假期作业11 旋转体-【快乐假期】2025年中职高一数学暑假作业

１７．解:(１)∵四棱锥S􀆼ABCD 的各 棱长均为５,底面为正方形,各侧 面均为正三角形,∴它的表面积 为４×１２SA 􀅰SB􀅰sin∠ASB ＋AB２＝４× １２×５ ２× ３２＋５ ２ ＝２５＋２５ ３; (２)连接AC,BD,AC∩BD＝O,连接SO,则SO 为棱锥 的高,则SO＝ SB２－OB２＝ ５２－ ５ ２ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝５ ２２ , 故棱锥的体积V＝１３×５ ２×５ ２２ ＝ １２５ ２ ６ ． 假期作业１１ 知能训练 １．B　[用一个宽２厘米、长３厘米的矩形卷一个圆柱,所 以此圆柱的侧面积为矩形的面 积２×３＝６平方厘米．] ２．C　[由题意,圆柱的轴截面是面积为１００的正方形,可 得圆柱的轴截面边长为１０,所以圆柱的底面半径为５,母 线长为１０,所以侧面积为２π×５×１０＝１００π．] ３．C　[由题意,矩形 ABCD 中,AB＝３,BC＝２,即圆柱的 底面圆的半径为r＝２,高为h＝３,所以圆柱的体积为V ＝πr２h＝π×２２×３＝１２π．] ４．A　[设圆锥的母线长为l,圆 锥的高为h,因为圆锥 的 底 面 半径为２,其侧面 展 开 图 为 一 个半圆,可得πl＝２π×２,解得 l＝４,则 圆 锥 的 高 为 h＝ SA２－r２＝２ ３．] ５．C　[设圆锥的母线长为l,则l􀅰２π３＝２π ,解得l＝３,则该 圆锥的表面积为π×３×１＋π×１２＝４π．] ６．A　[依题意圆锥的高h１＝４,圆柱的高h２＝６,底面半径 r＝８,所以圆锥的母线l＝ h２１＋r２＝４ ５,所以油罐的表 面积S＝２πrh２＋πr２＋πrl＝２π×８×６＋π×８２＋π×８× ４ ５＝(６０＋３２ ５)π．] ７．B　[由题意可得大铁球的体积等于三个小球体积之和, 设大铁球的半径为r,可得 ４３πr ３＝ ４３π (６３＋８３＋１０３), 则r３＝１７２８＝１２３,则r＝１２．] ８．A　[由题意知,圆锥的体积等于球的体积,设球的半径 为R,则４３πR ３＝１３π×２ ２×１,解得R＝１,故球的表面积 为４πR２＝４π．] ９．B　[设球的半径为R,平面截球体所得的圆的半径为r, 则由题可得πr２＝π,解得r＝１,所以R＝ １２＋１２＝ ２, 所以球的体积为４π ３× (２)３＝８ ２π３ ． ] １０．B　[设球的半径、表面积、体积为R、S、V,扩大后的半 径、表 面 积、体 积 为 R′、S′、V′,S′S ＝２⇒ ４πR′２ ４πR２ ＝２⇒ R′ R( ) ２ ＝２⇒R′R ＝ ２ ,V′ V ＝ ４ ３πR′ ３ ４ ３πR ３ ＝ ２( ) ３＝２ ２．] １１．解析:由题设,若圆柱的高为h,则V＝４πh＝１６π,故h＝ ４,所 以 圆 柱 的 表 面 积 为 S＝４×２×２π＋２×π×２２ ＝２４π． 答案:２４π １２．解析:设 球 的 半 径 为 R,则 ４３πR ３× ７８ ＝ ２８π ３ ,解 得 R ＝２． 答案:２ １３．解析:设圆锥的母线长为l,底面 半径为r,高为h,根据题意可得: l＝２,πrl＝２π,则r＝１,∴h＝ l２－r２＝ ３,则 该 圆 锥 的 体 积 V＝１３πr ２×h＝ ３π３ ． 答案:３π ３ １４．解析:设圆锥的底面半径为r,因为三棱锥的轴截面为 等腰直角三角形,所以三棱锥的高为r,母线长为 ２r, 所以１ ３πr ３＝９π,解得r＝３,三棱锥的高为３,母线长为 ３ ２,则 三 棱 锥 的 侧 面 积 为S＝ １２ ×２π×３×３ ２＝ ９ ２π． 答案:９ ２π １５．解析:用一平面去截球所得截面为 圆,设小圆的半径为r,球的半径为 R,由题意,πr２＝π,得r＝１cm,又 因为球心到该截面的距离为１cm, 所以R＝ １２＋１２＝ ２,得球的体 积为４ ３πR ３＝４３π ２( ) ３＝８ ２３ πcm ３． 答案:８ ２ ３ π １６．解:设圆锥的底面半径为r,侧面母线长为l,圆锥的高 为h,则πrl＝２ ２π,因为l＝２ ２,所以r＝１,所以h＝ l２－r２＝ ７,所以圆锥的体积V＝１３πr ２h＝ ７π３ ． １７．解:(１)∵球的直径是６cm,可得半径R＝３cm,∴两个 半球的体积之和V球 ＝４３πR ３＝４３π×２７＝３６πcm ３,且 V圆柱 ＝πR２×h＝π×９×２＝１８πcm３,∴该“浮球”的体 积V＝V球 ＋V圆柱 ＝３６π＋１８π＝５４π≈１６９．６cm３; (２)根据题意,上、下两个半球的表面积为S球表 ＝４πR２ ＝４×π×９＝３６πcm２,而“浮球”的圆柱筒侧面积S圆柱侧 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ９５ ＝２πRh＝２×π×３×２＝１２πcm２,∴１个“浮球”的表面 积S＝３６π＋１２π １０４ ＝４８ １０４ πm２,∴２５００个“浮球”的表面积 的和为２５００×４８ １０４ π＝１２πm２,∵每 平 方 米 需 要 涂 胶 １００g,∴总共需要胶的质量为１００×１２π＝１２００πg． 假期作业１２ 知能训练 １．C　[A、B、D都可能是该几何体的俯视图, C不可能是该几何体的俯视图,因为它的 正视图上面部分应为如图所示的矩形．] ２．A　[其正视图为矩形,侧视图为三角形, 俯视图中棱CC１ 可见,为实线,只有 A符合．] ３．A　 [观 察 图 形 可 知,俯 视 图 为 ,故 答 案 为 A．] ４．D　[由于几何体从左向右是圆柱、长方体,所以俯视图 从左向右是两个矩形,所以 D选项正确．] ５．B　[结合左视图的概念即可得B选项符合．] ６．A　[正方体的俯视图一定为正方形;三棱锥的俯视图可 能为三角形或四边形;四棱锥的俯视图可能为四边形或 者五边形;三棱柱的俯视图为三角形．] ７．B　[我们可得侧视图首先应该是一个正方形,故 D不正 确;中间的棱在侧视图中表现为一条对角线,故 A,C不 正确．] ８．C　[因为正视图和左视图等高,俯视图的宽 等于左视图正三角形的高,而主视图和俯视 图分别是正方形和正三角形,所以左视图的 长和宽不相等,所以左视图是矩形．] ９．A　[由 三 视 图 可 得 几 何 体 的 直 观 图 如 图 所 示,几何体由一个圆柱和八分之三个球组成, 且圆柱的高为１,底面半径为１,球的半径为１, 故这个几何体的体积V＝π×１２×１＋４３π×１ ３ ×３８＝ ３ ２π． ] １０．A　[三视图复原的组合体是下部是底 面边长为２的 正 方 体,上 部 是 棱 长 为 ２,高为１的正四棱锥,高为PO＝２的 四棱锥,O 为正方形ABCD 的中心,则 正 四 棱 锥 侧 面 的 高 度 PE ＝ OE２＋PO２＝ ５,所以组合体的表面 积为:５×２×２＋４×１２×２× ５＝２０＋４ ５． ] １１．解析:从正面、左面、上面看完全相同的是①④ 答案:①④ １２．解析:由题知该三棱柱底面正三角形的 高为２ ３cm,边长为２ ３ ３ ２ ＝４cm,高为 ４cm,则 体 积 V ＝ １２ ×４×２ ３×４ ＝１６ ３cm２． 答案:１６ ３cm３ １３．解析:由题意得,该三视图对应的三 棱锥为棱长为２正方体中三棱锥A －BCD,如图所示,所以该三棱锥的 体积为１ ３× １ ２×２×２×２＝ ４ ３． 答案:４ ３ １４．解析:由三视图易知:几何体是高和底面直径均为２的 圆柱体,所以几何体的侧面积为２×２π＝４π． 答案:４π １５．解析:由给定的三视图 知,这 个 几 何 体 是 底面直径为２,高为２的圆柱,上接一个底 面直径为２,高为 ３的圆锥构成的组合体, 如图,则有圆锥的母线为 １２＋ ３ ２ ＝２,圆 锥的侧面积S１＝π×１×２＝２π,圆柱的侧 面积S２＝２π×１×２＝４π,圆柱下底面圆面 积S３＝π􀅰１２＝π,这个几何体的表面是圆锥的侧面、圆 柱的侧面、圆柱的下底面组成,所以这个几何体的表面 积为S＝S１＋S２＋S３＝７π． 答案:７π １６．解:三棱柱的三视图如图所示: １７．解:(１)由三视图知,该几何体是由一个正四棱锥和一 个圆柱组成,则该几何体的体积V＝１３×８×８×３＋π ×３２×３＝６４＋２７π． (２)由题意碍,正四棱锥的斜高为 ４２＋３２＝５,则该几 何体的表面积S＝４× １２×５×８＋８×８＋２π×３×３＝ １４４＋１８π． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ０６ 　　　　假期作业１１　旋转体　　　　　　　　　　　 ●[每日一语]　不要抱怨人生起点太低,因为每天都是一个新的起点． 一、旋转体:由一个平面图形绕它所在平面 内的—条定直线旋转所形成的封闭几 何体叫做旋转体． 二、圆柱 １．概念:以矩形的一边所 在的直线为旋转轴,其 余各边旋转而形成的 曲面所围成的几何体 叫圆柱． ２．性质:①圆柱的两个底 面是半径相等且互相平行的圆,平行于底面 的横截面是与底面相同的圆; ②圆柱的母线平行且相等,都等于圆柱的高; ③过轴的截面(轴截面)是长为圆柱的 高、宽为底面的直径的矩形 ３．侧面展开图:圆柱的侧面 展开图是以底面周长和母 线长为邻边的矩形． ４．圆柱的表面积与体积:S圆柱侧 ＝２πrh; S圆柱表＝２πr(h＋r);V圆柱＝S底h． 其中r为圆柱底面半径,h为圆柱的高, S底 为圆柱底面面积． 三、圆锥 １．概念:以直角三角形 的一 直 角 边 所 在 的 直线为旋转轴,其余 各边 旋 转 而 形 成 的 曲面 所 围 成 的 几 何 体叫圆锥． ２．性质:①圆锥有无数条母线,它们有公共 点即圆锥的顶点,且长度相等; ②平行于底面的截面都是圆; ③过轴的截面(轴截面)是全等的等腰三 角形． ３．侧面展开图:圆锥的侧面展开 图是以顶点为圆心,以母线长 为半径的扇形． ４．圆锥 的 表 面 积 与 体 积:S圆锥侧 ＝πrl; S圆锥侧表 ＝πr(l＋r);V圆锥 ＝１３S底 h＝ １ ３πr ２h．其中r为圆锥底面半径,l为圆锥母 线,h为圆锥的高,S底为圆锥底面面积． 四、球体 １．概念:以半圆的直径所 在直线为旋转轴,半圆 旋转一周形成的旋转体 叫做球体,简称球． ２．性质:球心与截面圆心的连线垂直于截面． ３．球的表面积与体积:S球 ＝４πR２;V球 ＝ ４ ３πr ３．其中R 为球的半径． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．用一个宽２厘米、长３厘米的矩形卷一个圆 柱,则此圆柱的侧面积为(平方厘米)(　　) A．５　　　B．６　　　C．８　　　D．１２ ２．已知圆柱的轴截面是面积为１００的正方 形,则该圆柱的侧面积为 (　　) A．５０π B．２００ C．１００π D．１５０π ３．如图,在矩形 ABCD 中,AB ＝３,BC＝２,将矩形 ABCD 绕边AB 所在直线旋转一周 形成一个圆柱,则该圆柱的体积为 (　　) A．３π B．６π C．１２π D．１６π 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２２ ４．已知圆锥的底面半径为２,其侧面展开图 为一个半圆,则该圆锥的高为 (　　) A．２ ３ B．２ ２ C．４ D．５ ５．已知圆锥的底面半径为１,其侧面展开图 是—个圆心角为１２０°的扇形,则该圆锥 的表面积为 (　　) A．２π B．３π C．４π D．５π ６．某企业要设计一款由圆柱和 圆锥组成的油罐(如图)(厚 度忽略不计),已知圆锥的高 ４m,圆柱的高为６m,且底面 半径均为８m．则油罐的表面积(单位m２)为 (　　) A．(１６０＋３２ ５)π B．(１２８＋３２ ５)π C．１０２４π３ D． １０４８π ３ ７．把半径分别为６cm,８cm,１０cm 的三个 铁球熔成一个大铁球,这个大铁球的半 径为 (　　) A．１１cm B．１２cm C．１３cm D．１４cm ８．将半径为２、高为１的实心圆锥体熔成一 个球,则该球的表面积为 (　　) A．４π B．９π２ C．６π D． ３２π ３ ９．—个与球心距离为１的平面截球体所得 的圆面积为π,则球的体积为 (　　) A．８π２ B． ８ ２π ３ C． ３２π ３ D．８π １０．若球的表面积扩大为原来的２倍,则体 积是原来的 (　　) A．２倍 B．２ ２倍 C．９倍 D．１２倍 二、填空题 １１．已知一个圆柱的底面半径为２,体积为 １６π,则该圆柱的表面积为　　　　． １２．如图,一个球被切掉左上角 的１ ８ ,该几何体的体积是 ２８π ３ , 则 它 的 半 径 为 　　　　． １３．已知圆锥的母线长等于２,侧面积等于２π, 则该圆锥的体积等于　　　　． １４．轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直 角圆锥．若一个直角圆锥的体积为９π, 则它的侧面积　　　　． １５．用一平面去截球所得截面的面积为 πcm２,已 知 球 心 到 该 截 面 的 距 离 为 １cm,则该球的体积是　　　　cm３． 三、解答题 １６．已知圆锥的顶点为S, 底面圆心为 O,母线 SA的长为２ ２． 若圆 锥 的 侧 面 积 为 ２ ２π,求圆锥的体积 １７．如图,某种水箱用的“浮 球”,是由两个半球和一 个圆柱筒组成．已知球 的直径是６cm,圆柱筒 长２cm． (１)这种“浮球”的体积 是 多 少 (结 果 精 确 到 ０．１cm３)? (２)要在这样２５００个“浮球”表面涂一 层胶质,如果每平方米需要涂胶１００g, 共需胶多少? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 　　冬天,猫睡觉时总是把身体抱成一个球形,这其间也有数学知识,因为球形使身体 的表面积最小,从而散发的热量也最少． ３２