假期作业10 复数的概念和意义-【快乐假期】2025年中职高二数学暑假作业

三002 高二数类) 假期作业10复数的概念和意义 ●[每日一语]早成者未必有成，晚达者未必不达.不可以年少而自恃，不可以年老而自弃 知识再现一固旧知 1.复数的有关概念 4.复数的几何意义 (1)复数的定义：形如a+bi(a,b∈R)的数 (1)复平面：当用直角坐标平面内的点来表 叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是 示复数时，称这个直角坐标系为复平 a,虚部是b. 面，x轴为实轴，y轴为虚轴. (2)虚数单位：把平方等于一1的数用符号i 复平面 表示，规定=一1.我们把i叫做虚数 实轴 Z:a+bi 单位. (3)表示方法：复数通常用字母之表示，代数 虚轴 形式为x=a十bi(a,b∈R). (2)复数的几何意义 (4)复数集：①定义：全体复数所成的集合 ①任一个复数x=a十bi(a,b∈R)与复 ②表示：通常用大写字母C表示. 平面内的点Z(a,b)是一一对应的. 2.复数的分类：对于复数a+bi(a,b∈R) ②一个复数之=a+bi(a,b∈R)与复平 (1)当且仅当b=0时，它是实数； 面内的向量O立=(a,b)是一一对应的. (2)当且仅当a=b=0时，它是实数0； 5.复数的模 (3)当b≠0时，叫做虚数； (1)定义：向量OZ的模r叫做复数z=a十bi (4)当a=0且b≠0时，叫做纯虚数 (a,b∈R)的模或绝对值， 这样，复数之=a十bi可以分类如下： (2)记法：复数z=a十bi(a,b∈R)的模记为z 实数b=0, 或la+bi. 复数 虚数(b≠0)（当a=0时为纯虚数）. (3)公式：Ix|=|a+bi|=r=√a2+b 3.复数相等 (r≥0). 在复数集C中任取两个数a+bi,c+di 6.共轭复数 (a,b,c,d∈R), 如果两个复数的实部相等，而虚部互为 我们规定：a十bi与c十di相等的充要条 相反数，则这两个复数叫做互为共轭 件是a=c且b=d. 复数， 其中若之=a十bi=0则a=0且b=0. 复数之的共轭复数用乏表示，即当之= 解方程组即可 a+bi(a,b∈R)时，z=a-bi. ·21· 快乐假期 S00- 知能训练一提素养 1.已知i为虚数单位，则复数之=1一i的虚 9.已知m∈R,复平面内表示复数(m2一5m 部是 () -6)十(m2+m)i的点在虚轴上，则m= A.-1 B.1 C.i D.-i 2.复数x=3十4i对应的点Z关于原点的对 10.已知x2-y2+2xyi=2i,则实数x,y的 称点为Z1,则对应的向量O之为( 取值分别为 A.-3-4i B.4+3i 11.在复平面内，点A,B,C对应的复数分 别为1十4i,一3i,2,O为坐标原点. C.-4-3i D.-3+4i (1)求向量OA+O克和AC对应的复数； 3.复数z=(a2一2a)十(a2一a-2)i的共轭 (2)求平行四边形ABCD的顶点D对 复数x对应的点在虚轴上，则实数a的 应的复数 值为 A.a=0或a=2 B.a=0 C.a≠1，且a≠2 D.a≠1或a≠2 4.复数x=4一5i(其中i为虚数单位)，则 |x+2i= () A.7 B.5 C.7 D.25 5.在复平面内，复数1十2i(i为虚数单位) 对应的点位于 () A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.当号<m<1时，复数m(5十D-（(2+D在 12.已知复数x=√/2a十1十ai(a∈R),z=x 复平面内对应的点位于 ( ) x+(1-i). A.第一象限 B.第二象限 (1)若x为纯虚数，求a的值； C.第三象限 D.第四象限 (2)若x在复平面内对应的点在第二象 7.已知i为虚数单位，a+3i=一4十bi(a,b 限，求a的取值范围. ∈R),则|a+bi= () A.5 B.7 C.9 D.25 8.给出下列命题：①任意两个复数都不能 比较大小；②若z=a十i(a,b∈R),则当 且仅当a=0且b=0时，之=0；③若1,2 ∈C,且好十号=0，则x1=2=0;④若 x十yi=1十i(x,y∈C),则x=y=1.其 中， 是假命题.（填序号） 快乐驿站 教授说…… 有一天某教授突然停止授课，语重心长的对大家说： 如果坐在中间谈天的同学，能像坐在后面玩牌的同学那样安静的话，那么前面睡觉 的同学就不会受到干扰了 ·22·=022 客二教类恐) 10.解析：在等差数列中，S6,S1:一S6,Sg一S12成 7.A[因为a+3i=-4+bi(a,b∈R),所以a= 等差数列，S6=1,S12=4,.1,3,S18-4,成 -4,b=3,所以|a+bi|=1-4+3i|= 公差为2的等差数列，即S1。一4=5， √/(-4)+32=5.] .S1g=9. 8.解析：对①，当两复数均为实数时，可比较大小， 答案：9 故①错误：②显然正确：对③，若1=1,22=1，则 11.解：设等差数列{a.}的公差为d(d>0), 满足十=0，但1≠2，故③错误；对④，若x 由最小和最大的齿轮的齿数分别为12和28， =i,y=一i,则x十yi=1+i,但x≠y,故④错 可得a1=12,a=28, 误.故假命题为①③④. 即/a1=12 ,解得a1=12,d=4, 答案：①③④ (a=a1+4d=28 9.解析：复数对应点的坐标为(m2一5m一6，m2十 所以a2=16,a3=20,a4=24,即中间三个齿轮 m),若点在虚轴上， 的齿数分别为16,20,24. 则m2-5m一6=0，解得m=一1或m=6. 12.解：(1)设{an}的公比为q(q>1),且a2十a 答案：-1或6 =20, 10.解析：因为x2一y2十2xyi=2i,所以 a1=8.. (a19十a193=20, 1x2-y=0,。 a1g2=8. 2y=2,解得=1， y=1,ly=-1, 消去0得g十号号则g=2,或0=之（合 答案：1,1或-1，一1 11.解：(1)由已知得O八，O谚，O心所对应的复数分 因为q=2,a1=2所以{an}的通项公式an=2" (2)易知(-1)"-aa1=(-1)-1·22+1, 别为1+4i,-3i,2, 则OA=(1,4),OB=(0,-3),O心=(2,0)， 则数列{(-1)”-122+1}公比为-4. 所以Oi+O=(1,1),AC-O心-OA=(1,-4), 故a1a2-aa十…十(-1)l·a,a+ 故OA十O对应的复数为1十i,AC对应的复数 =24-2+22-2°+…十(-1)-1·22+ 为1-4i. -21=]=1-(-4门 1+4 (2)法一：由已知得，点A,B,C的坐标分别为 =-(1.2 (1,4),(0,-3),(2,0), 5· 假期作业10 则AC的中点坐标为（侵，2小，由华行四边形的 1.A[1-i的虚部是-1.] 性质知，BD的中点坐标也是（受2 2.A[,复数x=3十4i对应的点Z(3,4)Z关 0十x0= 3 于原点的对称点为Z,(一3，一4)对应的向量 2 2 设D(xyo),则 解得，=3， Oz=-3-4i.] 一3十0=2 (y%=7, 2 3.A[,复数=(a2-2a)-（a2-a-2)i对应 的.点在虚轴上，.a一2a=0,∴a=0或a=2.] 所以D(3,7),故点D对应的复数为3十7i. 4.B[.x=4-5i,.z+2i=4-3i,.z+2i 法二：由已知得，点A,B,C的坐标分别为 (1,4),(0,-3),(2,0) =4+(-3)=5.] 设D(x,y),则AB=(-1,-7), 5.A[复数1+2i在复平面内对应的点的坐标为 (1,2),该，点位于第一象限.] DC-(2-x,一y). 因为四边形ABCD为平行四边形， 6.D[,m(5+i)-(2+i)=(5m-2)+(m-1)i 所以AB=DC. 且号<m<15m-2>0,m-1<0, 所以 1=2-解得3 所以D(3,7), 因此，复数m(5十i)一(2十i)在复平面内对应的 -7=y·y=7. 点位于第四象限.] 故点D对应的复数为3十7i ·59· 飞壁快乐假职 900= 12.解：由.x=√/2a+1+ai, 8.解析：由条件知1十=a2-2a一3+(a2-1)i, 得|x=√/(2a+I)2+a=|a+1|, 又之1十2是纯虚数， 72a+120i≥- 所以a2-2a-3=0,a°-1≠0，解得a=3. 答案：3 a+1>2l=a+1. 9.解析：因为：十2i是实数，可设x=a一2i(a∈ R),由≈=4，得a+4=16, ∴.x=√2a+1+ai-(a+1)+(1-iD 所以a2=12,所以a=士2√5， =(2a+1-a)+(a-1)i. 所以=士2√5一2i. (1)若为纯虚数，则 W2a+1-a=0 答案：士2W3-2i a-1≠0 解得a=1+√2. 10.解析：由-产+x-3=0,可得5=1十5。 (2)若？在复平面内对应的点在第二象限， x2=1-5i, 则W2a+-a<0,解得a>1十2. (a-1>0 所以-r+x-3 假期作业11 =--1+5ix-1-5. 1.B[(2+ai)(1+i)=(2-a)+(a+2)i为实数， .a=-2.] 答案：-2x-1+5x-1- 2A=号-生 1.解：(+)+)1+ 3.B[由题意可得，(1-2i)-a(1-2i)+b=0, 所以b-a-3+(2a-4)i=0, [海-)？-a+0 故a=2,b=5,则|a+bi=2+5il=√29.] 4.c[由1+=8得=品=aP 2(1-i) （-+2a+n =1-i,因此=1十i,故||=√/1+1=√2.] -()任》 A--得0器-片 + 2 -3-号一一+所以在复 (2)1-4D0+iD+2+4i_5-3i+2+4 3+41 3+4i 内对度的点的坐标为（得，》所以三在复平西 =7+1=(7+i0(3-4iD=21-28i+3i+4 3+4i(3+4i)(3-4iD 25 内对应的点位于第一象限.] 6D[异a”D-1-i所以e- 2(1-i) 25-25i=1-i. 25 12.解：，a,B为实系数一元二次方程a.x2十bx十c √2，故A错误；之=1十i,故B错误：复数x的虚 =0的两个虚根， 部为一1，故C错误：因为(x-1)2=一1，所以 x2一2x十2=0的根为x=1士i,D正确.] x=二b土4ac-b ,不妨设a=m十i(m,n∈ 2a 7.C[因为2一i是实系数一元二次方程x2十 b.x十c=0的一个虚根，则该方程的另一个虚根 R).则g=m-i,8=。,8∈R,则a∈R, 为2+i, 即m-3m2n+(3m2n-n)i∈R, 由韦达定理可得2一)+(2+iD=一b .3mn=n3,n≠0，.n2=3m2, (2-i)(2+i)=c 即4ac-b=3b,ac=b, 所以 x=二b生3i,若a=二b3i 2a 2a ·60.