润不低于1800元”，由总利润 = 甲水果利润 + 乙水果利润，列出不等式，求解得出y的取值范围，确定至少购进甲种水果的重量。 【详解】（1）解：设每千克乙种水果的进价是元，则每千克甲种水果的进价是元，根据题意得 解得， 检验：是原方程的解且符合题意， 则甲种水果单价为元， 所以甲种水果单价是12元，乙种水果单价是10元． （2）设购进甲种水果y千克，则购进乙种水果千克，根据题意得． 总利润：． 解得， 所以，至少应购进甲种水果300千克． 11．（2025·四川成都·二模）在数字经济时代，成都加大对电子信息、生物医药及人工智能等领域的投资力度，促进“成都造”的品牌价值和市场认可度．某工厂现有，两个工种的工人共人，每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元． (1)，两个工种的工人各有多少人？ (2)现工厂扩大生产投入，需再招聘，两个工种的工人共名，招聘要求全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，那么此次招聘工种工人多少人时，可使每月所付的工资总额最少？并求出最少工资总额． 【答案】(1)工种的工人有人，工种的工人有人 (2)招聘工种工人人时，每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子、等式或不等式是解题的关键． （1）设工种的工人有人，工种的工人有人，利用“，两个工种的工人共人”和“每月发工人工资元，，两个工种的工人的月工资分别为元和元”分别列式即可； （2）设此次招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元，则招聘工种工人人，则可列出，利用全工厂工种的人数不少于工种人数的倍，列不等式确定的范围，结合一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设工种的工人有人，工种的工人有人， 根据题意，得， 解得：， 答：工种的工人有人，工种的工人有人； （2）解：设此次招聘工种工人人，则招聘工种工人人，每月所付的工资总额为元， 则， ∵全工厂工种的人数不少于工种人数的倍， ∴， 解得：， 对于，， ∴随的增大而减小， ∴ 当时，每月所付的工资总额最小， 最小为（元）， 答：此次招聘工种工人人时，可使每月所付的工资总额最少，最少工资总额为元． 12．（2025·四川成都·二模）2025年甲乙两家车商分别推出了型和型家用电车，已知一辆型家用电车比一辆型家用电车落地价贵11万元，若购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元．（落地价是指消费者购买一辆车到上牌为止所花的所有费用） (1)求型家用电车和型家用电车落地单价分别是多少万元？ (2)为扩大市场占有率，甲车商决定对型家用电车降价万元，乙车商也决定对型家用电车跟随降价销售，现甲车商利用大模型进行数据深度分析得出以下结论： ①乙车商对型家用电车降价的金额是甲车商对型家用电车降价金额的一半； ②为保证型家用电车在消费者心目中的高端定位，型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的； 为保证型家用电车的高端定位，求的最大值． 【答案】(1)型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元 (2)5 【分析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元，由“购买2辆型家用电车和3辆型家用电车落地价共247万元”建立一元一次方程求解即可； （2）型家用电车降价后的价格为万元，型家用电车降价后的价格为，再由“型家用电车落地单价不得低于型家用电车落地单价的”建立一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设型家用电落地单价为万元，则型家用电车落地单价为万元， 由题意得：， 解得：， 则 答：型家用电落地单价为56万元，则型家用电车落地单价为45万元； （2）解：由题意得，， 解得：， ∴的最大值为5． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$