预习01 空间向量及其运算（6知识点+9题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习01 空间向量及其运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点 2 ：空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点 3 ：空间向量的夹角及数量积运算 1．空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量，则（1）；（2）； （3），；（4）；（5） 知识点 4 ：共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点 5 ：空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 2.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 3.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 知识点 6 ：空间直角坐标系及坐标表示 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． （3）空间向量的坐标运算 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 【题型1 空间向量的有关概念】 1．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【详解】对于A，有向线段是空间向量的一种表示形式，但不能把二者完全等同起来，故A错误； 对于B，不相等的两个空间向量的模也可以相等，只要它们的方向不相同即可，故B错误； 对于C，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的，故C错误； 对于D，与仅是方向相反，它们的长度是相等的，故D正确， 故选：D 2．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】零向量的方向是任意的，但并不是没有方向，故①错误； 当两个空间向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等．但两个向量相等，起点和终点不一定相同，故②错误； 根据相等向量的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向也要相同，但③中向量与的方向不一定相同，故③错误； 命题④显然正确； 对于命题⑤，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故⑤错误． 故选：D. 3．（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】如图， 在平行六面体中，与相等的向量有3个， 分别是，，． 故选：BC． 4．（多选）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 【答案】ABC 【详解】由题可知单位向量有，，，，，，，，共8个，故A正确； 与相等的向量有，，，共3个，故B正确； 向量的相反向量有，，，，共4个，故C正确； 模为的向量分别为，，，，，，，，共8个，故D错误． 故选：ABC 【题型2 空间向量的线性运算】 5．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】如图，， ， ，. 故选：C. 6．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】由正方体，空间向量的加法法则可得． ；； ；． 故选：D． 7．已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 故选：B. 8．（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为E，F分别为BC，CD的中点，所以由中位线性质可知，故A正确； 若可得，由图可知不共线，矛盾，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D正确. 故选：ACD 9．如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 【答案】 【详解】（1） . （2） 故答案为： 10．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：因为为的重心，为边的中点， 所以 ， 所以 （2）解：因为分别为边和的中点， 所以 （3）解： 【题型3 共线、共面向量定理的应用】 11．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 【答案】 【详解】由不能构成空间的一个基底，则存在，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 12．（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A项，易知，则A项中向量共面，不符合； 对于B项，易知，则B项中向量共面，不符合； 对于C项，易知不共面，能作为空间的一个基底，即C正确. 对于D项，设不能作为空间的一个基底， 则存在实数，使得， 由于是空间的一组基底，则满足， 故不存在使得， 故能作为空间的一个基底，D正确， 故选： CD 13．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 14．正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由， 所以，故. 故选：D 15．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知， 因为，，，四点共面， 所以存在实数，使， 所以， 所以 ， 所以 ，所以． 故选：B. 16．（多选）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】在正方体中，由于点是侧面的中心， 所以， 所以，，即． 故选：AD. 17．如图，四棱锥的底面为矩形，平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点．设，，，试用，，表示，，，.    【答案】答案见详解 【详解】如图，    连接BO，则， ， ， . 【题型4 基底的判断及运用】 18．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，则， 所以，，，，则. 故选：C. 19．已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在基底下的坐标为， 在基底下的坐标为． 故选：A． 20．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为向量在基底下的坐标为，即， 又因为，，， 则， 因此，向量在基底下的坐标是. 故选：A. 21．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 【答案】 【详解】由题意可得，设， 则，解得，所以坐标为. 故答案为：. 22．棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，， 【详解】在正交基底下， （1）， ， ， ． （2）， ； ， ， ． 23．已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【答案】 【解析】设，，，进而得，，再结合向量相等求解即可. 【详解】解：设，，， 点，， ∴， ∵ ∴ ， ，解得，，， ． 【题型5 空间向量的坐标运算】 24．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 25．三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由共面向量的基本定理可知，若三个非零向量满足，则共面， 反之，若三个非零向量共面，当共线，与不共线时，就不存在实数使得， 故共面是的必要不充分条件， 故选：B 26．（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 【答案】AC 【详解】对于选项A：若向量共线，易知与共线，显然共面； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知与共面； 综上所述：与，共面，故A正确； 对于选项B：若向量与共面，如果共线，与它们不共线，则不存在实数使得，故B错误； 对于选项C：若向量共线，则取，可得； 若向量不共线，根据平面向量基本定理可知：存在实数，，使得， 即，可得； 综上所述：若，，共面，则存在实数，，，使得，故C正确； 对于选项D：例如，对于任意空间向量，，均有成立， 此时无法判断，，是否共面，故D错误. 故选：AC. 27．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 28．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 即， 由空间向量共面定理的推论可知，，解得. 故选：B. 29．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 30．已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】因为，，， 所以， ， 所以， 所以，又为公共点， 所以B，C，D三点共线． 【题型6 空间向量的数量积】 31．已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】D 【详解】因为，所以， 即，所以. 故选：D. 32．如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（    ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 【答案】B 【详解】在正三棱柱中，且，四边形为平行四边形， 且， 点分别为棱的中点，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， 四点不共面，直线与始终异面，故A正确； 法一：为等边三角形，为的中点，， 又平面，平面， 如图，以为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设， 对于B，，， 若，则，，， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，，， 若，则，，， 故当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，，， 若，则，，或， 故当点在的位置或为中点时，直线与直线垂直，故D正确； 法二：对于B，设， 则，， 若直线与直线垂直，则，， ，，解得， ，不存在点使得直线与直线垂直，故B错误； 对于C，连接、， 如图3，，为的中点，， 平面，平面，， ，、平面，平面， 又平面，， 当点在的位置时，直线与直线垂直，故C正确； 对于D，， ， ，解得或， 故当在点的位置或为中点时，，故D正确. 故选：B． 33．已知，，且，则 ． 【答案】 【详解】因为，，且， 所以，解得. 故，所以，故． 故答案为：． 34．在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 . 【答案】 【详解】由题意，以为坐标原点，以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，可得，得， 所以，， 由，可得，即，解得或， 所以实数的值为. 故答案为：. 35．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设， ，， ，， ∵，∴， ∴点P在侧面的边界及其内部运动的轨迹如图线段： 正方体中，平面， ∴，又， 由图可知当点P在E处取得最大值， 所以面积的最大值. 故选：D. 【题型7 空间向量的垂直问题】 36．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 【答案】A 【详解】由是一个单位正交基底，得， 所以. 故选：A 37．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，因为分别为的中点，可得，， 又因为四面体为正四面体，且棱长为， 可得. 故选：D. 38．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】A 【详解】由长方体的性质知，，，，， 所以． 故选：A 39．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为点分别为棱的中点，且四面体所有棱长均为2， 则， 所以 . 故选：D 40．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可作图， 因为点是棱的中点，所以, 因为，所以, 则, 由题意，都是等边三角形， 所以， 故 故选：A. 41．如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）因为， 所以，，，则， 设，因为，则， 即，解得，则. （2）∵， ∴，，，， 由（1）可知，， ∴. 42．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：因为，由向量的线性运算法则， 可得： . （2）解：由， 所以 . 【题型8 空间向量的模长问题】 43．在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由，，可得， 由，可得，解得. 故选：A. 44．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 45．已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 【答案】A 【详解】因为，， 所以， 所以，当且仅当时取等号. 故选：A 46．已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ． 【答案】或 【详解】 以向量为基底，由题知：或， ∴， 当时，，∴， 当时，，∴． 故答案为：或． 47．如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则 . 【答案】 【详解】因为二面角的大小为，所以， 又且， 所以， 所以. 故答案为： 48．已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 【答案】 ； . 【详解】由题可以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以，设， 所以， 当取得最小值时，为异面直线和的公垂线段， 所以此时且， 故， 所以取得最小值时，，， 所以的最小值为， 此时. 故答案为：；. 49．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， 可得， 故 ． ． 故选：A 【题型9 空间向量的夹角问题】 50．已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，， 所以向量与夹角的余弦值为. 故选：A 51．在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，又，， 所以，， 根据向量点积公式，， ，， 已知直线与直线所成角的余弦值为， 则， 两边平方可得， 所以， 所以， 所以， 所以或（舍去）， 所以点的坐标为. 故选：D 52．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则， ，，， 故， ， 则 ， 因为， 所以，解得， 所以的取值范围为. 故选：C 53．在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意作出相关图象，如下图， 以点D为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设正方体边长为，    则，，，， 连接，易得与相似，又由正方体性质， 所以，从而可得， 故，， 所以， 设直线与直线夹角为，则，故A正确. 故选：A. 54．已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设与的夹角为.由，得， 两边平方得，所以， 解得.又，所以. 故选：C. 55．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示； (2)求； 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ； （2）因为，所以 ， 因为，所以 ， 所以 ， 所以. 56．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． (1)设平面的法向量为，求的值； (2)求与 所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知， ， 则，即， 解得 ； （2）， ∴， 又， ∴. 一、单选题 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 2．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【详解】因为向量，，共面，所以存在实数，使得. 则可得. 由，可列出方程组. 由可得，将其代入中，得到. 去括号得，移项合并同类项得，解得. 将代入，可得. 将，代入，可得. 故选：B. 3．如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示： . 故选：B 4．已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A， 在上的投影向量为，故A正确； 对于B，，且所以，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，所以与不平行，故D错误. 故选：A 5．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】选择作为基底，； ，由已知点在平面内，即与，共面，可得， 又由是的中点，可得，代换可得： ； 与共线，即，可得：，即 ，解得. 故选：C 6．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，将正四面体嵌套正方体内，并以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 因为正四面体的棱长为，可知正方体的棱长为2， 则， 可得， 则在方向上的投影向量为， 所以的值为. 故选：B. 7．在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，在棱上，若过三棱锥四个顶点的球的体积为，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．1或2 【答案】A 【详解】在直三棱柱中，，，则外接圆圆心为中点， 令三棱锥外接球球心为，则平面，设此球半径为， 由，得，而外接圆半径，于是， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设，由，得，解得或， 而，所以. 故选：A 8．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图取AB中点为原点O，建立空间直角坐标系，设， 其中，，，， ，，， 当，且或时，取最大值4， 当，且时，取最小值2，所以的取值范围为． 故选：C 三、填空题 9．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 【答案】 【详解】 , 故答案为： 10．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    【答案】/ 【详解】， 因为，，所以， 又，故， 即，故， 因为平面与直线交于点，所以四点共面， 所以，解得.    故答案为： 11．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系： 则，， 设，，则， 故，所以， 则， 因为为钝角，而三点不共线， 故， 解得，即的取值范围为. 故答案为：. 二、多选题 12．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 13．对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 【答案】AB 【详解】若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得，取， 所以，A正确； 若，，， 根据题意，设， 即， 所以，解得， 所以，，线性无关，B正确； 假设，，线性相关， 则存在不全为零的实数使得， 则， 因为，，线性无关，则，得， 与假设矛盾，C错误； 对于非零向量，，，若存在实数，使得， 即， 所以， 但不能确定，，是否线性相关，D错误. 故选：AB 四、解答题 14．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 【答案】(1)，图示见解析； (2)，图示见解析. 【详解】（1）， 设P是线段的中点， 则， 向量如图所示. （2）， 设Q是线段的中点， 则， 向量如图所示. 15．已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 【答案】(1)的坐标为或 (2)； 【详解】（1）因为，， 所以， 因为向量与平行， 所以可设，， 所以，因为， 所以， 所以， 所以或， 所以的坐标为或； （2）因为，，， 所以，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量， 所以. 16．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）； （2）因为，，， 所以，， 所以 ， 所以. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【详解】（1）由于侧棱平面平面，则， 又，平面，则平面． 平面，所以， 由于，平面， 则平面，又平面，所以． 又，平面， 则平面，由于平面，则． （2）以为坐标原点，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 由于，． 由（1）知平面，即是平面的法向量． 设，则， 即，解得，所以， 所以，， 从而． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习01 空间向量及其运算 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：9大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点 1 ：空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点 2 ：空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点 3 ：空间向量的夹角及数量积运算 1．空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 2．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 3．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 4．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 5．数量积的性质 若，为非零向量，则（1）；（2）； （3），；（4）；（5） 知识点 4 ：共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点 5 ：空间向量基本定理 1.空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 2.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 3.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 知识点 6 ：空间直角坐标系及坐标表示 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系Oxyz时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． （3）空间向量的坐标运算 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 【题型1 空间向量的有关概念】 1．下列命题是真命题的是（    ） A．空间向量就是空间中的一条有向线段 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任一向量与它的相反向量不相等 D．向量与向量的长度相等 2．给出下列命题： ①零向量没有方向； ②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同； ③若空间向量满足，则； ④若空间向量满足，则； ⑤空间中任意两个单位向量必相等． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（多选）在平行六面体中与向量相等的向量有（    ） A． B． C． D． 4．（多选）如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中（    ）    A．单位向量有8个 B．与相等的向量有3个 C．的相反向量有4个 D．模为的向量有4个 【题型2 空间向量的线性运算】 5．在任意四边形中，E，F分别是，的中点，若，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 6．如图所示，在正方体中，下列各式中运算结果为向量的个数是（ ） ①； ② ③； ④． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，，，是空间中互不相同的四个点，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，在四面体ABCD中，点E，F分别为BC，CD的中点，则（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在正六棱柱中.    （1）化简： ； （2）化简： . 10．如图，在空间四边形中，已知为的重心，分别为边和的中点，化简下列各式： (1)； (2)； (3)． 【题型3 共线、共面向量定理的应用】 11．若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则实数 ． 12．（多选）若是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（    ） A． B． C． D． 13．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 14．正方体，点E是上底面的中心，若，则（   ） A． B． C．1 D．2 15．如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段的中点，过点的平面分别交，，于点，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 16．（多选）在正方体中，若点是侧面的中心，且，则（   ） A． B． C． D． 17．如图，四棱锥的底面为矩形，平面OABC，E，F分别是PC和PB的中点．设，，，试用，，表示，，，.    【题型4 基底的判断及运用】 18．如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立如图空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 19．已知点在基底下的坐标是，其中，则点在基底下的坐标是（    ） A． B． C． D． 20．设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是（   ） A． B． C． D． 21．已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为 . 22．棱长为1的正方体中，分别为棱的中点，以为正交基底，求下列向量的坐标： (1)； (2)． 23．已知点，，在直线上有一点，使得，求点的坐标． 【题型5 空间向量的坐标运算】 24．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 25．三个非零向量则“共面”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 26．（多选）关于空间向量，，，下列结论正确的是（   ） A．若存在实数，，使得，则与，共面 B．若与，共面，则存在实数，，使得 C．若，，共面，则存在实数，，，使得 D．若存在实数，，，使得，则，，共面 27．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 28．已知空间中有5个点、、、、，若满足，且、、、四点共面，则的值为（    ） A． B． C． D． 29．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 30．已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线． 【题型6 空间向量的数量积】 31．已知向量，满足，则（     ） A． B．1 C． D．2 32．如图所示，正三棱柱的所有棱长均为，点、、分别为棱、、的中点，点为线段上的动点，则下列选项中不正确的是（    ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线可能垂直 C．直线与直线可能垂直 D．直线与直线可能垂直 33．已知，，且，则 ． 34．在长方体中，，动点满足且在线段上，当与垂直时，的值为 . 35．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【题型7 空间向量的垂直问题】 36．若是一个单位正交基底，且向量，，则的值为（    ） A． B．4 C．7 D．23 37．设正四面体的棱长为，，分别是，的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 38．如图，在长方体中，设，则（   ） A．1 B．2 C．3 D． 39．已知四面体，所有棱长均为2，点分别为棱的中点，则（   ） A．1 B． C．2 D． 40．在正三棱锥中，，点是棱的中点，，则（ ） A． B． C． D． 41．如图，在直四棱柱中，，，，，，分别为棱，，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系.    (1)若，求点坐标； (2)求的值. 42．如图，在空间四边形OABC中，D为棱BC上一点，且满足，E为线段AD的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值． 【题型8 空间向量的模长问题】 43．在空间直角坐标系中，已知三点，，，且，则实数（   ） A． B．2 C． D． 44．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．已知空间中有两个动点，．则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．3 D．6 46．已知异面直线所成的角为，在直线上，在直线上，，则间的距离为 ． 47．如图，在平行四边形中，，，将沿折起到位置，使得二面角的大小为，则 . 48．已知正方体的棱长为4，点分别为线段上的动点，则的最小值为 ，此时 . 49．平行六面体，其中，，，，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【题型9 空间向量的夹角问题】 50．已知在空间直角坐标系中，三点，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 51．在空间直角坐标系中，已知点，，为正半轴上的点，且直线与直线所成角的余弦值为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 52．已知动点是棱长为1的正方体的对角线上一点，记，当为钝角时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 53．在正方体中，，，则直线与直线夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 54．已知空间向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 55．如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是为与的交点.若， (1)用表示； (2)求； 56．如图，在直三棱柱中，，分别为的中点．以为坐标原点，直线 分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． (1)设平面的法向量为，求的值； (2)求与 所成角的余弦值． 一、单选题 1．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（    ）. A．9 B．10 C．11 D．12 3．如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 4．已知向量，，，则正确的是（    ） A．在上的投影向量为 B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，且，是棱的中点，设平面，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，分别为的中点，且在方向上的投影向量为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．在直三棱柱中，，，，E为棱的中点，在棱上，若过三棱锥四个顶点的球的体积为，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．1或2 8．如图，直三棱柱中，，点P为侧面上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对于空间中一组向量，若存在不全为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称这组向量线性无关.则（   ） A．若，，，则，，线性相关 B．若，，，则，，线性无关 C．若，，线性无关，则，，线性相关 D．对于非零向量，，，若存在实数，使得，则，，线性相关 三、填空题 11．如图，在三棱柱中，、分别为和的中点，设，，，则 （用表示）． 12．在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，，则 ．    13．如图，四棱锥中，平面，底面是边长为1的正方形，且，点是线段上异于的点，当为钝角时，的取值范围为 ． 四、解答题 14．已知平行六面体，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量： (1)； (2). 15．已知空间中三点，，． (1)若向量与平行，且，求的坐标； (2)求向量AB在向量AC上的投影向量． 16．在平行六面体中，，，.记向量，向量，向量. (1)取的中点，用向量，，来表示向量； (2)求. 17．如图，在四棱锥中，底面为正方形、侧棱平面，过点作交于点，过点作交于点，连接. (1)证明：； (2)若，直线与平面相交于点，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$