专题4 正比例和反比例-2025年小升初数学暑假专项提升（北师大版）

专题4 正比例和反比例 一、正比例 1、正比例的意义: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 2、字母表达式： 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。 3、判断两种量成正比例方法： （1）先想这两个量是不是相关联的量； （2）把两种数量关系写成=k的形式，再判断k是否一定，最后作出结论。 二、反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 2、字母表达式： 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为xy=k(一定)。 3、判断两种量成反比例方法。 （1）要先想这两个量是不是相关联的量； （2）把两种数量关系写成xy=k的形式，再判断k是否一定，最后作出结论。 三、正反比例异同点。 正比例 反比例 不 同 点 意义不同 两种量中相对应的两个数的比值一定，也就是商一定。 两种量中相对应的两个数的乘积一定。 变化方向不同 一种量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小）。 一种量扩大（或缩小），另一种量也随着缩小（或扩大）。 关系式不同 =k(一定)。 xy=k(一定)。 图像不同 一条通过点（0,0）的射线。 光滑的曲线。 相同点 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 四、成比例的理由。 可以写出数量之间的关系式（即表达式），通过判断这两种相关联量的定量去判断。 考点一：正反比例的意义和判断 一、判断题。 1.【易错题】（25春六下·江西上饶·期中）圆的面积和它的半径成正比例关系。（ ） 【答案】× 【解析】 圆的半径越长,它的面积就越大,会使人误以为圆的半径与它的面积成正比例关系。其实,圆的=π×半径,圆的面积与半径的比值不是一个定值,所以圆的面积与半径不成正半径比例关系。 【总结】 ①判断两种相关联的量是否成正比例关系,不能只看变化的方向是否相同,更重要的是这两种量的比值必须一定。 ②由圆的面积计算公式可推出, =π(一定)，所以圆的面积与半径的平方成正比例关系。 2.【易错题】（24春六下·江苏镇江·期末）时间和速度成反比例关系。（ ） 【答案】× 【解析】 解答此题时易受惯性思维影响,认为只要一提到时间和速度的关系问题,就默认总路程是一定的,从而造成误判。在判断两种量是否成正比例或反比例关系时,必须说明哪个量是一定的。 3.【易错题】（25春六下·江西抚州·期中）用方砖铺地,铺地面积一定时,方砖的边长和所需方砖的块数成反比例关系。（ ） 【答案】× 【解析】 由于方砖的面积×所需方砖的块数=铺地的面积，方砖的面积=边长×边长，则边长×边长×所需方砖的块数=铺地面积，边长×所需方砖的块数=。如果边长变化，也变化，即方砖的边长与所需方砖的块数的乘积不是一定的，所以方砖的边长与所需边长方砖的块数不成反比例关系。 【总结】当两种量是相关联的量时,必须乘积一定才能成反比例关系。 二、填空题 4.【易错题】（24春六下·浙江台州·期末）把一根木料锯成3段要6分钟，照这样计算，锯成6段要（ ）分钟。 【答案】15 【解析】每次时间一定，锯木料所用的时间和次数成正比例。 【错解】6÷3×6=12（分钟） 【正确解答】锯成3段，所用的时间为3-1=2次时间，6段位6-1=5次时间。 6÷（3-1）×（6-1）=15（分钟） 5.【易错题】（24春六下·安徽亳州·期末）用数学的眼光来看成语“立竿见影”是应用了本学期所学的（ ）知识，同一时间，同一地点，竹的高度和影长成（ ）比例。 【答案】比例，正 【解析】同时同地，物高与影长成正比例。 6.【易错题】（2春六下·河南洛阳·期末）修正带是通过两齿轮互相合进行工作的。其中小齿轮半径是5cm，大齿轮半径是10cm，大齿轮转动5圈，小齿轮转动（ ）圈。 【答案】10 【解析】两个齿轮所走的总齿数一定，齿轮的齿数与周长成反比例。 2×π×10×5÷（2×π×5）=10（圈） 7.【重点题】（25春六下·江西余干·期中模拟）如果x、y成反比例关系,当x=15时,y=5；当x=2.5时,y=（ ）。 【答案】30 【解析】因为x和y成反比例，所以x和y的积一定。 因为x和y两个数积是15×5=75，所以当x=2.5时，y=75÷2.5=30 8. 【重点题】（24春六下·辽宁铁岭·期末）已知x和y成正比例,y和z成反比例。请把下表填写完整。 x 120 180 240 y 2 5 z 8 4 【答案】见解析 【解析】考查正反比例的意义 因为x和y成正比例，所以x和y的比值一定，先求出x与y的比值，=120÷2=60； 180÷60=3,240÷60=4,5×60=300,6×60=360 x 120 180 240 300 360 y 2 3 4 5 6 z 8 4 因为y和z成正比例，所以y和z的乘积一定，先求出y与z的乘积，yz=3×8=4×6=24； 24÷2=12,24÷4=6,25÷5=2.4， x 120 180 240 300 360 y 2 3 4 5 6 z 12 8 6 2.4 4 9.【难点题】（25春六下·湖南岳阳·期中模拟）圆柱体体积公式：V=sh。当（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例；当（ ）一定，（ ）和（ ）成反比例。 【答案】答案不唯一（见下面解析） 【解析】考查正、反比例意义 （1）当S一定，V和h成正比例；或当h一定，V和s成正比例。 （2）当V一定，S和h成反比例。 10.（难点题）（24春六下·浙江温岭·期末）用弹簧秤称各种物品时,物品的质量与弹簧的长度变化情况如下图。 (1)弹簧本身的长度是（ ）cm。 (2)物品的质量每增加10g,弹簧长度就会增加（ ）cm。从图上看,物品的质量和弹簧伸长的长度成（ ）比例关系。 (3)用这个弹簧秤称60g的物品时(在弹管秤的测量范围内),弹簧的长度是（ ）cm。 【答案】（1）20；（2）2，正；（3）32 【解析】 （1）从图上可知，当称重质量为0千克是，弹簧的长度为20厘米，即弹簧本身的长度为20厘米。 （2）每增加10千克，弹簧长度增加2厘米； 从图上可知, 弹簧伸长的长度成射线，所以物品的质量和弹簧伸长的长度成正比例关系。 （3）用这个弹簧秤称60g的物品时(在弹管秤的测量范围内),弹簧的长度是60÷10×2=12（厘米），20+12=32（厘米） 三、选择题。 11.【重点题】（24春六下·山西大同·期末）下面说法错误的是（ ）。 A.海水的含盐率一定，所含的盐与海水的质量成正比例 B.圆锥的体积一定，底面积和高成反比例 C.修一条水底隧道，已修的千米数和未修的千米数成反比例 D.圆的周长和面积都会随着直径的变化而变化 【答案】C 【解析】 A.正确，因为盐的质量÷盐水的质量=含盐率（一定） B.正确，底面积×高=3倍圆锥体积（一定） C.错误，因为已修千米数+未修千米数=水底隧道全长（一定），和一定，不成比例 D.正确，因为圆的周长和面积是由圆的半径或直径决定的，所以直径变化，圆的周长和年级一定会变化。 12.（重点题）（24春六下·广西南宁·期末）下图表示的是（ ）之间的关系。 A.正方体的表面积与它的棱长 B.一个人的身高与他的年龄 C.全班人数一定，出勤人数与缺勤人数 D.铅笔的单价一定，铅笔的数量与总价 【答案】D 【解析】根据图像可知，为一条从0开始的一条射线，所以为正比例的图像。 四个选项中，A不成比例，因为正方体表面积÷棱长=6×棱长（变量）； B不成比例，身高和年龄两个量不相关联，所以不成比例； C不成比例，因为出勤人数+缺勤人数=全班人数，和一定，不成比例； D成正比例，因为铅笔总价÷数量=单价（一定），比值一定，成正比例。 13.【重点题】(2024春·滕州市期中)用同样的砖铺地，铺36平方米要用1260块，铺90平方米要用多少块?这道题里的（ ）是一定的。 A.总面积 B.每块砖的面积 C.砖的总块数 D.方砖边长 【答案】B 【解析】 用同样的砖铺地，说明砖的大小不变，即面积一定，砖的数量和铺地的面积成正比例。 答案为B。 14.（难点题）（25春六下·江西鄱阳·期中）如果m、n是两个相关联的量，且mn=12-mn,那么m与n（ ）。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.无法确定 【答案】B 【解析】 因为mn=12-mn，变形为2mn=12,即mn=6，即m和n的积一定，m和n成反比例关系。 15.【难点题】（24春六下·陕西凤县·期末）兄弟两人进行100m赛跑，当哥哥到达终点时，弟弟才跑到95m处。如果让弟弟在原起点起跑,哥哥后退5m,兄弟俩速度不变，那么先到达终点的是（ ） A.哥哥 B.弟弟 C.同时到达 D.无法判断 【答案】A 【解析】 时间一定，所跑的路程和速度成正比例。 兄弟二人的速度比为100:95 当哥哥跑了100+5=105米是，弟弟跑了105÷100×95=99.75（米） 所以当哥哥达到终点时，弟弟跑了99.75米，哥哥先到达终点。 16.（难点题）（24春六下·河北平山县·期末）根据图中信息，判断下列比例不成立的是（  ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶c＝d∶b C. D． 【答案】A 【解析】平行四边形面积=ab=cd，A选项中a∶c=b∶d，即ad=bc,与ab=cd不相符，A错误。 17. 【难点题】（24春六下·河北晋州·期末）甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（ ）。 A.增加20% B.减少20% C.增加25% D.减少25% 【答案】C 【解析】积不变，当一个因数扩大n倍，另一个因数就缩小n倍。 将甲减少20%，即甲数相当于缩小了1÷（1-20%）=1.25倍 所以乙就要扩大1.25倍，即增加1.25-1=0.25=25%，所以答案为C。 考点2：运用分析法解决与正、反比例有关问题 三、解答题。 18. 【重点题】（25春六下·广东揭阳·期中模拟）工厂里购进一堆煤,每天用煤量与所用天数如表所示。 每天用煤量/千克 8000 6000 4800 … 所用天数/天 30 40 50 … （1）表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，说一说这个积表示什么。 （3）所用天数与每天用煤量成反比例关系吗?为什么? 【答案】见解析 【解析】 （1）表中有每天用煤量与所用天数两种量,它们是相关联的量。 （2）8000×30=240000，6000×40=240000，4800×50 =240000，积相等。这个积表示这堆煤的总质量。 （3）所用天数与每天用煤量成反比例关系,因为所用天数×每天用煤量=这堆煤的总质量(一定)。 19. 【重点题】（25春六下·浙江乐清·期中模拟）下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 （1）看图填表。 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/m … （2）根据图象,求出这幅地图的比例尺。图上距离和实际距离成什么比例关系? （3）在这幅地图上量得甲、乙两城的距离是10cm，爸爸从甲城开车到乙城， 每小时行80km,几小时到达? 【答案】（1）见表格；（2）1:4000000，正；（3）5小时 【解析】 （1）填表如下： 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/m 40 80 120 160 200 240 280 … （2）通过图上两点数对（40,1），（80,2），分别表示图上距离1厘米相当于实际距离40千米，图上距离2厘米相当于实际距离80千米。 根据图上距离：实际距离=比例尺求出比例尺： 1厘米:40千米=1厘米：4000000厘米=1:4000000 2厘米:80千米=2厘米：8000000厘米=1:4000000 因为：=比例尺（一定），所以图上距离和实际距离成正比例关系。 （3）1厘米相当于实际距离40千米，所以10厘米相当于实际距离400千米。 路程：10×40=400（千米） 时间：400÷80=5（小时） 20.【重点题】（24春六下·湖北孝感·期末）菠萝用食盐水浸泡后,能抑制菠萝酶的活力,有助于抑制菠萝酶对口腔黏膜的刺激,同时让菠萝又更香甜可口。水果超市现要将食盐与水按1:8的比配制成食盐水来浸泡菠萝。 (1)现有食盐20克,需要水多少克? (2)700克水里需要加多少克食盐? 【答案】160；47.25 【解析】（1）解：设需要水x克。 20：x=1:8 解得x=160 （2）700克水里需要加y克食盐。 y:700=1:8 解得y=47.25 21.【重点题】（25春六下·江西乐平·期中）某品种花生10kg可以榨油4.2kg。照这样计算: (1)300kg花生能榨油多少千克? (2)要榨油840kg,需要这种花生多少千克? 【答案】126，2000 【解析】 （1）照这样计算，说明花生的出油率一定，油的质量和花生质量成正比例 300÷10×4.2=126（千克） （2）840÷4.2×10=2000（千克） 22.【难点题】（24春六下·湖北十堰·期末）一块正方形菜地,两条互相垂直的线段把它分成了四块。其中三块的面积分别是12m2、15m2和 24m2，第四块的面积是多少平方米? 【答案】30平方米 【解析】根据底高模型，高相等的四边形，底之比等于面积比 因为AF：FD=12:24=1:2，所以15：？=1:2 解得：？=30 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4 正比例和反比例 一、正比例 1、正比例的意义: 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。 2、字母表达式： 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用字母k表示它们的比值(一定)，正比例关系可以表示为=k(一定)。 3、判断两种量成正比例方法： （1）先想这两个量是不是相关联的量； （2）把两种数量关系写成=k的形式，再判断k是否一定，最后作出结论。 二、反比例 1、反比例的意义。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系。 2、字母表达式： 如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的积(一定)，反比例关系可以表示为xy=k(一定)。 3、判断两种量成反比例方法。 （1）要先想这两个量是不是相关联的量； （2）把两种数量关系写成xy=k的形式，再判断k是否一定，最后作出结论。 三、正反比例异同点。 正比例 反比例 不 同 点 意义不同 两种量中相对应的两个数的比值一定，也就是商一定。 两种量中相对应的两个数的乘积一定。 变化方向不同 一种量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小）。 一种量扩大（或缩小），另一种量也随着缩小（或扩大）。 关系式不同 =k(一定)。 xy=k(一定)。 图像不同 一条通过点（0,0）的射线。 光滑的曲线。 相同点 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 四、成比例的理由。 可以写出数量之间的关系式（即表达式），通过判断这两种相关联量的定量去判断。 考点一：正反比例的意义和判断 一、判断题。 1.【易错题】（25春六下·江西上饶·期中）圆的面积和它的半径成正比例关系。（ ） 2.【易错题】（24春六下·江苏镇江·期末）时间和速度成反比例关系。（ ） 3.【易错题】（25春六下·江西抚州·期中）用方砖铺地,铺地面积一定时,方砖的边长和所需块数成反比例。（ ） 二、填空题 4.【易错题】（24春六下·浙江台州·期末）把一根木料锯成3段要6分钟，照这样计算，锯成6段要（ ）分钟。 5.【易错题】（24春六下·安徽亳州·期末）用数学的眼光来看成语“立竿见影”是应用了本学期所学的（ ）知识，同一时间，同一地点，竹的高度和影长成（ ）比例。 6.【易错题】（2春六下·河南洛阳·期末）修正带是通过两齿轮互相合进行工作的。其中小齿轮半径是5cm，大齿轮半径是10cm，大齿轮转动5圈，小齿轮转动（ ）圈。 7.【重点题】（25春六下·江西余干·期中模拟）如果x、y成反比例关系，当x=15时，y=5；当x=2.5时，y=（ ）。 8. 【重点题】（24春六下·辽宁铁岭·期末）已知x和y成正比例,y和z成反比例。请把下表填写完整。 x 120 180 240 y 2 5 z 8 4 9.【难点题】（25春六下·湖南岳阳·期中模拟）圆柱体体积公式：V=sh。当（ ）一定，（ ）和（ ）成正比例；当（ ）一定，（ ）和（ ）成反比例。 10.【难点题】（24春六下·浙江温岭·期末）用弹簧秤称各种物品时,物品的质量与弹簧的长度变化情况如下图。 (1)弹簧本身的长度是（ ）cm。 (2)物品的质量每增加10g,弹簧长度就会增加（ ）cm。从图上看,物品的质量和弹簧伸长的长度成（ ）比例关系。 (3)用这个弹簧秤称60g的物品时(在弹管秤的测量范围内),弹簧的长度是（ ）cm。 三、选择题。 11.【重点题】（24春六下·山西大同·期末）下面说法错误的是（ ）。 A.海水的含盐率一定，所含的盐与海水的质量成正比例 B.圆锥的体积一定，底面积和高成反比例 C.修一条水底隧道，已修的千米数和未修的千米数成反比例 D.圆的周长和面积都会随着直径的变化而变化 12.【重点题】（24春六下·广西南宁·期末）下图表示的是（ ）之间的关系。 A.正方体的表面积与它的棱长 B.一个人的身高与他的年龄 C.全班人数一定，出勤人数与缺勤人数 D.铅笔的单价一定，铅笔的数量与总价 13.【重点题】(2024春·滕州市期中)用同样的砖铺地，铺36平方米要用1260块，铺90平方米要用多少块?这道题里的（ ）是一定的。 A.总面积 B.每块砖的面积 C.砖的总块数 D.方砖边长 14.【难点题】（25春六下·江西鄱阳·期中）如果m、n是两个相关联的量，且mn=12-mn,那么m与n（ ）。 A.成正比例 B.成反比例 C.不成比例 D.无法确定 15.【难点题】（24春六下·陕西凤县·期末）兄弟两人进行100m赛跑，当哥哥到达终点时，弟弟才跑到95m处。如果让弟弟在原起点起跑,哥哥后退5m,兄弟俩速度不变，那么先到达终点的是（ ） A.哥哥 B.弟弟 C.同时到达 D.无法判断 16.【难点题】（24春六下·河北平山县·期末）根据图中信息，判断下列比例不成立的是（  ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶c＝d∶b C. D． 17.【难点题】（24春六下·河北晋州·期末）甲、乙是两个成反比例的量，当甲减少20%时，乙（ ）。 A.增加20% B.减少20% C.增加25% D.减少25% 考点2：运用分析法解决与正、反比例有关问题 三、解答题。 18.【重点题】（25春六下·广东揭阳·期中模拟）工厂里购进一堆煤,每天用煤量与所用天数如表所示。 每天用煤量/千克 8000 6000 4800 … 所用天数/天 30 40 50 … （1）表中有哪两种量?它们是不是相关联的量? （2）写出几组这两种量中相对应的两个数的积，并比较积的大小，说一说这个积表示什么。 （3）所用天数与每天用煤量成反比例关系吗?为什么? 19.【重点题】（25春六下·浙江乐清·期中模拟）下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 （1）看图填表。 图上距离/cm 1 2 3 4 5 6 7 … 实际距离/m … （2）根据图象,求出这幅地图的比例尺。图上距离和实际距离成什么比例关系? （3）在这幅地图上量得甲、乙两城的距离是10cm，爸爸从甲城开车到乙城， 每小时行80km,几小时到达? 20.【重点题】（24春六下·湖北孝感·期末）菠萝用食盐水浸泡后,能抑制菠萝酶的活力,有助于抑制菠萝酶对口腔黏膜的刺激,同时让菠萝又更香甜可口。水果超市现要将食盐与水按1:8的比配制成食盐水来浸泡菠萝。 (1)现有食盐20克,需要水多少克? (2)700克水里需要加多少克食盐? 21.【重点题】（25春六下·江西乐平·期中）某品种花生10kg可以榨油4.2kg。照这样计算: (1)300kg花生能榨油多少千克? (2)要榨油840kg,需要这种花生多少千克? 22.【难点题】（24春六下·湖北十堰·期末）一块正方形菜地,两条互相垂直的线段把它分成了四块。其中三块的面积分别是12m2、15m2和 24m2，第四块的面积是多少平方米? 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$