1.3《向量的数乘》课堂训练 2024-2025学年高一数学湘教版（2019）必修第二册

1.3《向量的数乘》课堂训练 一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在中，，则(    ) A. B. C. D. 2.若非零向量满足，则的最大值为(    ) A. B. C. D. 3.如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内不含边界运动，且，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 4.已知向量满足，且，则(    ) A. B. C. D. 5.己知平行四边形中，，，对角线与相交于点，点是线段上一点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 6.在中，为的中点，为线段上一点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.已知中，过中点的直线分别与直线交于点，且，，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 8.在中，，则点  (    ) A. 在线段上，且 B. 在线段的延长线上，且 C. 在线段的延长线上，且 D. 在线段上，且 9.已知点，，若点满足，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 10.正方形中，，，设，，则 A. B. C. D. 11.已知，点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则    (    ) A. B. C. D. 12.若平面向量，，若，则(    ) A. B. C. 或 D. 或 二、多选题：本题共1小题，共6分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 13.已知平面向量，，，满足，为单位向量，，则(    ) A. B. 的最小值为 C. 在方向上的投影长度的范围为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 14.已知向量，若，则实数______． 15.如图，在等腰直角中，分别为斜边的三等分点靠近点，过作的垂线，垂足为，若，则           。 16.世纪法国数学家费马在给朋友的一封信中曾提出一个关于三角形的有趣问题：在三角形所在平面内，求一点，使它到三角形每个顶点的距离之和最小，现已证明：在中，若三个内角均小于，则当点满足时，点到三角形三个顶点的距离之和最小，点被人们称为费马点根据以上知识，已知为平面内任意一个向量，和是平面内两个互相垂直的向量， 且，，则的最小值是          ． 四、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 已知向量与的夹角，且，． 求； 求在上的投影向量； 求向量与夹角的余弦值． 18.本小题分 如图所示，在平行四边形中，，分别为边和的中点，为与的交点． 若，则四边形是什么特殊的平行四边形？说明理由． 化简，并在图中作出表示该化简结果的向量． 19.本小题分 化简下列各式： ； ； ； ． 20.本小题分 如图，在矩形中，点是边上的一点，且，点是线段上的一点不同于点． 若，求的值 若，，求的最小值． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查向量的加减与数乘混合运算，属于基础题． 根据向量的加减法和平面向量基本定理运算即可． 【解答】 解：由题意得：． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：非零向量满足， 根据绝对值三角不等式有， 当且仅当同向时等号成立． 故选：． 直接根据绝对值三角不等式求得正确答案． 本题考查的知识点：三角不等式，主要考查学生的运算能力，属于中档题． 3.【答案】  【解析】【分析】在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点，根据平面向量的加法运算，讨论点在点处与处时的值，从而得的取值范围． 【详解】如图，由于， 在的反向延长线上取点，使得，过作，分别交和的延长线于点， 则， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是． 故选：． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查利用向量的数量积求向量的模，属于基础题． 先根据  得  ，进而得  ，即可得  ． 【解答】 解：因为  ，所以  ， 故  ． 故选B． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面向量的线性运算、数量积运算，考查计算能力，属于中档题． 设，把向量都用向量表示，利用数量积运算得到关于的二次函数，配方即可求最小值． 【解答】 解：，，则， 点是线段上一点，设， 则． ， 所以 ， 当时，的最小值为． 故选A． 6.【答案】  【解析】解：如图， 为的中点， ，且为线段上一点， ，解得． 故选：． 根据条件可画出图形，并且可得出，根据，，三点共线即可得出，然后解出的值即可． 本题考查了向量数乘的几何意义，三点，，共线且时，可得出，考查了计算能力，属于基础题． 7.【答案】  【解析】解：因为为的中点，故， 而三点共线，故存在实数，使得， 所以，而不共线， 故，所以， 故， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的加法、减法、数乘运算、向量平行的判断，属于基础题． 化简已知式子为，即可得出结果． 【解答】解：因为， 所以， 所以， 所以， 所以点在线段的延长线上，且． 故选B． 9.【答案】  【解析】解：设点的坐标为，根据题意：，． ，列出方程，得． 故选：． 10.【答案】  【解析】【分析】根据向量的线性运算可求． 【详解】 由题设有，其中，， 在正方形中，，所以． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用． 由已知得是的中位线，，从而，由此能求出结果． 【解答】 解：，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，如图： 是中与平行的的中位线， ． 故选D． 12.【答案】  【解析】解：，，， ，或， 故选：． 由，可得解方程即可． 本题考查了向量的平行和一元二次方程的解法，属基础题． 13.【答案】  【解析】解：如图： 设，，， 因为，为单位向量，，所以是边长为的正三角形， 对于：因为，所以， 因此点在以为圆心，为半径的圆上，而，所以， 故A正确； 对于：设，中点为， 则， 因为， 所以， 在中，因为，，， 所以由余弦定理得：，即， 因此， 而当点与点重合时，最小，最小值为， 所以的最小值为， 故B错误； 对于：因为是边长为的正三角形， 所以，， 而由选项A知，点在以为圆心，为半径的圆上， 因此， 因为在方向上的投影长度是 ， 而，因此， 即在方向上的投影长度的范围为， 故C正确； 对于：因为，， 所以， 而是边长为的正三角形， 因此， 令，把代入， 得：， 而关于的方程有解， 因此，解得， 把代入， 解得，此时， 所以的最大值为， 故D正确． 故选：． 14.【答案】  【解析】解：若，则，解得． 故答案为：． ，若，则． 本题考查平面向量平行的坐标表示，属于基础题． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查的是向量的综合运算． 可结合条件求出向量，进而求出，，即可得解． 【解答】 解：设，， 由已知得， 同理， 则， 又因为， 所以， 得， 由，对上式整理得， 解得， 所以，所以， 故答案为． 16.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 解：以为轴，为轴，建立直角坐标系如下图， 设， 则，，，，， 即为平面内一点到，，三点的距离之和， 由费马点知：当点与三顶点，，构成的三角形为费马点时， 最小， 将三角形放在坐标系中如下图： 现在先证明的三个内角均小于 ，，， ， 为锐角三角形，满足产生费马点的条件，又因为是等腰三角形， 点必定在底边的对称轴上，即轴上，，， ，即， 现在验证， ， ，同理可证得， 即此时点是费马点，到三个顶点，，的距离之和为， 即的最小值为 故答案为：． 17.【答案】解：， 所以， ， 所以， 在上的投影向量为， ， 设向量与夹角为， 则．   【解析】本题主要考查了向量的数量积，向量的模，向量的加法，减法，数乘运算，向量的夹角，投影向量的应用， 根据已知及向量的数量积，向量的模的计算，求出； 根据已知及投影向量的计算，求出在上的投影向量； 根据已知及向量的夹角的计算，求出向量与夹角的余弦值。 18.【答案】解：Ⅰ由条件知， 即，又四边形是平行四边形， 故四边形是菱形． Ⅱ由平行四边形及三角形中位线的性质可知． 所以． 作出向量如图所示．   【解析】本题考查平面向量的线性运算． 由，可得四边形是菱形． 将代入所求化简即可． 19.【答案】解： ； ； ； ．  【解析】本题主要考查了向量的加减运算，熟练掌握向量的运算法则是解题的关键，属于基础题． 直接根据向量的运算法则计算各式即可． 20.【答案】解：由题意知， 又， 所以，， 所以； 因为，， 所以 ， 所以， 又， 所以， 设，则， 所以 ， 所以的最小值为，此时．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 学科网（北京）股份有限公司 $$