第01讲 探索勾股定理（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假七升八数学衔接讲义（北师大版）

第01讲 探索勾股定理（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 勾股树（数）问题 典型例题二 用勾股定理解三角形 典型例题三 勾股定理与网格问题 典型例题四 勾股定理与折叠问题 典型例题五 以直角三角形三边为边长的图形面积 典型例题六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【典型例题一 勾股树（数）问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．9，12，15 B．8，15，17 C．12，18，22 D．5，12，13 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【例2】（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是 ．（填序号） 【例4】（2025八年级上·河南开封·专题练习）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【例5】（24-25八年级上·全国·阶段练习）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 5．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【典型例题二 用勾股定理解三角形】 【例1】（2025·贵州毕节·模拟预测）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【例2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，甲从地出发向北偏东方向走到达地，乙从地出发向南偏东方向走到达地．给出下列三个结论： ①地在地的南偏西方向处； ②地在地的南偏东方向处； ③若测得图上距离为，则，两地实际距离为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【例3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在中，，，边上的高的长为4，则边的长为 ． 【例4】（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【例5】（2025·安徽宣城·模拟预测）在中，，三条边长如图所示，求的值． 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，于点D，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（河南省焦作市2024-2025学年八年级上学期5月月考数学试题）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，.若，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．    4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在Rt中，，、、的边分别为、、． (1)若，求 (2)若，求的值． 5．（2025·山西太原·模拟预测）学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【典型例题三 勾股定理与网格问题】 【例1】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图每个小正方形的边长均为1，其中到点P的距离为的点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（   ） A． B．` C． D． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ． 【例4】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 【例5】（2025·陕西安康·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，求证：． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，△ABC的三个顶点都在格点上，则AC边上的高为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为 ； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，正方形网格每个正方形顶点叫格点，每个小正方形边长为1，请在图中画一个面积为10的正方形，且正方形的顶点都在网格的格点上． 5．（24-25八年级上·山西大同·期中）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【典型例题四 勾股定理与折叠问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【例4】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【例5】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 2．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 4．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【典型例题五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（24-25八年级上·新疆喀什·期中）如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【例3】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 【例4】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是 ． 【例5】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？ 1．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，若，则n的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 3．（2025八年级上·广西·专题练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 4．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，连接，以为边向外作正方形，求正方形的面积． 5．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，以各边长为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知，，． (1)求的长． (2)计算新月形（阴影部分）的面积和． 【典型例题六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·云南普洱·期中）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（    ） A．68 B．20 C．32 D．47 【例3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则 ． 【例5】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知，. （1）求AB的长；（2）求CD的长． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖南·期中）在自习课上，小芳同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠起来，她发现D、B两点均落在了对角线AC的中点O处，且四边形AECF是菱形．若AB＝3cm，则阴影部分的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．cm2 D．cm2 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为 ． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点．   【典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【例4】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是 ． 【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图内接于一个半径为5的半圆，，分别以，，为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    4．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，中华数学传统文化中的精髓：开方术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面（即），将其展开至点B距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·河南安阳·模拟预测）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 7．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 9．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点，，，，，都在长方形的边上，则长方形的面积为 ． 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长． 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 13．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 15．（24-25八年级上·福建三明·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，若，，求空白部分的面积； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积； (4)如图4，将八个直角边分别为、，斜边为的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则________． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 探索勾股定理（1大知识点+7大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 勾股树（数）问题 典型例题二 用勾股定理解三角形 典型例题三 勾股定理与网格问题 典型例题四 勾股定理与折叠问题 典型例题五 以直角三角形三边为边长的图形面积 典型例题六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系 知识点01 勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达 哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。 2.。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 2.勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【典型例题一 勾股树（数）问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）下列各组数中，不是勾股数的是（    ） A．9，12，15 B．8，15，17 C．12，18，22 D．5，12，13 【答案】C 【分析】本题考查了勾股数.根据勾股数的定义，即满足且都是正整数的一组数，判断即可. 【详解】解：A、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意； B、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数，符合题意； D、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数，不符合题意； 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（   ） A．1 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，找出规律是解题的关键．根据题意可知“生长”1次后，所有正方形的面积和是；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是；可求出“生长”2025次后形成图形中所有正方形的面积之和． 【详解】解：由勾股定理可知，“生长”1次，“生长”出的两个正方形面积和=原来正方形的面积，所有正方形面积和为； “生长”2次，“生长”出的四个正方形面积和=第一次“生长”出的两个正方形的面积，所有正方形的面积之和为； ……； ∴经过n次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是； ∴经过2025次“生长”后形成的图形中所有正方形的面积和是2026； 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·青海海东·阶段练习）下列三组数中：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③4，5，6．其中是勾股数的是 ．（填序号） 【答案】② 【分析】本题考查勾股数．勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义逐一进行判断即可． 【详解】解：①0.6，0.8，不是正整数，故0.6，0.8，1不是勾股数； ②，故5，12，13是勾股数； ③，4，5，6不是勾股数； 综上：是勾股数的是：②； 故答案为：②． 【例4】（2025八年级上·河南开封·专题练习）勾股定理记载于《周髀算经》中，其中“勾三、股四、弦五”为一组“勾股数”．对任意正整数，，当为偶数，，则，，为一组“勾股数”．若一组“勾股数”中的为偶数，且其中一个数为，则对应的数为 （写出一个符合题意的数即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了勾股数，分、、三种情况，根据勾股数的概念判断即可，熟练掌握勾股数的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，， 则， ∴，，是勾股数，符合题意； 当时，，则， ∴， 此时，不是正整数，不符合题意； 综上所述：对应的数为或， 故答案为：（答案不唯一）． 【例5】（24-25八年级上·全国·阶段练习）判断下列各组数是不是勾股数． (1)3，4，7； (2)5，12，13； (3)； (4)3，，5． 【答案】(1)不是 (2)是 (3)不是 (4)不是 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据勾股数的定义(凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数.)及勾股定理的逆定理计算判断即可． （1）分别计算三边的平方，即可完成判断； （2）分别计算三边的平方，即可完成判断； （3）根据勾股数不能为分数完成判断； （3）根据勾股数不能为负数完成判断； 【详解】（1）解：因为, 所以3，4，7不是勾股数； （2）因为, 所以5，12，13是勾股数； （3）因为勾股数不能为分数，所以不是勾股数； （4）因为勾股数不能为负数，所以3，-4，5不是勾股数． 1．（24-25八年级上·广东佛山·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 分别设正方形的边长为，得到，，，继而得到，即可得到答案． 【详解】解：如图，分别设正方形的边长为， 由勾股定理得，， 正方形的面积， 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北恩施·期中）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 3．（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）探究发现：很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个是偶数，如果将它写成，那么另外两个数分别可以写成，，如，，．从而可以得到下列顺序排列的等式： ①， ②， ③， ④， … 根据你发现的规律写出第⑨个等式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一些常用的勾股数，通过分析各个等式，找出规律是解决本题的关键，通过观察可知，所列出的等式都符合勾股定理公式，在观察各底数的特点，找到规律即可得出第⑨个等式． 【详解】解：， ， ， ， 第一个数的底数是，指数是2， ， ， ， ， 第二个数的底数是，指数是2， 第三个数的底数比第二个数的底数大1，指数是2， 第个等式为， 第⑨个等式为：， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·山东济南·期中）小明在探究勾股数的规律时关注到这样一组勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25…他发现这些勾股数数都是由一个大于1的奇数和两个连续的正整数组成． (1)小明根据他的发现写出了这样一组数：9、40、41，这是一组勾股数吗，请给出证明． (2)为了进一步探究这组勾股数的构成规律，小明设这样的勾股数为m、n、（m为大于1的奇数，且），他猜想是否可以用m表示出n．若可以，请帮小明完成他的猜想，若不可以，请说明理由． (3)当奇数时，请直接写出这组勾股数． 【答案】(1)9、40、41是一组勾股数，见解析 (2)，见解析 (3)17、144、145 【分析】本题考查勾股数，列代数式规律型：数字的变化类，关键是掌握勾股数的定义． （1）满足的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断； （2）由勾股数的定义得到，于得到； （3）由（2）的结论即可得到答案． 【详解】（1）解：9、40、41是一组勾股数，理由如下： ，， ， 、40、41是一组勾股数； （2）解：可以用表示出，理由如下： ， ， ； （3）解：当奇数时，， 这组勾股数是17，144，145． 5．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五．定义：如果三个正整数能够成为直角三角形的三条边长，那么这三个正整数称为一组勾股数．例如：3，4，5三个正整数，有，我们就说3，4，5是一组勾股数．请你认真观察3，4，5这组勾股数的变化规律并填空： (1)勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (2)勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④_______，_______，_______；…第n组：_______，_______，_______；（，且n为正整数） (3)勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④_______，_______，_______；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：_______，_______，_______．（，且n为正整数） 【答案】(1)12，16，20；，， (2)9，40，41；，， (3)10，24，26；，， 【分析】本题考查勾股数．熟练掌握勾股数的定义，是解题的关键． （1）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； （2）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； （3）先观察已有的勾股数，得到第④组，进一步总结规律求解即可； 【详解】（1）解：由题意可得： 勾股数①3，4，5；②6，8，10；③9，12，15；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （2）解：由题意可得： 勾股数①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④，，；…第n组：，，；（，且n为正整数） （3）解：由题意可得： 勾股数①4，3，5；②6，8，10；③8，15，17；④10，24，26；…请用含n的式子表示这类勾股数的规律：，，．（，且n为正整数） 【典型例题二 用勾股定理解三角形】 【例1】（2025·贵州毕节·模拟预测）在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·辽宁本溪·期中）如图，甲从地出发向北偏东方向走到达地，乙从地出发向南偏东方向走到达地．给出下列三个结论： ①地在地的南偏西方向处； ②地在地的南偏东方向处； ③若测得图上距离为，则，两地实际距离为． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题主要是方位角的问题，方位角的定义． ①根据方位角的定义，即可解答； ②根据方位角的定义，即可解答； ③根据方位角的定义，可得，m，m，再利用勾股定理，即可解答． 【详解】解：①由甲从地出发向北偏东方向走到达地，可得地在地的南偏西方向处．故①正确； ②由乙从地出发向南偏东方向走到达地，可得地在地的北偏西方向处；故②错误． ③由题意及图，可得，m，m， ∴m，若测得图上距离为，则，两地实际距离为． 故③正确． 故选B． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）在中，，，边上的高的长为4，则边的长为 ． 【答案】5或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形面积计算，掌握勾股定理是解题关键．分是锐角、钝角两种情况讨论，分别求出的长即可． 【详解】解：当是锐角时，过点作于点， ∵，边上的高的长为4， ∴， ∵， ∴， ∴； 当是钝角时，过点作的延长线于点， ∵，边上的高的长为4， ∴， ∴， 则， 故答案为：5或． 【例4】（2025·重庆大渡口·模拟预测）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【例5】（2025·安徽宣城·模拟预测）在中，，三条边长如图所示，求的值． 【答案】的值为5 【分析】本题考查勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：由勾股定理得 解得 ∴的值为5． 1．（2025·安徽宿州·模拟预测）如图，在中，于点D，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，设，利用是两个直角三角形的公共边，结合勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，则：， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：A． 2．（河南省焦作市2024-2025学年八年级上学期5月月考数学试题）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，.若，，，则的长为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，连接，由题意得出，，从而得出，即可得解． 【详解】解：如图：连接， ， 由题意可得：，， ∴， ∴， ∴（负值舍去，不符合题意）， 故选：C． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）“江南水乡琉璃瓦，白墙墨瓦凌霄开．”凌霄在园林绿化中随处可见．如图，凌霄枝蔓绕着附近的树干沿最短路线盘旋而上，如果把树干看成圆柱体，它的底面周长是，当一段枝蔓绕树干盘旋1圈升高时，这段枝蔓的长是 ．    【答案】20 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，根据题意画出图形，利用圆柱侧面展开图，结合勾股定理求出即可．利用勾股定理得出是解题关键． 【详解】解：由题意可得，展开图中，， 在中，． 这段枝蔓的长是． 故答案为：20． 4．（24-25八年级上·广东深圳·期中）在Rt中，，、、的边分别为、、． (1)若，求 (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)，. 【分析】本题考查的是勾股定理. （1）根据勾股定理计算即可； （2）根据勾股定理可得，，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：中，，、、的对边分别为、、，且， 设，则． ，即， 解得（负值舍去）， ，. 5．（2025·山西太原·模拟预测）学习材料1：将一边的中点M与三角形的一个顶点连接得到中线，中线将三角形分成两个小三角形，若其中一个小三角形绕中点M旋转后的三角形与另一个小三角形拼成等腰三角形，则称是关于点M的“奇妙三角形”． 学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， 设， 由题意得 ， 由 ，得 ，得 ，而 ，得 ． 这样我们得到了已知三角形三边求中线的公式． 通过以上材料的学习，完成下列学习任务： （1）等腰直角三角形是否“奇妙三角形”? (填：“是”或“否”)； （2）如图②，中，， ， N是的中点， 是关于点N的“奇妙三角形”．求的长． 【答案】学习材料2：；；；；（1）是；（2）或11 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，图形的旋转和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 学习材料2：根据前后步骤之间的逻辑关系，结合图形填空即可； （1）画出图形，由旋转的性质得：点共线，，则是等腰三角形，等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）由旋转的性质得：点共线，，，根据是关于点的“奇妙三角形”，得到或，据此分情况讨论，先根据求出，再由学习材料可得，代入计算即可． 【详解】解：学习材料2：以下材料需根据提供的思路填写空白处． 如图①， 已知各角、、所对的边为a、b、c， 点D是的中点，连接， 求的长(用含a、b、c的代数式表示)． 分析：作于H， ∵点是的中点， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在和中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 整理得：， ∴， 故答案为：；；；； （1）解：等腰直角三角形是“奇妙三角形”，理由如下： 在中，，，点是的中点， 将绕点旋转得到，如图②所示： 由旋转的性质得：点共线，， ∴是等腰三角形， ∴等腰直角三角形是“奇妙三角形”； （2）∵中，， ， N是的中点， ∴将绕点旋转得到，如图所示： 由旋转的性质得：点共线，，， ∵是关于点的“奇妙三角形”， ∴是等腰三角形， ∵，， ∴或， 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去）； 当时，则， ∴， 由学习材料可得， ∴， 解得（负值舍去） 综上， 或11． 【典型例题三 勾股定理与网格问题】 【例1】（24-25八年级上·福建南平·期中）如图每个小正方形的边长均为1，其中到点P的距离为的点是（    ）    A．A B．B C．C D．D 【答案】D 【分析】本题主要查了勾股定理．根据勾股定理求出点A，B，C，D分别到的距离，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点A到P的距离为2； 点B到P的距离为； 点C到P的距离为； 点D到P的距离为； 故选：D 【例2】（24-25八年级上·山西运城·期中）如图，在边长均为1的小正方形组成的网格中，点O，A，C都在格点上，以点O为圆心，的长为半径画弧，交网格线于点B，则线段的长为（   ） A． B．` C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 首先得到，根据勾股定理求出，进而求解即可． 【详解】如图所示， 由题意得， ∴ ∴． 故选：A． 【例3】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，这是边长为1的的正方形网格，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，则边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形面积等知识，设边上的高为h，由勾股定理求出的长，再由割补法求出的面积，即可解决问题． 【详解】解：设边上的高为h， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为， 故答案为：． 【例4】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在一个由4×4个边长为1的小正方形组成的正方形网络，阴影部分面积是 ． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理及正方形的面积的计算．结合网格图，利用勾股定理求正方形边长是解此题的关键．先利用勾股定理计算得长，再利用正方形面积公式即可求得答案． 【详解】∵为直角三角形，由勾股定理得： ， 故易知阴影为正方形， 故 故答案为： 【例5】（2025·陕西安康·模拟预测）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，先根据勾股定理求出，，，，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：由题图可得，， ， ， ， ， ∴，， 在和中 ∴， ∴． 1．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，以下正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用网格得，，，证明得，再由网格得，再由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图，连接，， 由图可得，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 2．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在2×2的方格中，小正方形的边长是1，△ABC的三个顶点都在格点上，则AC边上的高为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先计算出△ABC的面积和AC，再设AC边上的高为x，利用三角形面积公式可得答案． 【详解】解：△ABC的面积：， AC＝， 设AC边上的高为x，由题意得： ， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，关键是正确求出三角形面积，利用等积法求高． 3．（24-25八年级上·天津·期中）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，我们把每个小正方形的顶点称为格点，、、均为格点． （1）线段的长度为 ； （2）若点E、F分别在线段、上，满足，则当取得最小值时，请用无刻度的直尺画出点E的位置（保留作图痕迹），此时的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是理解题意，学会构造全等三角形解决问题． （1）利用勾股定理求解； （2）取格点，连接，，，交于点．则，点即为所求． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）如图，点即为所求． 方法：取格点，连接，，，交于点． 则，点即为所求 ， ， ，， ， ， ， ， 的最小值为． 当点与点重合时，的值最小． 故答案为： 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，正方形网格每个正方形顶点叫格点，每个小正方形边长为1，请在图中画一个面积为10的正方形，且正方形的顶点都在网格的格点上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的运用，积为10的正方形的边长是，是直角边长为1，3的两个直角三角形的斜边长，由此画图即可．解决本题的关键是找到所求的无理数是直角边长为哪两个有理数的直角三角形的斜边长． 【详解】解：如图，正方形即为所求， ， ． 5．（24-25八年级上·山西大同·期中）我们发现可以在正方形网格中构造图形解决一些数学问题． 例如：如图1，在正方形网格中（每个小正方形的边长都为1），构造，点A，B，C都在格点上，比较与的大小． 解：由勾股定理，得，，． 在中，，． 请仿照上述方法，在图2中构造图形，比较与的大小． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的三边关系等知识，熟练掌握勾股定理和三角形的三边关系是解题的关键．画出图形，再由勾股定理求出、、的长，然后由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】解：如图，构造，点D，E，F都在格点上． 由勾股定理，得，，． 在中，， ． 【典型例题四 勾股定理与折叠问题】 【例1】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，长方形纸片中，，将此长方形纸片折叠，使点重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则，根据勾股定理可求得，的长，从而不难求得的面积，本题考查了利用勾股定理与折叠的问题． 【详解】解：设，由折叠可知：， 在中， ， 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 【例3】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ． 【答案】 【分析】根据勾股定理逆定理反推出，是直角三角形，，再由折叠的性质得到，设，则，得到，解方程即可解答． 本题考查了勾股定理，直角三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵折叠落在直线上， ∴，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ． 故答案为：6． 【例4】（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图1，M，N分别为锐角边上的点，把沿折叠，点在所在平面内的点处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，则此时的长为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或． 【例5】（24-25八年级上·山西运城·期末）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理． (1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ． (2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理求得，进而设，则，，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：空白部分的面积边长为c的正方形的面积个直角三角形的面积， ∵，， ∴空白部分的面积； 故答案为：． （2）解：∵折叠， ∴，在中，∵，， ∴ ∴， 设，则， 在中， ∴ 解得： 即 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 2．（2025·广东汕头·模拟预测）如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质证明，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）有一块直角三角形纸片： （1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ； （2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 ； 或 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、一元二次方程的解法，解决本题的关键是根据勾股定理得到方程，解方程求线段的长度． （1）首先根据勾股定理求出，根据折叠的性质可知，，，设，则，，根据勾股定理可得方程，解方程求出的长即可； （2）过点作垂足在的延长线上，则四边形是矩形，设，则，，，根据勾股定理可得，解方程求出的值，即为线段的长；当平分时 ，点在的延长线上时，设，则，，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为的长度． 【详解】（1）解：在中，，， ， 由折叠的性质可知：， ，，， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：如下图所示，过点作垂足在的延长线上， 则四边形是矩形， ，， 设，则， ，， 由可知， ， 在中，， ， 解得：，(不符合题意，舍去)， 时，为直角三角形； 如下图所示，当平分时 ，点在的延长线上， 则，， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 当时，为直角三角形； 综上所述，若为直角三角形则的长为或 . 故答案为：或． 4．（24-25八年级上·天津宝坻·阶段练习）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 在直角三角形中，由勾股定理得： 解得：， ∴． 5．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 【典型例题五 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例1】（24-25八年级上·新疆喀什·期中）如图，阴影部分是一个正方形，该正方形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． 先求出正方形的边长，再根据勾股定理求出该直角三角形另一直角边的长度，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由图可知正方形的边长为， ∴正方形的面积为：， 故选：B． 【例2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形、面积分别记为，，．若．则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案； 【详解】解：在中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：， 即， ∵， ∴， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的面积为， 故选A． 【例3】（24-25八年级上·广东江门·期中）如图，在直线上有正方形，，，若，的面积分别为4和16，则的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查的是勾股定理、三角形全等的判定和性质．根据勾股定理求出，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：，在直线上有正方形，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵，的面积分别为4和16， 的面积， ∴， ∴则的面积为 故答案为：20． 【例4】（24-25八年级上·云南昆明·期中）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是4、6、3、4，则最大正方形E的面积是 ． 【答案】17 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算；设正方形A的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，正方形的面积是正方形的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，    ∴根据题意可得，，， ∴， ∵是正方形的面积， ∴正方形的面积为，即正方形的面积是正方形的面积和， 同理，正方形的面积为， ∴正方形的面积为， 故答案为：17． 【例5】（24-25八年级上·广东清远·期中）如图，等腰直角三角形的直角边长都是，以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆，则阴影部分的面积是多少（取）？ 【答案】 【分析】根据题意可得阴影部分的面积等于圆的面积减去，即可求解． 【详解】解：如图： ∵以等腰直角三角形的两直角边为直径分别画两个半圆， ∴， ∴阴影部分①②③④的面积相等， ∴阴影部分的面积； 答：阴影部分的面积共有． 【点睛】本题主要考查了求阴影部分面积，根据题意得到阴影部分的面积等于圆的面积减去是解题的关键． 1．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，若正方形A，B，C，D的面积分别为4，6，3，4，则正方形E的面积是（   ） A．14 B．17 C．19 D．34 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，，再根据，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图： 根据勾股定理的几何意义可得： ，， ∴， 即正方形E的面积是， 故选：B． 2．（24-25八年级上·重庆·期中）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，并以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，若，则n的值为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先求出，，再利用勾股定理可得，则可得，同样的方法可得，，归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为，其面积标记为， ∴，， ∵以为斜边作等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵以为边向外作正方形，其面积标记为， ∴， 同理可得：，， 归纳类推得：（其中，为正整数）， ∵， ∴， ∴，即， 故选：C． 3．（2025八年级上·广西·专题练习）如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西安康·期中）如图，在四边形中，，连接，以为边向外作正方形，求正方形的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，先利用勾股定理计算，再求解，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴正方形的面积为． 5．（24-25八年级上·江西九江·阶段练习）如图，以各边长为直径的三个半圆围成两个新月形（阴影部分），已知，，． (1)求的长． (2)计算新月形（阴影部分）的面积和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方． （1）根据题勾股定理即可解答； （2）根据即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴ （2）解： ． 【典型例题六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）】 【例1】（24-25八年级上·云南普洱·期中）一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（    ） A．10 B．13 C．7 D．14 【答案】A 【分析】由勾股定理解答． 【详解】解：由题意得， 直角三角形的斜边为： 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线，，上，且，之间的距离为2， ，之间的距离为3 ，则的值是（    ） A．68 B．20 C．32 D．47 【答案】A 【分析】过A、C点作l3的垂线构造出直角三角形，根据三角形全等求出BE＝AD＝3，再由勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理即可求出AC的长，最后得到AC2. 【详解】解：如图所示，过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABD+∠CBE=90°， 又∠DAB+∠ ABD=90°， ∴∠BAD=∠CBE， 在△ABD和△BEC中， ， ∴△ABD≌△BCE （AAS） ∴BE=AD=3， 在Rt△BCE中，根据勾股定理，得， 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 . 故答案是68. 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，此题要作出平行线间的距离，构造直角三角形，运用全等三角形的判定和性质以及勾股定理进行计算. 【例3】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 【例4】（24-25八年级上·全国·单元测试）定义：如图，点把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点是线段的勾股分割点．已知点是线段的勾股分割点，若，则 ． 【答案】5或13 【分析】本题考查了新定义“勾股分割点”、勾股定理；理解新定义，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解决问题的关键．分两种情况：①当为最大线段时，由勾股定理求出；②当为最大线段时，由勾股定理求出即可． 【详解】解：分两种情况： ①当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； ②当为最大线段时， ∵点是线段的勾股分割点， ； 综上所述：的长为5或13． 故答案为：5或13． 【例5】（24-25八年级上·广东河源·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．已知，. （1）求AB的长；（2）求CD的长． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由勾股定理解题； （2）由等积法解题． 【详解】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，由勾股定理得， （2） 【点睛】本题考查勾股定理、完全平方公式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）在中，，，，的对边分别是a，b，c，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可知，的面积为，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：中，，，，所对的边分别为a，b，c， ， ∵，， ∴， ，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求出ab的值． 2．（24-25八年级上·湖南·期中）在自习课上，小芳同学将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠起来，她发现D、B两点均落在了对角线AC的中点O处，且四边形AECF是菱形．若AB＝3cm，则阴影部分的面积为（　　） A．1cm2 B．2cm2 C．cm2 D．cm2 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到∠FCO＝∠ECO，进而证明∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°，2BE＝CE，利用勾股定理得出BC＝，再解得菱形的面积为2 ，最后由阴影部分的面积＝ S菱形AECF解题． 【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB＝3， ∴假设BE＝x，则AE＝3﹣x，CE＝3﹣x， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠FCO＝∠ECO， ∵∠ECO＝∠ECB， ∴∠ECO＝∠ECB＝∠FCO＝30°， 2BE＝CE， ∴CE＝2x， ∴2x＝3﹣x， 解得：x＝1， ∴CE＝2，利用勾股定理得出： BC2+BE2＝EC2， BC＝， 又∵AE＝AB﹣BE＝3﹣1＝2， 则菱形的面积是：AE•BC＝2 ． ∴阴影部分的面积＝ S菱形AECF＝ cm2． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理、含30°直角三角形的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在四边形ABCD中，，，，且四边形ABCD的面积为49，则AB的长为 ． 【答案】 【分析】在Rt△ACD中由勾股定理求出AC的长，再由四边形ABCD的面积求出BC的长，最后在Rt△ABC中由勾股定理求出AB的长． 【详解】解：∵，，， ∴Rt△ACD中由勾股定理可知：， ∵四边形ABCD的面积为49，且 ∴，代入数据：，，， ∴， 在Rt△ABC中由勾股定理可知：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理求线段长、勾股定理的应用等，本题属于基础题，计算过程中细心即可． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，已知，是斜边的中点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的周长及的长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为， 【分析】本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点． （1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证； （2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质、勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵是斜边的中点，， ∴是线段的垂直平分线， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴， 即. （2）解：∵是斜边的中点，， ∴. 在中，由勾股定理得， ∴. 又∵， ∴， ∴的周长为. ∵ ∴， 即， 解得：． 5．（24-25八年级上·江苏淮安·期中）定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为________； (2)如图2，已知点在线段上，且，，点在上，且，是线段的勾股分割点，求线段的长； (3)如图3，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点． 【答案】(1) (2)线段的长为或 (3)见解析 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题； （3）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，， ∴， 故答案为：； （2）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或； （3）证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵，   ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了新定义“勾股分割点”、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，本题综合性强，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【典型例题七 利用勾股定理证明线段平方关系】 【例1】（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，若，则下列式子成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由于在三角形中，由于，所以，根据勾股定理即可得到正确答案． 【详解】解：在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理，分清楚直角边与斜边是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 【例3】（24-25八年级上·四川成都·期中）定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝ ． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【例4】（24-25八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，以的三边分别向外作正方形，其面积分别用，， 表示，若，则的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】先求，面积，得等式即可． 【详解】， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理判断直角三角形问题，掌握勾股定理的逆定理，利用面积关系得到三角形三边具有两短边的平方和等于长边的平方是解题关键． 【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，于点D，求AD的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理. 由勾股定理得到，设，求出，计算即可. 【详解】∵ ∴,， ∴ 设，则， ∴ 整理得 解得 即 ∴. 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）用四个完全一样的直角三角板拼成如图所示的图形，其中每个直角三角板的斜边长都为，两直角边长分别为，，下列结论中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】四个一样的直角三角板围成的四边形为正方形，其中小四边形也为正方形，大正方形的面积可以由边长的平方求出，也可以由四个直角三角形的面积与小正方形面积之和来求，两种方法得出的面积相等，利用完全平方公式展开，合并后即可得到正确的等式． 【详解】解：∵，即， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，根据题意列出相应的等式是解答本题的关键． 2．（24-25八年级上·浙江温州·期中）2020年温州市实验中学数学文化节征稿文化节，小明利用古希腊医学家希波克拉底所画图形进行设计．如图内接于一个半径为5的半圆，，分别以，，为直径向外作半圆．若阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍，则的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC=a，BC=b，由勾股定理可求得a2+b2=102，由三角形的面积公式和圆的面积公式分别求出空白部分图形面积和阴影部分图形面积，利用阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍可求得ab，进而可求得△ABC的面积． 【详解】解：设AC=a，BC=b，由题意，AB=10， ∴a2+b2=102， 由图可知，空白部分面积为（）， 阴影部分面积= = = = ， ∵阴影部分图形面积之和是空白部分图形面积之和的3倍， ∴=3（）， 解得：， ∴△ABC==， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的面积公式、三角形的面积公式、勾股定理、解方程等知识，熟记面积公式，利用割补法和整体思想解决问题是解答的关键． 3．（24-25八年级上·河南漯河·期末）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边向外作四个正方形，它们的面积分别是，，，，在，，则的值是 ．    【答案】64 【分析】由勾股定理，得，于是，代入求解即可. 【详解】解：连接， 由题意得：，，，， ∵， ∴. ∴. ∴.    故答案为：64． 【点睛】本题考查正方形面积计算，勾股定理；由勾股定理得到线段之间的关系是解题的关键． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，是的中线，于点于点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据是的中线，得出，进而根据勾股定理得出，即可求解． 【详解】证明：∵于点于点， ∴ ∵是的中线， ∴， 又∵ ∴在中， 即． 5．（24-25八年级上·山东菏泽·期中）我们定义：如果两个等腰三角形顶角相等，且顶角顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为“手拉手全等模型”． (1)例如，如图1，与都是等腰三角形，其中，则________（________）； (2)类比：如图2，已知与都是等腰三角形，，，且，求证：； (3)拓展：如图3，，，，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明结论． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，见解析 【分析】（1）先证，再根据即可证明； （2）先证，再根据即可证明； （3）连接，先证，则可得，，进而可得． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵与都是等腰三角形， ∴， 又∵ ∴，即， 在和中，， ∴． 故答案为： ， （2）证明：∵， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 连接，如图所示： ∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 1．（24-25八年级上·广西河池·期末）下列各数中，能与组成一组勾股数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数，三个正整数若满足两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，那么这三个正整数叫做勾股数，据此逐项判断即可求解，掌握勾股数的定义是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴不是一组勾股数，该选项不合题意； 、∵， ∴是一组勾股数，该选项符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（　　） A．18 B．20 C．22 D．25 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理，根据正方形的面积公式得，，，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案．熟练掌握正方形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，分别以BD，OD，BO为直径向外作三个半圆，其面积分别为，若，则（    ） A．18 B．20 C．22 D．24． 【答案】C 【分析】根据勾股定理和圆面积公式可以得到S1=S2+S3，从而得到问题解答． 【详解】解：由题意可得： ∵在直角三角形BDO中， ∴S1=S2+S3， ∴S2=S1-S3=40-18=22， 故选：C． 【点睛】本题考查勾股定理的综合应用，熟练掌握圆面积公式和勾股定理的意义是解题关键． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）勾股定理是我国古代数学发展的重要起源，中华数学传统文化中的精髓：开方术、方程术等都与勾股定理密切相关，勾股定理在生活中有着极其广泛的应用．如图是某临街店铺在窗户上方安装的遮阳棚，其侧面如图所示，遮阳棚收拢紧贴墙面自然下垂时，遮阳棚棚骨外端C距离地面（即），将其展开至点B距离墙面的位置时（即水平距离），，则此时棚骨外端B离地面的垂直高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由勾股定理求出，则，再求出即可． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（2025·河南安阳·模拟预测）阅读材料：意大利著名画家达•芬奇用一张纸板经过以下操作验证了勾股定理．第一步：在一张长方形的纸板上画两个边长分别为，的正方形和正方形，连接，得到以为对称轴的六边形，如图①； 第二步：将长方形纸板沿折叠，沿四边形的边剪下六边形，再沿把剩余的纸板剪开，得到两张纸板Ⅰ，Ⅱ，如图②； 第三步：将纸板Ⅱ上下翻转后与纸板I拼成如图③的图形； 第四步：比较图①，图③中的两个六边形和六边形，由它们的面积相等可得结论． 解决问题：若设图①中六边形的面积为，图③中六边形的面积为，．小强同学得出了以下四个结论： ①；②；③；④．则其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】先分别分析、的构成并计算，再根据面积相等推导结论．本题主要考查勾股定理的验证，利用图形割补后面积不变建立等式是解题的关键． 【详解】解： 是由边长为的正方形、边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积分别为、，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故①错误． 是由边长为的正方形和两个全等的直角三角形组成，正方形面积为，直角三角形面积为，两个就是， ∴，故②错误． ∵操作过程只是裁剪、翻转、拼接，面积不变， ∴，即， 化简可得，故③④正确 ， 故选：B． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，3，4，5；5，12，13；7，24，25；…这类勾股数的特点如下：勾为奇数，若此类勾股数的勾为（，n为正整数），则股是 ．（结果用含n的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股数、规律型以及列代数式等知识，由题意可知为奇数，设股是a，则弦为，再根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵，n为正整数， ∴为奇数， 设股是a，则弦为， 根据勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A、B、C、D、E、F的面积之和为 ． 【答案】72 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用；根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，得到四个小正方形的面积之和等于最大正方形的面积，即可求解． 【详解】解：根据勾股定理和正方形的性质可知， ， ， ， ， 正方形A、B、C、D、E、F的面积之； 故答案为：72． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期中）如图，三角形纸片中，，，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．根据折叠的性质可得：，，，，进而证明，然后利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，点、、在同一条直线上，点在点，之间，点，在直线同侧，，，，连接，设，，，给出下面三个结论：①；②；③；④，上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查了勾股定理三角形，全等的判定和性质，三角形三边关系，①过点作于点，根据平行线间的距离相等可得，得出，根据中，为斜边，为直角边，得出，即可判断①；②根据全等三角形的性质得出，根据勾股定理得出，根据三角形三边关系得出，即可得出，判断②；③证明，根据勾股定理得出，求出，根据，得出，即可得出，判断③，④． 【详解】解：①过点作于点，如图所示：    ∵， ∴， ∴， ∵在中，为斜边，为直角边， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，故②正确； ③∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵ ∴， ∴，故④正确； 综上分析可知，正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 10．（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1，是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，，，，点，，，，，都在长方形的边上，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．延长与相交于点，延长与相交于点，首先利用勾股定理解得的值，再证明，易得，，进一步求得、的值，即可获得答案． 【详解】解：如图，延长与相交于点，延长与相交于点， ，，， ， 根据题意可知，，， ， ， 在和中， ， ， 同理可得， 则有，， 又， ， 长方形的面积． 故答案为：． 11．（24-25八年级上·湖南株洲·期中）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＝12cm，BC＝16cm，求CD的长． 【答案】CD=9.6cm 【分析】首先根据勾股定理求得直角三角形的斜边，再根据直角三角形的面积公式求得斜边上的高． 【详解】∵∠ACB=90°，AC=12cm，BC=16cm， ∴AB=20cm， 根据直角三角形的面积公式，得： ， ∴． 【点睛】此题要熟练运用勾股定理以及直角三角形的面积公式，直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边； 12．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）我们把满足方程的正整数，，，称之为“三维勾股数”，如：①，，，；②，，，；③，，，；④，，，；… （1）已知，，，是“三维勾股数”，请求出，的值． （2）若，，，是三维勾股数（为正整数），请直接用含的式子分别表示，． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题意给出的四组三维勾股数，可知，第一个数比第四个数小2，据此列出方程组计算即可； （2）根据（1）的方法以及已知定义，列出方程组，进而用含的式子分别表示，． 【详解】（1），，，是“三维勾股数”， ， ， 由已知数据可知，第一个数比第四个数小2，且第一个数与第四个数的和是中间两数的积， ，且为正整数， ， 解得， （2）， ， 即， 令， 解得， ． 【点睛】本题考查了新概念类比勾股数进行求解即可，找出题目中所给数据的规律是解题的关键． 13．（24-25八年级上·江西吉安·阶段练习）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，使点落到点位置，与交于点． (1)试说明：； (2)若，求的面积； (3)在（2）的条件下，若点为线段上任一点，于于．求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，全等三角形的性质与判定： （1）由长方形的性质和折叠的性质证明，进而可利用证明； （2）由全等三角形的性质得到，设，则，利用勾股定理建立方程，解方程求出，再根据三角形面积计算公式求解即可； （3）先利用勾股定理求出，再根据列式求解即可． 【详解】（1）证明：由长方形的性质可得， 由折叠的性质可得， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（24-25八年级上·广东深圳·期中）(1)如图1，四边形的对角线于点．判断与的数量关系，并说明理由． (2)如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，，交点为． ①判断，的关系，并说明理由． ②连接．若，，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析；(2)①，，理由见解析；② 【分析】（1）根据勾股定理得到 ，同理求出即可求解； （2）①证明即可得到；进而得到，②在四边形中，根据（1）求得的结论即可求出的长． 【详解】解：（1）∵，∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 即； （2）①∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，，； ② 解析：在四边形中，，由（1）知 ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴． 图2 【点睛】本题考查勾股定理，三角形全等的判定与性质，熟练掌握勾股定理，三角形全等的判定与性质是解题关键． 15．（24-25八年级上·福建三明·期中）【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现： 大正方形的面积小正方形的面积个直角三角的面积． 从而得数学等式：，化简证得勾股定理：． 【初步运用】 (1)如图1，若，，则________； (2)如图2，将图1中上方的两个直角三角形向内折叠，若，，求空白部分的面积； (3)如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该风车状图案的面积； (4)如图4，将八个直角边分别为、，斜边为的全等直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，若，则________． 【答案】(1)； (2)28； (3)24； (4) 【分析】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（4）中考查了图形面积关系，根据已知用，表示出，，，再利用求出是解决问题的关键． （1）分别求得小正方形的面积和大正方形的面积，进而可求解； （2）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可； （3）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据图形的特征得出四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形面积一个设为，从而用，表示出，，，得出答案即可． 【详解】（1）解：当，时， 小正方形的面积为，大正方形的面积为， ， 故答案为：． （2）解：由题意得： 空白部分的面积为； （3）解：如图3，由题意，，， 设，则，， 在中，由勾股定理得， 则， 解得， ∴该风车状图案的面积是 ； （4）解：将四边形的面积设为，将其余八个全等的三角形的一个三角形的面积设为， 正方形，正方形，正方形的面积分别为，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$