假期作业4 对数函数及指数函数与对数函数的应用-【快乐假期】2025年中职高一数学暑假作业

　　　　　　　假期作业４　对数函数及指数函数与对数函数的应用　　 　　 ●[每日一语]　出发总是美丽的,尤其是在一个阳光普照的清晨上路． 一、对数函数 １．定义:函数y＝logax(a＞０且a≠１)叫做 对数函数,其中x是自变量,函数的定义 域是(０,＋∞)． ２．对数函数的图象与性质 a＞１ ０＜a＜１ 图象 性质 定义域:　(０,＋∞) 值域:R 当x＝１时,y＝０,图象过定点　(１,０) 当x＞１时,y＞０; 当０＜x＜１时,y＜０ 当x＞１时,y＜０; 当０＜x＜１时,y＞０ 在(０,＋∞)上是　 增函数 在(０,＋∞)上是　 减函数 二、指数函数与对数函数的应用 １．形如y＝kax(k∈R 且k≠０,a＞０且a≠ １)的函数是指数型函数模型． ２．两种函数的的性质及增长速度比较 指数函数 对数函数 解析式 y＝ax(a＞１) y＝logαx 　　　　 单调性 在(０,＋∞)上单调　　　　 图象(随x 的增大) 逐渐与y轴平行 逐渐与x轴平行 增长速度 (随 x 的 增大) y的增长速度越 来越　　　　 y的增长速度 越来越　　　 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 一、选择题 １．下列函数中,是对数函数的是 (　　) A．y＝logxa(x＞０且x≠１) B．y＝log２x－１ C．y＝２lg８x D．y＝log５x ２．已知对数函数的图象过点 M(９,２),则此 对数函数的解析式为 (　　) A．y＝log２x　　　B．y＝log３x C．y＝log１ ３ x D．y＝log１ ２ x ３．函数f(x)＝ln(１－x)的定义域是(　　) A．(０,１) B．[０,１) C．(１,＋∞) D．(－∞,１) ４．函数y＝logax 的图象如图所示,则实数 a的可能取值为 (　　) A．５　　B．１５　　C． １ e　　D． １ ２ ５．某种放射性元素,１００年后只剩原来质量 的一半,现有这种元素１克,３年后剩下 (　　) A．３×０．５１００ 克 B．(１－０􀆰５％)３ 克 C．０􀆰９２５克 D．１０００．１２５克 ６．某种细菌每半小时分裂一次(一个分裂 为两个),经过３小时,这种细菌由１个可 繁殖 (　　) A．８个 B．１６个 C．３２个 D．６４个 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ７ ７．为改善环境,某城市对污水处理系统进行 改造．三年后,城市污水排放量由原来每 年排放１２５万吨降到２７万吨,那么污水排 放量平均每年降低的百分率是 (　　) A．５０％ B．４０％ C．３０％ D．２０％ ８．已知函数f(x)＝loga(x＋２),若其图象 过点(６,３),则f(２)的值为 (　　) A．－２ B．２ C．１２ D．－ １ ２ ９．对数函数y＝logax 与y＝logbx 的图象 如图,则 (　　) A．a＜０,b＜０ B．a＜０,b＞０ C．０＜a＜１,b＞１ D．０＜a＜１,０＜b＜１ １０．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引 入了一种以该昆虫为食物的特殊动物, 已知该动物的繁殖数量y(单位:只)与 引入时间x(单位:年)的关系为y＝ alog２(x＋１),若该动物在引入一年后的 数量为１００只,则第７年它们发展到 (　　) A．３００只　　　　B．４００只 C．６００只 D．７００只 二、填空题 １１．若对数函数y＝log(a＋１)x(x＞０)是增函 数,则实数a的取值范围是　　　　． １２．设f(x)＝ lgx,x＞０, １０x,x≤０,{ 则f[f(－２)]＝ 　　　　　． １３．«中华人民共和国国民经济和社会发展 第十一个五年规划纲要»提出,“十一 五”期间单位国内生产总值能耗降低 ２０％．如果这五年平均每年降低的百分 率为x,那么x满足的方程是　　　　． １４．函数y＝ln(３－x)＋ x－１的定义域为 　　　　　　． １５．在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最 大速度v(单位:km/s)和燃料的质量 M (单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量 m (单 位:kg)的 函 数 关 系 是 v ＝ ２０００ln１＋Mm æ è ç ö ø ÷．已知该火箭的最大速 度可达到１０km/s,则燃料质量与火箭 (除燃料外)质量的比值为　　　　． 三、解答题 １６．若loga ２ ５＜１ ,求a的取值范围． １７．某生态文明小镇２０２１年底人口为２０万 人,人均住房面积为８m２,计划２０２５年 底人均住房达到１０m２,如果该镇将每 年人口平均增长率控制在１％,那么要 实现上述计划,这个城市平均每年至少 要新增住房多少万 m２．(精确到１万 m２) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀤽 􀦽 􀦽 􀦽􀦽 　　 函数论的开拓者陈建功 　　陈建功,浙江绍兴人,历任复旦大学教授、杭州大学副校长．早年提倡国语讲学,自 编中文数学教材,是最早把西方现代数学较全面地引入中国的先驱之一,长期从事数学 的教学和研究工作,对函数论,特别是直交函数级数论、三角级数论、单叶函数论和函数 逼近论等方面理论问题的解决做出了重大贡献． ８ １７．解:(１)因为loga２＝m,loga３＝n, 所以am＝２,an＝３． 所以a２m－n＝a２m÷an＝２２÷３＝４３． (２)loga１８＝loga (２×３２)＝loga２＋loga３２ ＝loga２＋ ２loga３＝m＋２n． 假期作业４ 知识再现 二、２．(a＞１)　递增　快　慢 知能训练 １．D　[A、B、C都不符合对数函数的定义．] ２．B　[设 对 数 函 数 为y＝logax,则 ２＝loga９,∴a２ ＝９, ∴a＝３,∴y＝log３x．] ３．D　[由１－x＞０得x＜１．] ４．A　[∵ 函 数y＝logax 的 图 象 一 直 上 升,∴ 函 数y＝ logax 为单调增函数,∴a＞１．] ５．D　[设这种放射性元素,每年衰减率p,则(１－p)１００＝ １ ２ ,１－p＝ １００ １ ２ ,故１克这种元素,３年后剩余１×(１－ p)３＝ １００ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ３ ＝ １００ １ ８＝ １００ ０．１２５．] ６．D　[根据题意知,该种细菌分裂的个数满足指数函数 y＝２x,x∈N∗ ;经过３小时,细菌分裂６次,x＝６,细菌分 裂的个数为y＝２６＝６４．] ７．B　[设污水排放量平均每年降低的百分率为p,则有 １２５(１－p)３＝２７,故p＝２５＝０．４＝４０％． ] ８．B　[由 题 意 得３＝loga８,∴a３＝８,∴a＝２．∴f(x)＝ log２(x＋２),∴f(２)＝log２４＝２．] ９．C　[y＝logbx 为增函数,故b＞１,y＝logax 为减函数,故 ０＜a＜１．] １０．A　[将x＝１,y＝１００代入y＝alog２(x＋１)得,１００＝ alog２(１＋１),解得a＝１００,所以y＝１００log２(x＋１),所 以当x＝７时,y＝１００log２(７＋１)＝３００．] １１．解析:由a＋１＞１,得a＞０． 答案:(０,＋∞) １２．解析:f(－２)＝１０－２,f[f(－２)]＝lg１０－２＝－２． 答案:－２． １３．解析:由已知可得,每年的国民生产总值是上一年的１ －x,由题意可得(１－x)５＝１－２０％＝０．８． 答案:(１－x)５＝０．８． １４．解析:要使函数有定义,则 ３－x＞０ x－１≥０{ ,解得１≤x＜３,故 函数定义域为[１,３)． 答案:[１,３)． １５．解析:令v＝１０,则１０＝２０００ln １＋Mm( ) ,故 M m ＝e １ ２００－１． 答案:．e １ ２００－１ １６．解:loga ２ ５＜１ 即loga ２ ５ ＜loga ,当a＞１时,函数y＝ logax 在定义域内是增函数,所以loga ２ ５ ＜loga 总成 立;当０＜a＜１时,函数y＝logax 在定义域内是减函 数,由loga ２ ５＜loga ,得a＜２５ ,故０＜a＜２５． ,故a的取 值范围为０＜a＜２５ 或a＞１． １７．解:设这个城市平均每年要新增住房x万 m２,据题意可 得２０×８＋４x＝２０(１＋１％)４􀅰１０,所以x＝５０×１􀆰０１４ －４０≈１２．所 以 这 个 城 市 平 均 每 年 至 少 需 新 增 住 房１２万 m２． 假期作业５ 知能训练 １．C　[由题意 (５－２)２＋(y＋５)２ ＝５,即(y＋５)２＝１６, 解得y＝－１或y＝－９．] ２．C　[N(－１,２),|ON|＝ (－１)２＋２２＝ ５．] ３．D 　 [由 两 点 间 的 距 离 公 式,可 得 |AB| ＝ (－２－a)２＋(－１－３)２＝５,解得a＝１或a＝－５．] ４．A　[因点A(１,５),点B(－１,２),于是得线段AB 中点坐 标为 ０,７２( ) ,所以AB 的中点M 坐标为 ０, ７ ２( )．] ５．A　[AB 的中点D 的坐 标 为D(－１,－１)．∴|CD|＝ (－１－４)２＋[－１－(－２)]２＝ ２６．] ６．B　[设AC的中点为D,因为A(２,１),C(０,－１),所以, D(１,０),所 以 AC 边 上 的 中 线 长 | BD | ＝ (－２－１)２＋(３－０)２＝３ ２．] ７．A　[∵AB∥x轴,∴设B(a,１),又|AB|＝５,∴a＝－３ 或７．] ８．C　[|AB|＝ (－３－３)２＋(０＋２)２＝２ １０． |BC|＝ (－１－３)２＋(２＋２)２＝４ ２, |AC|＝ (－１＋３)２＋(２－０)２＝２ ２, |AC|２＋|BC|２＝|AB|２, 所以三角形ABC是直角三角形．] ９．C　[设A(x,０)、B(０,y),由中点公式得x＝４,y＝－２, 则 由 两 点 间 的 距 离 公 式 得 | AB | ＝ (０－４)２＋(－２－０)２＝ ２０＝２ ５．] １０．C 　 [因 为 | MN | ＝ (m－５)２＋(－１－m)２ ＝ ２m２－８m＋２６, 所以 ２m２－８m＋２６＝２ ５,即 m２－４m＋３＝０,解 得 m＝１或m＝３．] １１．解析:由A(－１,２),B(３,－４),利用中点坐标可知,线 段AB 的中点坐标 －１＋３２ ,２＋(－４) ２ ,( ) ,即(１,－１)． 答案:(１,－１) １２．解析:设B(x,y),AB 的端点A(３,４)及中点O(０,３), 则 ０＝３＋x２ ３＝４＋y２ ì î í ïï ï ,解得:x＝－３ y＝２{ ,故点B的坐标为(－３,２)． 答案:(－３,２)． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ３５