2025年广东省深圳中考数学考前冲刺中档题　

2025年深圳中考考前冲刺中档题Day1 一．选择题（共6小题） 1．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔AB位于坡度i：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得电视塔AB顶端A的仰角为37°，电视塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m．（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） A．24 B．31 C．60 D．136 2．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．55° B．65° C．70° D．75° 3．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（　　） A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为（　　）cm．（结果保留π） A． B． C． D． 6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共7小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　 ． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形ABO的边OB和菱形CDEO的边BO均在x轴上，点C在AO上，，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A，则k的值为 　 　 ． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　 　 度． 10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|　 　 ． 11．如图中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形，在图1中，x＝70°；在图2中，y＝28°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+…+d＝　 　 ．（用含n的式子表示） 12．已知点A（m，m﹣3），都在反比例函数的图象上，则k的值是 　 　 ． 13．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 　 　 cm． 三．解答题（共8小题） 14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． 15．【发现问题】 一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分． 【提出问题】 碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离y（cm）与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离x（cm）之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径AB＝24cm，碗底直径CD＝EF＝6cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式． 【解决问题】 （1）请你帮助小丽求出y与x的关系式； （2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为20cm时，求此时面碗中水的深度； （3）小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与BC重合，直接写出此时面碗中水的最大深度． 16．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O； ③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M． （2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线； （3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径． 17． 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过BC上一点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F． （1）求证：∠DCF＝∠CDF； （2）若D为BC的中点，⊙O的半径为5，cos∠CDF，求CF的长． 19．如图1，菱形ABCD的周长为24，∠ABC＝60°，点G为对角线BD上一点，且BG＝4．动点P从点O出发，沿O→A→B移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，△PBG的面积为y． 请回答以下问题： （1）直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： （2）在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若的函数图象如图2所示，结合你画出的y与x的函数图象，直接写出当y＜y1时，自变量x的取值范围． 20．如图的网格中，△ABC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出△ABC的高CD，计算得cosA＝　 　 ． （2）请在图2中在线段AB上找一点E，使AE＝2． 21．综合与实践 【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高/m 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为0.5m才能保证安全； 步骤四：如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离AC＝4m，手离地面的高度AB＝CD＝1.2m，绳子最高点距离地面2m时，效果最佳； 【问题解决】如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以AC所在直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于AC中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持0.5m的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶？ ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 2025年深圳中考考前冲刺中档题Day1 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 B C D B A B 一．选择题（共6小题） 1．位于深圳市罗湖区的梧桐山公园自西南向东北渐次崛起，分布着小梧桐、豆腐头、大梧桐三大主峰．从远处观看，山中最为瞩目的当属小梧桐电视塔．登临小梧桐山顶，可上九天邀月揽星，可鸟瞰深圳关内外壮丽美景．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该塔的高度，已知电视塔AB位于坡度i：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得电视塔AB顶端A的仰角为37°，电视塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m．（结果保留整数，参考数据；sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） A．24 B．31 C．60 D．136 【解答】解：如图，设AB⊥DC于E， 设CE＝x m，则BEx m， 在Rt△BDE中，∠BDE＝30°， ∴ m， ∴DC＝DE﹣CE＝3x﹣x＝120， ∴x＝60， ∴m，DE＝180m， 在Rt△ADE中，AE＝DE•tan37°≈180×0.75＝135（m）， ∴（m）， 故选：B． 2．将一副三角板按如图所示摆放在一组平行线内，∠1＝25°，∠2＝30°，则∠3的度数为（　　） A．55° B．65° C．70° D．75° 【解答】解：如图， 由题意可得：∠CAE＝90°，∠ACF＝45°， ∵∠1＝25°， ∴∠BAC＝∠1+∠CAE＝115°， ∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD＝180°， ∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝65°， ∴∠3＝180°﹣∠ACD﹣∠ACF＝70°． 故选：C． 3．我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（　　） A．2x+2（x+12）＝864 B．x2+（x+12）2＝864 C．x（x﹣12）＝864 D．x（x+12）＝864 【解答】解：设宽为x步，长为（x+12）步， 根据题意列方程x（x+12）＝864， 故选：D． 4．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，x0，得b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，x0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，AC，BD分别与⊙O相切于点C，D，延长AC，BD交于点P．若∠P＝120°，⊙O的半径为5cm，则图中弧CD的长为（　　）cm．（结果保留π） A． B． C． D． 【解答】解：连接OC，OD， ∵AC、BD分别与⊙O相切于点C、D， ∴∠OCP＝∠ODP＝90°， 由四边形内角和为360°可得， ∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∴π， 故选：A． 6．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线的长为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴A、O、B、C四点共圆， ∴∠AOB＝α＝60°， ∴圆曲线的长为：（km）． 故选：B． 二．填空题（共7小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣x+k+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k　 ． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣1）2﹣4（k+1）＞0， 解得k． 故答案为k． 8．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，等边三角形ABO的边OB和菱形CDEO的边BO均在x轴上，点C在AO上，，反比例函数（k＞0，x＞0）的图象经过点A，则k的值为 　2　 ． 【解答】解：连接OD， ∵△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∵四边形OCDE是菱形， ∴DE∥OA， ∴∠DEO＝∠AOB＝60°， ∴△DEO是等边三角形， ∴∠DOE＝∠ABO＝60°， ∴OD∥AB， ∴S△ADO＝S△BOD， ∵S四边形ABOD＝S△BDO+S△ABD＝S△ADO+S△AOB， ∴S△AOB＝S△ABD＝2， 过A作AH⊥OB于H， ∴OH＝BH， ∴S△OAH， ∵反比例函数y（x＞0）的图象经过点A， ∴k的值为2， 故答案为：2． 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝　140　 度． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADE＝70°， ∴∠B＝∠ADE＝70°， ∴∠AOC＝2∠B＝140°． 故答案为：140． 10．实数a在数轴上的位置如图所示，化简|a﹣2|　2　 ． 【解答】解：∵由图可知，2＜a＜4， ∴原式＝a﹣2 ＝a﹣2+4﹣a ＝2． 故答案为：2． 11．如图中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形，在图1中，x＝70°；在图2中，y＝28°；通过以上计算，请写出图3中a+b+c+…+d＝　90°n　 ．（用含n的式子表示） 【解答】解：连接各小正方形的对角线，如图： 图1中，61°+119°+20°+x+45°×2＝360°， 即20°+x＝90°， 图2中，61°+119°+31°+121°+y+45°×4＝360°+180°， 即31°+121°+y＝180°＝2×90°， …， 以此类推，a+b+c+…+d＝n×90°＝90°n， 故答案为：90°n． 12．已知点A（m，m﹣3），都在反比例函数的图象上，则k的值是 　1　 ． 【解答】解：∵点A（m，m﹣3），都在反比例函数的图象上， ∴k﹣3＝m（m﹣3）＝3×（）， 解得m1＝2，m2＝0， ∵k﹣3≠0， ∴m＝0不合题意， ∴m＝2， ∴k﹣3＝3×（）＝﹣2， ∴k＝1， 故答案为：1． 13．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 　　 cm． 【解答】解：由题意可知：MA＝M'E＝OE，AM⊥OK，AE＝8cm， ∵有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm， ∴AE＝8cm， ∵OK＝24cm，OM＝2MK， ∴OM＝OM'＝16cm， 设MA＝M'E＝OE＝x cm，则OA＝（x+8）cm， 在Rt△OAM中， 由勾股定理，得OA2＝MA2+OM2， 即（x+8）2＝x2+162， 解得x＝12， ∴MA＝M'E＝OE＝12cm， 过点M'作M'H⊥OA， 设OH＝y cm，则EH＝（12﹣y）cm， 由勾股定理，得M'H2＝OM'2﹣OH2＝M'E2﹣EH2， 即162﹣y2＝122﹣（12﹣y）2， 解得y， ∴M'H（cm）． 答：支点M″到OA的距离为cm． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 14．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，连接CO交⊙O于点E，⊙O与AC相切于点D． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）延长CO交⊙O于点G，连接AG交⊙O于点F，若AC＝4，求FG的长． 【解答】（1）证明：连接OD，作OM⊥BC于M， ∵AC＝BC，O是AB中点， ∴CO平分∠ACB，CO⊥AB， ∵AC切圆于D， ∴OD⊥AC， ∴OD＝OM， ∴BC是⊙O的切线； （2）作OH⊥AG 于H， ∴FG＝2GH， ∵△OAC是等腰直角三角形， ∴OAAC44， ∵△AOD是等腰直角三角形， ∴ODAO＝2， ∴OG＝2， ∴AG2， ∵cosG， ∴， ∴GH， ∴FG． 15．【发现问题】 一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分． 【提出问题】 碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离y（cm）与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离x（cm）之间有怎样的函数关系？ 【分析问题】 小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径AB＝24cm，碗底直径CD＝EF＝6cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式． 【解决问题】 （1）请你帮助小丽求出y与x的关系式； （2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为20cm时，求此时面碗中水的深度； （3）小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与BC重合，直接写出此时面碗中水的最大深度． 【解答】解：（1）由图3知：点B（12，7）、点D（3，0）， 设抛物线的表达式为：y＝ax2+c， 则，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）当水面宽度为20cm时，即x＝10cm， 当x＝10时，100， 即面碗中水的深度为：cm； （3）由图2知，EG＝3+12＝15，yB＝7， 设直线BC和水平面的夹角为α， 则tanα，则cosα； 以图4中的直线m为y坐标轴，以AB所在的直线为x轴建立如下坐标系， 则点B（12，0），直线CB和x轴的夹角为α， 则直线BC表达式中的k值为tanα，设直线BC的表达式为：y＝tanαx+b， 将点B的坐标代入上式得：0＝12b， 解得：b， 则直线BC的表达式为：y＝tanα（x﹣12）（x﹣12）， 设点P是BC下方抛物线上一点，过点P作PG∥y轴交BC于点G，过点P作铅垂线和BC交于点H， 则∠HPH＝α， 设点P（x，x2），则点G（x，（x﹣12））， 则PG（x﹣12）﹣（x2）， 即PG（x﹣4.5）2， ∵0， 故PG有最大值， 当x＝4.5时，PG的最大值为， 即PG的最大值为， 则PH的最大值＝PG•cosα， 则PH（cm）， 即面碗中水的最大深度为cm． 16．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°． （1）请按如下要求完成尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）． ①作∠BAC的角平分线AD，交BC于点D； ②作线段AD的垂直平分线EF与AB相交于点O； ③以点O为圆心，以OD长为半径画圆，交边AB于点M． （2）在（1）的条件下，求证：BC是⊙O的切线； （3）若AM＝4BM，AC＝10，求⊙O的半径． 【解答】解：（1）如图所示， ①以A为圆心，以任意长度为半径画弧，与AC、AB相交，再以两个交点为圆心，以大于两点之间距离的一半为半径画弧相交于∠BAC内部一点，将点A与它连接并延长，与BC交于点D，则AD为∠BAC的平分线； ②分别以点A、点D为圆心，以大于AD长度为半径画圆，将两圆交点连接，则EF为AD的垂直平分线，EF与AB交于点O； ③如图，⊙O与AB交于点M； （2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，且点O在EF上， ∴OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵AC⊥BC， ∴OD⊥BC， 故BC是⊙O的切线． （3）根据题意可知OM＝OA＝ODAM，AM＝4BM， ∴OM＝2BM，BO＝3BM，AB＝5BM， ∴， 由（2）可知Rt△BOD与Rt△BAC有公共角∠B， ∴Rt△BOD∽Rt△BAC， ∴，即，解得DO＝6， 故⊙O的半径为6． 17． 草莓种植大棚的设计 生活背景 草莓种植大棚是一种具有保温性能的框架结构．如图示，一般使用钢结构作为骨架，上面覆上一层或多层塑料膜，这样就形成了一个温室空间．大棚的设计要保证通风性且利于采光． 建立模型 （1）如图1，已知某草莓园的种植大棚横截面可以看作抛物线OPN，其中点P为抛物线的顶点，大棚高PE＝4m，宽ON＝12m．现以点O为坐标原点，ON所在直线为x轴，过点O且垂直于ON的直线为y轴建立平面直角坐标系．求此抛物线的解析式． 解决问题 （2）如图2，为方便进出，在大棚横截面中间开了两扇正方形的门，其中AB＝BE＝EC＝CD．求门高AB的值． （3）若在某一时刻，太阳光线（假设太阳光线为平行线）透过A点恰好照射到N点，此时大棚横截面在地面上的阴影为线段OQ，求此时OQ的长． 【解答】解：（1）由题意得，抛物线的顶点为（6，4）， ∴可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣6）2+4． 又抛物线过（0，0）， ∴0＝36a+4． ∴． ∴抛物线的解析式为； （2）由题意，设AB＝BE＝EC＝CD＝m， ∴A（6﹣m，m）． 又A在抛物线， ∴． ∴m＝3或m＝﹣12（舍去）． ∴AB＝3； 答：门高AB为3m； （3）由题意，∵A（3，3），N（12，0）， ∴直线AN为． 又∵MQ∥AN， ∴可设MQ为． ∴． ∴x2﹣15x+9b＝0． ∴Δ＝225﹣36b＝0． ∴． ∴直线MQ为． 令y＝0， ∴．即， 答：此时OQ的长为． 18．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过BC上一点D作DE⊥AB于点E，过点C作⊙O的切线交ED的延长线于点F． （1）求证：∠DCF＝∠CDF； （2）若D为BC的中点，⊙O的半径为5，cos∠CDF，求CF的长． 【解答】（1）证明：连接OC． ∵CF是⊙O的切线， ∴∠OCF＝∠OCB+∠DCF＝90°， ∴∠DCF＝90°﹣∠OCB， ∵EF⊥AB于E， ∴∠FEB＝90°， ∴∠EBD+∠EDB＝90°， ∴∠EDB＝90°﹣∠EBD， ∵∠CDF＝∠EDB， ∴∠CDF＝90°﹣∠EBD， ∵OC＝OB， ∴∠EBD＝∠OCB， ∴∠DCF＝∠CDF； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ACO+∠OCB＝90°， 又∵∠OCF＝∠DCF+∠OCB＝90°， ∴∠ACO＝∠DCF， ∵OA＝OC，∠DCF＝∠CDF， ∴∠ACO＝∠OAC＝∠DCF＝∠CDF， ∴△FCD∽△OCA， ∴∠OAC＝∠DCF， ∵∠DCF＝∠CDF， ∴∠OAC＝∠CDF， ∵， ∴， ∵半径是5， ∴AB＝10， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴， ∴AC＝6，BC＝8， ∵D为BC中点， ∴CD＝BD＝4， ∵△FCD∽△OCA， ∴ ∴， ∴． 19．如图1，菱形ABCD的周长为24，∠ABC＝60°，点G为对角线BD上一点，且BG＝4．动点P从点O出发，沿O→A→B移动到点B时停止运动（点P不与点O、点B重合）．设点P的运动路程为x，△PBG的面积为y． 请回答以下问题： （1）直接写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围： （2）在图2的平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出该函数的一条性质； （3）若的函数图象如图2所示，结合你画出的y与x的函数图象，直接写出当y＜y1时，自变量x的取值范围． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°，AC⊥BD， ∴OAAB， ∵菱形ABCD的周长为24， ∴AB＝6， ∴OA＝3， ①当P在OA上时，OP＝x，即0＜x＜3， ∴yBG•OP4×x＝2x， ②当P在AB上时，BP＝AB+AO﹣x＝9﹣x，即3≤x＜9， 过G作GH⊥AB于H，如图： ∵∠ABO＝30°， ∴GHBG＝2， ∴yBP•GH（9﹣x）×2＝9﹣x， ∴y； （2）如图所示： 函数的性质：（答案不唯一）0＜x＜3时，y随x的增大而增大，3＜x＜9时，y随x的增大而减小；当x＝3时，y有最大值6，无最小值； （3）由图象可知，两个函数的交点为：（2，4）和（8，1）， 当y＜y1时，0＜x＜2或8＜x＜9． 20．如图的网格中，△ABC的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出△ABC的高CD，计算得cosA＝　　 ． （2）请在图2中在线段AB上找一点E，使AE＝2． 【解答】解：（1）如图1所示，线段CD就是所求作的高， ∵，， ∴AB＝BC＝5， ∴∠A＝∠ACB， ∴； （2）如图：点E即为所求． 21．综合与实践 【问题提出】某班开展课外锻炼，有7位同学组队参加跳长绳运动，如何才能顺利开展活动呢？ 【实践活动】在体育老师的指导下，队员们进行了以下实践： 步骤一：收集身高数据如下： 队员 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 身高/m 1.70 1.70 1.73 1.60 1.68 1.80 1.60 步骤二：为增加甩绳的稳定度，确定两位身高较高且相近的甲、乙队员甩绳，其余队员跳绳； 步骤三：所有队员站成一排，跳绳队员按照中间高、两端低的方式排列，同时7名队员每两人间的距离至少为0.5m才能保证安全； 步骤四：如图1，两位甩绳队员通过多次实践发现，当两人的水平距离AC＝4m，手离地面的高度AB＝CD＝1.2m，绳子最高点距离地面2m时，效果最佳； 【问题解决】如图2，当绳子甩动到最高点时的形状近似看成一条抛物线，若以AC所在直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）最高的队员位于AC中点，其余跳绳队员对称安排在其两侧． ①当跳绳队员之间正好保持0.5m的距离时，长绳能否高过所有跳绳队员的头顶？ ②在保证安全的情况下，求最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围． 【解答】解：（1）以AC所在直线为x轴，AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．如图： 由已知可得，（0，1.2），（4，1.2）在抛物线上，且抛物线顶点坐标为（2，2）， 设抛物线解析式为y＝ax2+bx+c， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为yx2x； （2）①∵yx2x（x﹣2）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， 5名同学，以直线x＝2为对称轴，分布在对称轴两侧，对称轴左侧的2名队员所在位置横坐标分布是2﹣0.5＝1.5，1.5﹣0.5＝1，对称轴右侧的2名队员所在位置横坐标分布是2+0.5＝2.5，2.5+0.5＝3， 当x＝1时，y（1﹣2）2+21.8＞1.73， 当x＝1.5时，y（1.5﹣2）2+2＝1.95＞1.73， ∴长绳能高过所有跳绳队员的头顶； ②当y＝1.6时，x2x1.6， 解得x＝2或x＝2， ∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最小值应大于2， ∵两人的水平距离AC＝4m，7名队员每两人间的距离至少为0.5m才能保证安全， ∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的最大值为（4﹣4×0.5）÷2＝1， ∴最左边的跳绳队员与离他最近的甩绳队员之间距离的取值范围为2x≤1． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/6/9 22:36:34；用户：罗帅；邮箱：17729846990；学号：37340701 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$