专题04 立体几何-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（内蒙古专用）

专题04 立体几何 题型概览 题型01 距离问题 题型02 外接球、内切球 题型03 空间几何体表面积与体积 题型04 线线角、线面角、二面角 题型05 立体几何范围与最值问题 距离问题题型01 1．（2025·内蒙古包头·二模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最大值． 2．（2025·内蒙古包头·二模）如图，平行六面体的体积为，，，，． (1)求点A到平面的距离； (2)求四棱锥的体积． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 外接球、内切球题型02 4．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 5．（2025·内蒙古包头·二模）正方体的棱长为4，点E在对角线上，若，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 6．（2025·内蒙古包头·二模）正方体的棱长为，点在对角线上，若，则四棱锥的外接球的表面积为 ． 7．（2025·内蒙古·二模）在平行四边形中，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 . 8．（2025·内蒙古包头·二模）已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·湖北·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 10．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·内蒙古赤峰·二模）若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为 . 空间几何体表面积与体积题型03 12．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为 . 13．（2025·内蒙古包头·二模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 14．（2025·宁夏内蒙古·二模）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 15．（2025·内蒙古包头·二模）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 16．（2025·内蒙古赤峰·二模）在体积为9的三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 17．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）一个圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 18．（2025·内蒙古·二模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，. (1)证明：； (2)已知平面平面，，求四棱锥的体积. 19．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段上的点， 平面 .    (1)求证: 点H为线段的中点; (2)求三棱锥 的体积. 线线角、线面角、二面角题型04 20．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 21．（2025·河北保定·二模）如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，．    (1)求该五棱柱的体积． (2)证明：平面平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 22．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，且四棱锥的体积是． ①求的长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 23．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在四棱锥中，，平面. (1)证明：； (2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值. 24．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足. (1)当时，求证：； (2)若平面与平面所成角的正切值为，求的值. 25．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，点为棱的中点.    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 26．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在菱形中，，沿将向上折起得到棱锥.如图2所示，设二面角的平面角为. (1)当为何值时，三棱锥和四棱锥的体积之比为； (2)当时，求平面与平面所成角的正弦值. 27．（2025·内蒙古包头·二模）如图，平行六面体的体积为，，，，． (1)求点A到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 28．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图, 在三棱台 中, 和都为等边三角形, 且边长分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面 . (1)求证: 点 H为线段BC的中点; (2)求二面角 的余弦值. 立体几何范围与问题题型05 29．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，棱长为2的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，是线段上的动点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．平面 B． C．的最小值为 D．三棱锥的外接球的体积为 30．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（    ） A．存在无数条直线与直线平行 B．与不可能垂直 C．二面角不可能为定值 D．点到任意直线的距离都不可能小于 31．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 32．（2025·宁夏内蒙古·二模）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上． （i）证明：平面平面； （ii）求球O的半径 (2)求二面角的余弦值的最小值. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 立体几何 题型概览 题型01 距离问题 题型02 外接球、内切球 题型03 空间几何体表面积与体积 题型04 线线角、线面角、二面角 题型05 立体几何范围与最值问题 距离问题题型01 1．（2025·内蒙古包头·二模）如图，在四棱锥中，平面，，点在棱上，且不与和重合，平面交棱于点． (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最大值． 【解析】（1）因为，且平面平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以； （2）取的中点，连接，则，又， 所以四边形为平行四边形， 因为平面平面，所以，故四边形为矩形， 在中，，又， 所以在中，，所以． 因为平面平面，所以， 又因为平面，且，所以平面， 以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为，则， 即，可取． 设平面的法向量为，则， 即，可取． 设二面角的大小为， 则 则二面角的正弦值为； （3）设，则， 设平面的法向量为， 则，即，可取． 因为， 所以， 故，设，则， 令，得，解得（舍去），， 故时，时，， 所以， 故的最大值为． 2．（2025·内蒙古包头·二模）如图，平行六面体的体积为，，，，． (1)求点A到平面的距离； (2)求四棱锥的体积． 【解析】（1）由题意可知底面是平行四边形，又，所以底面是菱形，所以O为底面的中心， 连结，因为，，所以，， 又且都在面内，所以底面， 又平面，所以平面底面， 因为底面，面，所以， 又根据底面ABCD是菱形，可知，又且都在面， 所以平面，故为点A到平面的距离． 因为，，所以是边长为4的正三角形， 所以，即点A到平面的距离为2． （2）因为为平行六面体的高， 又平行六面体的体积为， 所以，解得． 四棱锥可以分成两个三棱锥和， 平行六面体性质，有四边形是平行四边形，所以这两个三棱锥等底等高，体积相等． 故． 所以四棱锥的体积为． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且． (1)设线段中点为，证明：平面； (2)在线段上是否存在点，使得点到平面的距离等于，如果存在，求的长． 【解析】（1）取的中点，的中点，连结、、， 则有，， 因为，，所以且， 所以四边形是平行四边形，则， 又平面，平面， 所以平面. （2）存在.设，在中，. 因为平面，所以. 因为平面，平面，平面 所以,， 则均为直角三角形. 在中，， 同理，. 取的中点，因为，所以， 而. 故. 因为点到面的距离等于， 所以. 而，所以，解得. 所以在线段上只存在唯一一点，当且仅当时，点到面的距离等于. 外接球、内切球题型02 4．（2025·内蒙古鄂尔多斯·二模）如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】因为，，平面， 所以平面， 将三棱锥补形为如图所示的直三棱柱，则它们的外接球相同， 外接球的球心在棱柱上下底面三角形的外心连线上， 令的外心为，由为等边三角形，， 得， 因为，所以在中，， 即外接球的半径为2， 所以外接球的表面积为. 故答案为： 5．（2025·内蒙古包头·二模）正方体的棱长为4，点E在对角线上，若，则三棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】正方体的棱长为4，点E在对角线上，,若，E是中点， 则三棱锥的外接球与正四棱锥的外接球相同， 设正四棱锥的底面中心为O，则在中， ，所以，， 因为为正四棱锥，所以其外接球球心在上，设球心为，半径为. 连接，则有.在中，，由得，，整理得，. 所以外接球表面积. 故答案为： 6．（2025·内蒙古包头·二模）正方体的棱长为，点在对角线上，若，则四棱锥的外接球的表面积为 ． 【答案】 【解析】因为，又，所以为的中点， 过点作交于，易知面，且为的中心， 则四棱锥的正四棱锥，所以球心在射线上，如图所示， 设四棱锥的外接球的半径为， 易知，，所以，解得， 所以四棱锥的外接球的表面积为， 故答案为：. 7．（2025·内蒙古·二模）在平行四边形中，，沿将折起，则三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】在中，， 由余弦定理得， 得到，所以，则， 由题可知，当平面时，三棱锥的体积最大， 如下图，可将三棱锥补全为正方体， 则三棱锥外接球的半径即为正方体外接球的半径，易知, 所以，故三棱锥外接球的表面积为， 故答案为：. 8．（2025·内蒙古包头·二模）已知圆台的上、下底面半径分别为．半径为的球与该圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，设内切球的半径为， 设圆台上、下底面圆心分别为，则圆台内切球的球心一定在的中点处， 设球与母线切于点，所以，所以， 所以与全等，所以，同理， 圆台的母线长，而，因此， 所以，过作，垂足为， 则，所以， 所以球的表面积为. 故选：C. 9．（2025·湖北·二模）已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，，，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图： 在中，， 由余弦定理：, 所以，所以外接圆半径为，即. 在直角三角形中，，，所以. 设棱锥外接球半径为，在直角三角形中，， 解得：. 所以球的表面积为：. 故选：A 10．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知某圆台的母线长为，母线与轴所在直线的夹角是，且上、下底面的面积之比为，则该圆台外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图：上，下底面圆心分别为，外接球球心为， 连接如图所示： 因为上、下底面的面积之比为1：4，则上底面半径与下底面半径之比为，即， 又母线与轴所在直线的夹角是,故，结合, 则有，故 记圆台外接球半径为， 在直角和直角中由勾股定理知：， 则有，解可得， 故圆台外接球的半径， 则该圆台外接球的表面积． 故选：C． 11．（2025·内蒙古赤峰·二模）若一个正方体内切球的表面积为，则这个正方体的体积为 . 【答案】 【解析】设这个正方体的内切球的半径为，由，得， 则这个正方体的棱长为，故这个正方体的体积为. 故答案为：. 空间几何体表面积与体积题型03 12．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）边长为的正方形，经如图所示的方式裁剪后，可以围成一个正四棱锥，若内部小正方形的边长为，则此正四棱锥的体积为 . 【答案】/ 【解析】设底面的中心为，设线段的中点为，连接、， 因为，则， 因为为的中点，则，， 且，所以，， 翻折前，则、、三点共线，则，可得， 翻折后，在正四棱锥中，如下图所示： 由正四棱锥的几何性质可得平面， 因为平面，所以，， 由勾股定理可得， 正方形的面积为， 因此，正四棱锥的体积为. 故答案为：. 13．（2025·内蒙古包头·二模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，，E，F为上底面圆周上的两个动点，且EF过上底面的圆心G，若，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图设圆柱的下底面的圆心为，连接， 则，且平面， 平面，所以，又，， 所以，又，平面， 所以平面，且， ， 所以. 故选：B. 14．（2025·宁夏内蒙古·二模）底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高， ∴圆锥的体积为. 故选：A. 15．（2025·内蒙古包头·二模）已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且圆锥的底面积为 ，则此圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 由题意可得：，解得， 所以圆锥的体积为. 故选：B. 16．（2025·内蒙古赤峰·二模）在体积为9的三棱锥中，，，则三棱锥的体积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【解析】如图所示，因为，， 可得分别是上靠近的三等分点，所以， 又因为三棱柱和三棱锥的高相等，且， 所以，可得. 故选：C. 17．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）一个圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为，则该圆锥的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由圆锥的底面半径为1，母线与底面的夹角为， 易知圆锥的轴截面为等腰直角三角形， 所以圆锥的高为1， 所以圆锥的体积为：， 故选：A. 18．（2025·内蒙古·二模）如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，. (1)证明：； (2)已知平面平面，，求四棱锥的体积. 【解析】（1）设为的中点，连接，，，， 因为，所以， 因为四边形为菱形，，所以为等边三角形， 则， 又，所以平面， 因为平面，所以； （2）因为，，所以平面， 因为平面，所以， 所以四边形为菱形，即， 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，且， 又因为，则， 故. 19．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图， 在三棱台 中， 和 都为等边三角形，且边长分别为2和4， , 为线段 的中点， 为线段上的点， 平面 .    (1)求证: 点H为线段的中点; (2)求三棱锥 的体积. 【解析】（1）连接， 设 连接、 因为三棱台 所以 又 所以四边形为平行四边形 所以 . 又平面， ⊂平面， 平面∩平面 ∴ ∵四边形 是正方形，O是的中点， ∴点H是的中点. （2）因为 则 又 平面ABC ∴平面, 由（1） 知 且 是边长为4的等边三角形， ∵H为中点， ,              线线角、线面角、二面角题型04 20．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知正四棱锥的所有棱长均相等，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】连接，取的中点，连接， 由题意知，， 则异面直线与所成角为（或其补角）， 在中，， 则， 则异面直线与所成角的余弦值为， 故选：C． 21．（2025·河北保定·二模）如图，在直五棱柱中，四边形为正方形，为等腰直角三角形，．    (1)求该五棱柱的体积． (2)证明：平面平面． (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）因为为等腰直角三角形，，所以，且， 因为四边形为正方形，所以 在直五棱柱中，底面， 所以该五棱柱的体积； （2）在直五棱柱中，底面， 因为底面，则， 因为，所以， 因为且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面 （3）由题意可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， 设平面的法向量为，则， 即 ，取，则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 22．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，四边形为菱形，平面，过的平面交平面于，． (1)求证：平面； (2)若平面平面，，且四棱锥的体积是． ①求的长； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）证明：∵平面，过的平面交平面于， ∴，又∵，∴四边形为菱形 ∴，∵平面，平面，∴平面. 又∵四边形为菱形，∴同理平面， ∵，平面，∴平面平面， 又平面，∴平面； （2）①连接交于点，连接， ∵，且，则为等边三角形， 又四边形为菱形，则为中点，∴ 又∵平面平面，且交线为 ∴平面 ∵，∴ ∴ ∴. ②建系：以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， ∴，，，，， ∴，，， 令平面的法向量为，则 ，，∴ 设与平面所成角为， ∴. 23．（2025·内蒙古通辽·二模）如图，在四棱锥中，，平面. (1)证明：； (2)求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值. 【解析】（1）证明：过点作，垂足为， 因为平面， 以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 设， 则， 所以， 则， 所以，即. （2）由（1）知，， 设平面PAB的一个法向量为， 则，取，得， 设平面PCD的一个法向量为， 则，取，得， 设平面PAB与平面PCD所成角为， 则， 则， 即平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为. 24．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图所示，三棱柱中，平面平面，，，点为棱的中点，动点满足. (1)当时，求证：； (2)若平面与平面所成角的正切值为，求的值. 【解析】（1）方法一：由可得，， 即，即. 如图： 当时，在中，，，，因为，所以，又，所以. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 又平面，所以. 又在平行四边形中，，，为中点，所以， ，平面， 所以平面. 又平面，所以. 方法二：（向量方法） 因为平面平面，平面平面，所以过作于，则平面； 连接，因为，所以. 在中，，，. 所以，则， . ， 当时，. . 所以. （2）如图，由（1）得：两两垂直，故可以为原点，方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立如图所示坐标系. 平面中，，. ， 设平面的法向量为：， 则, 令，则； 平面中，由（1）可知，， 设，因为，， 所以. ， 设平面的法向量为， 则, 令，则； 由题意，设平面与平面所成角为，且，则.，解得. 即平面与平面所成角的正切值为时，的值为. 25．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，其中，点为棱的中点.    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值. 【解析】（1）由，即，得，而， 平面，则平面，又平面，于是， 由为等边三角形，且点为棱的中点，得，又， 平面，因此平面，而平面， 所以. （2）由（1）知平面，而平面，平面平面， 在平面内过点作，而平面平面，则平面， 直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 又平面的法向量为，设二面角的平面角为， 则，， 所以二面角的的正弦值为. 26．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在菱形中，，沿将向上折起得到棱锥.如图2所示，设二面角的平面角为. (1)当为何值时，三棱锥和四棱锥的体积之比为； (2)当时，求平面与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）由图知，，从而， 因，故,则,于是，； （2）因为菱形的对角线互相垂直， 设与的交点为，由可知O点为线段EF的中点， 在翻折的过程中，始终有， 所以二面角的平面角为， 以为坐标原点，分别为轴､轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则， 可得， 设平面的法向量为，则 令，则，可取 因平面,故平面的法向量可取为， 由题意可得，因， 故. 27．（2025·内蒙古包头·二模）如图，平行六面体的体积为，，，，． (1)求点A到平面的距离； (2)求二面角的正弦值． 【解析】（1）由题意可知底面是平行四边形，且O为底面的中心， 又因为，所以底面ABCD是菱形， 连结， 因为，， 所以，， 又平面ABCD， 所以底面ABCD，又平面， 所以平面底面ABCD， 因为底面ABCD，底面ABCD， 所以， 又根据底面ABCD是菱形，可知， 平面， 所以平面，故A0为点A到平面的距离． 因为，， 所以△ACD是边长为4的正三角形，所以． 即点A到平面的距离为2． （2）由（1）可知OD，0A，两两互相垂直， 以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． 因为为平行六面体的高，又平行六面体的体积为， 所以，解得． 则，，，，， 所以，， 设平面的法向量为，则， 即， 取，则，， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 设二面角的大小为，则， 所以， 故二面角的正弦值为． 28．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图, 在三棱台 中, 和都为等边三角形, 且边长分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面 . (1)求证: 点 H为线段BC的中点; (2)求二面角 的余弦值. 【解析】（1）连接，设连接， 三棱台 ，则，又 ∴四边形为平行四边形，则   又平面，平面，平面平面 ∴， ∵四边形是正方形，是的中点， ∴点是的中点. （2） 且都在面，则 面， 又为等边三角形，则，又（1） 知，则面， 建立如图所示的坐标系，则 设平面的法向量， 则，令解得，                        设平面的法向量， 则，令，解得，      设二面角 的平面角为，      ，    又因为为锐角，所以. 立体几何范围与问题题型05 29．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，棱长为2的正方体，为底面的中心，为侧面的中心，是线段上的动点，为内（含边界）的动点，则下列说法正确的是（   ）    A．平面 B． C．的最小值为 D．三棱锥的外接球的体积为 【答案】ABC 【解析】对于A，以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 已知正方体棱长为，则各点坐标为：，，，，. 可得. 设平面的法向量为，，. 由，即，令，解得，，所以. 因为，所以，又平面，所以平面.故A正确. 对于B，，，则. 设，，则 . . 由于在平面上，平面的方程可由法向量和点得到， 即，所以，则.故B正确. 对于C，先求关于平面对称点. 在中，已知，， 根据余弦定理. 再在中，已知、条件， 代入余弦定理公式可算出， 即， 所以最小值是.故C正确. 对于D，三棱锥的外接球就是正方体的外接球. 正方体棱长为，则外接球的直径，所以半径. 根据球的体积公式，可得外接球体积，故D错误. 故选：ABC. 30．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）在正方体中，棱长为1，已知点，分别是线段上的动点（不含端点）.下列说法正确的有（    ） A．存在无数条直线与直线平行 B．与不可能垂直 C．二面角不可能为定值 D．点到任意直线的距离都不可能小于 【答案】AD 【解析】对于A，由，平面，平面，得平面， 则过的平面与平面相交，交直线分别于点，必有， 因此有无数条直线与直线平行，A正确； 对于B，在正方体中，，由平面，平面， 得，而平面，则平面， 又平面，因此，B错误； 对于C，由，得平面即为平面，平面即为平面， 因此二面角即为二面角，而二面角为定值， 则二面角为定值，C错误； 对于D，由选项B知，平面，点到平面的距离为， 而平面，因此点到任意直线的距离都不可能小于，D正确. 故选：AD 31．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图1，在等腰直角三角形中，，、、分别在线段、、上，且，．已知，，沿将折起，使得平面平面，如图2． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)点在线段上，设直线与直线所成角为，求的最大值． 【解析】（1），，， ，， 又，， ， ， , 又， 平面平面，且平面平面，又， 平面，平面，平面，， 平面， 平面， 平面， 平面平面 （2）平面, 建立如图所示空间直角坐标系, ，，，，，， ，，, 设平面的法向量为，则，取，, 设直线与平面所成的角为， 则. （3）设，其中， 则，，， 所以， 令，则， 所以， 当时，单调递增， 故在时，取最大值，此时. 32．（2025·宁夏内蒙古·二模）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上． （i）证明：平面平面； （ii）求球O的半径 (2)求二面角的余弦值的最小值. 【解析】（1）在中，由，得， 所以，且，即， （i）证明：因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量分别为，则， 即，取，则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$