暑假作业11 分式方程及含参问题（10大题型）-【暑假分层作业】2025年八年级数学暑假培优练（北师大版）

完成时间： 月 日 天气： 作业11 分式方程及含参问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：分式方程的定义】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【题型二：解分式方程 】 1．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·海南·专题练习）若代数式和的值相等，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）当 时，分式的值等于． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）当x= 时， 与互为相反数. 【题型三：解分式方程的计算题 】 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）解方程： （1）； （2） 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）解方程． (1)； (2)． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1)． (2)． 4．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 【题型四：解分式方程的阅读题 】 1．（23-24八年级上·北京·期中）在解分式方程时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘以，得             ①             ② 解得 检验：时，，   ③ 所以，原分式方程的解为.     ④ 如果假设基于上一步骤正确的前提下， 你认为小兰在哪些步骤中出现了错误 .（只填序号） 2．（2025·甘肃酒泉·三模）问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． (1)在上述解方程过程中，从第 步开始错误； (2)写出正确的解答过程． 3．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：_______，________； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值 【题型一：用分式方程的解确定字母的值】 1．（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 2．（2025·四川乐山·一模）方程的解是，则的值（    ） A． B． C． D．无解 3．（2025·河南平顶山·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 4．已知方程的解为x＝2，求的值． 5．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 【题型二：利用分式方程的增根确定字母的取值 】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（   ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·河南新乡·期末）若关于x的分式方程有增根，则增根为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的分式方程，若该方程有增根，则的值为（        ）． A． B．1 C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程有增根，则m的值是 ． 5．（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程． （1）m为何值时，这个方程的解是5？ （2）m为何值时，这个方程有增根？ 【题型三：用分式方程的解确定字母的取值范围 】 1．（22-23八年级下·江苏·期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 2．（2022·山东泰安·三模）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 5．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【题型四：利用分式方程的有解无解确定字母的取值 】 1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 3．（2024秋•海阳市期中）若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【题型一：分式方程的规律探究题 】 1．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 2．（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料： 方程的解为x＝1； 方程的解为x＝2； 方程的解为x＝3； … (1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解； (2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程． 3．（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知： ①可转化为，解得， ②可转化为，解得， ③可转化为，解得， 根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为 ． 4．（2023·陕西·八年级统考期末）解方程： ①的解x=　 　． ②的解x=　 　． ③的解x=　 　． ④的解x=　 　． … （1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解． （2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【题型二：利用分式方程的整数解求字母的值 】 1．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 2．（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若a使得关于x的分式方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 5．（24-25九年级下·重庆大足·期末）若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业11 分式方程及含参问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：分式方程的定义】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列关于x的方程是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键．根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、不含有分式，不是分式方程，不符合题意； B、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； C、分母中不含有x，不是关于x的分式方程，不符合题意； D、分母中含有x，是关于x的分式方程，符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）下列方程中，属于分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此求解即可． 【详解】解；由分式方程的定义可知，四个选项中只有A选项中的方程是分式方程， 故选：A． 3．（24-25八年级下·全国·课后作业）下列方程中，是分式方程的有 （填序号）． ①；②；③；④． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．根据分式方程的定义，逐个分析即可判断． 【详解】解：是整式方程，不是分式方程，故①不符合题意； 是分式方程，故②符合题意； 是分式方程，故③符合题意； 是整式方程，不是分式方程，故④不符合题意； 综上所述，是分式方程的有②③． 故答案为：②③． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）下列方程：①，②，③，④，⑤中，关于x的分式方程有（填写序号）： ． 【答案】⑤ 【分析】根据分式方程的定义逐个判断即可．本题考查了分式方程的定义，能熟记分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，是解此题的关键． 【详解】解：方程①、②、③、④的分母中都不含未知数，不是分式方程，⑤的分母中含有未知数，是分式方程， 所以分式方程有⑤． 故答案为：⑤． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【答案】 ①②⑥⑦ ③④⑤⑨ 【分析】根据整式方程和分式方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程． ∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨． 故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨． 【点睛】本题考查判断整式方程和分式方程．解题的关键是掌握整式方程是指方程里所有的未知数都出现在分子上，分母只是常数而没有未知数的一类方程；分式方程是指分母里含有未知数或含有未知数整式的有理方程． 【题型二：解分式方程 】 1．（2025·贵州遵义·三模）解分式方程时，去分母的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据去分母的过程进行解答即可，熟练掌握解分式方程方法步骤是解题关键． 【详解】解：， 去分母得， ， 故选：D． 2．（2025九年级下·海南·专题练习）若代数式和的值相等，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程，根据代数式的值相等得到关于x的分式方程，去分母把分式方程变为整式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解：代数式和的值相等， 则， 去分母得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 故选：D． 3．（2025·广东河源·模拟预测）嘉琪准备完成题目：解方程．发现第一个分式的分母印刷不清，查阅答案后发现标准答案是，请你帮助嘉琪推断印刷不清的分母可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．设印刷不清的分母为，由题意得，得出，再逐项分析即可判断． 【详解】解：设印刷不清的分母为， 由题意得，， 解得：， A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）当 时，分式的值等于． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，解分式方程，根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握解分式方程的方法及步骤是解题的关键． 【详解】解：根据题意得：， ， 解得：， 经检验是分式方程的解； 故答案为：． 5．（23-24八年级上·全国·课后作业）当x= 时， 与互为相反数. 【答案】 【详解】由题意可得：， 解此方程得：，经检验：是这个方程的解， ∴当时，与互为相反数. 【题型三：解分式方程的计算题 】 1．（23-24八年级下·江苏连云港·期末）解方程： （1）； （2） 【答案】(1)x=-6（2）无解 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）去分母得：3x＋6−2x＝0， 解得：x＝−6， 经检验x＝−6是分式方程的解； （2）去分母得：15x−12＝4x＋10−3x＋6， 移项合并得：14x＝28， 解得：x＝2， 经检验x＝2是增根，分式方程无解． 【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为 2．（2025八年级下·江苏·专题练习）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式方程的计算，熟知运算法则是解题的关键． （1）先去分母，再计算一元一次方程即可； （2）先去分母，再计算一元一次方程即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解； （2）解： 方程两边同乘，得， 解得：， 检验：时，， ∴是该分式方程的解． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了分式方程的解法：（1）解分式方程的基本思路是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；（2）解分式方程一定注意要验根． （1）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可； （2）将方程化为整式方程，进行求解，最后检验是否为增根即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的解； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得： 当时，， 故是方程的增根；原方程无解． 4．（23-24七年级下·山东滨州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法步骤是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法步骤（去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，检验，）求解，即可解题； （2）解题方法与（1）类似． 【详解】（1）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验：把代入， ∴是原方程的增根，原方程无解； （2）解： 化为整式方程得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 检验：把代入， ∴是原方程的解． 5．（23-24八年级下·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验． （1）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答； （2）按照解分式方程的步骤，去分母化为整式方程，再进行计算即可解答． 【详解】（1）解：， 去分母得． 去括号得， ． 检验：当时，． 是原方程的解． （2）解：， 去分母得， 去括号得， ． 检验：当时，． 是增根． 原方程无解． 【题型四：解分式方程的阅读题 】 1．（23-24八年级上·北京·期中）在解分式方程时，小兰的解法如下： 解：方程两边同乘以，得             ①             ② 解得 检验：时，，   ③ 所以，原分式方程的解为.     ④ 如果假设基于上一步骤正确的前提下， 你认为小兰在哪些步骤中出现了错误 .（只填序号） 【答案】①② 【详解】第①、②步出错， 正确解法为：去分母得：2(x−1)−3(x+1)=1， 去括号得：2x−2−3x−3=1， 移项合并得：−x=6， 解得：x=−6， 经检验x=−6是分式方程的解. 故答案为①② 2．（2025·甘肃酒泉·三模）问题情境：在解分式方程时，小亮的解法如下： 第一步：方程两边都乘，得． 第二步：解这个方程，得． 第三步：经检验，为原方程的解． (1)在上述解方程过程中，从第 步开始错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)第一步 (2)方程无解，见解析 【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可． （1）根据去分母的步骤进行解答即可； （2）按照正确的步骤去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察可知，上述解方程过程中，从第一步开始错误，错误原因是方程右边的这一项漏乘了． 故答案为：一； （2） 方程两边都乘，得． 解这个方程，得． 经检验，为增根，原分式方程无解． 73．（19-20八年级上·湖南张家界·期末）解分式方程： (1)                        (2) 【答案】（1） ； （2）原分式方程无解 【分析】（1）方程左右两边同时乘以 ，去掉分母，然后解整式方程并检验； （2）方程左右两边同时乘以 ，去掉分母，然后解整式方程并检验. 【详解】（1）去分母得， 解整式方程得， 经检验是原分式方程的解. （2）去分母得， 解整式方程得， 经检验是原分式方程的增解. 故原分式方程无解. 【点睛】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的步骤和检验是否为增根是解题的关键. 整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 3．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，一 (2)习题1：；习题2： 【分析】本题考查了解分式方程，分式的加减法，正确计算是解题的关键． （1）根据分式的通分判断习题1的第一步；根据分式方程去分母这一步骤判断习题2的第一步； （2）习题1：根据分式的加减法则计算即可；习题2：根据解分式方程的步骤解答即可． 【详解】（1）解：一、一； 故答案为：一，一； （2）习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 4．（24-25八年级下·山东济南·期中）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得．又因为，所以关于x的方程的解为． (1)理解应用：方程的解为：_______，________； (2)知识迁移：若关于x的方程的解为，求的值； (3)拓展提升：若关于x的方程的解为，求的值 【答案】(1)5， (2)43 (3)32 【分析】（1）根据材料中的方法求解即可； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵的解为， ∴的解为或， 故答案为：5，； （2）解：∵方程， ∴根据题意设，， ∴； （3）解：∵方程 ∴ ∴， 设，方程变形为， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴或， ∴，， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，完全平方公式，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键． 【题型一：用分式方程的解确定字母的值】 1．（2025·广东汕尾·二模）若关于x的分式方程的解为，则m的值为（   ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了利用分式方程的解求参数．把代入方程，解方程即可求解． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得， 检验：当时，， ∴m的值为3 故选：D． 2．（2025·四川乐山·一模）方程的解是，则的值（    ） A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，把代入分式方程解答即可求解，掌握分式方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵方程的解是， ∴， ∴， 故选：． 3．（2025·河南平顶山·二模）已知是分式方程 的解，则实数 ． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的解和解分式方程，把代入原方程即可求出k的值再进行检验即可． 【详解】解：将代入， ∴， 解得：， 经检验，是方程的解， 故答案为：3． 4．已知方程的解为x＝2，求的值． 【答案】． 【分析】先把x＝2代入即可得出a的值，再化简，把a的值代入即可得出的值． 【详解】解：把x＝2代入得，a＝3， ∴原式 ， 当a＝3时，原式． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及分式的化简求值，把分式化简是解题的关键． 5．（24-25八年级上·四川泸州·期末）已知方程． (1)若是方程的解，求m的值； (2)若，解方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式方程的解，解分式方程， 对于（1），将方程的解代入原方程，求出m的值即可； 对于（2），将m的值代入原方程，再根据解分式方程的步骤求出解，然后检验． 【详解】（1）解：∵是方程的解， ∴， 解得； （2）解：当时，， 去分母，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 经检验，.是原方程的根． 【题型二：利用分式方程的增根确定字母的取值 】 1．（24-25九年级上·山东济宁·阶段练习）解关于x的分式方程时会产生增根，则m的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要查了分式的增根问题．分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可． 【详解】解：去分母得：， ∵分式方程有增根， ∴，即， 把代入整式方程得： ， ∴． 故选：B 2．（22-23八年级下·河南新乡·期末）若关于x的分式方程有增根，则增根为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据增根是使整式方程成立，使最简公分母的值为0的未知数的值，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查增根．熟练掌握增根的定义，是解题的关键． 3．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）已知关于的分式方程，若该方程有增根，则的值为（        ）． A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，确定方程的增根是解题的关键．方程去分母化为整式方程，求得x的值，根据方程有增根即可确定m的值． 【详解】解：方程去分母得：， 解得：， 由于方程的增根为，则， 解得：； 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于的分式方程有增根，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的问题，掌握解分式方程的方法是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据分式方程有增根条件求出m的值即可． 【详解】解： 去分母得： 当时，，解得 故m的值为． 故答案为：． 5．（2023春•宜宾月考）已知关于x的方程． （1）m为何值时，这个方程的解是5？ （2）m为何值时，这个方程有增根？ 【答案】（1）m＝3 ； （2）﹣3或0． 【分析】（1）把x＝5代入，然后解关于m的方程即可； （2）去分母化为整式方程，再求出方程有增根时x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：（1）∵方程的解是5， ∴把x＝5代入，得 ， 解得m＝3； （2）， 两边都乘以（x﹣3）（x﹣4），得 x（x﹣4）﹣（x﹣3）（x﹣4）＝m， 整理得3x﹣12＝m， ∵方程有增根， ∴x＝3或x＝4， 当x＝3时， m＝3×3﹣12＝﹣3， 当x＝4时， m＝3×4﹣12＝0， ∴m的值为﹣3或0． 【点睛】本题考查了分式方程的解，以及分式方程的增根，熟练掌握当分母等于0时分式方程有增根是解答本题关键． 【题型三：用分式方程的解确定字母的取值范围 】 1．（22-23八年级下·江苏·期中）已知关于x的方程的解是负数，那么m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】首先去分母化分式方程为整式方程，然后求出整式方程的解，结合题目条件即可求出m的取值范围． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， ∵原方程的解是负数， ∴，且， ∴且． 故选D． 【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，解题的关键在于利用分式方程的解是负数的条件，同时考虑整式方程的解不能使分式方程的分母为0． 2．（2022·山东泰安·三模）若关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】去分母将分式方程化为整式方程求解，再根据方程的解是负数及分式的性质得到-1-a>0，且-1-a0，求出结果． 【详解】解： 4x+2a-2x+2=0 2x=-2-2a x=-1-a， ∵方程的解是正数 ∴-1-a>0，且-1-a0， 解得且， 故选：D． 【点睛】此题考查了根据分式方程的解的情况求参数，正确掌握解分式方程的法则是解题的关键． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为非负数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为非负数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：A． 4．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于x的分式方程的解的取值范围为，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】此题考查的是根据分式方程解的情况，求参数的取值范围，掌握分式方程的解法和分式方程的增根是解决此题的关键． 先将分式方程化为整式方程求出方程的解，再根据方程解的取值范围以及分母不为零的条件确定的取值范围． 【详解】解： ． 解得． ∵方程的解的取值范围为， ∴， ∴． ∵分母不能为，即， 把代入得， 解得． ∴的取值范围是且， 故选：C． 5．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于的分式方程 (1)若该方程有增根，求的值； (2)若该方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，通过解方程求出方程的根是解题的关键． （1）先解方程求出方程的根，再根据方程有增根，即求出的方程的根满足分母为0建立方程求解即可； （2）根据方程的根为非负数，结合（1）所求建立不等式求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 解得， ∵关于的分式方程有增根， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得， 解得， 又∵原方程不能有增根， ∴，即， ∴， ∴且． 【题型四：利用分式方程的有解无解确定字母的取值 】 1．（2025·黑龙江牡丹江·一模）若关于的方程有解，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题考查解分式方程．根据分式的求解步骤求解，再根据解的结果求值即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得， 去括号、移项、合并同类项得， ∵关于的方程有解， ∴且且，解得且， 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段练习）若关于的方程无解，则的取值为（    ） A．2 B．或3 C．或2 D．或2或3 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，掌握解分式方程的步骤和分式方程有无解的条件是解决本题的关键． 先解分式方程，再根据分式方程无解得关于的方程即可． 【详解】解： ∵原分式方程无解， ∴， 解得， 当时， ，该方程无解； 当时， ， ； ∴的取值为或2， 故选：C． 3．（2024秋•海阳市期中）若分式方程无解，则k的值为（　　） A．±1 B．2 C．1或2 D．﹣1或2 【答案】C 【分析】先去分母，方程两边同时乘x﹣2，解方程把x的值用k表示出来，然后根据各个选项中的k值，进行判断方程有解无解，从而得到正确的答案． 【详解】解：， 去分母得：2（x﹣2）+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣4+1﹣kx＝﹣1， 2x﹣kx＝2， （2﹣k）x＝2， ∵分式方程无解， ∴x﹣2＝0，x＝2， 2﹣k＝0，k＝2， 当k＝1时，原方程为：， 2（x﹣2）+1﹣x＝﹣1， 2x﹣4+1﹣x+1＝0， x＝2， 检验：当x＝2时，x﹣2＝0， ∴k＝1时，原方程无解； 综上可知：分式方程无解时，k的值为1或2， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分式方程的解，解题关键是熟练掌握分式方程有解和无解的判断方法． 4．（24-25八年级下·重庆·阶段练习）已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程无解，求a的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根和无解，理解分式方程有增根和无解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由整式方程无解和分式方程无解求a的值即可． 【详解】（1）解：∵分式方程的根是， ∴， 解得 （2）解：去分母，并化简得， 当，即时，方程无解，则分式方程也无解， 当，即时， ∵分式方程无解， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，， 解得， 综上，当或时，分式方程无解． 5．（24-25八年级上·全国·假期作业）已知，关于的方程：． (1)若方程有增根，求的取值； (2)若方程无解，求的取值； (3)若方程的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)若方程有增根，的取值为或 (2)若方程无解，的取值为或或 (3)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程，掌握分式方程的解法是解题的关键． （）根据分式方程的解法得出，然后将增根代入求解即可； （）分当时原分式方程无解，当或时方程有增根，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可； 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； （2）解：∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （3）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 【题型一：分式方程的规律探究题 】 1．（2023下·江苏常州·八年级校考期中）先阅读下面的材料，然后回答问题： 方程的解为，； 方程的解为，； 方程的解为，； … (1)根据上面的规律，猜想关于x的方程的两个解是 ． (2)解方程：，可以变形转化为的形式，写出你的变形求解过程，运用（1）的结论求解． (3)方程的解为 ． 【答案】(1)， (2)，，过程见解析 (3)， 【分析】（1）从数字找规律，即可解答； （2）先将原方程进行变形可得：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答； （3）利用换元法将原方程化为：，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：根据上面的规律，猜想关于的方程的两个解是，， 故答案为：，； （2）解：， ， ， 或， ，， 经检验：，是原方程的根； （3）解：令，则原方程可化为：， ， ，， 或， 解得：，， 经检验：，是原方程的根， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（2023下·八年级课时练习）阅读下列材料： 方程的解为x＝1； 方程的解为x＝2； 方程的解为x＝3； … (1)请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并猜出这个方程的解； (2)根据(1)中所得的结论，写出一个解为－5的分式方程． 【答案】（1），它的解是x＝a＋2(a为整数)；（2）. 【分析】（1）观察发现规律，根据所给式子可得答案； （2）根据规律，可得方程． 【详解】解：(1)方程可以是，它的解是x＝a＋2(a为整数)． (2). 【点睛】本题考查了解分式方程，细心观察并总结出一般规律是解题关键. 3．（2023上·山东淄博·八年级统考期末）已知： ①可转化为，解得， ②可转化为，解得， ③可转化为，解得， 根据以上规律，关于的方程(为常数)的解为 ． 【答案】， 【分析】根据已知数列找出规律进而得出的解． 【详解】解：∵①可转化为，解得， ②可转化为，解得， ③可转化为，解得， ∴规律为：，其解为：， ∴关于的方程(为常数)， ∴， ， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了分式方程，利用转化思想是解题的关键 4．（2023·陕西·八年级统考期末）解方程： ①的解x=　 　． ②的解x=　 　． ③的解x=　 　． ④的解x=　 　． … （1）根据你发现的规律直接写出⑤，⑥个方程及它们的解． （2）请你用一个含正整数n的式子表示上述规律，并求出它的解． 【答案】①x=0②x=1③x=2④x=3（1）x=4，x=5（2）x=n﹣1 【详解】试题分析：（1）等号左边的分母都是，第一个式子的分子是1，第二个式子的分子是2，那么第5个式子的分子是5，第6个式子的分子是6．等号右边被减数的分母是，分子的等号左边的分子的2倍，减数是1，第一个式子的解是，第二个式子的解是，那么第5个式子的解是第6个式子的解是． （2）由（1）得第个式子的等号左边的分母是，分子是，等号右边的被减数的分母是，分子是，减数是1，结果是 试题解析：①，②，③，④ （1）第⑤个方程：解为 第⑥个方程：解为 （2）第个方程：解为 方程两边都乘 得 解得 【题型二：利用分式方程的整数解求字母的值 】 1．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如果关于的分式方程有非负整数解，关于的不等式组有且只有2个整数解，则所有符合条件的的和是（    ） A．3 B．5 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的解以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键． 由题意根据分式方程去分母转化为整式方程，由解为非负整数解以及不等式组只有2个整数解，确定出符合条件m的值，求出它们的和即可． 【详解】解：去分母得：， 解得， 由解为非负整数解，得到，且，即且， 不等式组整理得：， 由不等式组只有2个整数解，得到， 即， 解得：， 则符合题意，它们的和为8. 故选：C． 2．（2025·四川德阳·模拟预测）若整数使得关于的不等式组至少有2个整数解，且使得关于的分式方程方程有整数解，则满足条件的整数之和为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组的解求参数的取值范围、解分式方程，由题意可得，得出，解分式方程可得，结合题意确定出的值，求和即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵整数使得关于的不等式组至少有2个整数解， ∴， 解得：， 解分式方程可得：， ∵关于的分式方程方程有整数解， ∴或或， 解得：或或或或或， ∵， ∴， ∵， ∴或或或， ∴满足条件的整数之和为， 故选：C． 3．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）若a使得关于x的分式方程有正整数解，且关于x的不等式组的解集为，则满足条件的所有整数a的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况，求参数的范围，根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先根据方程的解，每个不等式的解集，再根据题意，求出的范围，进而求出符合题意的整数，求和即可． 【详解】解：解，得：， ∵关于x的分式方程有正整数解， ∴为正整数，， ∴， ∴； 解，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， ∴； 故选A． 4．（24-25八年级下·重庆·期中）若关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解，且关于y的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数m的值之和为（   ）． A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法与分式方程的解法，注意原分式方程的最简公分母不能为零，求出参数m的取值范围是解答本题的关键． 解出一元一次不等式的解集和分式方程的解，根据题目要求求出m的取值范围，再求出满足条件的整数m的值之和即可． 【详解】解：解一元一次不等式，得， ∵关于x的一元一次不等式至少有1个正整数解， ∴， ∴， 关于y的分式方程，得，且，即， ∵分式方程的解是非负数， ∴， ∴， 即且， ∴满足条件的整数m的值有：， ∴， 故选：C． 5．（24-25九年级下·重庆大足·期末）若关于的方程有整数解，且关于的不等式组至少有两个整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程和分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的步骤是解本题的关键． 先解分式方程得到，根据分式有意义的条件和有整数解确定或2或，再解得，根据关于的不等式组至少有两个整数解，得到，继而即可求解． 【详解】解： ， 解得：， ∵为整数，且， ∴或或， ∴或2或， 解得：， ∵关于的不等式组至少有两个整数解， ∴， 解得：， ∴舍， ∴或， ∴符合条件的所有整数的和为：， 故答案为：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$