专题02 函数与导数-【好题汇编】2025年高考数学二模试题分类汇编（内蒙古专用）

专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 指对幂问题 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 新定义问题 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 题型09 极最值问题 题型10 零点问题 函数的图像题型01 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性题型02 2．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数满足：①在上单调递增；②，都有；③是偶函数，且，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3个条件的函数 ． ①、，且，都有；②且，使得；③． 4．（多选题）（2025·内蒙古通辽·二模）已知函数(且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 指对幂问题题型03 5．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数，，则（   ） A．2 B．e C．3 D． 6．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知函数，若，则 ． 函数与方程的综合应用题型04 7．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 . 新定义问题题型05 8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处做一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 9．（多选题）（2025·宁夏内蒙古·二模）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 10．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）定义对于集合中的任意两个元素m，n，定义，.若，则称具有对称性.下列判断正确的是（   ） A． B．若，则不具有对称性 C．对于任意且，恒成立 D．集合中不存在三个互不相等的元素a，b，c，使得 恒成立与能成立问题题型06 11．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 证明不等式问题题型07 12．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间. (2)已知集合，且.若不等式对恒成立，证明：. (3)证明：. 切线问题 题型08 13．（2025·内蒙古包头·二模）过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14．（2025·内蒙古赤峰·二模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D． 极最值问题题型09 15．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在有最小值4，求的值． 16．（2025·内蒙古包头·二模）我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 17．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（   ） A．（） B．方盒容积的最大值为 C．在区间上单调递增 D．当时， 18．（2025·内蒙古通辽·二模）已知函数 (1)若，求的极值; (2)讨论的单调性. 19．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 20．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 零点问题题型10 21．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 22．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数． (1)求的单调区间及最小值； (2)令，求的零点个数． 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 函数与导数 题型概览 题型01 函数的图像 题型02 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 题型03 指对幂问题 题型04 函数与方程的综合应用 题型05 新定义问题 题型06 恒成立与能成立问题 题型07 证明不等式问题 题型08 切线问题 题型09 极最值问题 题型10 零点问题 函数的图像题型01 1．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形是上底为，下底为，高为的等腰梯形，记梯形位于直线左侧的阴影部分的面积为，则的大致图象是（   ）      A．   B．     C．   D．   【答案】A 【解析】根据题意可知在梯形中，； 当时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为； 当时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形， 其面积为； 当时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积， 即； 所以可得； 根据函数类型对比图象可得A正确. 故选：A 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性题型02 2．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数满足：①在上单调递增；②，都有；③是偶函数，且，则的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数满足，可得为指数函数型，可排除C、D项； 又由是偶函数，且， 对于A中，若，则满足，函数为偶函数， 且，不符合题意，舍去； 对于B中，若，则满足，函数为偶函数， 且，符合题意. 故选：B. 3．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）请写出一个同时满足以下3个条件的函数 ． ①、，且，都有；②且，使得；③． 【答案】（答案不唯一，符合题意均可得分） 【解析】由条件①可得在上单调递增， 对于条件②不妨取，可知函数在一定条件下满足可乘性，并简化运算； 由条件③可知函数为奇函数； 因此可得满足题意. 故答案为： 4．（多选题）（2025·内蒙古通辽·二模）已知函数(且，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递增 D．若，则在上单调递增 【答案】BCD 【解析】对于A，当时，， 则，故A错误； 对于B，当时，， 当且仅当，即时等号成立， 则的值域为，故B正确； 对于C，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C正确； 对于D，当时，， ，， 令，则， 因为函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故D正确. 故选：BCD 指对幂问题题型03 5．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数，，则（   ） A．2 B．e C．3 D． 【答案】B 【解析】由解析式可得：， 所以， 所以， 故选：B 6．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知函数，若，则 ． 【答案】 【解析】由，可得， 即，也即， 且，， 两边取对数得：，解得. 故答案为：. 函数与方程的综合应用题型04 7．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数，若函数所有零点的乘积为1，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】当时，可得； 当时，可得，当且仅当时，等号成立， 即函数有且仅有1个零点1， 若函数有零点，则， 显然，可得， 假设方程有根，可知方程有两个不相等根， 设为，且， 则，可得，即， 假设方程有根，可知方程有且仅有1个根，设为， 结合题意可知：方程有根，方程无根， 即与无交点，与有2个交点， 结合图象可知：或，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 新定义问题题型05 8．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）17世纪，牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了代数方程的一种数值解法：如图所示，我们想要找到的根，即点的横坐标，则可以先在点附近取一个初始值，比如横坐标为处，然后在以为横坐标的点处做一条切线，并求出该切线与轴的交点，此时，我们会发现比初始值更接近点．如果重复这个过程，不断绘制切线并计算其与轴的交点，依次迭代下去，我们将得到，根据给定的精确度，直到求得满足精度的近似解为止．这就是牛顿迭代法（切线法）的原理．已知，取． (1)根据牛顿迭代法，求； (2)求与的关系式； (3)牛顿迭代法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取曲线的切线或割线．若，求证：． 【解析】（1），，， 当时，，， 因此切线， 当时，可得； （2）当切点为时切线方程为：. 当时，可得： ， 即； （3）证明：由（1）知，函数在处的切线方程为. ①先证：当的图象恒在切线的上方， 即当时，，即. 令，则， 易知，令， 可得，易知， 在单调递减，在单调递增， 又，，， 存在使得， 在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又， 当时，，即，即. ②下证：. 即，即. 令， 则，则在单调递减，在单调递增， 又， 显然当时，恒成立，即恒成立， 由①②可得. 9．（多选题）（2025·宁夏内蒙古·二模）在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（   ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D． 【答案】ACD 【解析】对A：令， 则恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确； 对B：令， 则，由A知，为增函数，又， 故当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故B错误； 对C：， 由在上单调递增，且， 故是增函数，故C正确； 对D：由C知，则， ， 故，故D正确. 故选：ACD. 10．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）定义对于集合中的任意两个元素m，n，定义，.若，则称具有对称性.下列判断正确的是（   ） A． B．若，则不具有对称性 C．对于任意且，恒成立 D．集合中不存在三个互不相等的元素a，b，c，使得 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，，所以，A正确. 对于B，因为，所以，B错误. 对于C，由题意，当且时，， 同理得，， 所以， 且，，， 所以恒成立，C正确. 对于D，设a，b，c是集合中三个互不相等的元素，不妨假设. 因为，，，所以， 当时，，，，则，，. 当时，，，，， 所以集合中不存在三个互不相等的元素a，b，c，使得，D正确. 故选：ACD. 恒成立与能成立问题题型06 11．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）已知函数在上单调，且在上恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因函数在上单调，又在上单调递减， 则函数在上单调递减，则. 则时，，又， 则恒成立， 则. 故选：B 证明不等式问题题型07 12．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数. (1)当时，求的单调区间. (2)已知集合，且.若不等式对恒成立，证明：. (3)证明：. 【解析】（1）当时，，则. 当时，，当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：若不等式对恒成立， 则对恒成立， 即对恒成立. 设，则. 因为，且， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 故，即. （3）证明：要证， 只需证， 即证. 由（1）知在上单调递增，且当时，，， 所以只需证. 设，则，为增函数， 所以，则得证， 从而得证. 切线问题 题型08 13．（2025·内蒙古包头·二模）过点且与抛物线有且仅有1个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】如图，直线与抛物线有且仅有1个公共点，符合题意， 将求导可得， 设切点坐标为，切线斜率， 则切线方程为， 代入点可得，解得或， 可知过点的切线有2条， 综上所述：符合题意的直线有3条. 故选：D. 14．（2025·内蒙古赤峰·二模）曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【解析】设函数，则，则， 所以曲线在点处的切线方程为，直线在坐标轴上的截距为. 故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为. 故选 ：A 极最值问题题型09 15．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在有最小值4，求的值． 【解析】（1）当时，， ， 故曲线在点处的切线方程为． （2）， ①当时，，因为，所以，此时在无最小值； ②当时， （i）若，则在上，， 所以在上单调递增，无最小值． （ii）若，则时，有在上单调递减， 时，有在上单调递增， 故在上的最小值为， 即，整理得，解得或（舍去）． 综上，得． 16．（2025·内蒙古包头·二模）我们解不等式时，可以采用如下方法：等价于，即. 根据以上思路求解: 函数的最小值为（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【解析】因为，则， 两边同时取对数可得， 构建，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，可得， 所以函数的最小值为. 故选：D. 17．（多选题）（2025·内蒙古赤峰·二模）将一个边长为的正方形铁片的四角截去四个边长均为的小正方形，做成一个无盖方盒，方盒的容积为，则下列说法正确的是（   ） A．（） B．方盒容积的最大值为 C．在区间上单调递增 D．当时， 【答案】ABD 【解析】由题意可知，无盖方盒底面是边长为的正方形，高为. 根据长方体体积公式，可得方盒容积，展开可得： 因为要能做成无盖方盒，则且，即，所以，故A选项正确. 对求导，可得： 令，即，解得，. 因为，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 则在处取得极大值，也是最大值，，故B选项正确. 由上述求导分析可知，当时，，所以在区间上单调递减，故C选项错误. 当时，.易知. 所以，，，，. 一共有组和为的数对，再加上，则，故D选项正确. 故选：ABD. 18．（2025·内蒙古通辽·二模）已知函数 (1)若，求的极值; (2)讨论的单调性. 【解析】（1）当时，，则， 令，即，解得或（舍）， 当时，，则函数单调递增， 当时，，则函数单调递减， 所以时，有极大值，且极大值为，无极小值. （2）函数定义域为， 且， 令，解得或， 令，即，解得， 当时，，此时恒成立， 当时，此时， 则函数单调递减，函数单调递增， 函数单调递减； 当时，，则函数单调递增， 函数单调递减； 当时，，则函数单调递减， 函数单调递增，函数单调递减， 当时，，则函数单调递增， 函数单调递减， 综上所述：当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 当时，函数的单调增区间为， 单调减区间为和； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数的单调增区间为， 单调减区间为和； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为. 19．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，， 故，， 所以，在点处切线方程为，即. （2）函数的定义域为，且， 有两个极值点等价于有两个不等正根， 即有两个不等正根， 设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以， 如下图所示： 当时，直线与函数的图象有两个交点， 设这两个交点的横坐标分别为、， 由图可知，当或时，，则， 当时，，则， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 此时，函数的极大值点为，极小值点为， 故当时，有两个极值点， 综上，的取值范围为. 20．（2025·宁夏内蒙古·二模）已知函数. (1)设，求曲线的斜率为2的切线方程； (2)若是的极小值点，求b的取值范围. 【解析】（1）当时，，其中， 则，令， 化简得，解得（负值舍去）， 又此时，则切线方程过点，结合切线方程斜率为2， 则切线方程为，即. （2）由题可得定义域为，， 因是的极小值点，则， 则， 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极大值点，不满足题意； 若，则，在上单调递减，无极值，不满足题意； 若，令，令， 则在上单调递增，在上单调递减， 得是的极小值点，满足题意； 综上，是的极小值点时，. 零点问题题型10 21．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 22．（2025·内蒙古赤峰·二模）已知函数． (1)求的单调区间及最小值； (2)令，求的零点个数． 【解析】（1）由求导得：， 当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增. 故的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，； （2）由可得， 则的零点个数即函数与直线的交点个数. 由（1）已得在上单调递减，在上单调递增， 且当时，， 又时，，当时，， 作出函数的图象. 由图知，当时，直线与函数的图象没有交点，此时函数无零点； 当时，直线与函数的图象有2个交点，此时函数有2个零点； 当或时，直线与函数的图象有1个交点，此时函数有1个零点. 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$