第04讲 三角形的内角（2个知识点+6个题型+思维导图+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（人教版2024）

第04讲 三角形的内角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【题型1 与角平分线有关的角度计算】 【例1】如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【变式1-2】如图，在中，，．若P为的角平分线，的交点，则 ；若P为内一点，则 ． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分线，AD，CE交于F点，当∠BAC＝80°，∠B＝40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数． 【题型2 三角板中的角度计算】 【例2】如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，将一副三角板放置在一组平行线内，其中，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【题型3 与方向角有关的角度计算】 【例3】某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距 海里． 【变式3-2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，则 ．    【变式3-3】如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条东西方向的路段上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且点到，两点的距离相等，试求出从小亮家（点）观测检测点，两处的视角的度数． 【题型4 与方向角有关的角度计算】 【例4】如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【变式4-1】如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外的点处．若，则的度数为（    ） A．115° B．100° C．105° D．95° 【变式4-2】如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，中，E是边上的点，先将 沿着翻折，翻折后的边交于点 D，又将沿着翻折，C点恰好落在上，此时 ，则中 ． 【题型5 直角三角形的判定】 【例5】在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在直角三角形中，，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图所示，在中，是边上的高，点E是上一点，交于点M，且，求证是直角三角形． 【变式5-3】如图，在中，，平分，且，求证：是直角三角形．    【题型6 直角三角形的性质】 【例6】如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 【变式6-2】如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【变式6-3】直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 1．在下列条件：①，②，③，④，⑤；⑥中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 7．如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 8．如图，巡逻艇在游轮A北偏东的方向上，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，游轮位于游轮A的正东方向，则的度数为 ． 9．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 10．在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则 的度数为 ． 11．如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形    12．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 13．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”． (1)在中，，是“三倍角三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 14．已知，中，平分交于点，，垂足为， ． (1)如图①，，求的度数； (2)若（1）中的，则 ；（用、表示） (3)如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由． 15．如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．    (1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数； (2)如图2，当都是的高时，求的度数； (3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 三角形的内角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：6大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 【知识点1 三角形的内角和】 1.三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°. 如图，在中，． 注意：三角形内角和定理适用于所有三角形，三角形最多有三个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角. 2.三角形的内角和定理证明：主要运用平行线的性质，将三个内角“转移”集中到一个顶点处,合并成一个角,再说明这个角是平角即可. 【知识点2 直角三角形的性质及判定】 1.性质：直角三角形的两个锐角互余. 表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示,直角三角形ABC可以写成Rt△ABC. 2.判定：有两个角互余的三角形是直角三角形. 【题型1 与角平分线有关的角度计算】 【例1】如图，在中，，分别为边上的高线和的角平分线，于点F，当，时，的度数为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理等．根据题意先计算出，再计算出，继而得到，再利用角平分线定义得， 再利用三角形内角和计算． 【详解】解：∵分别为边上的高线和的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1-1】在中，，是的高，是的角平分线，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义．根据已知条件用表示出和，利用三角形的内角和求出，再求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，最后根据角平分线的定义求出即可． 【详解】解：∵， 设， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1-2】如图，在中，，．若P为的角平分线，的交点，则 ；若P为内一点，则 ． 【答案】 【分析】若P为的角平分线，的交点，可求出及的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案；若P为内一点，可整体求出的度数，然后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：若P为的角平分线，的交点， ∵， ∴， ∴， ∴； 若P为内一点， ∵， ∴， ∴； 故答案为：112°，112°． 【变式1-3】如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的角平分线，AD，CE交于F点，当∠BAC＝80°，∠B＝40°时，求∠ACB、∠AEC、∠AFE的度数． 【答案】∠ACB=60°，∠AEC=70°，∠AFE=60° 【分析】根据三角形的内角和定理，可得∠ACB的度数，根据角平分线的定义，可得∠ECB的度数，根据三角形外角的性质，可得∠AEC的度数；根据直角三角形的性质，可得∠CFD的度数，根据对顶角的性质，可得答案． 【详解】解：由三角形的内角和定理，得 ∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-40°-80°=60°； 由CE是△ABC的角平分线，得 ∠BCE=∠ACB=×60°=30°， 由∠AEC是△BCE的外角，得 ∠AEC=∠B+∠BCE=40°+30°=70°； 由AD⊥BC，得 ∠FDC=90°， ∠CFD=90°-∠FCD=90°-30°=60°， 由对顶角相等，得 ∠AFE=∠CFD=60°． 【题型2 三角板中的角度计算】 【例2】如图，一把直尺的边缘经过一块三角板的直角顶点，交斜边于点，直尺的边缘分别交，于点，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由题意得，进而由平行线的性质得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-1】两个直角三角板如图摆放，其中，，，若是上一点且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板的有关计算，由，，，则，，又，则，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【变式2-2】如图，将一副三角板放置在一组平行线内，其中，下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题考查了三角板中的角度计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意得出，，再依次判断即可． 【详解】解：根据三角板的特点可得， 根据题意可得， ∴，故A错误； ，故D正确； ，故C错误； ，故B错误； 故选：D． 【变式2-3】如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查三角形的内角和以及三角板的度数，熟练掌握三角形的内角和是解题的关键．根据三角板的度数得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ． 故答案为：． 【题型3 与方向角有关的角度计算】 【例3】某哨兵在灯塔A处观察到船只B在灯塔的北偏西方向上，船只C在灯塔的北偏东方向上，船只B上的人观察到船只C在他的南偏东方向上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角的有关计算，平行线的性质，三角形内角和定理，根据题意可知：，，，由平行线的性质得出，进而可求出，最后根据三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【变式3-1】如图，一艘轮船由海平面上地出发，要到地的北偏东方向的处，已知轮船先沿正东方向行驶了100海里到达地，再沿北偏东方向行进，恰能到达目的地，那么，两地相距 海里． 【答案】100 【分析】本题主要考查方向角的定义，等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键．根据题意证明是等腰三角形即可得到答案． 【详解】解：由题意可得：，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】如图，点B在点A的西南方向，点C在点A的南偏东方向，点C在B的北偏东方向，则 ．    【答案】/85度 【分析】本题主要考查了方位角有关的计算，三角形内角和定理，先根据题意得到，，进而求出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【变式3-3】如图，是，，三个便民核酸采样点和小亮家（点）的平面图，已知，，三点在同一条东西方向的路段上，在的北偏东方向，在的北偏西方向，且点到，两点的距离相等，试求出从小亮家（点）观测检测点，两处的视角的度数． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是方向角、三角形的内角和定理，解题关键是正确理解方位角的定义． 根据在的北偏东方向，在的北偏西方向，得，，根据推得，再根据三角形内角和定理即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，，，， ，，， ， 在中，， ． 【题型4 与方向角有关的角度计算】 【例4】如图，在中，、的角平分线交于点，将沿折叠使得点与点重合，若，则的度数是（    ） A．100° B．110° C．120° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和是是解题关键．根据折叠得出，，再由三角形内角和和平角定义求出．根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的定义可得由此即可得答案． 【详解】解：由折叠可知：，， ∴，． ∴， 又∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【变式4-1】如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在外的点处．若，则的度数为（    ） A．115° B．100° C．105° D．95° 【答案】C 【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED，结合∠2的度数可求出∠CED的度数，在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE即可求出结论． 【详解】解：在△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝40°． 由折叠，可知：∠CDE＝∠C′DE，∠CED＝∠C′ED， ∴∠CED＝＝102.5°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝37.5°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE﹣∠C′DE＝180°﹣2∠CDE＝105°． 故选：C． 【变式4-2】如图，M，N分别是的边，上一点，将沿折叠，使点A落在边上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，再求出的度数即可得到答案； 【详解】解：，，， ， 故选：D． 【变式4-3】如图，中，E是边上的点，先将 沿着翻折，翻折后的边交于点 D，又将沿着翻折，C点恰好落在上，此时 ，则中 ． 【答案】81． 【分析】在图(1)的中，根据三角形内角和定理，可求得；结合折叠的性质和图(2)(3)可知： ，即可在中，得到另一个关于 度数的等量关系式，联立两式即可求得 的度数． 【详解】解：在中，，则①； 根据折叠的性质知：，； 在中，则有：， 即： ②； ①-②，得：， 解得 故答案为：81． 【题型5 直角三角形的判定】 【例5】在下列条件中不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判定三角形是否为直角三角形，即计算各个角的度数，有一角为直角就是直角三角形，若无直角就不是直角三角形． 【详解】解：A、，，所以，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； B、，,，所以是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意； C、，可得，，所以，解得，，，都不是直角，不能判定三角形是直角三角形，符合题意； D、，可得，，所以，解得，即是直角，能判定三角形是直角三角形，不符合题意 故答案为：C 【变式5-1】如图，在直角三角形中，，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查平行线的判定和性质，根据选项依次进行判断即可，熟练掌握平行线的判定和性质是解题关键 【详解】解：A、，不能判定，不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴，即，符合题意； C、，不能判定，不符合题意； D、，不能判定，不符合题意； 故选：B 【变式5-2】如图所示，在中，是边上的高，点E是上一点，交于点M，且，求证是直角三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键； 由是边上的高，根据直角三角形的两个锐角互余得；又根据对顶角以及等角的余角相等，可推出；然后通根据三角形内角和定理得，证明结论． 【详解】证明：∵是边上的高， ∴． 又∵，， ∴， ∴． 即是直角三角形． 【变式5-3】如图，在中，，平分，且，求证：是直角三角形．    【答案】见解析 【分析】证明，得到，即可证明是直角三角形． 【详解】证明：在中， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形． 【题型6 直角三角形的性质】 【例6】如图，在中，，平分交于点D，交边上的高于点F，若，则（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，角平分线的定义，根据直角三角形两锐角互余，得到，再根据较平县的定义求出，再根据直角三角形两锐角互余求出，由对顶角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-1】如图，在中，，于D． (1)求证：； (2)若平分分别交、于E、F，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适中． （1）由于与都是的余角，根据同角的余角相等即可得证； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，再根据角平分线的定义得出，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明． 【详解】（1）证明：，于D， ，， ； （2）证明：在中，， 同理在中，． 又平分， ， ， 又， ． 【变式6-2】如图，AC，BD为四边形ABCD的对角线，∠ABC＝90°，∠ABD+∠ADB＝∠ACB，∠ADC＝∠BCD． （1）求证：AD⊥AC； （2）探求∠BAC与∠ACD之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）∠BAC＝2∠ACD；理由见解析. 【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余、三角形的内角和定理、以及角的和差即可得； （2）先根据直角三角形的两锐角互余可得，再由题（1）的结论和推出，联立化简求解即可得. 【详解】（1）∵在中， 在中， ，即 ； （2），理由如下： 由题（1）知， . 【变式6-3】直角三角形，，点D为边上一点，为的高线， (1)求证：； (2)如图（2）：交直线于F，G为上一点，交直线于点K，交于点H，若，请你在不添加任何辅助线，直接写出与相等的角（不包括） 【答案】(1)见解析 (2)、和 【分析】本题主要考查直角三角形两个锐角互余和对顶角的知识， （1）由直角三角形两个锐角互余得出，且，则有结论成立． （2）根据题意可知，进一步得到，则有，即；由题意得，则；由题意得，结合，则有成立． 【详解】（1）证明：∵为的高线， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即； ∵为的高线，， ∴； ∵，， ∴ ∵， ∴， 故与相等的角有、和 1．在下列条件：①，②，③，④，⑤；⑥中，能确定是直角三角形的条件有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】根据直角三角形的定义，结合三角形的内角和定理分别求解各种情况中的三角形的内角的大小，从而得到答案． 【详解】：①∵，则，， ∴是直角三角形； ②∵，设， 则，解得：， ∴， ∴是直角三角形； ③∵， ∴， 则， ∴是直角三角形； ④∵， ∴， ， ∴为钝角三角形． ⑤∵， ∴， 则， ∴是直角三角形； ⑥∵， ∴， 解得：， ∴， ∴是直角三角形． 故选C 2．如图，在中，为边上的高，平分交于点，交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先求出的度数，再根据角平分线求出的度数，根据高线，求出的度数，由此得出的大小． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．如图所示，在中，，是两条高，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高的定义，直角三角形两个锐角互余，三角形的外角的性质，掌握以上知识是解题的关键．根据直角三角形中的两个锐角互余求得：，根据三角形的外角性质可得，即可求解． 【详解】解： 在中，，是两条高，， ，， ， 故选：C． 4．如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴． 故选：B． 5．如图，在中，点为和的角平分线的交点，连接，作的一条角平分线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，根据角平分线定义可得，，从而可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是和平分线， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴, 故选：A． 6．在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的倍多，则较小锐角的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，关键步骤是正确设定变量并准确列方程，最终求出较小的锐角度数．本题设定未知数，根据直角三角形两锐角互余的性质，建立方程求解较小的锐角度数． 【详解】解：设较小的锐角为，则较大的锐角为，   根据直角三角形两锐角之和为，得：   ， 解得：， 所以较小锐角的度数为． 故答案为：． 7．如图，点是内一点，、分别平分、，，则 ． 【答案】/122度 【分析】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形的内角和定理，并掌握整体法是解题的关键．利用角平分线定义得出，，再利用三角形内角和定理得出，则可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵、分别平分、， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，巡逻艇在游轮A北偏东的方向上，巡逻艇在游轮北偏东的方向上，游轮位于游轮A的正东方向，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方位角，三角形内角和定理等知识点，掌握三角形内角和定理成为解题的关键． 先求出、的度数，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴，， ∴． 故答案为：． 9．如图，在中，，，，分别在，上，将沿折叠得到，且，则的度数为 ． 【答案】/74度 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，根据三角形内角和可以求出的度数，由折叠性质得出，，再根据平行线性质得到，然后通过平角定义可得，最后由平行线的性质得出，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠性质可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10．在中，，若从顶点作高线和角平分线，与的夹角为，则 的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高和角平分线，三角形内角和定理，分和两种情况，分别画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 当时，如图②， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； 综上， 的度数为或， 故答案为：或． 11．如图，，垂足为E．．求证：是直角三角形    【答案】见解析 【分析】先根据直角三角形两锐角互余可得；再求出，进而得到，再判定即可． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， 是直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，垂直的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． 12．如图，在中，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质及直角三角形的性质． （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数即可；根据及三角形内角和定理可求出的度数，再由即可求出的度数； （2）先根据三角形内角和定理及角平分线的性质用、表示出的度数，再根据直角三角形的性质用表示出的度数，，化简即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称为“三倍角三角形”．例如，三个内角分别为的三角形是“三倍角三角形”． (1)在中，，是“三倍角三角形”吗？请判断并说明理由． (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1) 是“三倍角三角形”，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． （1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解：是“三倍角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴是“三倍角三角形”． （2）解：∵， ∴， 设最小的角为， ①当时，，满足题意； ②当时，另外两个角为，，满足题意； ③当时，，，（不合题意，舍去） 答：中最小内角的度数为或． 14．已知，中，平分交于点，，垂足为， ． (1)如图①，，求的度数； (2)若（1）中的，则 ；（用、表示） (3)如图②，（2）中的结论还成立么？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数． （2）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质即可得到的度数； （3）根据三角形的内角和及角平分线得到，再利用平行线的性质得到的度数，最后利用直角三角形的内角和即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：（2）中的结论成立，理由如下： ∵中，， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，外角的性质，平行线的性质以及直角三角形的两锐角互余等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 15．如图，已知：点分别在的边上，连接与交于点，．    (1)如图1，当都是的角平分线时，求的度数； (2)如图2，当都是的高时，求的度数； (3)如图3，当时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得 ，结合三角形的内角和定理，得出，，进而推出，即可求解； （2）根据，都是的高，可得出，进而得出，根据，则，求解即可； （3）根据三角形的外角定理可得，，根据，，得出，求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，都是的角平分线， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ， ∴ ∴； （2）解：∵，都是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$