2025年九年级数学中考复习重要模型总结

初中重要模型总结 一、平行线模型 模型一“铅笔”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD内部 “铅笔”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 模型三“臭脚”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “臭脚”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、 CD外部 “骨折”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 平行线内辅助线添加 解题方法1加截线 类型1　连接两点 1．如图，∠E＝∠B＋∠D，猜想AB与CD有怎样的位置关系，并说明理由. 类型2　延长线段相交 2．如图，AB∥EF，CD⊥EF于点D，若∠ABC＝40°，则∠BCD＝(　　) A.140° B.130° C.120° D.110° 解题方法2过“拐点”作平行线 类型1　“ ”形图 3．如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°.求∠1的度数. 类型2　“ ”形图 4．(1)如图①，若AB∥DE， ∠B＝135°，∠D＝145°，求∠BCD的度数. (2)如图①，在AB∥DE的条件下，你能得出∠B，∠BCD，∠D之间的数量关系吗？请说明理由. (3)如图②，AB∥EF，根据(2)中的猜想，直接写出∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度数. 类型3　“ ”形图 5．如图，∠BEC＝95°，∠ABE＝120°，∠DCE＝35°.请问：AB与CD平行吗？请说明理由. 类型4　“ ”形图 6．如图，AB∥DE，则∠BCD， ∠B，∠D有何关系？为什么？ 类型5　“ ”形图 7．如图，已知AB∥DE，∠BCD＝30°，∠CDE＝138°.求∠ABC的度数. 类型6　多“拐点”型 8．如图①，AB∥CD，EOF是直线AB，CD间的一条折线. (1)求证∠EOF＝∠BEO＋∠DFO. (2)如果将折一次改为折两次，如图②，则∠BEO，∠EOP，∠OPF，∠PFC之间会满足怎样的数量关系？给出理由. 类型7　复合“拐点”型 9．如图，AB∥CD，BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠BFD＝120°.求∠BED的度数. 二、三角形认识——重要线段模型 （1） 高线：定义 1 高的位置（涉及分类，尤其是等腰三角形） 2 垂心及尺规作图 3 面积 （2） 中垂线：定义 1 垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等 2 外心及尺规作图 （3） 角平分线：定义 角平分线模型是利用特殊的线来构造全等三角形，常见的有以下四种: 【模型一】角平分线性质定理1 可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形；  【模型二】角平分线+对称 若点A是射线OM上任意一点，如图，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。 【模型三】角平分线+垂线（角平分线被垂直，延长出等腰）  若AP⊥OP于点P，如图，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形；  【模型四】角平分线+平行线  若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图4，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。 【模型五】角平分线性质定理2 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 结论： 【模型六】角度相关 （4） 中线 三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。任何三角形都有三条中线，而且这三条中线都在三角形的内部，并交于一点，该点称为“重心” 结论： （5） 中位线 三、遇中点辅助线添加思路 四、全等模型 （1）手拉手模型 【知识梳理】 1、关键字：等腰三角形 公共顶点 顶角相等 2、特点；由两个顶角相等的等腰△所组成，且顶角的顶点为公共顶点 3、核心考点：全等△判定的5种方法之SAS 等腰三角形的性质与判定 4、结论：（1）△ABD ≌△AEC （2）∠α+∠BOC=180° （3）OA平分∠BOC 变形： （2）一线三等角模型 【知识梳理】 1、关键字：多个角相等 一组边相等 边共线 多个角组成平角 2、特点：已知多个不相邻的角相等 形如“K字模型” 3、核心考点：全等△判定的5种方法之AAS、ASA Rt△的判定方法HL 内角和性质、外角推论、平角与直角 4、结论：∠1=∠2（∠1+∠2+∠3=180°、∠2+∠3+∠4=180°）； 5、经典图象： （3）半角模型 【知识梳理】 1、关键字：多个角相等 边共线 多个角组成平角 2、特点：已知多个不相邻的角相等 掌握K字模型 3、核心考点：全等△判定的5种方法之ASA Rt△的判定方法HL 构造对称边或角 4、结论：△AEF≌△GAF，对应边相等，对应角相等 5、经典图象： 5.1 常规图象 5.2 正方形（90°直角） 5.3 等边三角形（60°） 四、全等中的辅助线添加方法 倍长中线和截长补短都是适用于证明线段相等、线段和差以及倍半关系的较多 （1）倍长中线 “倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。 中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明） （注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。 方法一：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE （平行加中点，倍长得全等） 方法二：间接倍长 （2）截长补短 截长法：在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等. 补短法：（1）延长短边。（2）通过旋转等方式使两短边拼合到一起。 方法归纳 1. 如图,若要求证AB+BD=AC,可以在线段AC上截取线段AB'=AB,并连接DB,证明BC=BD即可;或延长AB至点C’使得AC’=AC,并连接BC’,证明BC’=BD即可 2.如图,若要求证AB+CD=BC,可以在BC上截取线段BF=AB,再证明CD=CF即可;或延长BA至点F,使得BF=BC,再证明AF=CD即可 3.在一个对角互补的四边形中，有一组邻边（AB=AD）相等，可以使用补短的方法延长另外两边的一条，构建全等三角形 五、线段和差最值问题 （1）轴对称——路径最短问题（将军饮马问题） 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题. 常见的题型有： 1.已知：在直线l同侧有A，B两点，在直线l上找一点P，使得AP＋PB最小. 作法：如图，作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，与直线l的交点就是点P. 2.已知：在l同侧有A、B两点，在直线l上找两点C，D（其中CD的长度固定，等于所给线段a），使得AC＋CD＋DB最小. 作法：如图，先将点A向右平移a个单位长度到A'，做A'关于直线l的对称点A''，连接A''B.与直线l的交点就是点D，连接A'D，过点A作AC//A'D，交直线l于点C，则此时AC＋CD＋DB最小. 3.已知：在∠MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQ＋QR＋RP最小. 作法：如图，分别作点P关于射线ON、OM的对称点P'，P''，连接P'P''与射线ON，OM的交点就是点Q，R. 4.已知：∠MON内有一点P，在边OM、ON上分别找点R，Q，使得PR＋QR最小. 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作P'Q⊥ON，垂足为Q，P'Q与射线OM的交点就是R. 5.已知：在∠MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S，使得PR＋RS＋SQ最小. 作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P'，作点Q关于射线ON的对称点Q'，连接P'Q'，与射线OM，ON的交点是就是R，S. 线段差 1.已知：在直线l同侧有A，B两点，在直线l上找一点P，使得|AP－PB|最小. 作法：如图，连接AB，作线段AB的垂直平分线，与直线l的交点就是点P. 2.已知：在直线l同侧有A，B两点，在直线l上找一点P，使得|AP－PB|最大. 作法：如图，连接BA并延长，与直线l的交点就是点P. （2）线段和最值——费马点 定义：在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点. 在△ABC中： （1）三个内角皆小于120°的三角形，分别以AB，BC，CA为边，向三角形外侧作正△ABC1，△ACB1，△BCA1，然后连接AA1，BB1，CC1，则三线交于一点P，则P就是△ABC的费马点； （2）若有一个内角大于或等于120°，则此钝角的顶点就是△ABC的费马点； （3）当△ABC为等边三角形时，此时外心与费马点重合. 一般通过图形的旋转或向形外作等边三角形等手段将集中的条件分散出去，然后利用“两点之间线段最短”解决. 六、四边形相关的存在性问题 题型特征: 在平行四边形有关存在性问题中，常会遇到这样两类探究性的问题: (1) 已知三点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找一动点，使这四点构成平行四边形(即“三定一动”); (2) 已知两个点的位置，在二次函数上或在坐标平面内找两个动点，使这四 点构成平行四边形(即“两定两动”);平行四边形的这四个点有可能是定序的，也有可能没有定序; 解题要领: 一、基本思路: (1)分清题型(属于三定一动还是两定两动，因为这两种题型的分类标准有所不同); (2)分类讨论且作图(利用分类讨论不重不漏的寻找动点具体位置); (3)利用几何特征计算(不同的几何存在性要用不同的解题技巧)。 基本思路叫做“三步曲”:一“分”二“作”三“算” 七、折叠问题 题型特征：折叠问题是一类重要的实验动手操作题，不同的折叠，使几何图形之间出现不同的位置关系和数量关系。对于折叠问题常见的类型： 解题要领：折叠问题实质是图形的轴对称，折叠前后的两个图形全等 （1） 对应边相等，要去标一标 （2） 对应角相等（说明折痕为角平分线，可以在平行四边形（尤其是矩形）背景下能构造等腰三角形） （3） 折痕也为对称轴，垂直平分连接两个对应折叠点的连线。 注意：需要关注折叠后的图形是否确定，决定是否需要进行分类讨论，画出对应图形，需要做到数形结合 八、反比例函数“K”的几何应用 1.如图，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．※平行四边形同理 2. 由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为． 常见面积结论 九、垂直应对专题 背景： 一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景. 一线三垂直：K字模型（全等/相似） 最初我们是在八年级上册特殊三角形全等模型学习中第一次遇见一线三垂直的模型，简称“K字模型”； 随后，在八年级下册矩形与正方形学习中，垂直的描述产生了变化，比如用垂直平分线、直角翻转、旋转替代原本是三个角为90°的描述； 进而，在九年级圆与相似中，持续替换关于90°的描述，如垂径定理、直径所对的圆周角、互相垂直的弦. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$