专题03 三角函数与解三角形、数列-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（内蒙古专用）

专题03 三角函数与解三角形、数列 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 w范围与最值问题 题型05 解三角形范围与最值问题 题型06 等差、等比数列 题型07 数列通项与求和 题型08 数列的综合应用 三角函数的图像与性质题型01 1．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为2 2．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则的取值范围为 D．若，则的最小正周期为 3．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数与的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为（   ） A． B． C．2 D．3 三角函数公式题型02 4．（2025·内蒙古包头·二模）已知，则 . 5．（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 正余弦定理题型03 6．（2025·内蒙古赤峰·二模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 7．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知的内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求角； (2)若的面积为3，点为内一点，且，求的值． w范围与最值问题题型04 8．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2025·内蒙古通辽·二模）已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 解三角形范围与最值问题题型05 10．（2025·内蒙古通辽·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC上，且.则 的取值范围是 . 11．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ． 等差、等比数列题型06 12．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 13．（2025·内蒙古赤峰·二模）在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 数列通项与求和题型07 14．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 15．（2025·内蒙古包头·二模）存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 16．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 数列的综合应用题型08 17．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 18．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知数列满足，，表示不超过的最大整数，则 ． 19．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线：的焦点为F，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．点F的坐标为 D． 20．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列         B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形、数列 题型概览 题型01 三角函数的图像与性质 题型02 三角函数公式 题型03 正余弦定理 题型04 w范围与最值问题 题型05 解三角形范围与最值问题 题型06 等差、等比数列 题型07 数列通项与求和 题型08 数列的综合应用 三角函数的图像与性质题型01 1．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）将函数图象上每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则（   ） A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．在上的最大值为2 【答案】BC 【解析】由 则， 所以， ， 所以函数定义域为， 令，则， 所以为奇函数，故A错误. 的最小正周期为，B正确. 由， 得的图象关于点对称，C正确. 令， 由，得， 又在单调递增， 所以 时，取得最大值， 则在上的最大值为，D错误 故选：BC 2．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点对称 C．若函数在上单调递增，则的取值范围为 D．若，则的最小正周期为 【答案】ACD 【解析】 ， 对于A，值域，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，在上单调递增，所以，解得，所以.故C正确； 对于D，因为的最小正周期都是， 所以的最小正周期为，故D正确. 故选：ACD. 3．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数与的图象相邻三个交点构成的三角形为直角三角形，则此三角形面积为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解析】先求交点，对于，有：，即，解得，. 再确定相邻三个交点，取相邻三个整数， 当时，得到交点. 当时，得到交点. 当时，得到交点. 最后判定直角三角形，已知向量，. 根据向量点积的坐标运算公式：所以. 令，即.解得 所以，同理. 因为该三角形为直角三角形，且两条直角边长度都为. 所以该三角形面积. 故选：D.. 三角函数公式题型02 4．（2025·内蒙古包头·二模）已知，则 . 【答案】 【解析】因为 由 . 故答案为：. 5．（2025·内蒙古包头·二模）已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为角的终边经过点，可得， 由三角函数的定义，可得， 故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 正余弦定理题型03 6．（2025·内蒙古赤峰·二模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】由余弦定理可得， 则. 因为，所以，所以是等腰三角形. 故选：A 7．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知的内角、、所对的边分别为、、，且． (1)求角； (2)若的面积为3，点为内一点，且，求的值． 【解析】（1）的内角、、所对的边分别为、、， 且， ． ，，，， 又，． （2） ， ， ． w范围与最值问题题型04 8．（2025·内蒙古包头·二模）已知在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，则， 因，则， 则，， 因在上单调递增， 结合正弦函数图象性质可得，解得， 故的取值范围是. 故选：B 9．（2025·内蒙古通辽·二模）已知函数是偶函数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由是偶函数， 则，，即，， 则时，，时，，时，， 则的最小值是. 故选：A. 解三角形范围与最值问题题型05 10．（2025·内蒙古通辽·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，点D 在边BC上，且.则 的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题可设， 因为，所以， 所以由余弦定理有，， 所以，再由得， 设，则， 所以即， 所以的取值范围是. 故答案为： 11．（2025·内蒙古包头·二模）在中，角所对的边分别为，若，则的最大值为 ． 【答案】 【解析】∵，∴, . 当且仅当，即时等号成立. 又，∴， ∴. 故答案为： 等差、等比数列题型06 12．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列，高阶等差数列是指逐项差数之差或者高次差相等的数列，例如数列1，3，6，10，15，…的逐项差，，，，，…构成一个等差数列，则数列1，3，6，10，15，…是一个高阶等差数列（二阶等差数列），现有一个高阶等差数列，其前5项为2，3，6，11，18，则其第8项是（   ） A．38 B．51 C．66 D．83 【答案】B 【解析】由， ， ， ，可知： ，即 ，即 ，即， 即第8项是， 故选：B 13．（2025·内蒙古赤峰·二模）在等差数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 故选：D 数列通项与求和题型07 14．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知，均为等比数列，且，. (1)证明：为定值. (2)求数列的前项和. 【解析】（1）证明：设数列的公比为，数列的公比为 依题意可得的公比为，的公比为， 所以，， 则，故为定值. （2）由， 故 . 15．（2025·内蒙古包头·二模）存在 ，对任意的 ，当 时，正项数列 都满足 . ，则称 满足 性质. 例如: 当 时， ，则等比数列 满足 性质; 当 时，   ，则数列 不满足 性质. 已知数列 同时满足 性质. (1)证明:数列 为等比数列； (2)已知 ，若数列 满足: ，其中 . 设 为数列 的前项和，记 . ① 求 的表达式 （用含的式子表示）; ②试判断 与 的大小关系，并说明理由. 【解析】（1）因为数列同时满足性质， 所以当时，， 当时，， 当时，由得：， 将式代入式得：， 所以， 又因为，所以； 取，得； 所以当时，数列为等比数列. 设， 将代入式得，所以； 将代入式得，所以； 所以对任意的，数列为等比数列. （2）①因为，所以，所以， . 当时，，所以为等差数列， 得到：， 所以， 所以， 所以， 两式相减得：， 所以. ②， 理由如下：令， 所以数列单调递减，所以， 所以 . 16．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知数列中， (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式； (3)令，证明:． 【解析】（1）由得， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得, 解得：. （3） 令，， 因为在上单调递增，则 所以数列在上单调递减，从而数列在上单调递增，且， 故得. 数列的综合应用题型08 17．（2025·内蒙古包头·二模）已知数列的各项均为正数，，且对任意的正整数都有成立， (1)证明：数列是等差数列； (2)设，是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出满足要求的和的所有值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由，得， 又数列的各项均为正数，则，所以， 又，所以数列是以3为首项，以3为公差的等差数列． （2）由（1）得，于是， 假设存在正整数，使得成等比数列，则， 即， 即，整理得， 因为均为正整数且， 所以的正整数解为： 或或或或或 所以存在正整数，使得成等比数列． 18．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知数列满足，，表示不超过的最大整数，则 ． 【答案】0 【解析】由已知，， 所以数列为正项数列，且，则数列为正项递增数列． 对条件两边取倒数得：，所以， 所以有：， 又数列为正项递增数列，则，则， 所以． 故答案为：0 19．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）已知抛物线：的焦点为F，点在上，其横坐标为，若是等差数列，且，，则（   ） A． B．数列是等差数列 C．点F的坐标为 D． 【答案】ABD 【解析】因为为等差数列， 所以公差，所以，A正确. 因为抛物线的焦点为，所以点的坐标为，C错误. 因为的横坐标为递增的大于0的，所以设 所以，因为是等差数列， 所以数列是等差数列，首项为2，公差为2. 所以，所以B，D正确. 故选：ABD. 20．（多选题）（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知数列满足，，且，若记数列的前项的积为，，的前项和为，则下列结论正确的是（   ） A．数列是等比数列         B． C．当为奇数时， D．当为偶数时， 【答案】ABD 【解析】对于A，由，可得： ， 即，又， 可得数列是以为首项，公比为的等比数列，可得A正确； 对于B，由选项A分析可知，，即B正确； 对于C，易知，所以； 当为奇数时， ，可知C错误； 对于D，当为偶数时， ，可得D正确. 故选：ABD 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$