第02课 圆的认识（二）-2025年新六年级数学暑假自学课（北师大版）

第02课 圆的认识（二） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、教学目标。 （1）理解圆的对称性：学生能够认识到圆是轴对称图形，且具有无数条对称轴，每条对称轴均为直径所在的直线。 （2）掌握找圆心的方法：学生能够通过折纸等方法，如两条直径交叉或对折两次，找到圆的圆心。 （3）认识组合图形的对称性：学生能够理解圆与其他图形组合时，对称轴可能受到其他图形的影响，并能够找出组合图形的对称轴。 （4）理解圆的旋转对称性：学生能够认识到圆具有旋转对称性，即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合。 2、教学重难点。 重点：体会圆的对称性：理解圆是轴对称图形，且具有无数条对称轴，能够画出圆的对称轴。掌握找圆心的方法：通过折纸等方法，学生能够准确找到圆的圆心，理解圆心是圆对称性的关键。 难点：找组合图形的对称轴：在圆与其他图形组合时，学生能够分析对称轴的变化，并准确找出组合图形的对称轴。理解圆的旋转对称性：学生能够通过旋转操作，理解圆绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合的特性。 模块二 预习引导 一、圆的对称性 轴对称图形 圆是轴对称图形，具有无数条对称轴，每条直径所在的直线均为对称轴。 通过折纸活动，可验证圆的对称性。例如，将圆形纸片对折两次，折痕相交于圆心，两条折痕均为对称轴。 与其他图形的对比 常见轴对称图形的对称轴数量： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆：1条 长方形：2条 等边三角形：3条 正方形：4条 圆、圆环：无数条 二、找圆心的方法 对折法 将圆形纸片对折两次，两条折痕的交点即为圆心。 原理：两条直径的交点为圆心。 其他方法 两条直径交叉法：在圆上任意画两条直径，其交点即为圆心。 正方形对角线法（适用于内接正方形）：通过圆内接正方形的对角线交点确定圆心。 切线垂直法：通过圆的切线性质确定圆心（适用于更复杂的几何问题）。 三、组合图形的对称轴 圆与正多边形的组合 当圆与正多边形（如正方形、正六边形）组合时，组合图形的对称轴是经过圆心的正多边形的对称轴。 例如，圆内接正方形的对称轴为4条（与正方形的对称轴一致），圆内接正六边形的对称轴为6条。 对称轴的限制 组合图形的对称轴数量可能减少，取决于其他图形的对称性。例如，圆与长方形组合时，对称轴数量可能减少为2条（与长方形的对称轴一致）。 四、圆的旋转对称性 定义 圆绕圆心旋转任意角度后，均能与原图形重合，称为旋转对称性。 例如，将圆形纸片绕圆心旋转90°、180°等，图形不变。 与其他图形的对比 正方形绕中心点旋转90°后与原图形重合，旋转一周重合4次。 等边三角形绕中心点旋转120°后与原图形重合，旋转一周重合3次。 圆则旋转任意角度均重合，旋转对称性最强。 五、知识应用 解释生活现象 车轮设计：圆形车轮的圆心到地面距离恒定，行驶平稳。若为其他形状（如方形），车辆会颠簸。 井盖设计：圆形井盖的直径处处相等，不会掉入井口。若为方形，井盖可能因对角线长度大于边长而掉入。 数学思想渗透 化曲为直：在探究圆的周长和面积时，需将曲线转化为直线（如用绳测法或拼接法）。 极限思想：在推导圆的面积公式时，通过将圆分割为无数小扇形，近似为长方形，体现极限思想。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．下面四幅图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 2．圆环有（    ）条对称轴，平行四边形有（    ）条对称轴。 A．0；1 B．1；2 C．2；0 D．无数；0 3．乐乐打算用一张长8厘米、宽5厘米的长方形纸，剪若干个直径是1厘米的圆形笑脸，他最多能剪（    ）个这样的笑脸。 A．40 B．41 C．42 D．43 4．一张圆形纸至少对折（    ）次，才能找到圆心。 A．4 B．2 C．无数次 D．1 5．学过的几何图形中，有四条对称轴的图形是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．三角形 6．要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（    ）种画法。 A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，图中圆的直径是( )cm，长方形的长是( )cm，宽是( )cm，此图形有( )条对称轴。    8．圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴。 9．将圆沿着直径对折，两边正好完全重合，所以圆是( )图形，它有( )条对称轴。半圆有( )条对称轴。 10．如图，这个图形有( )条对称轴，已知长方形的宽是，则圆的半径是( )cm，直径是( )。 三、作图题 11．画出下面各图形的对称轴。（每个图形至少画出2条对称轴） 12．请用虚线画出如图每个图形中的所有对称轴。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02课 圆的认识（二） 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、教学目标。 （1）理解圆的对称性：学生能够认识到圆是轴对称图形，且具有无数条对称轴，每条对称轴均为直径所在的直线。 （2）掌握找圆心的方法：学生能够通过折纸等方法，如两条直径交叉或对折两次，找到圆的圆心。 （3）认识组合图形的对称性：学生能够理解圆与其他图形组合时，对称轴可能受到其他图形的影响，并能够找出组合图形的对称轴。 （4）理解圆的旋转对称性：学生能够认识到圆具有旋转对称性，即圆绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合。 2、教学重难点。 重点：体会圆的对称性：理解圆是轴对称图形，且具有无数条对称轴，能够画出圆的对称轴。掌握找圆心的方法：通过折纸等方法，学生能够准确找到圆的圆心，理解圆心是圆对称性的关键。 难点：找组合图形的对称轴：在圆与其他图形组合时，学生能够分析对称轴的变化，并准确找出组合图形的对称轴。理解圆的旋转对称性：学生能够通过旋转操作，理解圆绕圆心旋转任意角度后都能与原图形重合的特性。 模块二 预习引导 一、圆的对称性 轴对称图形 圆是轴对称图形，具有无数条对称轴，每条直径所在的直线均为对称轴。 通过折纸活动，可验证圆的对称性。例如，将圆形纸片对折两次，折痕相交于圆心，两条折痕均为对称轴。 与其他图形的对比 常见轴对称图形的对称轴数量： 角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆：1条 长方形：2条 等边三角形：3条 正方形：4条 圆、圆环：无数条 二、找圆心的方法 对折法 将圆形纸片对折两次，两条折痕的交点即为圆心。 原理：两条直径的交点为圆心。 其他方法 两条直径交叉法：在圆上任意画两条直径，其交点即为圆心。 正方形对角线法（适用于内接正方形）：通过圆内接正方形的对角线交点确定圆心。 切线垂直法：通过圆的切线性质确定圆心（适用于更复杂的几何问题）。 三、组合图形的对称轴 圆与正多边形的组合 当圆与正多边形（如正方形、正六边形）组合时，组合图形的对称轴是经过圆心的正多边形的对称轴。 例如，圆内接正方形的对称轴为4条（与正方形的对称轴一致），圆内接正六边形的对称轴为6条。 对称轴的限制 组合图形的对称轴数量可能减少，取决于其他图形的对称性。例如，圆与长方形组合时，对称轴数量可能减少为2条（与长方形的对称轴一致）。 四、圆的旋转对称性 定义 圆绕圆心旋转任意角度后，均能与原图形重合，称为旋转对称性。 例如，将圆形纸片绕圆心旋转90°、180°等，图形不变。 与其他图形的对比 正方形绕中心点旋转90°后与原图形重合，旋转一周重合4次。 等边三角形绕中心点旋转120°后与原图形重合，旋转一周重合3次。 圆则旋转任意角度均重合，旋转对称性最强。 五、知识应用 解释生活现象 车轮设计：圆形车轮的圆心到地面距离恒定，行驶平稳。若为其他形状（如方形），车辆会颠簸。 井盖设计：圆形井盖的直径处处相等，不会掉入井口。若为方形，井盖可能因对角线长度大于边长而掉入。 数学思想渗透 化曲为直：在探究圆的周长和面积时，需将曲线转化为直线（如用绳测法或拼接法）。 极限思想：在推导圆的面积公式时，通过将圆分割为无数小扇形，近似为长方形，体现极限思想。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．下面四幅图中，对称轴数量最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答。 【详解】 A．，有4条对称轴； B．，有3条对称轴； C．，有1条对称轴； D．，有无数条对称轴。 对称轴数量最多的是。 故答案为：D 2．圆环有（    ）条对称轴，平行四边形有（    ）条对称轴。 A．0；1 B．1；2 C．2；0 D．无数；0 【答案】D 【分析】圆是一个轴对称图形，有无数条对称轴。圆环是圆心相同、半径不同的两个圆组成，它也是个轴对称图形，所以也有无数条对称轴； 平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴。据此解题。 【详解】圆环有无数条对称轴，平行四边形有0条对称轴。 故答案为：D 3．乐乐打算用一张长8厘米、宽5厘米的长方形纸，剪若干个直径是1厘米的圆形笑脸，他最多能剪（    ）个这样的笑脸。 A．40 B．41 C．42 D．43 【答案】A 【分析】根据题意，沿长方形的长边可以剪8÷1＝8（个）圆形笑脸，沿宽边可以剪5÷1＝5（个）圆形笑脸，即每行剪8个，可以剪5行，根据乘法的意义，用8乘5即可求出剪出的笑脸总数。 【详解】8÷1＝8（个） 5÷1＝5（个） 8×5＝40（个） 则他最多能剪40个这样的笑脸。 故答案为：A 4．一张圆形纸至少对折（    ）次，才能找到圆心。 A．4 B．2 C．无数次 D．1 【答案】B 【分析】如下图，把圆形纸片沿不同的方向任意对折出两条直径（直径所在的直线即对称轴），这两条直径（折痕）的交点就是圆心。即一张圆形纸至少对折2次，才能找到圆心。 【详解】因为圆的任意两条直径的交点就是圆心，即由圆的两条直径可以确定圆心，所以一张圆形纸至少对折2次，才能找到圆心。 故答案为：B 5．学过的几何图形中，有四条对称轴的图形是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．圆 D．三角形 【答案】A 【分析】一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；折叠的这条直线叫做这个图形的对称轴，据此解答。 【详解】A．正方形有四条对称轴；符合题意； B．长方形有两条对称轴；不符合题意； C．圆有无数条对称轴；不符合题意； D．等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，一般三角形没有对称轴，不符合题意。 学过的几何图形中，有四条对称轴的图形是正方形。 故答案为：A 【点睛】本题考查了对称轴的数量，明确常见平面图形的对称轴数量是解题的关键。 6．要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（    ）种画法。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此解答即可。 【详解】 A．，只要一条对称轴，不符合题意； B．，有无数条对称轴，符合题意； C，，只有一条对称轴，不符合题意； D．，只有一条对称轴，不符合题意。 要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第种画法。 故答案为：B 【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置。 二、填空题 7．如图，图中圆的直径是( )cm，长方形的长是( )cm，宽是( )cm，此图形有( )条对称轴。    【答案】 8 16 8 2 【分析】看图可知，圆的半径是4cm，半径×2＝直径，长方形的长＝圆的直径×2，长方形的宽＝圆的直径；一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴，据此确定对称轴的数量。 【详解】4×2＝8（cm）、8×2＝16（cm）    图中圆的直径是8cm，长方形的长是16cm，宽是8cm，此图形有2条对称轴。 8．圆有( )条对称轴，半圆有( )条对称轴，长方形有( )条对称轴。 【答案】 无数 1 2 【分析】一个图形沿一条直线对折后，折痕两旁的部分能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 圆的对称轴是每条直径所在的直线，所以圆有无数条对称轴。 半圆的对称轴是圆心和弧的中点连线所在的直线，所以半圆只有1条对称轴。 长方形的对称轴是每组对边中点所在的直线，所以长方形有2条对称轴。 【详解】如图：                 圆有无数条对称轴，半圆有1条对称轴，长方形有2条对称轴。 9．将圆沿着直径对折，两边正好完全重合，所以圆是( )图形，它有( )条对称轴。半圆有( )条对称轴。 【答案】 轴对称 无数 1 【分析】将一个图形沿着某条直线对折，左右两边能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是这个图形的对称轴；根据题意可知，沿着圆的一条直径对折，直径两边的半圆完全重合，说明它是轴对称图形，因为圆有无数条直径，所以它就有无数条对称轴；半圆只有1条对称轴，据此解答即可。 【详解】将圆沿着直径对折，两边正好完全重合，所以圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。半圆有1条对称轴。 10．如图，这个图形有( )条对称轴，已知长方形的宽是，则圆的半径是( )cm，直径是( )。 【答案】 1/一 5 10 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，如图：，这个图形有1条对称轴；长方形的宽等于圆的半径；长方形的长等于圆的半径的4倍，由此求出圆的半径，进而求出圆的直径。 【详解】，有1条对称轴； 半径＝长方形的宽＝5cm 直径：5×2＝10（cm） 如图，这个图形有1条对称轴，已知长方形的宽是5cm，则圆的半径是5cm，直径是10cm。 三、作图题 11．画出下面各图形的对称轴。（每个图形至少画出2条对称轴） 【答案】见详解 【分析】根据轴对称图形的意义，即在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，从而可以画出它们的对称轴（画法不唯一）。 【详解】如图： （画法不唯一） 12．请用虚线画出如图每个图形中的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤：（1）找出轴对称图形的任意一组对称点。（2）连结对称点。（3）画出对称点所连线段的中点的垂线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$