第03讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）2025年暑假新七年级数学衔接讲义（北师大版2024）

第03讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 倒数 典型例题二 两个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 有理数乘除法的实际应用 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点02 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点03 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【典型例题一 倒数】 【例1】（2025·山东济宁·模拟预测）的倒数的是（   ） A．3 B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，数轴上点，，表示的数分别为，，．点表示的数与互为倒数．下列四个点中，点最接近（    ）    A．点 B．点 C．点 D．原点 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）的绝对值是 ，倒数是 ． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是 ． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知a与2互为相反数，b与互为倒数． (1)则 ， ． (2)已知，求的绝对值． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下题解答过程： 计算： 解：， ． 根据阅读材料，完成下面的问题： (1)若，，则，的关系为__________（选填字母）； A．绝对值相等    B．互为倒数    C．互为相反数 (2)计算：． 【典型例题二 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 【例3】（24-25七年级上·云南文山·期中） ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 1．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【例2】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则A、B、C内的三个数的乘积为 ． 【例4】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 1．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（2025·河北·模拟预测）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列运算过程中： ①； ②； ③； ④． 错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例3】（24-25七年级上·福建漳州·单元测试）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按以上规律请计算：的值是 ． 【例4】（2025七年级上·广东汕头·专题练习）简便计算 (1) (2) 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 3．（2025·河北唐山·模拟预测）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 4．（2025·河北保定·模拟预测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（2025·河南开封·模拟预测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） 5 △ 7 14 A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是 ． 3．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 4．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）若规定，则的结果为（    ） A．9 B． C．81 D． 【例2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组10名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“-”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是（　　） 0 A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 4．（24-25七年级上·全国·期中）如图，小天有5 张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应如何抽取? 最小值是多少? (2)从中抽出三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，应如何抽取? 最大值是多少? 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例3】（24-25七年级上·山东威海·期中）按图中程序计算，若输入，则最后输出的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）某学校七年级8班共有56名学生，在一次数学测试中以90分为标准，将超过90分的成绩记为正，不足90分的成绩记为负，刚好90分的成绩记为0，成绩统计结果如下： 人数 3 4 6 4 5 12 成绩 0 人数 2 5 4 6 1 4 成绩 (1)若85分以上为优秀，此次数学测试该班优秀的学生有多少名？ (2)请算出这次考试该班学生的平均成绩（精确到百分位）． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么 ． 利用上面的规律计算： ． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 4．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足条件，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】（24-25七年级上·山东济南·课后作业）已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0； （3）a b；    （4）ac bc； （5） ； （6） ． 【例4】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 1．（24-25七年级上·山西太原·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 3．（24-25七年级上·重庆奉节·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示： (1)在横线上填入“”或“”：______ 0，______ 0，______ 0 (2)在数轴上找出表示的点； (3)用“”将连接起来． 【典型例题九 有理数乘除法的实际应用】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【例2】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【例3】（2025·山西吕梁·模拟预测）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）截至2023年5月，我国已建成11批共145个国家节水型城市，地级及以上缺水城市全部建成了节水型城市，这些城市以创建国家节水型城市为契机，全面加强城市节水工作，形成了一批可复制、可推广的城市节水经验模式．凯凯学习节约用水知识后极度关注自己家里的用水情况，他记录了2024年上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨． (1)算出他们家上半年的月平均用水吨数． (2)如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整． 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 0 1．（2025·山东烟台·模拟预测）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）某人在一路口等待绿灯时看到车内导航显示如图信息：此路段限速，他等待的红绿灯显示红灯倒计时12秒，前方的红绿灯显示绿灯倒计时52秒，若他想通过下个红绿灯时无需停车等待且不超速，则行驶速度可能是（   ） A．11 B．12 C． D．14 【例2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 【例3】（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克20元的价格购进20千克草莓，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克30元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 1 8 2 4 5 售价/（元/千克） 该水果店销售完这批草莓是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？（损耗忽略不计） 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）我国古代《易经》一书中记载，远占时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，即从右往左依次排列的打结数分别为2，5，3……，猎人一共采集到的猎物数量为 个．（用十进制表示） 3．（24-25七年级上·北京·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示． 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计； 注2：以上计算取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点． (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为． ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）； ②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．（2025·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·山东日照·模拟预测）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量210度以下，每度价格元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价元 月用电量350度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为（元）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（   ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档， A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 6．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： ． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 9．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 10．（2025·北京·模拟预测）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 ；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 11．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 13．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图有理数在数a、b轴上的对应点如图所示，    (1)在数轴上表示； (2)用“”连接这五个数． (3)计算：． 14．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2) 画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 15．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 有理数的乘除运算（3大知识点+10大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 倒数 典型例题二 两个有理数的乘法运算 典型例题三 多个有理数的乘法运算 典型例题四 有理数乘法运算律 典型例题五 有理数的除法运算 典型例题六 有理数乘除混合运算 典型例题七 有理数四则混合运算 典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负 典型例题九 有理数乘除法的实际应用 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 知识点01 倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点02 有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点03 有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【典型例题一 倒数】 【例1】（2025·山东济宁·模拟预测）的倒数的是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”，熟练掌握倒数的定义是解题关键．根据倒数的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴的倒数是， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，数轴上点，，表示的数分别为，，．点表示的数与互为倒数．下列四个点中，点最接近（    ）    A．点 B．点 C．点 D．原点 【答案】D 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，倒数，数轴上两点之间的距离等知识点，熟练掌握倒数和数轴是解题的关键．由图可知，进而可得的倒数，于是可得答案． 【详解】解：由图可知：， 的倒数， 上述四个点中，点最接近原点， 故选：． 【例3】（24-25七年级上·北京·期中）的绝对值是 ，倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，倒数，熟练掌握绝对值，倒数． 利用绝对值，倒数的定义求解即可． 【详解】解：的绝对值是， ， 的倒数是， ∴的倒数是． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·全国·课后作业）求下列各数的倒数． (1)； (2)； (3)； (4)5 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义（乘积是1的两数互为倒数）是解答本题的关键． （1）由可得结论； （2）把化为，由可得结论； （3）把化为，由可得结论； （1）由可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数为：； （2）解：， ∵， ∴的倒数为：， 即的倒数为：； （3）解：， ∵ ∴的倒数是， 即的倒数是； （4）解：∵， ∴5的倒数是， 1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）因为，所以（   ） A．是倒数 B．和是倒数 C．和互为倒数 D．和和是倒数 【答案】B 【分析】本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解答本题的关键． 根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：因为，所以和是倒数， 故选：B． 2．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）小安和小何玩猜数字的游戏，小安心里想好了一个数并描述说：“这个数的绝对值等于它的相反数．”小何说：“我猜不到．”小安继续说：“它的倒数等于它本身．”小何说“我知道了！”，小安心里想的这个数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值以及倒数，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．根据绝对值等于相反数以及倒数等于本身即可得到答案． 【详解】解：负数和0的绝对值等于它的相反数，的倒数等于它本身， 故小安心里想的这个数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·河南周口·阶段练习）已知a与2互为相反数，b与互为倒数． (1)则 ， ． (2)已知，求的绝对值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查了相反数、倒数、绝对值非负数的性质，熟练掌握相反数、倒数的定义以及非负数的性质是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义求出a、b的值即可； （2）根据非负数的性质即可求出m、n的值，从而求出的绝对值． 【详解】（1）解：∵a与2互为相反数，， ， ∵b与互为倒数 ， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 的绝对值为1． 4．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）阅读下题解答过程： 计算： 解：， ． 根据阅读材料，完成下面的问题： (1)若，，则，的关系为__________（选填字母）； A．绝对值相等    B．互为倒数    C．互为相反数 (2)计算：． 【答案】(1)B (2) 【分析】本题主要考查了倒数的定义，有理数四则混合计算，有理数乘法分配律等等： （1）根据题意可得，再由乘积为1的两个数互为倒数可得答案； （2）仿照题意计算出的结果即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴，的关系为互为倒数， 故选：B； （2）解： ， ． 【典型例题二 两个有理数的乘法运算】 【例1】（2025·广东河源·模拟预测）计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，先确定积的符号，再将两数的绝对值相乘，即可求解． 【详解】解： 故选：B． 【例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义运算：，如．则：（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．根据已知条件中的新定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·云南文山·期中） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法运算，先算乘法，再算加法即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）怎样简便就怎样算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【分析】本题考查了有理数的运算，运算律，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘法，然后根据加法结合律进行同分母运算，最后算加法即可； （）先算括号内的除法，再算加法，最后算减法即可； （）根据加法结合律进行同分母运算，最后算减法即可； （）分别算括号内的加法，乘法和减法，最后算除法即可； （）先算乘法，然后通过乘法分配律进行简便计算即可； （）先算括号内的加法，最后算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 1．（24-25七年级上·北京·期中）有理数，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的表示的数的正负及实数的加减乘除法的符号法则．根据两个数的正负以及加减乘除法运算法则，对每个选择作出判断，得正确答案即可． 【详解】解：因为，根据数轴可知，或或， 则，所以选项A错误，不符合题意； ，所以选项B错误，不符合题意，C正确，符合题意； 当时，； 当时，； 当时，．所以选项D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（24-25七年级上·全国·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【答案】 【分析】由数轴得到，据此判断各式的大小． 【详解】解：由数轴可得， （1）两个负数相加，和仍为负数，故； （2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故； （3）两个负数的积是正数，故； （4）绝对值大的负数的平方也大，故； （5）由绝对值的意义可得； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法、乘法，乘方，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 3．（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)32 (2)6 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 【典型例题三 多个有理数的乘法运算】 【例1】（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）若“！”是一种数学运算符号，并且，，，，……，则的值是为（  ） A． B．99！ C．9900 D．2！ 【答案】C 【分析】本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧，关键是要理解“！”的运算规律．根据“！”的运算规律计算​即可得出本题的答案． 【详解】解：根据题目的运算规则可得：， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【例3】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）如图，是正方体包装盒的平面展开图，如果在其中的三个正方形A、B、C内分别填上适当的数，使得将这个平面展开图折成正方体后，相对面上的两数字互为相反数，则A、B、C内的三个数的乘积为 ． 【答案】0 【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法：一线隔一个，可得：B与0是相对面，C与是相对面，A与2是相对面，从而可得，，，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：B与0是相对面，C与是相对面，A与2是相对面， ∵相对面上的两数字互为相反数， ∴，，， ∴A、B、C内的三个数的乘积为， 故答案为：0． 【例4】（24-25七年级上·江苏扬州·期末）阅读下面题目的运算过程，并解决下列问题． 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)上述计算过程，在第_____步出现错误，本题运算的正确结果是______； (2)第①步的变形依据是____，第②步的变形依据是____；（填选项） （依据：A．加法交换律；B．乘法交换律；C．加法结合律；D．乘法结合律；E．乘法分配律） (3)运用上述解法，计算：． 【答案】(1)⑤，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算，乘方分配律的逆运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的混合运算法则计算即可求解； （2）运用运算律分析即可； （3）根据材料提示，运用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得第⑤步出现错误， ∵， ∴正确结果是， 故答案为：⑤，； （2）解：第①步的变形依据是加法交换律，第②步的变形依据乘法分配律， 故答案为：，； （3）解： ． 1．（24-25七年级上·重庆渝中·期末）已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，小天有5张写着不同数的卡片，从中抽出2张卡片，使卡片上的数相除，所得到的商最小，最小的商是 ，从中抽出3张卡片，使卡片上的数相乘，所得到的积最大，最大的积是 ． 【答案】 / 105 【分析】本题主要考查了有理数除法计算，要使两张卡片上的数字的商最小，在保证两个数的为一正一负数的情况下要保证这两个数的绝对值是5个数中除0外最大和最小的；要使3张卡片的积最大，要保证抽到两个负数和较大的正数． 【详解】解：抽到和2时，商最小，最小的商为：， 抽到，和时，积最大，最大的积为：， 故答案为：；105． 3．（2025七年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先利用加法交换律调整顺序，再利用乘法分配律计算即可 （3）根据有理数乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 4．（24-25七年级上·山东东营·期中）【观察思考】观察下列等式 ， 将以上三个等式两边分别相加得： ． 【探索规律】 （1）猜想并写出：______． （2）直接写出下列各式的计算结果： ______； 【迁移运用】 （3）． 【答案】（1）  （2）   （3） 【分析】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键． （1）根据题干所给方法求解即可； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）根据（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：． （2）解：∵ ； （3）解： ． 【典型例题四 有理数乘法运算律】 【例1】（2025·河北·模拟预测）下列计算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数乘法运算．根据有理数运算法则分别计算并比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ∵， ∴得数最小的是D选项， 故选：D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）下列运算过程中： ①； ②； ③； ④． 错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算顺序和运算法则逐个判断即可． 【详解】解：①根据乘法分配律可得，，所以①错误； ②，所以②正确； ③因为，所以，所以③正确； ④，所以④正确． 综上：有1个错误． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·福建漳州·单元测试）观察下列各式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： 第4个等式： 按以上规律请计算：的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字类规律题，有理数的混合运算．根据题意可得第5个等式，第，6个等式，再代入，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ， ， ∴ 故答案为： 【例4】（2025七年级上·广东汕头·专题练习）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)64 (2) 【分析】（1）根据乘除混合运算解答即可． （2）根据乘法的交换律，逆用分配律，解答即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题考查了乘除混合运算，分配律，加法运算，交换律，熟练运算法则是解题的关键． 1．（24-25七年级上·云南昆明·阶段练习）下面各图中，不能说明与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题主要考查了乘法分配律，解题的关键是读懂题意． 根据四个选项中的图只列出能用式子“”或“”表示即可，根据乘法分配律，． 【详解】解：A、6厘米厘米厘米总长度，不能用“”或“”表示．即不能说明“”与“”相等． B、总价是元，根据乘法分配律就是元．可以用“”或“”表示，即能说明“”与“”相等． C、总面积为平方厘米，根据乘法分配律就是平方厘米．能说明“”与“”相等． D、两种颜色的珠子一共有珠子个，根据乘法分配律就是个．即能说明“”与“”相等． 故选：A． 2．（24-25七年级上·辽宁盘锦·阶段练习）观察下列各式：，，，…，根据观察计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类的规律探究，乘法运算律．根据题意确定数的分解规律是解题的关键． 由题意知， ，然后利用乘法运算律计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， 故答案为：． 3．（2025·河北唐山·模拟预测）利用运算律计算有时可以更简便． 例1：； 例2：． 请你参考示例，用运算律简便计算． (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)2 【分析】本题主要考查了有理数的简便运算，灵活运用加法运算律和乘法运算律成为解题的关键． （1）直接运用有理数的加法结合律进行简便运算即可； （2）运用加法交换律和乘法结合律进行简便运算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 4．（2025·河北保定·模拟预测）数学老师为了优化同学们的运算思维，提高数学运算能力，复习有理数综合运算时，布置了一道有意思的计算题：请用不同解法计算． 刘聪和他的小伙伴选择常规解法：； 张明开动脑筋，经过观察算式特点，和同学们深入分析、探究，又找到了下面这种解法： 原式的倒数． 所以，原式． (1)请比较刘聪和张明两位同学的解法，你喜欢哪位同学的解法？为什么？ (2)请选择你喜欢的解法计算：． 【答案】(1)张明，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法分配律： （1）根据解答过程可知张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，则更喜欢张明的解法； （2）仿照题意计算原式的倒数，先把除法变成乘法，再利用乘法分配律求出的值，进而求出的值的倒数即可得到答案． 【详解】（1）解：喜欢张明的解法． 理由如下：观察两人的解题过程可知，张明的解题过程简单，且省去了通分计算，比较简便，所以更喜欢张明的解法； （2）解：原式的倒数 ， ∴． 【典型例题五 有理数的除法运算】 【例1】（2025·河南开封·模拟预测）实数a，b在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了数轴与绝对值，有理数的运算，弄清数轴上点的位置是解本题的关键．根据数轴上点的位置判断，且，再进一步分析即可． 【详解】解：由数轴上的点位置得：，且， ∴，，，， 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）如表中和两个量成反比例关系，则“△”处应填（   ） 5 △ 7 14 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的定义．抓住乘积相等是解题的关键． 若两个量乘积一定，则它们成反比例关系，据此列式解答即可． 【详解】解：由题意可得，解得， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·山东聊城·期末）已知两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论： ①；②；③；④；⑤，正确的是 （只填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】本题考查数轴，有理数的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．由数轴可知，，①两数相除异号得负可判断；②两数相乘异号得负可判断；③同号两数相加取相同的符号可判断；④a的绝对值小于b的绝对值可判断；⑤，可判断． 【详解】解：①∵由数轴可知，， ∴， ∴①对； ②由数轴可知，， ∴， ∴②错； ③，， ∴， ∴③错； ④由数轴可知，， ∵a的绝对值小于b的绝对值， ∴， ∴④错； ⑤∵，， ∴， ∴⑤对． 故答案为：①⑤． 【例4】（24-25七年级上·黑龙江·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（）利用有理数的乘除运算法则即可求解； （）利用有理数的除法法则即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； （）利用有理数的乘法分配律即可求解； 本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．（24-25七年级上·北京·期中）若，且，，，……，，这个数中有个正数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的除法运算，绝对值的意义，根据个数中有个正数，则有个负数，进而推出中，有个1，个，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：个数中有个负数， ∴中，有个1，个， ∴； 故选：D． 2．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，将一把刻度尺放在数轴上，刻度尺上的数字2、4、9分别对应数轴上的x、0、10，则x的值应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴，有理数的运算，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据数轴的知识点进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 数轴0到10之间的距离是， 则每格代表的距离为， 因为x在原点的左侧，代表负数， 则x代表的数是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广西柳州·期中）阅读以下材料，完成相关的填空和计算． 我们知道，显然与的结果互为倒数． (1)若，则____________． (2)小华利用这一思想方法计算的过程如下： 因为， 所以． 请你仿照这种方法计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】考查了有理数的除法． （1）由，和互为倒数关系，可得； （2）先计算的值，再求出它的倒数即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵ ． ∴． 4．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如图，将一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合． (1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所对应的数为27；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为6，求这根木棒的长； (2)填空：图中点所表示的数是______，点所表示的数是______； (3)解决问题： 一天，甲同学去问他奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要38年才出生；你若是我现在这么大，我就115岁啦！”求奶奶现在多少岁？甲同学现在多少岁？ 【答案】(1) (2)13，20 (3)奶奶现在的年龄为岁，甲同学的年龄为岁 【分析】本题属于数学阅读题，主要考查了一个线段模型的运用，数轴上两点的距离，有理数的加减法和除法，解题的关键在于运用前两问给定的解题模型去求解奶奶与甲同学的年龄差，进而求出奶奶的年龄和甲同学的年龄． （1）根据数轴可知3倍的长为，这样长就可以求出来了； （2）A点在6的右侧7单位长度，可以求出A点的数值为13，B点在A点右侧7个单位长度，也可以求出B点的数值； （3）运用上边的模型把奶奶与甲同学的年龄差理解为一个线段，就是两人年龄差的3倍，可以求出两人的年龄差．进而可以分别算出各自的年龄． 【详解】（1）解：观察数轴可知三根木棒长为，则这根木棒的长为； 答：这根木棒的长为； （2）解：， ． 所以图中点所表示的数为13，点所表示的数为20． 故答案为：13，20． （3）解：当奶奶像甲同学这样大时，甲同学为岁， 所以奶奶与甲同学的年龄差为：（岁）， 所以奶奶现在的年龄为（岁），甲同学的年龄为：（岁）． 答：奶奶现在的年龄为岁，甲同学的年龄为岁． 【典型例题六 有理数乘除混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广东深圳·期中）若规定，则的结果为（    ） A．9 B． C．81 D． 【答案】C 【分析】本题考查了新定义的运算，有理数乘除法运算法则，理解新定义的运算规则是解答关键． 根据新定义的运算规则，用有理数乘除法的运算法则计算求解． 【详解】解：， ． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·内蒙古包头·期中）百米测验达标成绩为18秒，下面是第一小组10名女生的成绩记录，其中“+”表示成绩大于18秒，“-”表示成绩小于18秒，“0”表示刚好达标，这个小组女生的达标率是（　　） 0 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数．成绩记录中“”表示成绩大于18秒，“”表示成绩小于18秒，由于达标成绩为18秒，0和负数表示成绩为达标．则记录中的数不大于0则表示成绩达标．故应该有6人达标，从而求出达标率． 【详解】解：从表格中我们会发现，这10个人中有6人是达标的， 这个小组女生的达标率是． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期中）在一个遥远的魔法世界里，有一个神秘的圆环，它被称为“五二○圆环”．圆环被九条线段均匀分成了的九个部分，每个部分里会隐藏着一个数字，如果你找出了全部的数字，那么你将被授予“五二○大王”的称号．如图所示，这九个数字中相邻的连续三个数之积均为520，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数乘除混合运算的应用，熟练掌握有理数的乘除法运算是解本题的关键．先求出20与26之间的数，再求出26与x之间的数，进而可求x的值． 【详解】解：∵相邻的连续三个数之积均为520， ∴20与26之间的数为：， ∴26与x之间的数为：， ∴， ∴x的值为 1． 故答案为：1． 【例4】（2025七年级上·全国·专题练习）学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序． （1）检查解题过程发现第①步有误， （2）根据从左到右的顺序写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：第①步出错，运算的顺序有误； 故答案是：①； （2）解：． 1．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标有一个数，数列呈现一定的符号变化规律和绝对值的变化规律，请计算（   ）    A．1013 B．1011 C．0 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键．将化为，找出共有个即可求解． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）已知有理数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是．如果，是的差倒数，是的差倒数，……，依次类推，那么的值是 ． 【答案】 【分析】根据差倒数的定义，求出的值，确定数字规律，进而求出的值． 【详解】解： 由题意，得：，，， ∴每四个数一循环，， ∵， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查数字规律探究，有理数的乘法运算．理解并掌握差倒数，是解题的关键． 3．（24-25七年级上·河南南阳·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）根据有理数加减混合运算法则按顺序进行计算即可； （2）按顺序先进行除法运算、运用乘法分配律进行计算，再按顺序进行加减运算即可； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式     4．（24-25七年级上·全国·期中）如图，小天有5 张写着不同数字的卡片，请你按照要求抽出卡片，解决下列问题． (1)从中抽出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，应如何抽取? 最小值是多少? (2)从中抽出三张卡片，使得三张卡片中，两张上的数字先乘，再除以第三张上的数字所得的结果最大，应如何抽取? 最大值是多少? 【答案】(1)抽取写有和的卡片，最小值是 (2)抽取写有，5和的卡片，最大值是 【分析】本题考查了有理数的大小比较，有理数的乘法、除法运算．熟练掌握有理数的大小比较，有理数的乘法、除法运算是解题的关键． （1）由负数小于0，小于正数，且两个负数比大小绝对值大的反而小，可知当抽取写有和的卡片，此时这2张卡片上的数字相除的商最小，然后计算求解即可； （2）同理（1），由题意知，抽取写有，5和的卡片，能取最大值，然后计算求解即可． 【详解】（1）解：∵负数小于0，小于正数，且两个负数比大小绝对值大的反而小， ∴抽取写有和的卡片，此时这2张卡片上的数字相除的商最小为； ∴抽取写有和的卡片，最小值是； （2）解：同理（1），由题意知，抽取写有，5和的卡片，能取最大值，且最大值为， ∴抽取写有，5和的卡片，最大值是． 【典型例题七 有理数四则混合运算】 【例1】（2025·四川·模拟预测）定义一种新运算：  ． 如：  ，则  的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了新运算的运算法则以及有理数的四则混合运算，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 依题意，根据该新运算的运算法则，代入数值即可列式作答． 【详解】解：依题意， 那么  ， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）老师设计了计算接力游戏，规则是每名同学只能利用前面一个同学的式子，进一步计算，将计算的结果传给下一个同学，最后解决问题．过程如下： 其中步骤错误的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则进行判断即可． 【详解】解： ∴出错的是乙． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·山东威海·期中）按图中程序计算，若输入，则最后输出的结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查有理数的混合运算和程序框图，解答本题的关键是明确题意，会用程序计算问题． 根据题目中的程序，将代入计算出结果和2比较大小即可，大于2就输出，不大于2就继续按程序计算． 【详解】解：当输入时， ∴继续输入2时， ． ∴最后输出的结果是5． 故答案为：5． 【例4】（24-25七年级上·河南驻马店·期中）某学校七年级8班共有56名学生，在一次数学测试中以90分为标准，将超过90分的成绩记为正，不足90分的成绩记为负，刚好90分的成绩记为0，成绩统计结果如下： 人数 3 4 6 4 5 12 成绩 0 人数 2 5 4 6 1 4 成绩 (1)若85分以上为优秀，此次数学测试该班优秀的学生有多少名？ (2)请算出这次考试该班学生的平均成绩（精确到百分位）． 【答案】(1)此次数学测试该班优秀的学生有36名 (2)这次考试该班学生的平均成绩为90.61分 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算的应用，正数和负数的实际意义，近似数，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得到答案； （2）根据正数和负数的实际意义求出总分，在求出平均数即可． 【详解】（1）解：， 85分以上的人数为（名）， 答：此次数学测试该班优秀的学生有名 （2）解：总分数为， 平均成绩为． 答：这次考试该班学生的平均成绩为90.61分． 1．（24-25七年级上·山东青岛·期中）数学符号是数学学科中用来表示数量关系和空间形式的符号系统，它们具有高度的抽象性和简洁性．在数学中，记．，，，…，．则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据新定义，列出算式进行计算即可，熟练掌握新定义，是解题的关键． 【详解】解： ； 故选B． 2．（24-25七年级上·贵州·期末）我们知道：，…，那么 ． 利用上面的规律计算： ． 【答案】 【分析】此题考查有理数的混合运算，解题关键在于利用拆分法得出的规律变形，再计算即可． 根据已知等式得出拆项方法，写出规律；原式利用得出的规律变形，计算即可得到结果． 【详解】∵，…， ∴； ∴ ． 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查了百分数的运算，分数的混合运算以及小数的运算． （1）根据乘法分配律计算即可； （2）先计算括号里的除法，再计算括号里的加法，最后计算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（2025·河北唐山·模拟预测）如图，容器中装有5个小球，小球上分别标有数字：，0，5，2，．现从容器中随机摸出四个小球，对小球上的数字进行运算． (1)①若摸出的四个小球上分别标有2，，0，，计算：； ②若摸出的四个数字的积不为0，求这四个数字的和； (2)将摸出的四个小球上的数字按一定顺序填入“”中的“□”内，计算所得算式的结果，直接写出计算结果的最小值． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意正确列式是关键． （1）①利用有理数的四则混合运算法则计算即可；②根据题意得到摸出的四个数字为，5，2，．再求和即可； （3）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：① ②∵摸出的四个数字的积不为0， ∴摸出的四个数字为，5，2，． （2）当摸出的四个小球上的数字为，0，5，2时，计算结果最小， 即，即计算结果的最小值为． 【典型例题八 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例1】（2025·河北邯郸·模拟预测）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，实数满足条件，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数加法法则的应用，利用有理数加法法则逐项判断即可． 【详解】解：A、由图得，若，则，∴选项A不正确． B、若，则m、n异号，且，∴，∴故选项B正确． C、若，则m、n同号，则，∴选项C不正确． D、若，则,则m、n同号，则，∴选项D不正确． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·辽宁本溪·期中）有理数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列选项中：①如果，则一定会有；②如果，则一定会有；③如果，则一定会有；④如果，则一定会有．正确的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，有理数的乘法， 先根据数轴可知，再根据“两数相乘同号得正，异号得负”分情况讨论，并逐个判断即可. 【详解】解：根据题意，得， 如果，当或时，可知，所以（1）正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（2）正确； 如果，当或时，不能确定的正负性，所以（3）不正确； 如果，当（舍去）或时，可知，所以（4）不正确. 正确的有2个. 故选：B. 【例3】（24-25七年级上·山东济南·课后作业）已知a，b，c三个数在数轴上的对应点如图所示，用“”或“”号填空． （1）a 0；    （2）c 0； （3）a b；    （4）ac bc； （5） ； （6） ． 【答案】 【分析】本题考查利用数轴，有理数的乘法运算，有理数的大小比较，熟练掌握数轴上的数右边比左边大以及不等式的性质是解题的关键．本题观察数轴得出，进一步运用有理数的乘法运算法则逐空进行分析即可． 【详解】解：观察数轴得出， （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，且． (1)填空： 0； 0．（“＜”或“＞”或“＝”填空） (2)化简代数式：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负和化简绝对值，解题关键是得到式子的正负，两数相乘，同号得正异号得负，绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号． （1）根据和即可判断正负； （2）先判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值进行化简即可． 【详解】（1）解：∵，且， ∴； 故答案分别为：；； （2）解：∵且， ∴，， ∴． 1．（24-25七年级上·山西太原·期末）已知是有理数，且，下列结论：①；②；③；④若，是有理数，且满足，则．其中正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘除法计算，有理数加减法计算，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，再由，可得，即可判断①，②；由，，化简绝对值即可判断③；根据，，推出，再由，得到或，即可判断④． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，，故①②正确； ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴或， ∴或， ∴或， ∴或，故④错误； ∴正确的有①②③， 故选：A． 2．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）如图，数轴上，两点所表示的数分别为，，且，，则原点的位置在（    ） A．点的右边 B．点的左边 C．，两点之间，且靠近点 D．，两点之间，且靠近点 【答案】C 【分析】此题考查了有理数的加法和除法，以及数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用有理数的加法法则和除法法则判断即可． 【详解】解：∵根据题意，数轴上的，且，， ∴与异号且绝对值大，即，，， 则原点的位置在两点之间，且靠近点， 故选：C． 3．（24-25七年级上·重庆奉节·课后作业）有理数，在数轴上的位置如图所示，用不等号填空． （1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ． 【答案】 【分析】由数轴得到，据此判断各式的大小． 【详解】解：由数轴可得， （1）两个负数相加，和仍为负数，故； （2）相当于两个异号的数相加，符号由绝对值大的数决定，故； （3）两个负数的积是正数，故； （4）绝对值大的负数的平方也大，故； （5）由绝对值的意义可得； 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，有理数的加减法、乘法，乘方，绝对值，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 4．（24-25七年级上·山东青岛·期中）有理数a，b，c在数轴上的对应点的位置如下图所示： (1)在横线上填入“”或“”：______ 0，______ 0，______ 0 (2)在数轴上找出表示的点； (3)用“”将连接起来． 【答案】(1)，， (2)见解析 (3) 【分析】本题考查有理数与数轴，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，进而确定式子的符号即可； （2）根据互为相反数的两个数在数轴上原点的两侧，且到原点的距离相等，找出表示的点即可； （3）根据数轴上的数右边的比左边的大，进行比较即可． 【详解】（1）解：由图可知：， ∴； 故答案为：，，； （2）表示的点，如图所示： （3）由图可知：． 【典型例题九 有理数乘除法的实际应用】 【例1】（2025七年级上·全国·专题练习）宾馆有100间相同的客房，经过一段时间的经营，发现客房定价与客房的入住率之间有下表所示的关系，按照这个关系，要使客房的收入最高，每间客房的定价应为（　　） 每间房价（元） 入住率 A．300元 B．280元 C．260元 D．220元 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法的应用，正确理解收入等于房价乘以数量乘以入住率是解题的关键． 分别计算不同房价对应的收入，比较即可． 【详解】解：当每间客房的定价为300元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为280元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为260元时，客房的收入为（元）； 当每间客房的定价为220元时，客房的收入为（元）. 所以当每间客房的定价为260元时，客房的收入最高． 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）现有A，B，C，D四个圆柱形容器，且每个容器均可装的水，其中A容器内部底面积为，B容器内部底面积为，C容器内部底面积为，D容器内部底面积为．若分别往这四个容器中注入的水后，则容器内水面最高的是（   ） A．A容器 B．B容器 C．C容器 D．D容器 【答案】A 【分析】本题考查了有理数除法的应用，根据容器底面积与水面高乘积固定为求解即可． 【详解】解：∵分别往这四个容器中注入的水， ∴A容器内部底面积为，容器内水面高为； B容器内部底面积为，容器内水面高为； C容器内部底面积为，容器内水面高为； D容器内部底面积为，容器内水面高为； ∴容器内水面最高的是A容器， 故选：A． 【例3】（2025·山西吕梁·模拟预测）在如图所示的电路中，已知电源电压为6V，若调节电阻箱的电阻为30，则通过电阻箱的电流是 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数除法的应用，根据“电流＝电压÷电阻”即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【例4】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）截至2023年5月，我国已建成11批共145个国家节水型城市，地级及以上缺水城市全部建成了节水型城市，这些城市以创建国家节水型城市为契机，全面加强城市节水工作，形成了一批可复制、可推广的城市节水经验模式．凯凯学习节约用水知识后极度关注自己家里的用水情况，他记录了2024年上半年的用水情况如下：一月份15吨；二月份20吨；三月份18吨；四月份14吨；五月份16吨；六月份19吨． (1)算出他们家上半年的月平均用水吨数． (2)如果把每月平均用水的吨数作为标准，超过平均用水的吨数用正数表示，不足平均用水的吨数用负数表示，请把表格填写完整． 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 0 【答案】(1)17吨 (2)见解析 【分析】本题考查的是正负数的实际应用，有理数的加法与除法的实际应用，理解题意，列出准确的运算式是解本题的关键． （1）求出1月至6月的用水总量，然后除以6即可； （2）用每月的实际用水量减去平均用水量求解即可． 【详解】（1）解：（吨） （吨） 答：他们家上半年月平均用水量是17吨． （2）解：，，，，，， 填表如下： 一月份 二月份 三月份 四月份 五月份 六月份 平均用水 3 1 0 1．（2025·山东烟台·模拟预测）大数据时代出现了滴滴打车服务，二孩政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有（    ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】B 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭，②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上，每种情况下分析乘坐人员的情况，可得其乘坐方式的数目． 【详解】解：根据题意，分2种情况讨论： ①A户家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的家庭， 可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； ②A户家庭的孪生姐妹不在甲车上， 需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个小孩都在甲车上， 对于剩余的2个家庭，从每个家庭的2个小孩中任选一个，来乘坐甲车， 有种乘坐方式； 则共有种乘坐方式； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘法的应用，关键是依据题意，分析“乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭”的可能情况． 2．（24-25七年级上·山东青岛·期末）年月日在青岛青春足球场进行了世界杯亚洲区预选赛第三阶段的比赛，该阶段支球队被分为个小组（每组支队伍）进行小组内主客场双循环赛（小组每两队之间分别在一方的主场和另一方的主场各进行一场比赛），则该阶段一共需要进行的比赛场数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘除运算的实际应用，由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛，可得个小组需要进行场比赛，据此即可求解，正确列出算式求出个小组需要进行的比赛场数是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，每个小组的每支球队需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， ∴个小组需要进行场比赛， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）在佛山的一个以传统手工艺和自然美景著称的小镇上，有一个专门生产竹制品和陶瓷的工艺合作社．这个合作社计划每天生产200件．但由于工艺的复杂性和市场需求的波动，实际每天的生产量与计划量有所差异．下表是某周每天的生产情况（超产记为正，减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)由表可知该合作社星期三生产竹制品和陶瓷____________件； (2)由表可知该厂本周生产竹制品和陶瓷多少件？ (3)合作社实行每日计件工资制，每生产一件产品可得60元，若超额完成任务，则超过部分每件奖励15元；少生产一件扣20元，那么合作社成员这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1)195 (2)1408件 (3)84460元 【分析】本题考查了正数和负数、有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （3）根据产品数量算出生产产品的工资，再加上超额部分的奖励，减去少生产部分的总额，即可求解． 【详解】（1）解：（件）， 即该合作社星期三生产竹制品和陶瓷件， 故答案为：； （2）解：（件）， 答：该厂本周生产竹制品和陶瓷件； （3）解：（元）， 超过的部分奖励总额为：（元）， 扣款总额为：（元）， ∴（元）， 答：合作社成员这一周的工资总额是元． 4．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）小实家的新房户型结构平面图如图所示，主卧与次卧是两个面积相等的正方形，阳台是直径与主卧边长相等的半圆（取3，墙体厚度不计）． (1)请算出小实家两个卧室和客厅的面积总和． (2)小实家打算将两个卧室和客厅全部铺上实木地板，卫生间、厨房全部铺上柔光砖，阳台铺木纹砖，铺贴费用如下表： 类别 实木地板 柔光砖 木纹砖 平均费用（元/） 200 90 80 问：小实家铺贴地面的总金额是多少元（结果精确到百位，并用科学记数法表示）？ 【答案】(1)67； (2)15095元 【分析】本题考查有理数混合运算的应用，根据图形列出算式是解决本题的关键． （1）先求出每个卧室的边长，再根据图形求出客厅和卧室的面积之和即可； （2）根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：∵主卧与次卧是两个面积相等的正方形， ∴卧室的边长为m， ∴客厅的长为m， ∴两个卧室和客厅的面积总和； （2）解：（元） 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 【例1】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的（   ） A．3倍 B．6倍 C．9倍 D．11倍 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”的9倍， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·期中）某人在一路口等待绿灯时看到车内导航显示如图信息：此路段限速，他等待的红绿灯显示红灯倒计时12秒，前方的红绿灯显示绿灯倒计时52秒，若他想通过下个红绿灯时无需停车等待且不超速，则行驶速度可能是（   ） A．11 B．12 C． D．14 【答案】C 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用．先求得通过路口的最少速度，再转换限速，比较即可求解． 【详解】解：时间有秒， 最少速度为， 限速， ∴行驶速度可能是， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，在长为、宽为的长方形空地上修建两条宽均为的道路，余下部分种植某种花卉，则种植花卉的面积为 ． 【答案】551 【分析】本题主要考查了有理数混合运算在图形面积中的应用，根据种植花卉的面积等于长乘以宽求解即可． 【详解】解：根据题意种植花卉的面积为：， 故答案为：551． 【例3】（24-25七年级上·甘肃武威·阶段练习）草莓是一种时令水果，不易保存．某水果店以每千克20元的价格购进20千克草莓，并以不同的价格把这20千克草莓陆续卖完．若以每千克30元的价格为标准价，将售价高于标准价记为正，低于标准价记为负，销售结果如下表： 售出数量/千克 1 8 2 4 5 售价/（元/千克） 该水果店销售完这批草莓是赚了还是赔了？赚了或赔了多少元？（损耗忽略不计） 【答案】赚了，赚了191元 【分析】此题主要考查了正数和负数，有理数加减乘除的运算方法，根据总价单价数量，分别求出按照不同价格售出的利润，再求和即可． 【详解】解： （元）， 答：该水果店销售完这批草莓是赚了，赚了191元． 1．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）李老师逛超市时看中一套碗，她将碗叠成一列（如图），测量后发现：用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为．若将8个碗叠成一列能放入消毒柜，则这个消毒柜的内置高度至少有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，用2个碗叠放时总高度为，用4个碗叠放时总高度为，据此可求出每增加一个碗，高度的增加量，再在4个碗的基础上加上增加的4个碗的高度即可得到答案． 【详解】解：， ∴这个消毒柜的内置高度至少有， 故选：C． 2．（24-25七年级上·广东广州·期中）我国古代《易经》一书中记载，远占时期，人们通过在绳子上打结来记录数量．如图，一位猎人在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，即从右往左依次排列的打结数分别为2，5，3……，猎人一共采集到的猎物数量为 个．（用十进制表示） 【答案】5756 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为2、、、、，然后把它们相加即可． 【详解】解：， ∴猎人一共采集到的猎物数量为5756个． 故答案为：5756． 3．（24-25七年级上·北京·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 4．（24-25七年级上·福建福州·期末）合理规划学校操场对于保障学生丰富且有序的体育活动至关重要．某学校受校园场地空间的客观限制，经过精心设计与规划，新建了一条长度为的跑道如图1所示． 注1：内突沿是田径场跑道内侧边缘处的一个凸起结构，有助于划分内部场地和田径跑道的界限，内突沿的内沿是指它靠近田径场内部场地的一侧边缘，内突沿的外沿则是与跑道接触的一侧，内突沿的宽度忽略不计； 注2：以上计算取3； 注3：在田径竞赛规则中，“前伸数”是专门用于表示外道起跑线比内道起跑线向前延伸的距离，以保证在弯道跑项目中各分道运动员跑的距离相等； 注4：四点均是第一分道内侧边缘直道与弯道的交汇点． (1)跑道由直道和半圆形弯道组成，每条分道的宽均为，共有6条分道，从内到外分别是第一至第六分道，依据田径竞赛规则规定：各分道的长度就是各分道测量线的长度，第一分道的测量线距离内突沿（见注1）外沿，其余各条分道测量线距离里侧分道线外沿（如图2所示）．已知第一分道的总长度为（即第一分道的测量线总长度为），第一分道弯道的内侧边缘所在圆的半径为． ①求第六分道直道的总长度和第六分道两侧弯道的总长度（见注2）； ②学校将在该跑道举行跑步比赛，比赛跑步方向为逆时针方向跑，终点设在南侧直道与东侧弯道交汇处（如图所示的线段），为保证比赛公平，请你帮忙设计第六分道起跑点设何处（选“东侧弯道”，“北侧直道”，“西侧弯道”或“南侧直道”），并计算第六分道相对于第一分道的前伸数（见注3）； (2)在（1）的条件下，半径为阴影圆形是“跳绳”项目比赛场地和阴影五边形是“沙包投掷”项目的比赛场地，．求两项比赛场地的总面积（阴影部分面积的和）． 【答案】(1)①第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为．②第六分道起跑点设在北侧直道；第六道相对于第一道的前伸数． (2)两项比赛场地的总面积为． 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，解题的关键是熟练掌握圆的周长公式． （1）①根据总长减去圆周长进行计算即可； ②根据①的计算结果可得起跑点设在北侧直道，再由第六跑道西侧查道测量线的长减去第一跑道西侧弯道测量线的长即可； （2）利用割补法求解五边形的面积，再求解圆的面积，再求和即可． 【详解】（1）解：①记第一分道弯道测量线所在圆半径为，第六分道弯道测量线所在圆半径为 第六分道的直道总长度为 第六分道的弯道总长度为 答：第六分道直道的总长度为；第六分道弯道的总长度为． ②第六分道起跑点设在北侧直道； 第六分道西侧弯道长为 第一分道西侧弯道长为 答：第六道相对于第一道的前伸数． （2）解：根据题意，得 长方形的面积为 三角形的面积为 三角形的面积为 五边形的面积为 “跳绳”项目比赛场地 答：两项比赛场地的总面积为． 1．（2025七年级上·全国·专题练习）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的乘法法则计算可判断A、C、D三项，根据乘法分配律计算可判断B项，进而可得答案． 本题考查了有理数的乘法运算，属于基础题型，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：A．，故错误， B．，故错误， C．,故错误， D. ，故正确． 故选D． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）实数，，，在数轴上对应点的位置如图所示，若实数，互为相反数，则倒数最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数轴，倒数，相反数，根据数轴上点的位置及，互为相反数，得，然后根据倒数的定义解答即可． 【详解】解：∵由数轴商店的位置可得， 又∵实数，互为相反数， ∴原点位于，之间， 即， ∴的倒数最大， 故选：B． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 4．（2025·重庆·模拟预测）式子12345中的，，，是数字1，2，3，4，5中间的四个位置，在这些位置上添加“”“”“”“”符号后得到一个算式，若不添加符号，则相邻数字自然组合为一个多位数．如：在添加“”，在添加“”，，不添加符号，得到的算式为：，结果为239．下列说法： ①添加“”“”两个运算符号，得到的算式有10种不同的结果； ②存在一种添加“”“”“”“”四个符号的算式，其结果为； ③只添加“”“”“”三个符号，得到的算式中，结果最大为170． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，熟练掌握有理数的混合运算法则是解此题的关键． 【详解】解：①中“”的位置有种可能，“”确定位置后，“”的位置有种可能，则添加“”“”两个运算符号，得到的算式有种不同的结果，故①错误； ②结果为， 必须添加“”， 若添加“”， 添加“”， 添加“”，则有，故②正确； ③添加的运算符号中有“”，且同时添加三个运算符号， 要是结果最大，必须添加“”，不能添加，此时添加“”， 添加“”，即可得到最大结果，为，故③错误； 综上所述，正确的有②，个数为， 故选：B． 5．（2025·山东日照·模拟预测）某省公布的居民用电阶梯电价方案如下： 第一档电量 第二档电量 第三档电量 月用电量210度以下，每度价格元 月用电量210度至350度，每度比第一档提价元 月用电量350度以上，每度比第一档提价元 例：若某户月用电量400度，则需交电费为（元）以此方案请你回答：若小华家某月的电费为元，下列说法正确的是（   ） （1）当时，小华家的用电量在第一档； （2）当时，小华家的用电量在第二档； （3）当时，小华家的用电量在第三档， A．（1） B．（1）（2） C．（1）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数四则混合计算的实际应用，分别计算出用电量为210度和用电量为350度时的电费即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当时，小华家的用电量在第一档，故（1）正确； ∵， ∴当时，小华家的用电量在第二档，故（2）正确； ∴当时，小华家的用电量在第三档，故（3）正确； 故选：D． 6．（24-25七年级上·四川成都·期中）已知整数，，，满足，且，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据整除的知识将25分解，从而利用、、、的大小关系确定出各字母的值，继而将各值代入即可得出答案． 【详解】解：∵整数，，，满足，且， ， ∴、、、， ∴ ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·全国·课后作业）在算式每一步的后面填上该步运用的运算律： ． 【答案】 乘法交换律 乘法结合律 乘法分配律 【分析】本题考查了乘法交换律、结合律以及分配律，熟练掌握乘法的运算法则及运算规律是解决本题的关键．根据乘法的运算规律求解即可． 【详解】解： （乘法交换律） （乘法结合律） （乘法分配律）． 故答案为：乘法交换律；乘法结合律；乘法分配律． 8．（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·山东威海·期末）如图，按程序框图中的顺序计算，当输入的初始值x为32时，则输出的最后结果为 ． 【答案】128 【分析】本题考查程序流程图与有理数的运算，把32代入流程图，列出算式进行计算，直至最后结果，即可． 【详解】解：， ，输出； 故答案为：128． 10．（2025·北京·模拟预测）联欢会有A，B，C，D四个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．一个节目彩排完毕，下一个节目彩排立即开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如表： 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目．一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其他因素）．若节目按“”的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为 ；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按 的先后顺序彩排 【答案】 60 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确理解题意，熟练计算是解题的关键．节目D的演员的候场时间为；先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：节目D的演员的候场时间为， 由题意得节目A和C演员人数一样，彩排时长不一样，那么时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样等待时长会短一些，那么B在D前面， ∴①按照顺序，则候场时间为：分钟； ②按照顺序，则候场时间为：分钟； ③按照顺序，则候场时间为：分钟； ④按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑤按照顺序，则候场时间为：分钟； ⑥按照顺序，则候场时间为：分钟． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小， 故答案为：，． 11．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）若定义一种新的运算“*”，规定有理数，如．求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义运算，有理数混合运算；理解新定义，正确进行运算是解题的关键． （1）根据新定义得，进行有理数混合运算，即可求解； （2）根据新定义进行分步运算，即可求解； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·贵州贵阳·期中）我们知道分配律，反过来可得，这叫分配律的逆用．请利用它计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)74 【分析】本题考查乘法运算律，解题的关键是准确识别式子中相同的因数，然后逆用乘法分配律进行简便计算． （1）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． （2）找出式子的相同因数，逆用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图有理数在数a、b轴上的对应点如图所示，    (1)在数轴上表示； (2)用“”连接这五个数． (3)计算：． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据绝对值的意义，相反数的定义，在数轴上表示出即可； （2）根据数轴上的数从左到右依次增大，进行比较即可； （3）根据点在数轴上的位置，先进行化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：在原点的右侧，与到原点的距离相等；在原点的左侧，与到原点的距离相等；如图：    （2）由图可知：； （3）由图可知：， ∴ 【点睛】本题考查用数轴表示数，利用数轴比较有理数的大小，化简绝对值．解题的关键是正确的在数轴上表示出各数，并判断式子的符号． 14．（24-25七年级上·北京·期中）小东对有理数定义了一种新的运算，叫作“乘减法”，记作“”．他写出了一些按照“乘减法”运算的算式：，，，，，，，，，． 小玲看了这些算式后说：“我明白你定义的乘减法法则了．”她将法则整理出来给小东看，小东说：“你的理解完全正确．” (1)请将下面小玲整理的“乘减法”法则补充完整： 绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得______，异号得______，并______；绝对值相等的两数相“乘减”，都得______；一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． (2)画两个有理数进行“乘减法”的计算流程图． 【答案】(1)正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0 (2)见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，本题是新定义型，准确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可得出结论； （2）依据（1）中总结的法则分类解答即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，，，，． ∴绝对值不相等的两数相“乘减”，同号得正，异号得负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 绝对值相等的两数相“乘减”，都得0； 一个数与0相“乘减”，或0与一个数相“乘减”，都得这个数的绝对值． 故答案为：正，负，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；0； （2）解：由题意，两个有理数进行“乘减法”的计算流程图： 15．（24-25七年级上·浙江金华·期末）在某次研学活动中，小慧负责订购全班48位同学的营养午餐，每份营养午餐的单价为20元，现有如下两种订购方式： 订购方式 优惠活动 配送费 方式一： 电话订购 每购买10份，免费赠送1份 免费 方式二： 外卖APP下单 1．9.2折优惠 2．红包立减折扣，一个订单只允许使用一个红包． 注：优惠可叠加使用 订单总价满20元起送，每单配送费2元 (1)若小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，则需花费多少元？ (2)若小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费多少元？ (3)小聪同学说，在同样条件下他能以更低的价格买到，你认为可能吗？如果可能，请制定购买方案，并算出费用（写出一个即可）；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)可能，方案见解析，费用为元 【分析】此题考查了有理数混合运算的应用，理解题意并正确列式计算是关键． （1）按照电话订购的方式计算即可； （2）按照外卖APP购买方式付款即可； （3）制定方案，计算费用即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：小慧通过电话订购的方式购买这48份营养午餐，需花费元； （2）（元）， 答：小慧通过外卖APP购买这48份营养午餐，最少需花费元； （3）可能， 方案：通过外卖APP购买两单，一个三份，一个一份，再通过电话订购40份，需要花费 （元）， 学科网（北京）股份有限公司 $$