2025年九年级数学中考复习《操作探究综合压轴题》考前冲刺专题提升训练　

2025年春九年级数学中考复习《操作探究综合压轴题》考前冲刺专题提升训练（附答案） 1．【实验操作】七年级同学“探寻古城墙、研读长安城”研学时，小明发现城墙某段道路（）两旁安置了两座可旋转探照灯，课后利用所学知识进行了综合实践学习．经观察，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，光束交于点． 【猜想验证】（1）如图1，转至某刻，，，则____； 【应用迁移】（2）灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度．若两灯同时开始转动，如图2所示，则在灯射线到达之前，灯转动几秒时，？ 【实践创新】（3）交相辉映处，饱读长安城，小明设想处各有一条彩色光线，始终分别平分，，若两条角平分线所在直线交于点，请你在图3中补全图形并探究与的数量关系，并说明理由．    2．综合探究 素材：一张矩形纸片． 操作：在边上取一点，把沿折叠，使点的对应点落在矩形纸片的内部． (1)如图1，将矩形纸片对折，使与重合，得折痕，当落在上，求的度数； (2)如图2，当落在对角线上时，求的长； (3)连接，矩形纸片在折叠的过程中，线段的长度是否有最小值？若有，请描述线段长度最小时点的位置，并求出此时的长． 3．综合与探究 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程． 操作体验 如图，是等腰直角三角形，，，D是的中点，E为边上的动点，以为直角边，E为直角顶点，向左侧作等腰直角三角形，连接，与直线交于点P． （1）如图1，当点E与点C重合时． ①求的长． ②求证：． 操作发现：（2）如图2，连接，若，求的长． 4．综合与实践——探索图形平移中的数学问题： 问题情境：如图1，已知是等边三角形，，点是边的中点，以为边，在外部作等边三角形． 操作探究：将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，．    （1）如图2，善思小组的同学画出了时的情形，求此时平移的距离； （2）如图3，点是的中点，在平移过程中，连接交射线于点，敏学小组的同学发现始终成立！请你证明这一结论； 拓展延伸： （3）在平移的过程中，直接写出当是以为顶角的等腰三角形顶点时，平移的距离． 5．综合与实践：数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则______，三条线段的数量关系为______； (2)探究迁移：如图（2），数学小组在图（1）的条件下进行如下操作：作于点N，交于点P，请写出线段之间的数量关系，并证明； (3)拓展应用：如图（3），数学小组在图（1）的条件下进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 6．综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】 （1）操作一：如图1，第一小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形内部的点M处，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠，使与重合，折痕为．根据以上操作，求； 【拓展探究】 （2）操作二：如图2，第二小组继续将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点恰好落在折痕上的点N处，连接交于点P．若，求线段的长； 【迁移应用】 （3）如图3，在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿，折叠，点B落在点M处，点D落在点G处，点A，M，G恰好在同一直线上，若，，，请求出线段的长． 7．综合与实践． 【实践操作1】如图1，在矩形纸片内绘制一条抛物线（部分图象），抛物线与交于点，，顶点在上，取的中点，连结，． 【观测发现】与抛物线的对称轴平行，度量得，． 【实践操作2】如图2，连结交于点，记点到，的距离分别为，，此时．将抛物线向右平移，当时停止平移． 【探究结论】 (1)求的长． (2)建立合适的直角坐标系，求平移前抛物线的表达式． (3)根据（2）中建立的坐标系，求平移后抛物线的表达式． 8．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在矩形中，点O是边的中点，连接．保持矩形不动，将从图1的位置开始，绕点O顺时针旋转得到，点A，D，C的对应点分别为点E，F，G．当线段与线段相交于点M（点M不与点A，B，F，G重合）时，连接，如图2． 初步思考：（1）如图2，“勤学”小组在旋转的过程中发现和始终全等，请你给出证明过程； 操作探究：（2）如图3，连接，“善思”小组在旋转的过程中发现与始终存在某种位置关系，请你判断并说明理由； 拓展延伸：（3）已知，，在旋转的过程中，当以点B，F，M为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出此时线段的长度． 9．【综合与实践】如图，抛物线与轴交于和两点，与轴交于点，直线的解析式为．点为线段上的一个动点，过作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为．探究线段的长度变化情况． （1）写出点的坐标，并求抛物线的解析式； 【类比操作】因为点在直线上，且点和的横坐标都为，所以把代入得，故点的坐标为． （2）用以上方法，请用含的式子表示点的坐标； 【探索发现】直线平行于轴，故线段的长度可以用点的纵坐标与点的纵坐标的差表示，线段的值随着点的运动而变化． （3）求线段的长度与的函数解析式，并求出它的最大值． 10．在综合与实践课上，王老师以“等腰直角三角形的折叠”为主题开展数学活动． (1)操作验算 如图1，是等腰直角三角形纸片，，D为上一点，．甲同学沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点E、点F． ①求的值，②若，求、的值； (2)迁移探究 如图2，是等腰直角三角形纸片，，D为线段上任意一点．乙同学沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕分别交射线、射线于点E、点F． 探究与的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用 如图3，是等腰直角三角形纸片，，丙同学在取点D，使，沿对折，使点C的对应点落在射线上，折痕交线段于点E，连结，求证：． 11．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转”为主题开展数学活动． (1)操作判断 如图①-②，D为等腰的斜边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点C 逆时针旋转到的位置．同学们通过观察，发现了以下结论∶①；②；③如图②，若，四边形 的面积为 ，④、、的数量关系是 ；    (2)类比迁移 如图④-⑥，D为等腰的直角边所在直线上的一个动点，连接，把绕着点 D 逆时针旋转到的位置，连接．请你类比问题（1）中的结论，选用图④、图⑤、图⑥中的任意一个图形完成下列问题： ①求 的值； ②试探究、、的数量关系，并证明你的结论；    (3)拓展应用 若，当点D在直线上运动至时，请直接写出的长和以A、B、D、E 为顶点的四边形的面积． 12．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． (1)【操作猜想】 操作一：对折正方形纸片，使边与边重合，得到折痕，把纸片展平，如图1； 操作二：继续沿折叠纸片，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，如图2． 根据以上操作：写出一个图2中与相等的角：______． (2)【探究证明】 如图3，延长与边交于点，连接． ①与的大小关系是______；线段，，之间的数量关系是______； ②求证：． (3)【拓展延伸】 如图3，若正方形的边长为，求点到线段的距离． 13．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．在正方形的边上选一点，沿折叠，使点落在正方形的内部． (1)操作判断 ①如图①，当点落在正方形的对角线上的点处时，连接并延长，交的延长线于点，则________． ②如图②，改变点的位置，当点落在正方形的内部任意一点处时，________． (2)迁移探究 如图③，当点落在正方形的对角线上的点处时，过点作于点，于点，连接，，试猜想，的数量关系并证明． (3)拓展应用 延长交正方形的一边于点，已知正方形的边长为8，当是等腰三角形时，直接写出的长． 14．在数学综合与实践活动课上，淇淇以“矩形的旋转”为主题开展探究活动． (1)操作判断 淇淇将两个完全相同的矩形纸片和拼成“”形图案，如图①．试判断：的形状为 ． (2)深入探究 淇淇在保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若， 探究一：当点恰好落在的延长线上时，设与相交于点，如图②．求的面积． 探究二：连接，取的中点，如图③． 求线段长度的最大值和最小值． 15．综合与探究 【操作发现】已知在中，，点为平面内任意一点，连接，，将绕点顺时针旋转得到． （1）如图1，点为内任意一点，请判断和的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 （2）如图2，若，点在内，连接，若，，求的长； （3）如图3，若，点在外，连接，若，当，，在一条直线上时，求的长． 16．综合与探究 问题情境： 数学课上，同学们用一副三角板进行操作探究性活动．如图1，在中，，，在中，，，是的中点，交于点． 初步分析： （1）善思小组的同学发现，请你证明这一结论． 深入探究： （2）乐学小组的同学将绕点按顺时针方向旋转，使经过点，得到图2，求旋转角的度数． （3）将图2中的沿射线方向平移得到，如图3，此时恰好经过点．若，，请直接写出平移的距离． 17．综合与探究 问题情境： 在数学活动课上，老师组织同学们探究直角三角形旋转前后特殊线段之间的数量关系．如图1，在中，，，为的中点，以点为旋转中心，将逆时针旋转到的位置，点的对应点分别为．连接分别为的中点，连接． 操作发现： （1）创新小组将旋转至点与点B重合的位置，如图2． ①判断四边形的形状，并说明理由； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明你的结论． 拓展延伸： （2）智慧小组继续探索，当时，若，请直接写出的值． 18．综合与探究：如图1，在与中，，，． (1)【操作判断】 将绕点旋转，如图2，当点，分别落在，上时，则______（填“>”“<”或“=”）； (2)【问题探究】 将绕点旋转，到如图3，连接，，请判断与的数量关系是否变化，并说明理由； (3)【拓展延伸】 将由图2的位置绕点顺时针旋转，所在直线与所在直线交于点，连接，在旋转过程中，试探究，，三者之间的数量关系，并说明理由． 19．综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H  分别在边上，且，若，则的长为___________ ②如图（2），在矩形中 ，，点E，F，G，H   分别在边上，且， 若，则的长为______ (2)迁移探究 如图（3），在中，，点D，E 分别在边上，且，试证明 (3)拓展应用 如图（4），在矩形 中，平分给交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G．当F 为的三等分点时，请直接写出的长． 20．在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，．并在边上任取一点（不与点， 重合），连接，然后将绕点逆时针旋转得到．如图① 小明发现：与的位置关系是__________，请说明理由： 【问题解决】1：连接，与相交于点．如图②，求证； 【问题解决】2：连接，与相交于点．如图②，求证； 【实践探究】 连接，与相交于点．如图②，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当．时，长的最大值； 参考答案 1．解：（1）如图所示，过点G作，    ∵， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴； （2）设灯转动几秒时， ∵灯、灯转动的速度分别是每秒2度、每秒4度 ∴， ∴， ∴当灯射线到达时，秒 ∴ 如图所示，当点G在左边时．    由（1）可得， ∴ 解得，不符合题意，舍去， 如图所示，当点G在右边时．    由（1）可得， ∴ 解得，符合题意， ∴灯转动45秒时，； （3）如图所示，    ∵，分别平分，， ∴， ∴ 由（1）可得，， ∴ ∴． 2．（1）解：连接， 由折叠得：，垂直平分. ∵在上， ∴， ∴， ∴是等边三角形. ∴， ∵， ∴. （2）依题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴. （3）点落在对角线上时，线段长度最小时的长为3. 理由如下：由三角形三边关系可得，，只有当三点共线时，线段长度最小，即当点落在对角线上时，线段长度最小，如图， 中，， 由折叠得：，，， 设，则，， 根据勾股定理得，， 则 解得 ∴线段长度最小时的长为3. 3．（1）①解：∵是等腰直角三角形，， ∴； ∵D是的中点，， ∴； ∵是等腰直角三角形，且， ∴， 由勾股定理得：； ②证明：∵，D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）如图，过点E作交于点G， ∵是等腰直角三角形，， ∴； ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴，， 在中，， ∵D是的中点，， ∴； ∴． 4．解：（1）如图，连接，    ∵是等边三角形，，点是边的中点， ∴， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移， ∴， ∵，， ∴， ∴平移的距离为； （2）∵是等边三角形，， ∴，， ∵将从图1的位置开始，沿射线方向平移，点，，的对应点分别为点，，， ∴，， ∵是等边三角形，，点是边的中点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）当是以为顶角的等腰三角形顶点时， ∵， ∴， 以点为圆心，为半径画圆，交射线于两点， 情况①：如图， ∵，， ∴为等边三角形， 此时， ∴， 则平移的距离为；    情况②，如图，    此时，点、、共线， 不能构成， 综上所述，平移的距离为． 5．（1）解：∵四边形是正方形， ． 沿折叠后得，沿折叠后得， ， ， ， 即． ， ． 三点共线． ， ， ． 故答案为：；； （2）解：， 证明：∵， ． ， ， ． 中，， ． 中，， ， ． 在和中， ， ， ∴； （3）解：如图，当点N落在上时，    ∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质可得， ， ． ， ∴； 如图，当N落在上时，    ∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得， 又， ， ∴， ， ， ， 综上，的长为或． 6．解：（1）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，． ，即， . （2）四边形是正方形， ． 由折叠的性质得：，，， ． 由（1）可知：， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， （ASA）， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， 解得：， ， ； （3）如图3中，在上取一点J，使得，过点J作于点T，交于点K，连接，得正方形， 当时，，， ， ， ， ， ， 由（1）可知：，则， ， ． 7．（1）解：∵点是的中点， ∴设， ∵四边形是矩形， ∴， ∵与抛物线的对称轴平行，， ∴，， ，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ∴； （2）解：如图，以所在直线为轴，射线方向为正方向，以所在直线为轴，射线方向为正方向，建立直角坐标系， ∵点是抛物线的顶点，由（1）得：，， ∴顶点坐标为，点坐标为 ∴设抛物线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴平移前抛物线的表达式为； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 平移前，由（1）得，， ∴， ∵， ∴平移前，， ∴； 设向右平移了， ∴平移后，，， ∵， ， 解得：， ∴抛物线向右平移了， ∴平移后抛物线的表达式为，即． 8．解：（1）如图： 点O是边的中点， ， 由旋转可得：， ， 在和， ， ； （2），理由如下： 由旋转得到， ， 由（1）得到， ， ， ， ； （3）当时，如图， 则， ， 四边形是矩形， ， ， ； 当，如图， ， ， 三点共线， 在中，， ， ， ， ， 即， ， 在旋转的过程中，， 综上所述，线段的长度为1或． 9．解：（1）∵直线的解析式为与轴交于点，即，， ∴点坐标为， 又∵点是抛物线与轴的交点； ∴， ∴抛物线解析式为， （2）∵点在抛物线解析式上， ∴当代入得， 即点 （3）∵P在线段上运动 ∴M点在N点上方， ∵， ∴ ∴当时，有最大值，的最大值为 10．解：（1）①由题意得：， ∵， ∴， ∴； ②过点D作交于点G， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过点D作交于点H，交于点K， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∵ 又∵， ∴； （3）过点A作的平行线交的延长线于点M， ∵，由（2）可得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 11．（1）解：③∵旋转， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴四边形 的面积为； 故答案为：2； ④当D在A的左侧时，如图①，连接，    同理可证， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当D在A、B之间时，如图②，连接，    同理可证， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴； 当D在A的右侧时，如图③，连接，    同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 综上，； 故答案为：； （2）解：①选择图④，过点E作于F，    ∵旋转， ∴，， 又， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 选图⑤，过点E作于F，    同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴； 选图⑥，过点E作于F，    同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴； ② 理由如下： 当点D在C的左侧时，如图④，过点E作于F，    ∴， 由①知，， ∴ ∴； 当D在C、B之间时，如图⑤，过点E作于F，    ∴， 由①知，， ∴ ∴； 当D在B的右侧时，如图④，过点E作于F，    ∴， 由①知，， ∴ ∴； 综上， （3）解：∵，当点D在直线上运动至时， ∴D在C的左侧或B的右侧， 当D在C的左侧时，如图，过点E作于F，连接，      同（2）①可证， ∴，， ∴， ∴， 四边形的面积为； 当点D在B的右侧时，如图，过点E作于F，连接，，    同（2）①可证， ∴，， ∴， ∴， 四边形的面积为； 综上，，四边形的面积为或，四边形的面积为． 12．（1）解：由折叠的性质得：， 故； 由折叠得， ∴， 故答案为：（或）； （2）①四边形是正方形， ，， 由折叠的性质得：，即，，， ， 在与中， ， ， ， ； 故答案为：； ②设，， 由折叠性质得：， ，，， 在中， ， ， 解得：， 即， （3）如图：过点作的垂线段，垂足为，则，   ， ， ， ， ， ， ， ． 点到线段的距离为． 13．（1）解：①如图①，过点作于点， 四边形是正方形， ，， 由折叠的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②如图②，过点作于点， 四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可知，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图③，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， （3）解：正方形的边长为8， ，， 由折叠的性质可知，， 当是等腰三角形时， 由题意可知，， 即只有时，等腰三角形存在， ①如图④，当点在边上时， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ； ②如图⑤，当点在边上时， 设，则，， 在中，， ， 解得：，即， ； 综上可知，当是等腰三角形时，的长为6或． 14．（1）解：两个完全相同的矩形纸片和， ， 是等腰三角形， ，．， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形； （2）探究一：，，， ， ， ，， ， ，， ， 在中，， ， 解得 ， ， 的面积 ； 探究二：连接，      ∵保持矩形不动的条件下，将矩形绕点旋转，若， ∴点在以为圆心，为半径的上运动，，， ∵， ∴的最大值为，最小值为， ∵取的中点， ∴的最大值为，最小值为． 15．解：（1）结论：， 理由：延长交于O，交于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）如图2中，连接． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A，D，E共线， 由（1）可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图3中， 由（1）可知，，， 设， ∴，， ∴， 解得： 或 （舍弃）， ∴． 16．解：（1）如图，连接， ， ∵，是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） ∵在中，，， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； （3）∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由（2）可得， 如图，作交于，作于， ， 由平移的性质可得，，，， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， ∵，， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平移的距离为． 17．解：（1）①四边形是菱形． 理由：如图1，连接． ∵在中，，P为的中点， ，，，， ， 是等边三角形， ， 由旋转的性质，得， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． ②． 证明：， ， ， ，M为的中点， ， ， ， ， 在中，， 是等边三角形，为的中点， ， ， 在中，， ． （2）如图2，当点在点上方时，连接，过点作于点． ∵，根据直角三角形三边的关系得出， 根据（1）的， ∴， 由②得， 则， ∴， ； 当点在点下方时， 同理可求得， ； 的值为或． 18．（1）解：将绕点旋转，如图2，当点，分别落在，上时， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：不变，， 证明如下：将绕点旋转到如图3， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3）解：①当时， 根据（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∵，， ∴， ∵， ∴， 如图4，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， 过点作， 在中， ∴， ∴， ∴ ． ②当时， 如图5，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴，， ∴， ∴， 过点作， 在中， ∴， ∴， ∴ ， ∴． 综上，或． 19．（1）解：如图1，设交于点O，过点G作于点J， 过点E作于点K， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形、四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：5； 如图2，设交于点O，过点E作为M，过点H作于点N， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：4； （2）证明：如图3， 过点C作交的延长线于点F， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ； （3）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 分两种情况： ①如图4，当时，点G在上， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ， 过点E作交于点I，则，， ∵， ∴， ，， ∵， ∴， ， ∴， ， ②如图5，当时，点G在上， ， 同①得：， ， ， 过点E作交于点I， 同①得：，， ∴，，， ， ， 综上所述，的长为或 ． 20．:解：操作发现：      解：连接并延长交于点M，连接，        ∵是直径， ， ， 由旋转的性质得， ∵， ， ， ∵是的半径， 与相切； 故答案为：相切； 问题解决1：   解：如图： 由旋转的性质得：， 即， ∵， ， ， 问题解决2： 如图：       ， ， ， ， 实践探究： 解：∵， ， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$